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Theorem nosupres 27639
Description: A restriction law for surreal supremum when there is no maximum. (Contributed by Scott Fenton, 5-Dec-2021.)
Hypothesis
Ref Expression
nosupres.1 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
Assertion
Ref Expression
nosupres ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → (𝑆 ↾ suc 𝐺) = (𝑈 ↾ suc 𝐺))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑔,𝑢,𝑣,𝑥,𝑦   𝑢,𝐺   𝑣,𝑔   𝑣,𝐺   𝑥,𝑔,𝑦   𝑦,𝐺   𝑢,𝑈,𝑣,𝑥   𝑦,𝑢   𝑥,𝑣,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑆(𝑥,𝑦,𝑣,𝑢,𝑔)   𝑈(𝑦,𝑔)   𝐺(𝑥,𝑔)

Proof of Theorem nosupres
Dummy variables 𝑎 𝑝 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmres 6007 . . . 4 dom (𝑆 ↾ suc 𝐺) = (suc 𝐺 ∩ dom 𝑆)
2 nosupres.1 . . . . . . . . 9 𝑆 = if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
32nosupno 27635 . . . . . . . 8 ((𝐴 No 𝐴 ∈ V) → 𝑆 No )
433ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → 𝑆 No )
5 nodmord 27585 . . . . . . 7 (𝑆 No → Ord dom 𝑆)
64, 5syl 17 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → Ord dom 𝑆)
7 dmeq 5906 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = 𝑈 → dom 𝑝 = dom 𝑈)
87eleq2d 2815 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑈 → (𝐺 ∈ dom 𝑝𝐺 ∈ dom 𝑈))
9 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑈 → (𝑣 <s 𝑝𝑣 <s 𝑈))
109notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑈 → (¬ 𝑣 <s 𝑝 ↔ ¬ 𝑣 <s 𝑈))
11 reseq1 5979 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑝 = 𝑈 → (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑈 ↾ suc 𝐺))
1211eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑝 = 𝑈 → ((𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺) ↔ (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))
1310, 12imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑝 = 𝑈 → ((¬ 𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)) ↔ (¬ 𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))))
1413ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑝 = 𝑈 → (∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)) ↔ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))))
158, 14anbi12d 631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑝 = 𝑈 → ((𝐺 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))) ↔ (𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))))
1615rspcev 3609 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈𝐴 ∧ (𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → ∃𝑝𝐴 (𝐺 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))))
17163impb 1113 . . . . . . . . . 10 ((𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))) → ∃𝑝𝐴 (𝐺 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))))
18 dmeq 5906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑝 → dom 𝑢 = dom 𝑝)
1918eleq2d 2815 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑝 → (𝐺 ∈ dom 𝑢𝐺 ∈ dom 𝑝))
20 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑝 → (𝑣 <s 𝑢𝑣 <s 𝑝))
2120notbid 318 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑝 → (¬ 𝑣 <s 𝑢 ↔ ¬ 𝑣 <s 𝑝))
22 reseq1 5979 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = 𝑝 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑝 ↾ suc 𝐺))
2322eqeq1d 2730 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = 𝑝 → ((𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺) ↔ (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))
2421, 23imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = 𝑝 → ((¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)) ↔ (¬ 𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))))
2524ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = 𝑝 → (∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)) ↔ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))))
2619, 25anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 (𝑢 = 𝑝 → ((𝐺 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))) ↔ (𝐺 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))))
2726cbvrexvw 3232 . . . . . . . . . 10 (∃𝑢𝐴 (𝐺 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))) ↔ ∃𝑝𝐴 (𝐺 ∈ dom 𝑝 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑝 → (𝑝 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))))
2817, 27sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))) → ∃𝑢𝐴 (𝐺 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))))
29 eleq1 2817 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐺 → (𝑦 ∈ dom 𝑢𝐺 ∈ dom 𝑢))
30 suceq 6435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝐺 → suc 𝑦 = suc 𝐺)
3130reseq2d 5985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝐺 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑢 ↾ suc 𝐺))
3230reseq2d 5985 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝐺 → (𝑣 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))
3331, 32eqeq12d 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝐺 → ((𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦) ↔ (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))
3433imbi2d 340 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝐺 → ((¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)) ↔ (¬ 𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))))
3534ralbidv 3174 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝐺 → (∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)) ↔ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))))
3629, 35anbi12d 631 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝐺 → ((𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦))) ↔ (𝐺 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))))
3736rexbidv 3175 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐺 → (∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦))) ↔ ∃𝑢𝐴 (𝐺 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))))
3837elabg 3665 . . . . . . . . . 10 (𝐺 ∈ dom 𝑈 → (𝐺 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↔ ∃𝑢𝐴 (𝐺 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))))
39383ad2ant2 1132 . . . . . . . . 9 ((𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))) → (𝐺 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↔ ∃𝑢𝐴 (𝐺 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))))
4028, 39mpbird 257 . . . . . . . 8 ((𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺))) → 𝐺 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))})
41403ad2ant3 1133 . . . . . . 7 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → 𝐺 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))})
42 iffalse 4538 . . . . . . . . . . 11 (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → if(∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦, ((𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦) ∪ {⟨dom (𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦), 2o⟩}), (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥)))) = (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
432, 42eqtrid 2780 . . . . . . . . . 10 (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦𝑆 = (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
4443dmeqd 5908 . . . . . . . . 9 (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → dom 𝑆 = dom (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))))
45 iotaex 6521 . . . . . . . . . 10 (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥)) ∈ V
46 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))) = (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥)))
4745, 46dmmpti 6699 . . . . . . . . 9 dom (𝑔 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))} ↦ (℩𝑥𝑢𝐴 (𝑔 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑔) = (𝑣 ↾ suc 𝑔)) ∧ (𝑢𝑔) = 𝑥))) = {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))}
4844, 47eqtrdi 2784 . . . . . . . 8 (¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 → dom 𝑆 = {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))})
49483ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → dom 𝑆 = {𝑦 ∣ ∃𝑢𝐴 (𝑦 ∈ dom 𝑢 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑢 → (𝑢 ↾ suc 𝑦) = (𝑣 ↾ suc 𝑦)))})
5041, 49eleqtrrd 2832 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → 𝐺 ∈ dom 𝑆)
51 ordsucss 7821 . . . . . 6 (Ord dom 𝑆 → (𝐺 ∈ dom 𝑆 → suc 𝐺 ⊆ dom 𝑆))
526, 50, 51sylc 65 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → suc 𝐺 ⊆ dom 𝑆)
53 df-ss 3964 . . . . 5 (suc 𝐺 ⊆ dom 𝑆 ↔ (suc 𝐺 ∩ dom 𝑆) = suc 𝐺)
5452, 53sylib 217 . . . 4 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → (suc 𝐺 ∩ dom 𝑆) = suc 𝐺)
551, 54eqtrid 2780 . . 3 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → dom (𝑆 ↾ suc 𝐺) = suc 𝐺)
56 dmres 6007 . . . 4 dom (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (suc 𝐺 ∩ dom 𝑈)
57 simp2l 1197 . . . . . . . 8 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → 𝐴 No )
58 simp31 1207 . . . . . . . 8 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → 𝑈𝐴)
5957, 58sseldd 3981 . . . . . . 7 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → 𝑈 No )
60 nodmord 27585 . . . . . . 7 (𝑈 No → Ord dom 𝑈)
6159, 60syl 17 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → Ord dom 𝑈)
62 simp32 1208 . . . . . 6 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → 𝐺 ∈ dom 𝑈)
63 ordsucss 7821 . . . . . 6 (Ord dom 𝑈 → (𝐺 ∈ dom 𝑈 → suc 𝐺 ⊆ dom 𝑈))
6461, 62, 63sylc 65 . . . . 5 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → suc 𝐺 ⊆ dom 𝑈)
65 df-ss 3964 . . . . 5 (suc 𝐺 ⊆ dom 𝑈 ↔ (suc 𝐺 ∩ dom 𝑈) = suc 𝐺)
6664, 65sylib 217 . . . 4 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → (suc 𝐺 ∩ dom 𝑈) = suc 𝐺)
6756, 66eqtrid 2780 . . 3 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → dom (𝑈 ↾ suc 𝐺) = suc 𝐺)
6855, 67eqtr4d 2771 . 2 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → dom (𝑆 ↾ suc 𝐺) = dom (𝑈 ↾ suc 𝐺))
6955eleq2d 2815 . . . 4 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → (𝑎 ∈ dom (𝑆 ↾ suc 𝐺) ↔ 𝑎 ∈ suc 𝐺))
70 simpl1 1189 . . . . . . 7 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → ¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦)
71 simpl2 1190 . . . . . . 7 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → (𝐴 No 𝐴 ∈ V))
72 simpl31 1252 . . . . . . 7 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → 𝑈𝐴)
7364sselda 3980 . . . . . . 7 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → 𝑎 ∈ dom 𝑈)
74 nodmon 27582 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 No → dom 𝑈 ∈ On)
7559, 74syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → dom 𝑈 ∈ On)
76 onelon 6394 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝑈 ∈ On ∧ 𝐺 ∈ dom 𝑈) → 𝐺 ∈ On)
7775, 62, 76syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → 𝐺 ∈ On)
78 eloni 6379 . . . . . . . . . . . 12 (𝐺 ∈ On → Ord 𝐺)
7977, 78syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → Ord 𝐺)
80 ordsuc 7816 . . . . . . . . . . 11 (Ord 𝐺 ↔ Ord suc 𝐺)
8179, 80sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → Ord suc 𝐺)
82 ordsucss 7821 . . . . . . . . . 10 (Ord suc 𝐺 → (𝑎 ∈ suc 𝐺 → suc 𝑎 ⊆ suc 𝐺))
8381, 82syl 17 . . . . . . . . 9 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → (𝑎 ∈ suc 𝐺 → suc 𝑎 ⊆ suc 𝐺))
8483imp 406 . . . . . . . 8 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → suc 𝑎 ⊆ suc 𝐺)
85 simpl33 1254 . . . . . . . 8 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))
86 reseq1 5979 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺) → ((𝑈 ↾ suc 𝐺) ↾ suc 𝑎) = ((𝑣 ↾ suc 𝐺) ↾ suc 𝑎))
87 resabs1 6015 . . . . . . . . . . . 12 (suc 𝑎 ⊆ suc 𝐺 → ((𝑈 ↾ suc 𝐺) ↾ suc 𝑎) = (𝑈 ↾ suc 𝑎))
88 resabs1 6015 . . . . . . . . . . . 12 (suc 𝑎 ⊆ suc 𝐺 → ((𝑣 ↾ suc 𝐺) ↾ suc 𝑎) = (𝑣 ↾ suc 𝑎))
8987, 88eqeq12d 2744 . . . . . . . . . . 11 (suc 𝑎 ⊆ suc 𝐺 → (((𝑈 ↾ suc 𝐺) ↾ suc 𝑎) = ((𝑣 ↾ suc 𝐺) ↾ suc 𝑎) ↔ (𝑈 ↾ suc 𝑎) = (𝑣 ↾ suc 𝑎)))
9086, 89imbitrid 243 . . . . . . . . . 10 (suc 𝑎 ⊆ suc 𝐺 → ((𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺) → (𝑈 ↾ suc 𝑎) = (𝑣 ↾ suc 𝑎)))
9190imim2d 57 . . . . . . . . 9 (suc 𝑎 ⊆ suc 𝐺 → ((¬ 𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)) → (¬ 𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝑎) = (𝑣 ↾ suc 𝑎))))
9291ralimdv 3166 . . . . . . . 8 (suc 𝑎 ⊆ suc 𝐺 → (∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)) → ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝑎) = (𝑣 ↾ suc 𝑎))))
9384, 85, 92sylc 65 . . . . . . 7 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝑎) = (𝑣 ↾ suc 𝑎)))
942nosupfv 27638 . . . . . . 7 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝑎 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝑎) = (𝑣 ↾ suc 𝑎)))) → (𝑆𝑎) = (𝑈𝑎))
9570, 71, 72, 73, 93, 94syl113anc 1380 . . . . . 6 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → (𝑆𝑎) = (𝑈𝑎))
96 simpr 484 . . . . . . 7 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → 𝑎 ∈ suc 𝐺)
9796fvresd 6917 . . . . . 6 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → ((𝑆 ↾ suc 𝐺)‘𝑎) = (𝑆𝑎))
9896fvresd 6917 . . . . . 6 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → ((𝑈 ↾ suc 𝐺)‘𝑎) = (𝑈𝑎))
9995, 97, 983eqtr4d 2778 . . . . 5 (((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) ∧ 𝑎 ∈ suc 𝐺) → ((𝑆 ↾ suc 𝐺)‘𝑎) = ((𝑈 ↾ suc 𝐺)‘𝑎))
10099ex 412 . . . 4 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → (𝑎 ∈ suc 𝐺 → ((𝑆 ↾ suc 𝐺)‘𝑎) = ((𝑈 ↾ suc 𝐺)‘𝑎)))
10169, 100sylbid 239 . . 3 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → (𝑎 ∈ dom (𝑆 ↾ suc 𝐺) → ((𝑆 ↾ suc 𝐺)‘𝑎) = ((𝑈 ↾ suc 𝐺)‘𝑎)))
102101ralrimiv 3142 . 2 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → ∀𝑎 ∈ dom (𝑆 ↾ suc 𝐺)((𝑆 ↾ suc 𝐺)‘𝑎) = ((𝑈 ↾ suc 𝐺)‘𝑎))
103 nofun 27581 . . . 4 (𝑆 No → Fun 𝑆)
104 funres 6595 . . . 4 (Fun 𝑆 → Fun (𝑆 ↾ suc 𝐺))
1054, 103, 1043syl 18 . . 3 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → Fun (𝑆 ↾ suc 𝐺))
106 nofun 27581 . . . 4 (𝑈 No → Fun 𝑈)
107 funres 6595 . . . 4 (Fun 𝑈 → Fun (𝑈 ↾ suc 𝐺))
10859, 106, 1073syl 18 . . 3 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → Fun (𝑈 ↾ suc 𝐺))
109 eqfunfv 7045 . . 3 ((Fun (𝑆 ↾ suc 𝐺) ∧ Fun (𝑈 ↾ suc 𝐺)) → ((𝑆 ↾ suc 𝐺) = (𝑈 ↾ suc 𝐺) ↔ (dom (𝑆 ↾ suc 𝐺) = dom (𝑈 ↾ suc 𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ dom (𝑆 ↾ suc 𝐺)((𝑆 ↾ suc 𝐺)‘𝑎) = ((𝑈 ↾ suc 𝐺)‘𝑎))))
110105, 108, 109syl2anc 583 . 2 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → ((𝑆 ↾ suc 𝐺) = (𝑈 ↾ suc 𝐺) ↔ (dom (𝑆 ↾ suc 𝐺) = dom (𝑈 ↾ suc 𝐺) ∧ ∀𝑎 ∈ dom (𝑆 ↾ suc 𝐺)((𝑆 ↾ suc 𝐺)‘𝑎) = ((𝑈 ↾ suc 𝐺)‘𝑎))))
11168, 102, 110mpbir2and 712 1 ((¬ ∃𝑥𝐴𝑦𝐴 ¬ 𝑥 <s 𝑦 ∧ (𝐴 No 𝐴 ∈ V) ∧ (𝑈𝐴𝐺 ∈ dom 𝑈 ∧ ∀𝑣𝐴𝑣 <s 𝑈 → (𝑈 ↾ suc 𝐺) = (𝑣 ↾ suc 𝐺)))) → (𝑆 ↾ suc 𝐺) = (𝑈 ↾ suc 𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  {cab 2705  wral 3058  wrex 3067  Vcvv 3471  cun 3945  cin 3946  wss 3947  ifcif 4529  {csn 4629  cop 4635   class class class wbr 5148  cmpt 5231  dom cdm 5678  cres 5680  Ord word 6368  Oncon0 6369  suc csuc 6371  cio 6498  Fun wfun 6542  cfv 6548  crio 7375  2oc2o 8480   No csur 27572   <s cslt 27573
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-ord 6372  df-on 6373  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-1o 8486  df-2o 8487  df-no 27575  df-slt 27576  df-bday 27577
This theorem is referenced by:  nosupbnd1lem1  27640  nosupbnd2  27648
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