Theorem hsn0elch 31855

Description: The zero subspace belongs to the set of closed subspaces of Hilbert space. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hsn0elch	⊢ {0ℎ} ∈ Cℋ

Proof of Theorem hsn0elch

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 31610	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		snssi 4742	. . . . 5 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → {0ℎ} ⊆ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {0ℎ} ⊆ ℋ
4	1	elexi 3472	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ V
5	4	snid 4619	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ {0ℎ}
6	3, 5	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ({0ℎ} ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ {0ℎ})
7		velsn 4596	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {0ℎ} ↔ 𝑥 = 0ℎ)
8		velsn 4596	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {0ℎ} ↔ 𝑦 = 0ℎ)
9		oveq12 7429	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 0ℎ ∧ 𝑦 = 0ℎ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (0ℎ +ℎ 0ℎ))
10	1	hvaddlidi 31636	. . . . . . . 8 ⊢ (0ℎ +ℎ 0ℎ) = 0ℎ
11	9, 10	eqtrdi 2811	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0ℎ ∧ 𝑦 = 0ℎ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = 0ℎ)
12		ovex 7453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ V
13	12	elsn 4595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ} ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) = 0ℎ)
14	11, 13	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0ℎ ∧ 𝑦 = 0ℎ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})
15	7, 8, 14	syl2anb 610	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {0ℎ} ∧ 𝑦 ∈ {0ℎ}) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})
16	15	rgen2 3202	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ {0ℎ}∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ}
17		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑥 ·ℎ 0ℎ))
18		hvmul0 31631	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
19	17, 18	sylan9eqr 2817	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = 0ℎ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = 0ℎ)
20		ovex 7453	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ V
21	20	elsn 4595	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ} ↔ (𝑥 ·ℎ 𝑦) = 0ℎ)
22	19, 21	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = 0ℎ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})
23	8, 22	sylan2b 606	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ {0ℎ}) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})
24	23	rgen2 3202	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ}
25	16, 24	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ {0ℎ}∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ} ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})
26		issh2 31816	. . 3 ⊢ ({0ℎ} ∈ Sℋ ↔ (({0ℎ} ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ {0ℎ}) ∧ (∀𝑥 ∈ {0ℎ}∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ} ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})))
27	6, 25, 26	mpbir2an 724	. 2 ⊢ {0ℎ} ∈ Sℋ
28	4	fconst2 7211	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:ℕ⟶{0ℎ} ↔ 𝑓 = (ℕ × {0ℎ}))
29		hlim0 31842	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ
30		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (ℕ × {0ℎ}) → (𝑓 ⇝𝑣 0ℎ ↔ (ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ))
31	29, 30	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (ℕ × {0ℎ}) → 𝑓 ⇝𝑣 0ℎ)
32	28, 31	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑓:ℕ⟶{0ℎ} → 𝑓 ⇝𝑣 0ℎ)
33		hlimuni 31845	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ⇝𝑣 0ℎ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 0ℎ = 𝑥)
34	33	eleq1d 2845	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ⇝𝑣 0ℎ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (0ℎ ∈ {0ℎ} ↔ 𝑥 ∈ {0ℎ}))
35	32, 34	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶{0ℎ} ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (0ℎ ∈ {0ℎ} ↔ 𝑥 ∈ {0ℎ}))
36	5, 35	mpbii 236	. . 3 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶{0ℎ} ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ {0ℎ})
37	36	gen2 1828	. 2 ⊢ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶{0ℎ} ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ {0ℎ})
38		isch2 31830	. 2 ⊢ ({0ℎ} ∈ Cℋ ↔ ({0ℎ} ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶{0ℎ} ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ {0ℎ})))
39	27, 37, 38	mpbir2an 724	1 ⊢ {0ℎ} ∈ Cℋ

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076   ⊆ wss 3895  {csn 4584   class class class wbr 5102   × cxp 5648  ⟶wf 6534  (class class class)co 7420  ℂcc 11201  ℕcn 12338   ℋchba 31526   +_ℎ cva 31527   ·_ℎ csm 31528  0_ℎc0v 31531   ⇝_𝑣 chli 31534   S_ℋ csh 31535   C_ℋ cch 31536

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-pre-sup 11281  ax-addf 11282  ax-mulf 11283  ax-hilex 31606  ax-hfvadd 31607  ax-hvcom 31608  ax-hvass 31609  ax-hv0cl 31610  ax-hvaddid 31611  ax-hfvmul 31612  ax-hvmulid 31613  ax-hvmulass 31614  ax-hvdistr1 31615  ax-hvdistr2 31616  ax-hvmul0 31617  ax-hfi 31686  ax-his1 31689  ax-his2 31690  ax-his3 31691  ax-his4 31692

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-er 8720  df-map 8852  df-pm 8853  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-div 11977  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-q 13079  df-rp 13124  df-xneg 13244  df-xadd 13245  df-xmul 13246  df-icc 13486  df-seq 14148  df-exp 14208  df-cj 15271  df-re 15272  df-im 15273  df-sqrt 15407  df-abs 15408  df-topgen 17619  df-psmet 21675  df-xmet 21676  df-met 21677  df-bl 21678  df-mopn 21679  df-top 23217  df-topon 23234  df-bases 23269  df-lm 23552  df-haus 23638  df-grpo 31100  df-gid 31101  df-ginv 31102  df-gdiv 31103  df-ablo 31152  df-vc 31166  df-nv 31199  df-va 31202  df-ba 31203  df-sm 31204  df-0v 31205  df-vs 31206  df-nmcv 31207  df-ims 31208  df-hnorm 31575  df-hvsub 31578  df-hlim 31579  df-sh 31814  df-ch 31828

This theorem is used by:  h0elch  31862  h1de2ctlem  32162