Theorem eqfunfv 7028

Description: Equality of functions is determined by their values. (Contributed by Scott Fenton, 19-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
eqfunfv	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (dom 𝐹 = dom 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺

Proof of Theorem eqfunfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfn 6563	. 2 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
2		funfn 6563	. 2 ⊢ (Fun 𝐺 ↔ 𝐺 Fn dom 𝐺)
3		eqfnfv2 7023	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ 𝐺 Fn dom 𝐺) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (dom 𝐹 = dom 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))))
4	1, 2, 3	syl2anb 610	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ Fun 𝐺) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (dom 𝐹 = dom 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∀wral 3076  dom cdm 5655  Fun wfun 6527   Fn wfn 6528  ‘cfv 6533

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pr 5398

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-fv 6541

This theorem is used by:  fveqressseq  7072  fnprb  7207  fntpb  7208  symgfixf1  19564  nosepon  27901  nolesgn2ores  27908  nogesgn1ores  27910  nosupres  27943  nosupbnd2lem1  27951  noinfres  27958  noinfbnd2lem1  27966  noetasuplem4  27972  noetainflem4  27976  comptiunov2i  44546