Theorem eliooshift 46612

Description: Element of an open interval shifted by a displacement. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
eliooshift.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
eliooshift.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
eliooshift.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
eliooshift.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
eliooshift	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)(,)(𝐶 + 𝐷))))

Proof of Theorem eliooshift

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eliooshift.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		eliooshift.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
3	1, 2	readdcld 11342	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ)
4	3, 1	2thd 268	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
5		eliooshift.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
6	5, 1, 2	ltadd1d 11913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷)))
7	6	bicomd 226	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷) ↔ 𝐵 < 𝐴))
8		eliooshift.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
9	1, 8, 2	ltadd1d 11913	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷)))
10	9	bicomd 226	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷) ↔ 𝐴 < 𝐶))
11	4, 7, 10	3anbi123d 1464	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷) ∧ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
12	5, 2	readdcld 11342	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
13	12	rexrd 11363	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ*)
14	8, 2	readdcld 11342	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
15	14	rexrd 11363	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ*)
16		elioo2 13521	. . 3 ⊢ (((𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ*) → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)(,)(𝐶 + 𝐷)) ↔ ((𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷) ∧ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷))))
17	13, 15, 16	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)(,)(𝐶 + 𝐷)) ↔ ((𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷) ∧ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷))))
18	5	rexrd 11363	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ*)
19	8	rexrd 11363	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ*)
20		elioo2 13521	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
21	18, 19, 20	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝐶)))
22	11, 17, 21	3bitr4rd 315	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)(,)(𝐶 + 𝐷))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  (class class class)co 7421  ℝcr 11203   + caddc 11207  ℝ^*cxr 11346   < clt 11347  (,)cioo 13480

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-ioo 13484

This theorem is used by:  fourierdlem88  47298