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Theorem lnon0 30306
Description: The domain of a nonzero linear operator contains a nonzero vector. (Contributed by NM, 15-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnon0.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
lnon0.6 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
lnon0.0 𝑂 = (π‘ˆ 0op π‘Š)
lnon0.7 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lnon0 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 β‰  𝑂) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 π‘₯ β‰  𝑍)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑇   π‘₯,π‘ˆ   π‘₯,π‘Š   π‘₯,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑂(π‘₯)   𝑍(π‘₯)
Proof of Theorem lnon0
StepHypRef Expression
1 ralnex 3072 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 Β¬ π‘₯ β‰  𝑍 ↔ Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 π‘₯ β‰  𝑍)
2 nne 2944 . . . . . 6 (Β¬ π‘₯ β‰  𝑍 ↔ π‘₯ = 𝑍)
32ralbii 3093 . . . . 5 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 Β¬ π‘₯ β‰  𝑍 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘₯ = 𝑍)
41, 3bitr3i 276 . . . 4 (Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 π‘₯ β‰  𝑍 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘₯ = 𝑍)
5 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑍 β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = (π‘‡β€˜π‘))
6 lnon0.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
7 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
8 lnon0.6 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (0vecβ€˜π‘ˆ)
9 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (0vecβ€˜π‘Š) = (0vecβ€˜π‘Š)
10 lnon0.7 . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
116, 7, 8, 9, 10lno0 30264 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (π‘‡β€˜π‘) = (0vecβ€˜π‘Š))
125, 11sylan9eqr 2794 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ π‘₯ = 𝑍) β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = (0vecβ€˜π‘Š))
1312ex 413 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (π‘₯ = 𝑍 β†’ (π‘‡β€˜π‘₯) = (0vecβ€˜π‘Š)))
1413ralimdv 3169 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘₯ = 𝑍 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘‡β€˜π‘₯) = (0vecβ€˜π‘Š)))
156, 7, 10lnof 30263 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š))
1615ffnd 6718 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇 Fn 𝑋)
1714, 16jctild 526 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘₯ = 𝑍 β†’ (𝑇 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘‡β€˜π‘₯) = (0vecβ€˜π‘Š))))
18 fconstfv 7216 . . . . . . 7 (𝑇:π‘‹βŸΆ{(0vecβ€˜π‘Š)} ↔ (𝑇 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘‡β€˜π‘₯) = (0vecβ€˜π‘Š)))
19 fvex 6904 . . . . . . . 8 (0vecβ€˜π‘Š) ∈ V
2019fconst2 7208 . . . . . . 7 (𝑇:π‘‹βŸΆ{(0vecβ€˜π‘Š)} ↔ 𝑇 = (𝑋 Γ— {(0vecβ€˜π‘Š)}))
2118, 20bitr3i 276 . . . . . 6 ((𝑇 Fn 𝑋 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (π‘‡β€˜π‘₯) = (0vecβ€˜π‘Š)) ↔ 𝑇 = (𝑋 Γ— {(0vecβ€˜π‘Š)}))
2217, 21imbitrdi 250 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘₯ = 𝑍 β†’ 𝑇 = (𝑋 Γ— {(0vecβ€˜π‘Š)})))
23 lnon0.0 . . . . . . . 8 𝑂 = (π‘ˆ 0op π‘Š)
246, 9, 230ofval 30295 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec) β†’ 𝑂 = (𝑋 Γ— {(0vecβ€˜π‘Š)}))
25243adant3 1132 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑂 = (𝑋 Γ— {(0vecβ€˜π‘Š)}))
2625eqeq2d 2743 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (𝑇 = 𝑂 ↔ 𝑇 = (𝑋 Γ— {(0vecβ€˜π‘Š)})))
2722, 26sylibrd 258 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 π‘₯ = 𝑍 β†’ 𝑇 = 𝑂))
284, 27biimtrid 241 . . 3 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (Β¬ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 π‘₯ β‰  𝑍 β†’ 𝑇 = 𝑂))
2928necon1ad 2957 . 2 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ (𝑇 β‰  𝑂 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 π‘₯ β‰  𝑍))
3029imp 407 1 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 β‰  𝑂) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑋 π‘₯ β‰  𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {csn 4628   Γ— cxp 5674   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  NrmCVeccnv 30092  BaseSetcba 30094  0veccn0v 30096   LnOp clno 30248   0op c0o 30251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257  df-sub 11450  df-neg 11451  df-grpo 30001  df-gid 30002  df-ginv 30003  df-ablo 30053  df-vc 30067  df-nv 30100  df-va 30103  df-ba 30104  df-sm 30105  df-0v 30106  df-nmcv 30108  df-lno 30252  df-0o 30255
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