Theorem fconst2 7182

Description: A constant function expressed as a Cartesian product. (Contributed by NM, 20-Aug-1999.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvconst2.1	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fconst2	⊢ (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = (𝐴 × {𝐵}))

Proof of Theorem fconst2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvconst2.1	. 2 ⊢ 𝐵 ∈ V
2		fconst2g 7180	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ V → (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = (𝐴 × {𝐵})))
3	1, 2	ax-mp 5	1 ⊢ (𝐹:𝐴⟶{𝐵} ↔ 𝐹 = (𝐴 × {𝐵}))

Syntax hints:   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450  {csn 4592   × cxp 5639  ⟶wf 6510

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-fv 6522

This theorem is referenced by:  imadrhmcl  20713  rrxcph  25299  dvcmul  25854  plyeq0  26123  lnon0  30734  hsn0elch  31184  df0op2  31688  nmop0h  31927  xrge0mulc1cn  33938  matunitlindflem1  37617  poimirlem9  37630  poimir  37654  lfl1  39070  lkr0f  39094  lindsrng01  48461  functermc  49501