MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnon0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnon0 30827
Description: The domain of a nonzero linear operator contains a nonzero vector. (Contributed by NM, 15-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnon0.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnon0.6 𝑍 = (0vec𝑈)
lnon0.0 𝑂 = (𝑈 0op 𝑊)
lnon0.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
lnon0 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ 𝑇𝑂) → ∃𝑥𝑋 𝑥𝑍)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋
Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lnon0
StepHypRef Expression
1 ralnex 3070 . . . . 5 (∀𝑥𝑋 ¬ 𝑥𝑍 ↔ ¬ ∃𝑥𝑋 𝑥𝑍)
2 nne 2942 . . . . . 6 𝑥𝑍𝑥 = 𝑍)
32ralbii 3091 . . . . 5 (∀𝑥𝑋 ¬ 𝑥𝑍 ↔ ∀𝑥𝑋 𝑥 = 𝑍)
41, 3bitr3i 277 . . . 4 (¬ ∃𝑥𝑋 𝑥𝑍 ↔ ∀𝑥𝑋 𝑥 = 𝑍)
5 fveq2 6907 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑍 → (𝑇𝑥) = (𝑇𝑍))
6 lnon0.1 . . . . . . . . . . 11 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
8 lnon0.6 . . . . . . . . . . 11 𝑍 = (0vec𝑈)
9 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (0vec𝑊) = (0vec𝑊)
10 lnon0.7 . . . . . . . . . . 11 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
116, 7, 8, 9, 10lno0 30785 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑍) = (0vec𝑊))
125, 11sylan9eqr 2797 . . . . . . . . 9 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ 𝑥 = 𝑍) → (𝑇𝑥) = (0vec𝑊))
1312ex 412 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑥 = 𝑍 → (𝑇𝑥) = (0vec𝑊)))
1413ralimdv 3167 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (∀𝑥𝑋 𝑥 = 𝑍 → ∀𝑥𝑋 (𝑇𝑥) = (0vec𝑊)))
156, 7, 10lnof 30784 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
1615ffnd 6738 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇 Fn 𝑋)
1714, 16jctild 525 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (∀𝑥𝑋 𝑥 = 𝑍 → (𝑇 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑇𝑥) = (0vec𝑊))))
18 fconstfv 7232 . . . . . . 7 (𝑇:𝑋⟶{(0vec𝑊)} ↔ (𝑇 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑇𝑥) = (0vec𝑊)))
19 fvex 6920 . . . . . . . 8 (0vec𝑊) ∈ V
2019fconst2 7225 . . . . . . 7 (𝑇:𝑋⟶{(0vec𝑊)} ↔ 𝑇 = (𝑋 × {(0vec𝑊)}))
2118, 20bitr3i 277 . . . . . 6 ((𝑇 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑇𝑥) = (0vec𝑊)) ↔ 𝑇 = (𝑋 × {(0vec𝑊)}))
2217, 21imbitrdi 251 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (∀𝑥𝑋 𝑥 = 𝑍𝑇 = (𝑋 × {(0vec𝑊)})))
23 lnon0.0 . . . . . . . 8 𝑂 = (𝑈 0op 𝑊)
246, 9, 230ofval 30816 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑂 = (𝑋 × {(0vec𝑊)}))
25243adant3 1131 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑂 = (𝑋 × {(0vec𝑊)}))
2625eqeq2d 2746 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇 = 𝑂𝑇 = (𝑋 × {(0vec𝑊)})))
2722, 26sylibrd 259 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (∀𝑥𝑋 𝑥 = 𝑍𝑇 = 𝑂))
284, 27biimtrid 242 . . 3 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (¬ ∃𝑥𝑋 𝑥𝑍𝑇 = 𝑂))
2928necon1ad 2955 . 2 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → (𝑇𝑂 → ∃𝑥𝑋 𝑥𝑍))
3029imp 406 1 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ 𝑇𝑂) → ∃𝑥𝑋 𝑥𝑍)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  {csn 4631   × cxp 5687   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  NrmCVeccnv 30613  BaseSetcba 30615  0veccn0v 30617   LnOp clno 30769   0op c0o 30772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-sub 11492  df-neg 11493  df-grpo 30522  df-gid 30523  df-ginv 30524  df-ablo 30574  df-vc 30588  df-nv 30621  df-va 30624  df-ba 30625  df-sm 30626  df-0v 30627  df-nmcv 30629  df-lno 30773  df-0o 30776
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator