Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iooiinioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iooiinioc 44256
Description: A left-open, right-closed interval expressed as the indexed intersection of open intervals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
iooiinioc.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
iooiinioc.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
iooiinioc (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴(,]𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑛   𝐵,𝑛   𝜑,𝑛

Proof of Theorem iooiinioc
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooiinioc.1 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℝ*)
21adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 ∈ ℝ*)
3 iooiinioc.2 . . . . . . 7 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
43adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐵 ∈ ℝ)
54rexrd 11261 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 1nn 12220 . . . . . . . . . 10 1 ∈ ℕ
7 ioossre 13382 . . . . . . . . . 10 (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ
8 oveq2 7414 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑛 = 1 → (1 / 𝑛) = (1 / 1))
98oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 = 1 → (𝐵 + (1 / 𝑛)) = (𝐵 + (1 / 1)))
109oveq2d 7422 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 = 1 → (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))))
1110sseq1d 4013 . . . . . . . . . . 11 (𝑛 = 1 → ((𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ ↔ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ))
1211rspcev 3613 . . . . . . . . . 10 ((1 ∈ ℕ ∧ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))) ⊆ ℝ) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
136, 7, 12mp2an 691 . . . . . . . . 9 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ
14 iinss 5059 . . . . . . . . 9 (∃𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ → 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ
1615a1i 11 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ ℝ)
17 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
1816, 17sseldd 3983 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ)
1918rexrd 11261 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ ℝ*)
20 1red 11212 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
21 ax-1ne0 11176 . . . . . . . . . . 11 1 ≠ 0
2221a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → 1 ≠ 0)
2320, 20, 22redivcld 12039 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (1 / 1) ∈ ℝ)
243, 23readdcld 11240 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 1)) ∈ ℝ)
2524rexrd 11261 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐵 + (1 / 1)) ∈ ℝ*)
2625adantr 482 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐵 + (1 / 1)) ∈ ℝ*)
27 id 22 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
286a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 1 ∈ ℕ)
2910eleq2d 2820 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1)))))
3027, 28, 29eliind 43744 . . . . . . 7 (𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))))
3130adantl 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1))))
32 ioogtlb 44195 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 1)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 1)))) → 𝐴 < 𝑥)
332, 26, 31, 32syl3anc 1372 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝐴 < 𝑥)
34 nfv 1918 . . . . . . . 8 𝑛𝜑
35 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 𝑛𝑥
36 nfii1 5032 . . . . . . . . 9 𝑛 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))
3735, 36nfel 2918 . . . . . . . 8 𝑛 𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))
3834, 37nfan 1903 . . . . . . 7 𝑛(𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
39 simpll 766 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝜑)
40 iinss2 5060 . . . . . . . . . . . 12 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4140adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
42 simpl 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4341, 42sseldd 3983 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
4443adantll 713 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
45 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑛 ∈ ℕ)
46 elioore 13351 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) → 𝑥 ∈ ℝ)
4746adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
4847adantll 713 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ ℝ)
493adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 ∈ ℝ)
50 nnrecre 12251 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5150adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ)
5249, 51readdcld 11240 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
5352adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ)
541adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5554adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5652rexrd 11261 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
5756adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*)
58 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
59 iooltub 44210 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6055, 57, 58, 59syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6148, 53, 60ltled 11359 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥 ∈ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6239, 44, 45, 61syl21anc 837 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6362ex 414 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑛 ∈ ℕ → 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
6438, 63ralrimi 3255 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛)))
6538, 19, 4xrralrecnnle 44080 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝑥𝐵 ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ 𝑥 ≤ (𝐵 + (1 / 𝑛))))
6664, 65mpbird 257 . . . . 5 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥𝐵)
672, 5, 19, 33, 66eliocd 44207 . . . 4 ((𝜑𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))) → 𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
6867ralrimiva 3147 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
69 dfss3 3970 . . 3 ( 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴(,]𝐵) ↔ ∀𝑥 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛)))𝑥 ∈ (𝐴(,]𝐵))
7068, 69sylibr 233 . 2 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ⊆ (𝐴(,]𝐵))
711xrleidd 13128 . . . . . 6 (𝜑𝐴𝐴)
7271adantr 482 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐴𝐴)
73 1rp 12975 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ+
7473a1i 11 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 1 ∈ ℝ+)
75 nnrp 12982 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℝ+)
7674, 75rpdivcld 13030 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ ℕ → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
7776adantl 483 . . . . . 6 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (1 / 𝑛) ∈ ℝ+)
7849, 77ltaddrpd 13046 . . . . 5 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → 𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))
79 iocssioo 13413 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ* ∧ (𝐵 + (1 / 𝑛)) ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐵 < (𝐵 + (1 / 𝑛)))) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8054, 56, 72, 78, 79syl22anc 838 . . . 4 ((𝜑𝑛 ∈ ℕ) → (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8180ralrimiva 3147 . . 3 (𝜑 → ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
82 ssiin 5058 . . 3 ((𝐴(,]𝐵) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) ↔ ∀𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,]𝐵) ⊆ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8381, 82sylibr 233 . 2 (𝜑 → (𝐴(,]𝐵) ⊆ 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))))
8470, 83eqssd 3999 1 (𝜑 𝑛 ∈ ℕ (𝐴(,)(𝐵 + (1 / 𝑛))) = (𝐴(,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  wss 3948   ciin 4998   class class class wbr 5148  (class class class)co 7406  cr 11106  0cc0 11107  1c1 11108   + caddc 11110  *cxr 11244   < clt 11245  cle 11246   / cdiv 11868  cn 12209  +crp 12971  (,)cioo 13321  (,]cioc 13322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-q 12930  df-rp 12972  df-ioo 13325  df-ioc 13326  df-fl 13754
This theorem is referenced by:  iocborel  45059
  Copyright terms: Public domain W3C validator