Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliooshift Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliooshift 43751
Description: Element of an open interval shifted by a displacement. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliooshift.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
eliooshift.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
eliooshift.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
eliooshift.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
eliooshift (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)(,)(𝐶 + 𝐷))))

Proof of Theorem eliooshift
StepHypRef Expression
1 eliooshift.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 eliooshift.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 11185 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ)
43, 12thd 265 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
5 eliooshift.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
65, 1, 2ltadd1d 11749 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷)))
76bicomd 222 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷) ↔ 𝐵 < 𝐴))
8 eliooshift.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
91, 8, 2ltadd1d 11749 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷)))
109bicomd 222 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷) ↔ 𝐴 < 𝐶))
114, 7, 103anbi123d 1437 . 2 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷) ∧ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
125, 2readdcld 11185 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
1312rexrd 11206 . . 3 (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ*)
148, 2readdcld 11185 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
1514rexrd 11206 . . 3 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ*)
16 elioo2 13306 . . 3 (((𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ*) → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)(,)(𝐶 + 𝐷)) ↔ ((𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷) ∧ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷))))
1713, 15, 16syl2anc 585 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)(,)(𝐶 + 𝐷)) ↔ ((𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷) ∧ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷))))
185rexrd 11206 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
198rexrd 11206 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
20 elioo2 13306 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
2118, 19, 20syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
2211, 17, 213bitr4rd 312 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)(,)(𝐶 + 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5106  (class class class)co 7358  cr 11051   + caddc 11055  *cxr 11189   < clt 11190  (,)cioo 13265
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-ioo 13269
This theorem is referenced by:  fourierdlem88  44442
  Copyright terms: Public domain W3C validator