Theorem plyeq0 26195

Description: If a polynomial is zero at every point (or even just zero at the positive integers), then all the coefficients must be zero. This is the basis for the method of equating coefficients of equal polynomials, and ensures that df-coe 26174 is well-defined. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyeq0.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
plyeq0.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
plyeq0.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
plyeq0.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyeq0.5	⊢ (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
plyeq0	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (ℕ0 × {0}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧

Proof of Theorem plyeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyeq0.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
2		plyeq0.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
3		0cnd 11129	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
4	3	snssd 4719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
5	2, 4	unssd 4122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
6		cnex 11111	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
7		ssexg 5252	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancl 592	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
9		nn0ex 12435	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
10		elmapg 8777	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
11	8, 9, 10	sylancl 592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
12	1, 11	mpbid 233	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
13	12	ffnd 6657	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn ℕ0)
14		imadmrn 6023	. . . 4 ⊢ (𝐴 “ dom 𝐴) = ran 𝐴
15		fdm 6665	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → dom 𝐴 = ℕ0)
16		fimacnv 6678	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})) = ℕ0)
17	15, 16	eqtr4d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → dom 𝐴 = (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})))
18	12, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})))
19		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) = ∅) → (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) = ∅)
20	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ ℂ)
21		plyeq0.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
24		plyeq0.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
26		plyeq0.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
28		eqid 2739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ sup((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < ) = sup((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < )
29		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅)
30	20, 22, 23, 25, 27, 28, 29	plyeq0lem 26194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅)
31	30	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) = ∅)
32	19, 31	pm2.61dane 3021	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) = ∅)
33	32	uneq1d 4098	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ∪ (◡𝐴 “ {0})) = (∅ ∪ (◡𝐴 “ {0})))
34		undif1 4405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∖ {0}) ∪ {0}) = (𝑆 ∪ {0})
35	34	imaeq2i 6011	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐴 “ ((𝑆 ∖ {0}) ∪ {0})) = (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0}))
36		imaundi 6101	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐴 “ ((𝑆 ∖ {0}) ∪ {0})) = ((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ∪ (◡𝐴 “ {0}))
37	35, 36	eqtr3i 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})) = ((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ∪ (◡𝐴 “ {0}))
38		un0 4323	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐴 “ {0}) ∪ ∅) = (◡𝐴 “ {0})
39		uncom 4089	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐴 “ {0}) ∪ ∅) = (∅ ∪ (◡𝐴 “ {0}))
40	38, 39	eqtr3i 2764	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐴 “ {0}) = (∅ ∪ (◡𝐴 “ {0}))
41	33, 37, 40	3eqtr4g 2799	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})) = (◡𝐴 “ {0}))
42	18, 41	eqtrd 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = (◡𝐴 “ {0}))
43		eqimss 3973	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐴 = (◡𝐴 “ {0}) → dom 𝐴 ⊆ (◡𝐴 “ {0}))
44	42, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ (◡𝐴 “ {0}))
45	12	ffund 6660	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐴)
46		ssid 3937	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴
47		funimass3 6996	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ dom 𝐴) ⊆ {0} ↔ dom 𝐴 ⊆ (◡𝐴 “ {0})))
48	45, 46, 47	sylancl 592	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 “ dom 𝐴) ⊆ {0} ↔ dom 𝐴 ⊆ (◡𝐴 “ {0})))
49	44, 48	mpbird 258	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ dom 𝐴) ⊆ {0})
50	14, 49	eqsstrrid 3954	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ⊆ {0})
51		df-f 6490	. . 3 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶{0} ↔ (𝐴 Fn ℕ0 ∧ ran 𝐴 ⊆ {0}))
52	13, 50, 51	sylanbrc 589	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶{0})
53		c0ex 11130	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
54	53	fconst2 7150	. 2 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶{0} ↔ 𝐴 = (ℕ0 × {0}))
55	52, 54	sylib 219	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (ℕ0 × {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ∪ cun 3881   ⊆ wss 3883  ∅c0 4262  {csn 4556   ↦ cmpt 5154   × cxp 5617  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619  ran crn 5620   “ cima 5622  Fun wfun 6480   Fn wfn 6481  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8764  supcsup 9344  ℂcc 11028  ℝcr 11029  0cc0 11030  1c1 11031   + caddc 11033   · cmul 11035   < clt 11171  ℕ₀cn0 12429  ℤ_≥cuz 12780  ...cfz 13453  ↑cexp 14015  Σcsu 15640  0_𝑝c0p 25655

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5200  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-int 4879  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9855  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-n0 12430  df-z 12517  df-uz 12781  df-rp 12935  df-fz 13454  df-fzo 13601  df-fl 13743  df-seq 13956  df-exp 14016  df-hash 14285  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-clim 15442  df-rlim 15443  df-sum 15641  df-0p 25656

This theorem is referenced by:  coeeulem  26208