Theorem nmop0h 31794

Description: The norm of any operator on the trivial Hilbert space is zero. (This is the reason we need ℋ ≠ 0_ℋ in nmopun 31817.) (Contributed by NM, 24-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmop0h	⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (normop‘𝑇) = 0)

Proof of Theorem nmop0h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ch0 31056	. . . . . . 7 ⊢ 0ℋ = {0ℎ}
2	1	eqeq2i 2740	. . . . . 6 ⊢ ( ℋ = 0ℋ ↔ ℋ = {0ℎ})
3		feq3 6699	. . . . . 6 ⊢ ( ℋ = {0ℎ} → (𝑇: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑇: ℋ⟶{0ℎ}))
4	2, 3	sylbi 216	. . . . 5 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (𝑇: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑇: ℋ⟶{0ℎ}))
5		ax-hv0cl 30806	. . . . . . . 8 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
6	5	elexi 3489	. . . . . . 7 ⊢ 0ℎ ∈ V
7	6	fconst2 7211	. . . . . 6 ⊢ (𝑇: ℋ⟶{0ℎ} ↔ 𝑇 = ( ℋ × {0ℎ}))
8		df0op2 31555	. . . . . . . 8 ⊢ 0hop = ( ℋ × 0ℋ)
9	1	xpeq2i 5699	. . . . . . . 8 ⊢ ( ℋ × 0ℋ) = ( ℋ × {0ℎ})
10	8, 9	eqtri 2755	. . . . . . 7 ⊢ 0hop = ( ℋ × {0ℎ})
11	10	eqeq2i 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = 0hop ↔ 𝑇 = ( ℋ × {0ℎ}))
12	7, 11	bitr4i 278	. . . . 5 ⊢ (𝑇: ℋ⟶{0ℎ} ↔ 𝑇 = 0hop )
13	4, 12	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (𝑇: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑇 = 0hop ))
14	13	biimpa 476	. . 3 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → 𝑇 = 0hop )
15	14	fveq2d 6895	. 2 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (normop‘𝑇) = (normop‘ 0hop ))
16		nmop0 31789	. 2 ⊢ (normop‘ 0hop ) = 0
17	15, 16	eqtrdi 2783	1 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (normop‘𝑇) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534  {csn 4624   × cxp 5670  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  0cc0 11132   ℋchba 30722  0_ℎc0v 30727  0_ℋc0h 30738   0_hop ch0o 30746  norm_opcnop 30748

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-inf2 9658  ax-cc 10452  ax-cnex 11188  ax-resscn 11189  ax-1cn 11190  ax-icn 11191  ax-addcl 11192  ax-addrcl 11193  ax-mulcl 11194  ax-mulrcl 11195  ax-mulcom 11196  ax-addass 11197  ax-mulass 11198  ax-distr 11199  ax-i2m1 11200  ax-1ne0 11201  ax-1rid 11202  ax-rnegex 11203  ax-rrecex 11204  ax-cnre 11205  ax-pre-lttri 11206  ax-pre-lttrn 11207  ax-pre-ltadd 11208  ax-pre-mulgt0 11209  ax-pre-sup 11210  ax-addf 11211  ax-mulf 11212  ax-hilex 30802  ax-hfvadd 30803  ax-hvcom 30804  ax-hvass 30805  ax-hv0cl 30806  ax-hvaddid 30807  ax-hfvmul 30808  ax-hvmulid 30809  ax-hvmulass 30810  ax-hvdistr1 30811  ax-hvdistr2 30812  ax-hvmul0 30813  ax-hfi 30882  ax-his1 30885  ax-his2 30886  ax-his3 30887  ax-his4 30888  ax-hcompl 31005

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-oadd 8484  df-omul 8485  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9380  df-fi 9428  df-sup 9459  df-inf 9460  df-oi 9527  df-card 9956  df-acn 9959  df-pnf 11274  df-mnf 11275  df-xr 11276  df-ltxr 11277  df-le 11278  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11896  df-nn 12237  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12497  df-z 12583  df-dec 12702  df-uz 12847  df-q 12957  df-rp 13001  df-xneg 13118  df-xadd 13119  df-xmul 13120  df-ioo 13354  df-ico 13356  df-icc 13357  df-fz 13511  df-fzo 13654  df-fl 13783  df-seq 13993  df-exp 14053  df-hash 14316  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15458  df-rlim 15459  df-sum 15659  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17174  df-ress 17203  df-plusg 17239  df-mulr 17240  df-starv 17241  df-sca 17242  df-vsca 17243  df-ip 17244  df-tset 17245  df-ple 17246  df-ds 17248  df-unif 17249  df-hom 17250  df-cco 17251  df-rest 17397  df-topn 17398  df-0g 17416  df-gsum 17417  df-topgen 17418  df-pt 17419  df-prds 17422  df-xrs 17477  df-qtop 17482  df-imas 17483  df-xps 17485  df-mre 17559  df-mrc 17560  df-acs 17562  df-mgm 18593  df-sgrp 18672  df-mnd 18688  df-submnd 18734  df-mulg 19017  df-cntz 19261  df-cmn 19730  df-psmet 21264  df-xmet 21265  df-met 21266  df-bl 21267  df-mopn 21268  df-fbas 21269  df-fg 21270  df-cnfld 21273  df-top 22789  df-topon 22806  df-topsp 22828  df-bases 22842  df-cld 22916  df-ntr 22917  df-cls 22918  df-nei 22995  df-cn 23124  df-cnp 23125  df-lm 23126  df-haus 23212  df-tx 23459  df-hmeo 23652  df-fil 23743  df-fm 23835  df-flim 23836  df-flf 23837  df-xms 24219  df-ms 24220  df-tms 24221  df-cfil 25176  df-cau 25177  df-cmet 25178  df-grpo 30296  df-gid 30297  df-ginv 30298  df-gdiv 30299  df-ablo 30348  df-vc 30362  df-nv 30395  df-va 30398  df-ba 30399  df-sm 30400  df-0v 30401  df-vs 30402  df-nmcv 30403  df-ims 30404  df-dip 30504  df-ssp 30525  df-ph 30616  df-cbn 30666  df-hnorm 30771  df-hba 30772  df-hvsub 30774  df-hlim 30775  df-hcau 30776  df-sh 31010  df-ch 31024  df-oc 31055  df-ch0 31056  df-shs 31111  df-pjh 31198  df-h0op 31551  df-nmop 31642

This theorem is referenced by:  unopbd  31818  unierri  31907