Theorem nmop0h 32620

Description: The norm of any operator on the trivial Hilbert space is zero. (This is the reason we need ℋ ≠ 0_ℋ in nmopun 32643.) (Contributed by NM, 24-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
nmop0h	⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (normop‘𝑇) = 0)

Proof of Theorem nmop0h

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ch0 31882	. . . . . . 7 ⊢ 0ℋ = {0ℎ}
2	1	eqeq2i 2776	. . . . . 6 ⊢ ( ℋ = 0ℋ ↔ ℋ = {0ℎ})
3		feq3 6708	. . . . . 6 ⊢ ( ℋ = {0ℎ} → (𝑇: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑇: ℋ⟶{0ℎ}))
4	2, 3	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (𝑇: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑇: ℋ⟶{0ℎ}))
5		ax-hv0cl 31632	. . . . . . . 8 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
6	5	elexi 3476	. . . . . . 7 ⊢ 0ℎ ∈ V
7	6	fconst2 7231	. . . . . 6 ⊢ (𝑇: ℋ⟶{0ℎ} ↔ 𝑇 = ( ℋ × {0ℎ}))
8		df0op2 32381	. . . . . . . 8 ⊢ 0hop = ( ℋ × 0ℋ)
9	1	xpeq2i 5682	. . . . . . . 8 ⊢ ( ℋ × 0ℋ) = ( ℋ × {0ℎ})
10	8, 9	eqtri 2786	. . . . . . 7 ⊢ 0hop = ( ℋ × {0ℎ})
11	10	eqeq2i 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝑇 = 0hop ↔ 𝑇 = ( ℋ × {0ℎ}))
12	7, 11	bitr4i 281	. . . . 5 ⊢ (𝑇: ℋ⟶{0ℎ} ↔ 𝑇 = 0hop )
13	4, 12	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ( ℋ = 0ℋ → (𝑇: ℋ⟶ ℋ ↔ 𝑇 = 0hop ))
14	13	biimpa 482	. . 3 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → 𝑇 = 0hop )
15	14	fveq2d 6909	. 2 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (normop‘𝑇) = (normop‘ 0hop ))
16		nmop0 32615	. 2 ⊢ (normop‘ 0hop ) = 0
17	15, 16	eqtrdi 2814	1 ⊢ (( ℋ = 0ℋ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ) → (normop‘𝑇) = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  {csn 4588   × cxp 5653  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  0cc0 11224   ℋchba 31548  0_ℎc0v 31553  0_ℋc0h 31564   0_hop ch0o 31572  norm_opcnop 31574

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cc 10537  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303  ax-mulf 11304  ax-hilex 31628  ax-hfvadd 31629  ax-hvcom 31630  ax-hvass 31631  ax-hv0cl 31632  ax-hvaddid 31633  ax-hfvmul 31634  ax-hvmulid 31635  ax-hvmulass 31636  ax-hvdistr1 31637  ax-hvdistr2 31638  ax-hvmul0 31639  ax-hfi 31708  ax-his1 31711  ax-his2 31712  ax-his3 31713  ax-his4 31714  ax-hcompl 31831

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-oadd 8505  df-omul 8506  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-acn 10047  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-ioo 13504  df-ico 13506  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-fl 13956  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-rlim 15682  df-sum 15880  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-pt 17641  df-prds 17644  df-xrs 17700  df-qtop 17705  df-imas 17706  df-xps 17708  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-mulg 19304  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cld 23364  df-ntr 23365  df-cls 23366  df-nei 23443  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-lm 23574  df-haus 23660  df-tx 23908  df-hmeo 24101  df-fil 24192  df-fm 24284  df-flim 24285  df-flf 24286  df-xms 24666  df-ms 24667  df-tms 24668  df-cfil 25603  df-cau 25604  df-cmet 25605  df-grpo 31122  df-gid 31123  df-ginv 31124  df-gdiv 31125  df-ablo 31174  df-vc 31188  df-nv 31221  df-va 31224  df-ba 31225  df-sm 31226  df-0v 31227  df-vs 31228  df-nmcv 31229  df-ims 31230  df-dip 31330  df-ssp 31351  df-ph 31442  df-cbn 31492  df-hnorm 31597  df-hba 31598  df-hvsub 31600  df-hlim 31601  df-hcau 31602  df-sh 31836  df-ch 31850  df-oc 31881  df-ch0 31882  df-shs 31937  df-pjh 32024  df-h0op 32377  df-nmop 32468

This theorem is used by:  unopbd  32644  unierri  32733