Theorem lnon0 30869

Description: The domain of a nonzero linear operator contains a nonzero vector. (Contributed by NM, 15-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnon0.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnon0.6	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
lnon0.0	⊢ 𝑂 = (𝑈 0op 𝑊)
lnon0.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lnon0	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ≠ 𝑂) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lnon0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralnex 3063	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ 𝑥 ≠ 𝑍 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍)
2		nne 2936	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ≠ 𝑍 ↔ 𝑥 = 𝑍)
3	2	ralbii 3083	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ 𝑥 ≠ 𝑍 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍)
4	1, 3	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍)
5		fveq2 6840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝑍))
6		lnon0.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
8		lnon0.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
9		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
10		lnon0.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
11	6, 7, 8, 9, 10	lno0 30827	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘𝑍) = (0vec‘𝑊))
12	5, 11	sylan9eqr 2793	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ 𝑥 = 𝑍) → (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊))
13	12	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑥 = 𝑍 → (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊)))
14	13	ralimdv 3151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊)))
15	6, 7, 10	lnof 30826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
16	15	ffnd 6669	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇 Fn 𝑋)
17	14, 16	jctild 525	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍 → (𝑇 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊))))
18		fconstfv 7167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇:𝑋⟶{(0vec‘𝑊)} ↔ (𝑇 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊)))
19		fvex 6853	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ V
20	19	fconst2 7160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇:𝑋⟶{(0vec‘𝑊)} ↔ 𝑇 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}))
21	18, 20	bitr3i 277	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊)) ↔ 𝑇 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}))
22	17, 21	imbitrdi 251	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍 → 𝑇 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)})))
23		lnon0.0	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑈 0op 𝑊)
24	6, 9, 23	0ofval 30858	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑂 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}))
25	24	3adant3 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑂 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}))
26	25	eqeq2d 2747	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇 = 𝑂 ↔ 𝑇 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)})))
27	22, 26	sylibrd 259	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍 → 𝑇 = 𝑂))
28	4, 27	biimtrid 242	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (¬ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍 → 𝑇 = 𝑂))
29	28	necon1ad 2949	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇 ≠ 𝑂 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍))
30	29	imp 406	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ≠ 𝑂) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3061  {csn 4567   × cxp 5629   Fn wfn 6493  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  NrmCVeccnv 30655  BaseSetcba 30657  0_veccn0v 30659   LnOp clno 30811   0_op c0o 30814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-neg 11380  df-grpo 30564  df-gid 30565  df-ginv 30566  df-ablo 30616  df-vc 30630  df-nv 30663  df-va 30666  df-ba 30667  df-sm 30668  df-0v 30669  df-nmcv 30671  df-lno 30815  df-0o 30818

This theorem is referenced by: (None)