Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eliooshift Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eliooshift 43044
Description: Element of an open interval shifted by a displacement. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
eliooshift.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
eliooshift.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
eliooshift.c (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
eliooshift.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
eliooshift (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)(,)(𝐶 + 𝐷))))

Proof of Theorem eliooshift
StepHypRef Expression
1 eliooshift.a . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 eliooshift.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
31, 2readdcld 11004 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ)
43, 12thd 264 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ ↔ 𝐴 ∈ ℝ))
5 eliooshift.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
65, 1, 2ltadd1d 11568 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 < 𝐴 ↔ (𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷)))
76bicomd 222 . . 3 (𝜑 → ((𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷) ↔ 𝐵 < 𝐴))
8 eliooshift.c . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
91, 8, 2ltadd1d 11568 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 < 𝐶 ↔ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷)))
109bicomd 222 . . 3 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷) ↔ 𝐴 < 𝐶))
114, 7, 103anbi123d 1435 . 2 (𝜑 → (((𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷) ∧ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷)) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
125, 2readdcld 11004 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ)
1312rexrd 11025 . . 3 (𝜑 → (𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ*)
148, 2readdcld 11004 . . . 4 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ)
1514rexrd 11025 . . 3 (𝜑 → (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ*)
16 elioo2 13120 . . 3 (((𝐵 + 𝐷) ∈ ℝ* ∧ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ*) → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)(,)(𝐶 + 𝐷)) ↔ ((𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷) ∧ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷))))
1713, 15, 16syl2anc 584 . 2 (𝜑 → ((𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)(,)(𝐶 + 𝐷)) ↔ ((𝐴 + 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐷) ∧ (𝐴 + 𝐷) < (𝐶 + 𝐷))))
185rexrd 11025 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ*)
198rexrd 11025 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ*)
20 elioo2 13120 . . 3 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
2118, 19, 20syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 < 𝐴𝐴 < 𝐶)))
2211, 17, 213bitr4rd 312 1 (𝜑 → (𝐴 ∈ (𝐵(,)𝐶) ↔ (𝐴 + 𝐷) ∈ ((𝐵 + 𝐷)(,)(𝐶 + 𝐷))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  w3a 1086  wcel 2106   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  cr 10870   + caddc 10874  *cxr 11008   < clt 11009  (,)cioo 13079
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-ioo 13083
This theorem is referenced by:  fourierdlem88  43735
  Copyright terms: Public domain W3C validator