Theorem plyeq0 25949

Description: If a polynomial is zero at every point (or even just zero at the positive integers), then all the coefficients must be zero. This is the basis for the method of equating coefficients of equal polynomials, and ensures that df-coe 25928 is well-defined. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyeq0.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
plyeq0.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
plyeq0.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
plyeq0.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyeq0.5	⊢ (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
plyeq0	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (ℕ0 × {0}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧

Proof of Theorem plyeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyeq0.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
2		plyeq0.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
3		0cnd 11211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
4	3	snssd 4812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
5	2, 4	unssd 4186	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
6		cnex 11193	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
7		ssexg 5323	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
9		nn0ex 12482	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
10		elmapg 8835	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
11	8, 9, 10	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
12	1, 11	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
13	12	ffnd 6718	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn ℕ0)
14		imadmrn 6069	. . . 4 ⊢ (𝐴 “ dom 𝐴) = ran 𝐴
15		fdm 6726	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → dom 𝐴 = ℕ0)
16		fimacnv 6739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})) = ℕ0)
17	15, 16	eqtr4d 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → dom 𝐴 = (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})))
18	12, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})))
19		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) = ∅) → (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) = ∅)
20	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ ℂ)
21		plyeq0.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
24		plyeq0.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
26		plyeq0.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
28		eqid 2732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ sup((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < ) = sup((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < )
29		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅)
30	20, 22, 23, 25, 27, 28, 29	plyeq0lem 25948	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅)
31	30	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) = ∅)
32	19, 31	pm2.61dane 3029	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) = ∅)
33	32	uneq1d 4162	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ∪ (◡𝐴 “ {0})) = (∅ ∪ (◡𝐴 “ {0})))
34		undif1 4475	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∖ {0}) ∪ {0}) = (𝑆 ∪ {0})
35	34	imaeq2i 6057	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐴 “ ((𝑆 ∖ {0}) ∪ {0})) = (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0}))
36		imaundi 6149	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐴 “ ((𝑆 ∖ {0}) ∪ {0})) = ((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ∪ (◡𝐴 “ {0}))
37	35, 36	eqtr3i 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})) = ((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ∪ (◡𝐴 “ {0}))
38		un0 4390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐴 “ {0}) ∪ ∅) = (◡𝐴 “ {0})
39		uncom 4153	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐴 “ {0}) ∪ ∅) = (∅ ∪ (◡𝐴 “ {0}))
40	38, 39	eqtr3i 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐴 “ {0}) = (∅ ∪ (◡𝐴 “ {0}))
41	33, 37, 40	3eqtr4g 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})) = (◡𝐴 “ {0}))
42	18, 41	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = (◡𝐴 “ {0}))
43		eqimss 4040	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐴 = (◡𝐴 “ {0}) → dom 𝐴 ⊆ (◡𝐴 “ {0}))
44	42, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ (◡𝐴 “ {0}))
45	12	ffund 6721	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐴)
46		ssid 4004	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴
47		funimass3 7055	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ dom 𝐴) ⊆ {0} ↔ dom 𝐴 ⊆ (◡𝐴 “ {0})))
48	45, 46, 47	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 “ dom 𝐴) ⊆ {0} ↔ dom 𝐴 ⊆ (◡𝐴 “ {0})))
49	44, 48	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ dom 𝐴) ⊆ {0})
50	14, 49	eqsstrrid 4031	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ⊆ {0})
51		df-f 6547	. . 3 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶{0} ↔ (𝐴 Fn ℕ0 ∧ ran 𝐴 ⊆ {0}))
52	13, 50, 51	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶{0})
53		c0ex 11212	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
54	53	fconst2 7208	. 2 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶{0} ↔ 𝐴 = (ℕ0 × {0}))
55	52, 54	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (ℕ0 × {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  Vcvv 3474   ∖ cdif 3945   ∪ cun 3946   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  {csn 4628   ↦ cmpt 5231   × cxp 5674  ^◡ccnv 5675  dom cdm 5676  ran crn 5677   “ cima 5679  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8822  supcsup 9437  ℂcc 11110  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   · cmul 11117   < clt 11252  ℕ₀cn0 12476  ℤ_≥cuz 12826  ...cfz 13488  ↑cexp 14031  Σcsu 15636  0_𝑝c0p 25410

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-0p 25411

This theorem is referenced by:  coeeulem  25962