Theorem plyeq0 26377

Description: If a polynomial is zero at every point (or even just zero at the positive integers), then all the coefficients must be zero. This is the basis for the method of equating coefficients of equal polynomials, and ensures that df-coe 26356 is well-defined. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyeq0.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
plyeq0.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
plyeq0.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
plyeq0.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyeq0.5	⊢ (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
plyeq0	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (ℕ0 × {0}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧

Proof of Theorem plyeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyeq0.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
2		plyeq0.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
3		0cnd 11203	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
4	3	snssd 4752	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
5	2, 4	unssd 4145	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
6		cnex 11185	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
7		ssexg 5290	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancl 597	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
9		nn0ex 12514	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
10		elmapg 8832	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
11	8, 9, 10	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
12	1, 11	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
13	12	ffnd 6706	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn ℕ0)
14		imadmrn 6072	. . . 4 ⊢ (𝐴 “ dom 𝐴) = ran 𝐴
15		fdm 6715	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → dom 𝐴 = ℕ0)
16		fimacnv 6728	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})) = ℕ0)
17	15, 16	eqtr4d 2801	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → dom 𝐴 = (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})))
18	12, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})))
19		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) = ∅) → (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) = ∅)
20	2	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ ℂ)
21		plyeq0.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
22	21	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	1	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
24		plyeq0.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
25	24	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
26		plyeq0.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
27	26	adantr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
28		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ sup((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < ) = sup((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < )
29		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅)
30	20, 22, 23, 25, 27, 28, 29	plyeq0lem 26376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅)
31	30	pm2.21i 120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) = ∅)
32	19, 31	pm2.61dane 3045	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) = ∅)
33	32	uneq1d 4121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ∪ (◡𝐴 “ {0})) = (∅ ∪ (◡𝐴 “ {0})))
34		undif1 4437	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∖ {0}) ∪ {0}) = (𝑆 ∪ {0})
35	34	imaeq2i 6060	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐴 “ ((𝑆 ∖ {0}) ∪ {0})) = (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0}))
36		imaundi 6147	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐴 “ ((𝑆 ∖ {0}) ∪ {0})) = ((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ∪ (◡𝐴 “ {0}))
37	35, 36	eqtr3i 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})) = ((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ∪ (◡𝐴 “ {0}))
38		un0 4351	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐴 “ {0}) ∪ ∅) = (◡𝐴 “ {0})
39		uncom 4112	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐴 “ {0}) ∪ ∅) = (∅ ∪ (◡𝐴 “ {0}))
40	38, 39	eqtr3i 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐴 “ {0}) = (∅ ∪ (◡𝐴 “ {0}))
41	33, 37, 40	3eqtr4g 2823	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})) = (◡𝐴 “ {0}))
42	18, 41	eqtrd 2798	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = (◡𝐴 “ {0}))
43		eqimss 3995	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐴 = (◡𝐴 “ {0}) → dom 𝐴 ⊆ (◡𝐴 “ {0}))
44	42, 43	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ (◡𝐴 “ {0}))
45	12	ffund 6710	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐴)
46		ssid 3959	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴
47		funimass3 7049	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ dom 𝐴) ⊆ {0} ↔ dom 𝐴 ⊆ (◡𝐴 “ {0})))
48	45, 46, 47	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 “ dom 𝐴) ⊆ {0} ↔ dom 𝐴 ⊆ (◡𝐴 “ {0})))
49	44, 48	mpbird 260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ dom 𝐴) ⊆ {0})
50	14, 49	eqsstrrid 3976	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ⊆ {0})
51		df-f 6540	. . 3 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶{0} ↔ (𝐴 Fn ℕ0 ∧ ran 𝐴 ⊆ {0}))
52	13, 50, 51	sylanbrc 594	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶{0})
53		c0ex 11204	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
54	53	fconst2 7203	. 2 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶{0} ↔ 𝐴 = (ℕ0 × {0}))
55	52, 54	sylib 221	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (ℕ0 × {0}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  Vcvv 3455   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286  {csn 4589   ↦ cmpt 5192   × cxp 5659  ^◡ccnv 5660  dom cdm 5661  ran crn 5662   “ cima 5664  Fun wfun 6530   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ↑_m cmap 8820  supcsup 9396  ℂcc 11102  ℝcr 11103  0cc0 11104  1c1 11105   + caddc 11107   · cmul 11109   < clt 11247  ℕ₀cn0 12508  ℤ_≥cuz 12866  ...cfz 13539  ↑cexp 14102  Σcsu 15742  0_𝑝c0p 25837

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-inf2 9606  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-n0 12509  df-z 12596  df-uz 12867  df-rp 13021  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-fl 13830  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14372  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-clim 15544  df-rlim 15545  df-sum 15743  df-0p 25838

This theorem is used by:  coeeulem  26390