Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliooshift Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliooshift 41324
Description: Element of an open interval shifted by a displacement. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliooshift.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
eliooshift.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
eliooshift.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
eliooshift.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
eliooshift (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)(,)(𝐶 + 𝐷))))

Proof of Theorem eliooshift
StepHypRef Expression
1 eliooshift.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 eliooshift.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 10516 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ)
43, 12thd 266 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
5 eliooshift.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
65, 1, 2ltadd1d 11081 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷)))
76bicomd 224 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷) ↔ 𝐵 < 𝐴))
8 eliooshift.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
91, 8, 2ltadd1d 11081 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷)))
109bicomd 224 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷) ↔ 𝐴 < 𝐶))
114, 7, 103anbi123d 1428 . 2 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷) ∧ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
125, 2readdcld 10516 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
1312rexrd 10537 . . 3 (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ*)
148, 2readdcld 10516 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
1514rexrd 10537 . . 3 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ*)
16 elioo2 12629 . . 3 (((𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ*) → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)(,)(𝐶 + 𝐷)) ↔ ((𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷) ∧ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷))))
1713, 15, 16syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)(,)(𝐶 + 𝐷)) ↔ ((𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷) ∧ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷))))
185rexrd 10537 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
198rexrd 10537 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
20 elioo2 12629 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
2118, 19, 20syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
2211, 17, 213bitr4rd 313 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)(,)(𝐶 + 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  w3a 1080  wcel 2081   class class class wbr 4962  (class class class)co 7016  cr 10382   + caddc 10386  *cxr 10520   < clt 10521  (,)cioo 12588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-po 5362  df-so 5363  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-er 8139  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-ioo 12592
This theorem is referenced by:  fourierdlem88  42021
  Copyright terms: Public domain W3C validator