Theorem eqfunfv 6675

Description: Equality of functions is determined by their values. (Contributed by Scott Fenton, 19-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
eqfunfv	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (dom 𝐹 = dom 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺

Proof of Theorem eqfunfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6258	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
2		funfn 6258	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺 Fn dom 𝐺)
3		eqfnfv2 6671	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐺 Fn dom 𝐺) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (dom 𝐹 = dom 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))))
4	1, 2, 3	syl2anb 597	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (dom 𝐹 = dom 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522  ∀wral 3104  dom cdm 5446  Fun wfun 6222   Fn wfn 6223  ‘cfv 6228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ral 3109  df-rex 3110  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-nul 4214  df-if 4384  df-sn 4475  df-pr 4477  df-op 4481  df-uni 4748  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-id 5351  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-fv 6236

This theorem is referenced by:  fveqressseq  6715  fnprb  6840  fntpb  6841  symgfixf1  18296  nosepon  32775  nolesgn2ores  32782  nosupres  32810  nosupbnd2lem1  32818  noetalem3  32822  comptiunov2i  39549