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Theorem nosupres 32172
Description: A restriction law for surreal supremum when there is no maximum. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
nosupres.1 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
Assertion
Ref Expression
nosupres ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → (𝑆 ↾ suc 𝐺) = (𝑈 ↾ suc 𝐺))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝑢,𝐺   𝑣,𝑔   𝑣,𝐺   𝑥,𝑔,𝑦   𝑦,𝐺   𝑢,𝑈,𝑣,𝑥   𝑦,𝑢   𝑥,𝑣,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑈(𝑦,𝑔)   𝐺(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem nosupres
Dummy variables 𝑎 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmres 5622 . . . 4 dom (𝑆 ↾ suc 𝐺) = (suc 𝐺 ∩ dom 𝑆)
2 nosupres.1 . . . . . . . . 9 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
32nosupno 32168 . . . . . . . 8 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V) → 𝑆 No )
433ad2ant2 1157 . . . . . . 7 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → 𝑆 No )
5 nodmord 32125 . . . . . . 7 (𝑆 No → Ord dom 𝑆)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → Ord dom 𝑆)
7 dmeq 5525 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = 𝑈 → dom 𝑝 = dom 𝑈)
87eleq2d 2871 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑈 → (𝐺 ∈ dom 𝑝𝐺 ∈ dom 𝑈))
9 breq2 4848 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑈 → (𝑣 <s 𝑝𝑣 <s 𝑈))
109notbid 309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑈 → (¬ 𝑣 <s 𝑝 ↔ ¬ 𝑣 <s 𝑈))
11 reseq1 5591 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑈 → (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑈 ↾ suc 𝐺))
1211eqeq1d 2808 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑈 → ((𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺) ↔ (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))
1310, 12imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = 𝑈 → ((¬ 𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)) ↔ (¬ 𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))))
1413ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑈 → (∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)) ↔ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))))
158, 14anbi12d 618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑈 → ((𝐺 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))) ↔ (𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))))
1615rspcev 3502 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈𝐴 ∧ (𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → ∃𝑝𝐴 (𝐺 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))))
17163impb 1136 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))) → ∃𝑝𝐴 (𝐺 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))))
18 dmeq 5525 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑝 → dom 𝑢 = dom 𝑝)
1918eleq2d 2871 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑝 → (𝐺 ∈ dom 𝑢𝐺 ∈ dom 𝑝))
20 breq2 4848 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑝 → (𝑣 <s 𝑢𝑣 <s 𝑝))
2120notbid 309 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑝 → (¬ 𝑣 <s 𝑢 ↔ ¬ 𝑣 <s 𝑝))
22 reseq1 5591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑝 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑝 ↾ suc 𝐺))
2322eqeq1d 2808 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑝 → ((𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺) ↔ (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))
2421, 23imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑝 → ((¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)) ↔ (¬ 𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))))
2524ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑝 → (∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)) ↔ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))))
2619, 25anbi12d 618 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑝 → ((𝐺 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))) ↔ (𝐺 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))))
2726cbvrexv 3361 . . . . . . . . . 10 (∃𝑢𝐴 (𝐺 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝐺 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))))
2817, 27sylibr 225 . . . . . . . . 9 ((𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))) → ∃𝑢𝐴 (𝐺 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))))
29 eleq1 2873 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐺 → (𝑦 ∈ dom 𝑢𝐺 ∈ dom 𝑢))
30 suceq 6002 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝐺 → suc 𝑦 = suc 𝐺)
3130reseq2d 5597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝐺 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑢 ↾ suc 𝐺))
3230reseq2d 5597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝐺 → (𝑣 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))
3331, 32eqeq12d 2821 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝐺 → ((𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦) ↔ (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))
3433imbi2d 331 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝐺 → ((¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)) ↔ (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))))
3534ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐺 → (∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)) ↔ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))))
3629, 35anbi12d 618 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐺 → ((𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦))) ↔ (𝐺 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))))
3736rexbidv 3240 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐺 → (∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦))) ↔ ∃𝑢𝐴 (𝐺 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))))
3837elabg 3546 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ dom 𝑈 → (𝐺 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↔ ∃𝑢𝐴 (𝐺 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))))
39383ad2ant2 1157 . . . . . . . . 9 ((𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))) → (𝐺 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↔ ∃𝑢𝐴 (𝐺 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))))
4028, 39mpbird 248 . . . . . . . 8 ((𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))) → 𝐺 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))})
41403ad2ant3 1158 . . . . . . 7 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → 𝐺 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))})
42 iffalse 4288 . . . . . . . . . . 11 (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2𝑜⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥)))) = (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
432, 42syl5eq 2852 . . . . . . . . . 10 (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦𝑆 = (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
4443dmeqd 5527 . . . . . . . . 9 (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → dom 𝑆 = dom (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
45 iotaex 6077 . . . . . . . . . 10 (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥)) ∈ V
46 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))) = (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥)))
4745, 46dmmpti 6230 . . . . . . . . 9 dom (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))) = {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))}
4844, 47syl6eq 2856 . . . . . . . 8 (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → dom 𝑆 = {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))})
49483ad2ant1 1156 . . . . . . 7 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → dom 𝑆 = {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))})
5041, 49eleqtrrd 2888 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → 𝐺 ∈ dom 𝑆)
51 ordsucss 7244 . . . . . 6 (Ord dom 𝑆 → (𝐺 ∈ dom 𝑆 → suc 𝐺 ⊆ dom 𝑆))
526, 50, 51sylc 65 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → suc 𝐺 ⊆ dom 𝑆)
53 df-ss 3783 . . . . 5 (suc 𝐺 ⊆ dom 𝑆 ↔ (suc 𝐺 ∩ dom 𝑆) = suc 𝐺)
5452, 53sylib 209 . . . 4 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → (suc 𝐺 ∩ dom 𝑆) = suc 𝐺)
551, 54syl5eq 2852 . . 3 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → dom (𝑆 ↾ suc 𝐺) = suc 𝐺)
56 dmres 5622 . . . 4 dom (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (suc 𝐺 ∩ dom 𝑈)
57 simp2l 1249 . . . . . . . 8 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → 𝐴 No )
58 simp31 1259 . . . . . . . 8 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → 𝑈𝐴)
5957, 58sseldd 3799 . . . . . . 7 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → 𝑈 No )
60 nodmord 32125 . . . . . . 7 (𝑈 No → Ord dom 𝑈)
6159, 60syl 17 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → Ord dom 𝑈)
62 simp32 1260 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → 𝐺 ∈ dom 𝑈)
63 ordsucss 7244 . . . . . 6 (Ord dom 𝑈 → (𝐺 ∈ dom 𝑈 → suc 𝐺 ⊆ dom 𝑈))
6461, 62, 63sylc 65 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → suc 𝐺 ⊆ dom 𝑈)
65 df-ss 3783 . . . . 5 (suc 𝐺 ⊆ dom 𝑈 ↔ (suc 𝐺 ∩ dom 𝑈) = suc 𝐺)
6664, 65sylib 209 . . . 4 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → (suc 𝐺 ∩ dom 𝑈) = suc 𝐺)
6756, 66syl5eq 2852 . . 3 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → dom (𝑈 ↾ suc 𝐺) = suc 𝐺)
6855, 67eqtr4d 2843 . 2 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → dom (𝑆 ↾ suc 𝐺) = dom (𝑈 ↾ suc 𝐺))
6955eleq2d 2871 . . . 4 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → (𝑎 ∈ dom (𝑆 ↾ suc 𝐺) ↔ 𝑎 ∈ suc 𝐺))
70 simpl1 1235 . . . . . . 7 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → ¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
71 simpl2 1237 . . . . . . 7 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → (𝐴 No 𝐴 ∈ V))
72 simpl31 1334 . . . . . . 7 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → 𝑈𝐴)
7364sselda 3798 . . . . . . 7 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → 𝑎 ∈ dom 𝑈)
74 nodmon 32122 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 No → dom 𝑈 ∈ On)
7559, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → dom 𝑈 ∈ On)
76 onelon 5961 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝑈 ∈ On ∧ 𝐺 ∈ dom 𝑈) → 𝐺 ∈ On)
7775, 62, 76syl2anc 575 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → 𝐺 ∈ On)
78 eloni 5946 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ On → Ord 𝐺)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → Ord 𝐺)
80 ordsuc 7240 . . . . . . . . . . 11 (Ord 𝐺 ↔ Ord suc 𝐺)
8179, 80sylib 209 . . . . . . . . . 10 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → Ord suc 𝐺)
82 ordsucss 7244 . . . . . . . . . 10 (Ord suc 𝐺 → (𝑎 ∈ suc 𝐺 → suc 𝑎 ⊆ suc 𝐺))
8381, 82syl 17 . . . . . . . . 9 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → (𝑎 ∈ suc 𝐺 → suc 𝑎 ⊆ suc 𝐺))
8483imp 395 . . . . . . . 8 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → suc 𝑎 ⊆ suc 𝐺)
85 simpl33 1338 . . . . . . . 8 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))
86 reseq1 5591 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺) → ((𝑈 ↾ suc 𝐺) ↾ suc 𝑎) = ((𝑣 ↾ suc 𝐺) ↾ suc 𝑎))
87 resabs1 5630 . . . . . . . . . . . 12 (suc 𝑎 ⊆ suc 𝐺 → ((𝑈 ↾ suc 𝐺) ↾ suc 𝑎) = (𝑈 ↾ suc 𝑎))
88 resabs1 5630 . . . . . . . . . . . 12 (suc 𝑎 ⊆ suc 𝐺 → ((𝑣 ↾ suc 𝐺) ↾ suc 𝑎) = (𝑣 ↾ suc 𝑎))
8987, 88eqeq12d 2821 . . . . . . . . . . 11 (suc 𝑎 ⊆ suc 𝐺 → (((𝑈 ↾ suc 𝐺) ↾ suc 𝑎) = ((𝑣 ↾ suc 𝐺) ↾ suc 𝑎) ↔ (𝑈 ↾ suc 𝑎) = (𝑣 ↾ suc 𝑎)))
9086, 89syl5ib 235 . . . . . . . . . 10 (suc 𝑎 ⊆ suc 𝐺 → ((𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺) → (𝑈 ↾ suc 𝑎) = (𝑣 ↾ suc 𝑎)))
9190imim2d 57 . . . . . . . . 9 (suc 𝑎 ⊆ suc 𝐺 → ((¬ 𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)) → (¬ 𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝑎) = (𝑣 ↾ suc 𝑎))))
9291ralimdv 3151 . . . . . . . 8 (suc 𝑎 ⊆ suc 𝐺 → (∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)) → ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝑎) = (𝑣 ↾ suc 𝑎))))
9384, 85, 92sylc 65 . . . . . . 7 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝑎) = (𝑣 ↾ suc 𝑎)))
942nosupfv 32171 . . . . . . 7 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝑎 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝑎) = (𝑣 ↾ suc 𝑎)))) → (𝑆𝑎) = (𝑈𝑎))
9570, 71, 72, 73, 93, 94syl113anc 1494 . . . . . 6 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → (𝑆𝑎) = (𝑈𝑎))
96 simpr 473 . . . . . . 7 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → 𝑎 ∈ suc 𝐺)
9796fvresd 6424 . . . . . 6 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → ((𝑆 ↾ suc 𝐺)‘𝑎) = (𝑆𝑎))
9896fvresd 6424 . . . . . 6 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → ((𝑈 ↾ suc 𝐺)‘𝑎) = (𝑈𝑎))
9995, 97, 983eqtr4d 2850 . . . . 5 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → ((𝑆 ↾ suc 𝐺)‘𝑎) = ((𝑈 ↾ suc 𝐺)‘𝑎))
10099ex 399 . . . 4 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → (𝑎 ∈ suc 𝐺 → ((𝑆 ↾ suc 𝐺)‘𝑎) = ((𝑈 ↾ suc 𝐺)‘𝑎)))
10169, 100sylbid 231 . . 3 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → (𝑎 ∈ dom (𝑆 ↾ suc 𝐺) → ((𝑆 ↾ suc 𝐺)‘𝑎) = ((𝑈 ↾ suc 𝐺)‘𝑎)))
102101ralrimiv 3153 . 2 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → ∀𝑎 ∈ dom (𝑆 ↾ suc 𝐺)((𝑆 ↾ suc 𝐺)‘𝑎) = ((𝑈 ↾ suc 𝐺)‘𝑎))
103 nofun 32121 . . . 4 (𝑆 No → Fun 𝑆)
104 funres 6139 . . . 4 (Fun 𝑆 → Fun (𝑆 ↾ suc 𝐺))
1054, 103, 1043syl 18 . . 3 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → Fun (𝑆 ↾ suc 𝐺))
106 nofun 32121 . . . 4 (𝑈 No → Fun 𝑈)
107 funres 6139 . . . 4 (Fun 𝑈 → Fun (𝑈 ↾ suc 𝐺))
10859, 106, 1073syl 18 . . 3 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → Fun (𝑈 ↾ suc 𝐺))
109 eqfunfv 6534 . . 3 ((Fun (𝑆 ↾ suc 𝐺) ∧ Fun (𝑈 ↾ suc 𝐺)) → ((𝑆 ↾ suc 𝐺) = (𝑈 ↾ suc 𝐺) ↔ (dom (𝑆 ↾ suc 𝐺) = dom (𝑈 ↾ suc 𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ dom (𝑆 ↾ suc 𝐺)((𝑆 ↾ suc 𝐺)‘𝑎) = ((𝑈 ↾ suc 𝐺)‘𝑎))))
110105, 108, 109syl2anc 575 . 2 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → ((𝑆 ↾ suc 𝐺) = (𝑈 ↾ suc 𝐺) ↔ (dom (𝑆 ↾ suc 𝐺) = dom (𝑈 ↾ suc 𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ dom (𝑆 ↾ suc 𝐺)((𝑆 ↾ suc 𝐺)‘𝑎) = ((𝑈 ↾ suc 𝐺)‘𝑎))))
11168, 102, 110mpbir2and 695 1 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → (𝑆 ↾ suc 𝐺) = (𝑈 ↾ suc 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2156  {cab 2792  wral 3096  wrex 3097  Vcvv 3391  cun 3767  cin 3768  wss 3769  ifcif 4279  {csn 4370  cop 4376   class class class wbr 4844  cmpt 4923  dom cdm 5311  cres 5313  Ord word 5935  Oncon0 5936  suc csuc 5938  cio 6058  Fun wfun 6091  cfv 6097  crio 6830  2𝑜c2o 7786   No csur 32112   <s cslt 32113
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7175
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-uni 4631  df-iun 4714  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-ord 5939  df-on 5940  df-suc 5942  df-iota 6060  df-fun 6099  df-fn 6100  df-f 6101  df-f1 6102  df-fo 6103  df-f1o 6104  df-fv 6105  df-riota 6831  df-1o 7792  df-2o 7793  df-no 32115  df-slt 32116  df-bday 32117
This theorem is referenced by:  nosupbnd1lem1  32173  nosupbnd2  32181
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