Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooiinioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooiinioc 43726
Description: A left-open, right-closed interval expressed as the indexed intersection of open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iooiinioc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
iooiinioc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iooiinioc (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴(,]𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem iooiinioc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooiinioc.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
21adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 iooiinioc.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
54rexrd 11201 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 1nn 12160 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
7 ioossre 13317 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ
8 oveq2 7361 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
98oveq2d 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + (1 / 1)))
109oveq2d 7369 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))))
1110sseq1d 3973 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → ((𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ ↔ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ))
1211rspcev 3579 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℕ ∧ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
136, 7, 12mp2an 690 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ
14 iinss 5014 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ → 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
17 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
1816, 17sseldd 3943 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
1918rexrd 11201 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20 1red 11152 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
21 ax-1ne0 11116 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≠ 0)
2320, 20, 22redivcld 11979 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 1) ∈ ℝ)
243, 23readdcld 11180 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 1)) ∈ ℝ)
2524rexrd 11201 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 1)) ∈ ℝ*)
2625adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐵 + (1 / 1)) ∈ ℝ*)
27 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
286a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 1 ∈ ℕ)
2910eleq2d 2823 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1)))))
3027, 28, 29eliind 43221 . . . . . . 7 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))))
3130adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))))
32 ioogtlb 43665 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1)))) → 𝐴 < 𝑥)
332, 26, 31, 32syl3anc 1371 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 < 𝑥)
34 nfv 1917 . . . . . . . 8 𝑛𝜑
35 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑛𝑥
36 nfii1 4987 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))
3735, 36nfel 2919 . . . . . . . 8 𝑛 𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))
3834, 37nfan 1902 . . . . . . 7 𝑛(𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
39 simpll 765 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
40 iinss2 5015 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4140adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
42 simpl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4341, 42sseldd 3943 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4443adantll 712 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
45 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
46 elioore 13286 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑥 ∈ ℝ)
4746adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
4847adantll 712 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
493adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
50 nnrecre 12191 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5150adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5249, 51readdcld 11180 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
5352adantlr 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
541adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5554adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5652rexrd 11201 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
5756adantlr 713 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
58 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
59 iooltub 43680 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6055, 57, 58, 59syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6148, 53, 60ltled 11299 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6239, 44, 45, 61syl21anc 836 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6362ex 413 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑛 ∈ ℕ → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
6438, 63ralrimi 3238 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6538, 19, 4xrralrecnnle 43553 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑥𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
6664, 65mpbird 256 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥𝐵)
672, 5, 19, 33, 66eliocd 43677 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
6867ralrimiva 3141 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
69 dfss3 3930 . . 3 ( 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴(,]𝐵) ↔ ∀𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
7068, 69sylibr 233 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴(,]𝐵))
711xrleidd 13063 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐴)
7271adantr 481 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴𝐴)
73 1rp 12911 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
7473a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
75 nnrp 12918 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
7674, 75rpdivcld 12966 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
7776adantl 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
7849, 77ltaddrpd 12982 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
79 iocssioo 13348 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8054, 56, 72, 78, 79syl22anc 837 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8180ralrimiva 3141 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
82 ssiin 5013 . . 3 ((𝐴(,]𝐵) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8381, 82sylibr 233 . 2 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8470, 83eqssd 3959 1 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  wss 3908   ciin 4953   class class class wbr 5103  (class class class)co 7353  cr 11046  0cc0 11047  1c1 11048   + caddc 11050  *cxr 11184   < clt 11185  cle 11186   / cdiv 11808  cn 12149  +crp 12907  (,)cioo 13256  (,]cioc 13257
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668  ax-cnex 11103  ax-resscn 11104  ax-1cn 11105  ax-icn 11106  ax-addcl 11107  ax-addrcl 11108  ax-mulcl 11109  ax-mulrcl 11110  ax-mulcom 11111  ax-addass 11112  ax-mulass 11113  ax-distr 11114  ax-i2m1 11115  ax-1ne0 11116  ax-1rid 11117  ax-rnegex 11118  ax-rrecex 11119  ax-cnre 11120  ax-pre-lttri 11121  ax-pre-lttrn 11122  ax-pre-ltadd 11123  ax-pre-mulgt0 11124  ax-pre-sup 11125
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7799  df-1st 7917  df-2nd 7918  df-frecs 8208  df-wrecs 8239  df-recs 8313  df-rdg 8352  df-er 8644  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9374  df-inf 9375  df-pnf 11187  df-mnf 11188  df-xr 11189  df-ltxr 11190  df-le 11191  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11809  df-nn 12150  df-n0 12410  df-z 12496  df-uz 12760  df-q 12866  df-rp 12908  df-ioo 13260  df-ioc 13261  df-fl 13689
This theorem is referenced by:  iocborel  44529
  Copyright terms: Public domain W3C validator