MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  plyeq0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem plyeq0 25725
Description: If a polynomial is zero at every point (or even just zero at the positive integers), then all the coefficients must be zero. This is the basis for the method of equating coefficients of equal polynomials, and ensures that df-coe 25704 is well-defined. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
plyeq0.1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โŠ† โ„‚)
plyeq0.2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
plyeq0.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0))
plyeq0.4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) = {0})
plyeq0.5 (๐œ‘ โ†’ 0๐‘ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
Assertion
Ref Expression
plyeq0 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (โ„•0 ร— {0}))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,๐‘˜,๐ด   ๐‘˜,๐‘,๐‘ง   ๐œ‘,๐‘˜,๐‘ง   ๐‘†,๐‘˜,๐‘ง

Proof of Theorem plyeq0
StepHypRef Expression
1 plyeq0.3 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0))
2 plyeq0.1 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โŠ† โ„‚)
3 0cnd 11207 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ 0 โˆˆ โ„‚)
43snssd 4813 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ {0} โŠ† โ„‚)
52, 4unssd 4187 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆช {0}) โŠ† โ„‚)
6 cnex 11191 . . . . . . 7 โ„‚ โˆˆ V
7 ssexg 5324 . . . . . . 7 (((๐‘† โˆช {0}) โŠ† โ„‚ โˆง โ„‚ โˆˆ V) โ†’ (๐‘† โˆช {0}) โˆˆ V)
85, 6, 7sylancl 587 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ (๐‘† โˆช {0}) โˆˆ V)
9 nn0ex 12478 . . . . . 6 โ„•0 โˆˆ V
10 elmapg 8833 . . . . . 6 (((๐‘† โˆช {0}) โˆˆ V โˆง โ„•0 โˆˆ V) โ†’ (๐ด โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โ†” ๐ด:โ„•0โŸถ(๐‘† โˆช {0})))
118, 9, 10sylancl 587 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0) โ†” ๐ด:โ„•0โŸถ(๐‘† โˆช {0})))
121, 11mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด:โ„•0โŸถ(๐‘† โˆช {0}))
1312ffnd 6719 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ด Fn โ„•0)
14 imadmrn 6070 . . . 4 (๐ด โ€œ dom ๐ด) = ran ๐ด
15 fdm 6727 . . . . . . . . 9 (๐ด:โ„•0โŸถ(๐‘† โˆช {0}) โ†’ dom ๐ด = โ„•0)
16 fimacnv 6740 . . . . . . . . 9 (๐ด:โ„•0โŸถ(๐‘† โˆช {0}) โ†’ (โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆช {0})) = โ„•0)
1715, 16eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (๐ด:โ„•0โŸถ(๐‘† โˆช {0}) โ†’ dom ๐ด = (โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆช {0})))
1812, 17syl 17 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ dom ๐ด = (โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆช {0})))
19 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆ– {0})) = โˆ…) โ†’ (โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆ– {0})) = โˆ…)
202adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆ– {0})) โ‰  โˆ…) โ†’ ๐‘† โŠ† โ„‚)
21 plyeq0.2 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
2221adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆ– {0})) โ‰  โˆ…) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
231adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆ– {0})) โ‰  โˆ…) โ†’ ๐ด โˆˆ ((๐‘† โˆช {0}) โ†‘m โ„•0))
24 plyeq0.4 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) = {0})
2524adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆ– {0})) โ‰  โˆ…) โ†’ (๐ด โ€œ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘ + 1))) = {0})
26 plyeq0.5 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ 0๐‘ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
2726adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆ– {0})) โ‰  โˆ…) โ†’ 0๐‘ = (๐‘ง โˆˆ โ„‚ โ†ฆ ฮฃ๐‘˜ โˆˆ (0...๐‘)((๐ดโ€˜๐‘˜) ยท (๐‘งโ†‘๐‘˜))))
28 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 sup((โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆ– {0})), โ„, < ) = sup((โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆ– {0})), โ„, < )
29 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง (โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆ– {0})) โ‰  โˆ…) โ†’ (โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆ– {0})) โ‰  โˆ…)
3020, 22, 23, 25, 27, 28, 29plyeq0lem 25724 . . . . . . . . . . 11 ยฌ (๐œ‘ โˆง (โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆ– {0})) โ‰  โˆ…)
3130pm2.21i 119 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง (โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆ– {0})) โ‰  โˆ…) โ†’ (โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆ– {0})) = โˆ…)
3219, 31pm2.61dane 3030 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆ– {0})) = โˆ…)
3332uneq1d 4163 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆ– {0})) โˆช (โ—ก๐ด โ€œ {0})) = (โˆ… โˆช (โ—ก๐ด โ€œ {0})))
34 undif1 4476 . . . . . . . . . 10 ((๐‘† โˆ– {0}) โˆช {0}) = (๐‘† โˆช {0})
3534imaeq2i 6058 . . . . . . . . 9 (โ—ก๐ด โ€œ ((๐‘† โˆ– {0}) โˆช {0})) = (โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆช {0}))
36 imaundi 6150 . . . . . . . . 9 (โ—ก๐ด โ€œ ((๐‘† โˆ– {0}) โˆช {0})) = ((โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆ– {0})) โˆช (โ—ก๐ด โ€œ {0}))
3735, 36eqtr3i 2763 . . . . . . . 8 (โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆช {0})) = ((โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆ– {0})) โˆช (โ—ก๐ด โ€œ {0}))
38 un0 4391 . . . . . . . . 9 ((โ—ก๐ด โ€œ {0}) โˆช โˆ…) = (โ—ก๐ด โ€œ {0})
39 uncom 4154 . . . . . . . . 9 ((โ—ก๐ด โ€œ {0}) โˆช โˆ…) = (โˆ… โˆช (โ—ก๐ด โ€œ {0}))
4038, 39eqtr3i 2763 . . . . . . . 8 (โ—ก๐ด โ€œ {0}) = (โˆ… โˆช (โ—ก๐ด โ€œ {0}))
4133, 37, 403eqtr4g 2798 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (โ—ก๐ด โ€œ (๐‘† โˆช {0})) = (โ—ก๐ด โ€œ {0}))
4218, 41eqtrd 2773 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ dom ๐ด = (โ—ก๐ด โ€œ {0}))
43 eqimss 4041 . . . . . 6 (dom ๐ด = (โ—ก๐ด โ€œ {0}) โ†’ dom ๐ด โŠ† (โ—ก๐ด โ€œ {0}))
4442, 43syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ dom ๐ด โŠ† (โ—ก๐ด โ€œ {0}))
4512ffund 6722 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ Fun ๐ด)
46 ssid 4005 . . . . . 6 dom ๐ด โŠ† dom ๐ด
47 funimass3 7056 . . . . . 6 ((Fun ๐ด โˆง dom ๐ด โŠ† dom ๐ด) โ†’ ((๐ด โ€œ dom ๐ด) โŠ† {0} โ†” dom ๐ด โŠ† (โ—ก๐ด โ€œ {0})))
4845, 46, 47sylancl 587 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โ€œ dom ๐ด) โŠ† {0} โ†” dom ๐ด โŠ† (โ—ก๐ด โ€œ {0})))
4944, 48mpbird 257 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ€œ dom ๐ด) โŠ† {0})
5014, 49eqsstrrid 4032 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ran ๐ด โŠ† {0})
51 df-f 6548 . . 3 (๐ด:โ„•0โŸถ{0} โ†” (๐ด Fn โ„•0 โˆง ran ๐ด โŠ† {0}))
5213, 50, 51sylanbrc 584 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด:โ„•0โŸถ{0})
53 c0ex 11208 . . 3 0 โˆˆ V
5453fconst2 7206 . 2 (๐ด:โ„•0โŸถ{0} โ†” ๐ด = (โ„•0 ร— {0}))
5552, 54sylib 217 1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด = (โ„•0 ร— {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107   โ‰  wne 2941  Vcvv 3475   โˆ– cdif 3946   โˆช cun 3947   โŠ† wss 3949  โˆ…c0 4323  {csn 4629   โ†ฆ cmpt 5232   ร— cxp 5675  โ—กccnv 5676  dom cdm 5677  ran crn 5678   โ€œ cima 5680  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   โ†‘m cmap 8820  supcsup 9435  โ„‚cc 11108  โ„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113   ยท cmul 11115   < clt 11248  โ„•0cn0 12472  โ„คโ‰ฅcuz 12822  ...cfz 13484  โ†‘cexp 14027  ฮฃcsu 15632  0๐‘c0p 25186
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-0p 25187
This theorem is referenced by:  coeeulem  25738
  Copyright terms: Public domain W3C validator