Theorem plyeq0 25572

Description: If a polynomial is zero at every point (or even just zero at the positive integers), then all the coefficients must be zero. This is the basis for the method of equating coefficients of equal polynomials, and ensures that df-coe 25551 is well-defined. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
plyeq0.1	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
plyeq0.2	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
plyeq0.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
plyeq0.4	⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
plyeq0.5	⊢ (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))

Assertion

Ref	Expression
plyeq0	⊢ (𝜑 → 𝐴 = (ℕ0 × {0}))

Distinct variable groups:   𝑧,𝑘,𝐴   𝑘,𝑁,𝑧   𝜑,𝑘,𝑧   𝑆,𝑘,𝑧

Proof of Theorem plyeq0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		plyeq0.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
2		plyeq0.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
3		0cnd 11148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
4	3	snssd 4769	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
5	2, 4	unssd 4146	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
6		cnex 11132	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
7		ssexg 5280	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ ∧ ℂ ∈ V) → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
8	5, 6, 7	sylancl 586	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ∈ V)
9		nn0ex 12419	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
10		elmapg 8778	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∪ {0}) ∈ V ∧ ℕ0 ∈ V) → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
11	8, 9, 10	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0) ↔ 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0})))
12	1, 11	mpbid 231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}))
13	12	ffnd 6669	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 Fn ℕ0)
14		imadmrn 6023	. . . 4 ⊢ (𝐴 “ dom 𝐴) = ran 𝐴
15		fdm 6677	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → dom 𝐴 = ℕ0)
16		fimacnv 6690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})) = ℕ0)
17	15, 16	eqtr4d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶(𝑆 ∪ {0}) → dom 𝐴 = (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})))
18	12, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})))
19		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) = ∅) → (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) = ∅)
20	2	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → 𝑆 ⊆ ℂ)
21		plyeq0.2	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
22	21	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → 𝑁 ∈ ℕ0)
23	1	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → 𝐴 ∈ ((𝑆 ∪ {0}) ↑m ℕ0))
24		plyeq0.4	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
25	24	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → (𝐴 “ (ℤ≥‘(𝑁 + 1))) = {0})
26		plyeq0.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
27	26	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → 0𝑝 = (𝑧 ∈ ℂ ↦ Σ𝑘 ∈ (0...𝑁)((𝐴‘𝑘) · (𝑧↑𝑘))))
28		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ sup((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < ) = sup((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})), ℝ, < )
29		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅)
30	20, 22, 23, 25, 27, 28, 29	plyeq0lem 25571	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ¬ (𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅)
31	30	pm2.21i 119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ≠ ∅) → (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) = ∅)
32	19, 31	pm2.61dane 3032	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) = ∅)
33	32	uneq1d 4122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ∪ (◡𝐴 “ {0})) = (∅ ∪ (◡𝐴 “ {0})))
34		undif1 4435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ∖ {0}) ∪ {0}) = (𝑆 ∪ {0})
35	34	imaeq2i 6011	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐴 “ ((𝑆 ∖ {0}) ∪ {0})) = (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0}))
36		imaundi 6102	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡𝐴 “ ((𝑆 ∖ {0}) ∪ {0})) = ((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ∪ (◡𝐴 “ {0}))
37	35, 36	eqtr3i 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})) = ((◡𝐴 “ (𝑆 ∖ {0})) ∪ (◡𝐴 “ {0}))
38		un0 4350	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐴 “ {0}) ∪ ∅) = (◡𝐴 “ {0})
39		uncom 4113	. . . . . . . . 9 ⊢ ((◡𝐴 “ {0}) ∪ ∅) = (∅ ∪ (◡𝐴 “ {0}))
40	38, 39	eqtr3i 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (◡𝐴 “ {0}) = (∅ ∪ (◡𝐴 “ {0}))
41	33, 37, 40	3eqtr4g 2801	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐴 “ (𝑆 ∪ {0})) = (◡𝐴 “ {0}))
42	18, 41	eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 = (◡𝐴 “ {0}))
43		eqimss 4000	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐴 = (◡𝐴 “ {0}) → dom 𝐴 ⊆ (◡𝐴 “ {0}))
44	42, 43	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → dom 𝐴 ⊆ (◡𝐴 “ {0}))
45	12	ffund 6672	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐴)
46		ssid 3966	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴
47		funimass3 7004	. . . . . 6 ⊢ ((Fun 𝐴 ∧ dom 𝐴 ⊆ dom 𝐴) → ((𝐴 “ dom 𝐴) ⊆ {0} ↔ dom 𝐴 ⊆ (◡𝐴 “ {0})))
48	45, 46, 47	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 “ dom 𝐴) ⊆ {0} ↔ dom 𝐴 ⊆ (◡𝐴 “ {0})))
49	44, 48	mpbird 256	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 “ dom 𝐴) ⊆ {0})
50	14, 49	eqsstrrid 3993	. . 3 ⊢ (𝜑 → ran 𝐴 ⊆ {0})
51		df-f 6500	. . 3 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶{0} ↔ (𝐴 Fn ℕ0 ∧ ran 𝐴 ⊆ {0}))
52	13, 50, 51	sylanbrc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴:ℕ0⟶{0})
53		c0ex 11149	. . 3 ⊢ 0 ∈ V
54	53	fconst2 7154	. 2 ⊢ (𝐴:ℕ0⟶{0} ↔ 𝐴 = (ℕ0 × {0}))
55	52, 54	sylib 217	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (ℕ0 × {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  Vcvv 3445   ∖ cdif 3907   ∪ cun 3908   ⊆ wss 3910  ∅c0 4282  {csn 4586   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631  ^◡ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634   “ cima 5636  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8765  supcsup 9376  ℂcc 11049  ℝcr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  ℕ₀cn0 12413  ℤ_≥cuz 12763  ...cfz 13424  ↑cexp 13967  Σcsu 15570  0_𝑝c0p 25033

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-0p 25034

This theorem is referenced by:  coeeulem  25585