Theorem lnon0 31279

Description: The domain of a nonzero linear operator contains a nonzero vector. (Contributed by NM, 15-Dec-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnon0.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnon0.6	⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
lnon0.0	⊢ 𝑂 = (𝑈 0op 𝑊)
lnon0.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lnon0	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ≠ 𝑂) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐿   𝑥,𝑇   𝑥,𝑈   𝑥,𝑊   𝑥,𝑋

Allowed substitution hints:   𝑂(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem lnon0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ralnex 3088	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ 𝑥 ≠ 𝑍 ↔ ¬ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍)
2		nne 2959	. . . . . 6 ⊢ (¬ 𝑥 ≠ 𝑍 ↔ 𝑥 = 𝑍)
3	2	ralbii 3108	. . . . 5 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 ¬ 𝑥 ≠ 𝑍 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍)
4	1, 3	bitr3i 280	. . . 4 ⊢ (¬ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍)
5		fveq2 6878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑍 → (𝑇‘𝑥) = (𝑇‘𝑍))
6		lnon0.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
7		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
8		lnon0.6	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑍 = (0vec‘𝑈)
9		eqid 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0vec‘𝑊) = (0vec‘𝑊)
10		lnon0.7	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
11	6, 7, 8, 9, 10	lno0 31237	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇‘𝑍) = (0vec‘𝑊))
12	5, 11	sylan9eqr 2817	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ 𝑥 = 𝑍) → (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊))
13	12	ex 418	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑥 = 𝑍 → (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊)))
14	13	ralimdv 3176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊)))
15	6, 7, 10	lnof 31236	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
16	15	ffnd 6703	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇 Fn 𝑋)
17	14, 16	jctild 535	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍 → (𝑇 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊))))
18		fconstfv 7211	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇:𝑋⟶{(0vec‘𝑊)} ↔ (𝑇 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊)))
19		fvex 6891	. . . . . . . 8 ⊢ (0vec‘𝑊) ∈ V
20	19	fconst2 7204	. . . . . . 7 ⊢ (𝑇:𝑋⟶{(0vec‘𝑊)} ↔ 𝑇 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}))
21	18, 20	bitr3i 280	. . . . . 6 ⊢ ((𝑇 Fn 𝑋 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (𝑇‘𝑥) = (0vec‘𝑊)) ↔ 𝑇 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}))
22	17, 21	imbitrdi 254	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍 → 𝑇 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)})))
23		lnon0.0	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑂 = (𝑈 0op 𝑊)
24	6, 9, 23	0ofval 31268	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec) → 𝑂 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}))
25	24	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑂 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)}))
26	25	eqeq2d 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇 = 𝑂 ↔ 𝑇 = (𝑋 × {(0vec‘𝑊)})))
27	22, 26	sylibrd 262	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 = 𝑍 → 𝑇 = 𝑂))
28	4, 27	biimtrid 245	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (¬ ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍 → 𝑇 = 𝑂))
29	28	necon1ad 2972	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → (𝑇 ≠ 𝑂 → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍))
30	29	imp 412	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ 𝑇 ≠ 𝑂) → ∃𝑥 ∈ 𝑋 𝑥 ≠ 𝑍)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {csn 4584   × cxp 5653   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  NrmCVeccnv 31065  BaseSetcba 31067  0_veccn0v 31069   LnOp clno 31221   0_op c0o 31224

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-er 8696  df-map 8828  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272  df-sub 11467  df-neg 11468  df-grpo 30974  df-gid 30975  df-ginv 30976  df-ablo 31026  df-vc 31040  df-nv 31073  df-va 31076  df-ba 31077  df-sm 31078  df-0v 31079  df-nmcv 31081  df-lno 31225  df-0o 31228

This theorem is used by: (None)