Theorem lnon0 30727

Description: The domain of a nonzero linear operator contains a nonzero vector. (Contributed by NM, 15-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnon0.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnon0.6	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
lnon0.0	⊢ 𝑂 = (𝑈 0op 𝑊)
lnon0.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lnon0	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ≠ 𝑂) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lnon0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralnex 3055	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ 𝑥 ≠ 𝑍 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍)
2		nne 2929	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ≠ 𝑍 ↔ 𝑥 = 𝑍)
3	2	ralbii 3075	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ 𝑥 ≠ 𝑍 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍)
4	1, 3	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍)
5		fveq2 6858	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝑍))
6		lnon0.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
8		lnon0.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
9		eqid 2729	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
10		lnon0.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
11	6, 7, 8, 9, 10	lno0 30685	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘𝑍) = (0vec‘𝑊))
12	5, 11	sylan9eqr 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ 𝑥 = 𝑍) → (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊))
13	12	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑥 = 𝑍 → (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊)))
14	13	ralimdv 3147	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊)))
15	6, 7, 10	lnof 30684	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
16	15	ffnd 6689	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇 Fn 𝑋)
17	14, 16	jctild 525	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍 → (𝑇 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊))))
18		fconstfv 7186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇:𝑋⟶{(0vec‘𝑊)} ↔ (𝑇 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊)))
19		fvex 6871	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ V
20	19	fconst2 7179	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇:𝑋⟶{(0vec‘𝑊)} ↔ 𝑇 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}))
21	18, 20	bitr3i 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊)) ↔ 𝑇 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}))
22	17, 21	imbitrdi 251	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍 → 𝑇 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)})))
23		lnon0.0	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑈 0op 𝑊)
24	6, 9, 23	0ofval 30716	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑂 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}))
25	24	3adant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑂 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}))
26	25	eqeq2d 2740	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇 = 𝑂 ↔ 𝑇 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)})))
27	22, 26	sylibrd 259	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍 → 𝑇 = 𝑂))
28	4, 27	biimtrid 242	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (¬ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍 → 𝑇 = 𝑂))
29	28	necon1ad 2942	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇 ≠ 𝑂 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍))
30	29	imp 406	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ≠ 𝑂) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053  {csn 4589   × cxp 5636   Fn wfn 6506  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  NrmCVeccnv 30513  BaseSetcba 30515  0_veccn0v 30517   LnOp clno 30669   0_op c0o 30672

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-neg 11408  df-grpo 30422  df-gid 30423  df-ginv 30424  df-ablo 30474  df-vc 30488  df-nv 30521  df-va 30524  df-ba 30525  df-sm 30526  df-0v 30527  df-nmcv 30529  df-lno 30673  df-0o 30676

This theorem is referenced by: (None)