Theorem eliooshift 46336

Description: Element of an open interval shifted by a displacement. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliooshift.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eliooshift.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
eliooshift.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliooshift.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
eliooshift	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)(,)(𝐶 + 𝐷))))

Proof of Theorem eliooshift

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooshift.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		eliooshift.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ)
4	3, 1	2thd 268	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
5		eliooshift.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5, 1, 2	ltadd1d 11831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷)))
7	6	bicomd 226	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷) ↔ 𝐵 < 𝐴))
8		eliooshift.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9	1, 8, 2	ltadd1d 11831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷)))
10	9	bicomd 226	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷) ↔ 𝐴 < 𝐶))
11	4, 7, 10	3anbi123d 1464	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷) ∧ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
12	5, 2	readdcld 11262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ*)
14	8, 2	readdcld 11262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11283	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ*)
16		elioo2 13439	. . 3 ⊢ (((𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ*) → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)(,)(𝐶 + 𝐷)) ↔ ((𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷) ∧ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷))))
17	13, 15, 16	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)(,)(𝐶 + 𝐷)) ↔ ((𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷) ∧ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷))))
18	5	rexrd 11283	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
19	8	rexrd 11283	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
20		elioo2 13439	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
21	18, 19, 20	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
22	11, 17, 21	3bitr4rd 315	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)(,)(𝐶 + 𝐷))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5103  (class class class)co 7413  ℝcr 11123   + caddc 11127  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267  (,)cioo 13398

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-ioo 13402

This theorem is used by:  fourierdlem88  47022