Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooiinioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooiinioc 42188
Description: A left-open, right-closed interval expressed as the indexed intersection of open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iooiinioc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
iooiinioc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iooiinioc (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴(,]𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem iooiinioc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooiinioc.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
21adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 iooiinioc.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
54rexrd 10680 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 1nn 11636 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
7 ioossre 12786 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ
8 oveq2 7143 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
98oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + (1 / 1)))
109oveq2d 7151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))))
1110sseq1d 3946 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → ((𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ ↔ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ))
1211rspcev 3571 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℕ ∧ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
136, 7, 12mp2an 691 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ
14 iinss 4943 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ → 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
17 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
1816, 17sseldd 3916 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
1918rexrd 10680 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20 1red 10631 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
21 ax-1ne0 10595 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≠ 0)
2320, 20, 22redivcld 11457 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 1) ∈ ℝ)
243, 23readdcld 10659 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 1)) ∈ ℝ)
2524rexrd 10680 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 1)) ∈ ℝ*)
2625adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐵 + (1 / 1)) ∈ ℝ*)
27 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
286a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 1 ∈ ℕ)
2910eleq2d 2875 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1)))))
3027, 28, 29eliind 41700 . . . . . . 7 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))))
3130adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))))
32 ioogtlb 42127 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1)))) → 𝐴 < 𝑥)
332, 26, 31, 32syl3anc 1368 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 < 𝑥)
34 nfv 1915 . . . . . . . 8 𝑛𝜑
35 nfcv 2955 . . . . . . . . 9 𝑛𝑥
36 nfii1 4916 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))
3735, 36nfel 2969 . . . . . . . 8 𝑛 𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))
3834, 37nfan 1900 . . . . . . 7 𝑛(𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
39 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
40 iinss2 4944 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4140adantl 485 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
42 simpl 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4341, 42sseldd 3916 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4443adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
45 simpr 488 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
46 elioore 12756 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑥 ∈ ℝ)
4746adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
4847adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
493adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
50 nnrecre 11667 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5150adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5249, 51readdcld 10659 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
5352adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
541adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5554adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5652rexrd 10680 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
5756adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
58 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
59 iooltub 42142 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6055, 57, 58, 59syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6148, 53, 60ltled 10777 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6239, 44, 45, 61syl21anc 836 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6362ex 416 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑛 ∈ ℕ → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
6438, 63ralrimi 3180 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6538, 19, 4xrralrecnnle 42012 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑥𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
6664, 65mpbird 260 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥𝐵)
672, 5, 19, 33, 66eliocd 42139 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
6867ralrimiva 3149 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
69 dfss3 3903 . . 3 ( 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴(,]𝐵) ↔ ∀𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
7068, 69sylibr 237 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴(,]𝐵))
711xrleidd 12533 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐴)
7271adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴𝐴)
73 1rp 12381 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
7473a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
75 nnrp 12388 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
7674, 75rpdivcld 12436 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
7776adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
7849, 77ltaddrpd 12452 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
79 iocssioo 12817 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8054, 56, 72, 78, 79syl22anc 837 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8180ralrimiva 3149 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
82 ssiin 4942 . . 3 ((𝐴(,]𝐵) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8381, 82sylibr 237 . 2 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8470, 83eqssd 3932 1 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987  wral 3106  wrex 3107  wss 3881   ciin 4882   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665   / cdiv 11286  cn 11625  +crp 12377  (,)cioo 12726  (,]cioc 12727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-sup 8890  df-inf 8891  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-ioc 12731  df-fl 13157
This theorem is referenced by:  iocborel  42991
  Copyright terms: Public domain W3C validator