Theorem hsn0elch 31737

Description: The zero subspace belongs to the set of closed subspaces of Hilbert space. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hsn0elch	⊢ {0ℎ} ∈ Cℋ

Proof of Theorem hsn0elch

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 31492	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		snssi 4749	. . . . 5 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → {0ℎ} ⊆ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {0ℎ} ⊆ ℋ
4	1	elexi 3475	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ V
5	4	snid 4626	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ {0ℎ}
6	3, 5	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ ({0ℎ} ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ {0ℎ})
7		velsn 4603	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {0ℎ} ↔ 𝑥 = 0ℎ)
8		velsn 4603	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {0ℎ} ↔ 𝑦 = 0ℎ)
9		oveq12 7426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 0ℎ ∧ 𝑦 = 0ℎ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (0ℎ +ℎ 0ℎ))
10	1	hvaddlidi 31518	. . . . . . . 8 ⊢ (0ℎ +ℎ 0ℎ) = 0ℎ
11	9, 10	eqtrdi 2813	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0ℎ ∧ 𝑦 = 0ℎ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = 0ℎ)
12		ovex 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ V
13	12	elsn 4602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ} ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) = 0ℎ)
14	11, 13	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0ℎ ∧ 𝑦 = 0ℎ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})
15	7, 8, 14	syl2anb 610	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {0ℎ} ∧ 𝑦 ∈ {0ℎ}) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})
16	15	rgen2 3204	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ {0ℎ}∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ}
17		oveq2 7425	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑥 ·ℎ 0ℎ))
18		hvmul0 31513	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
19	17, 18	sylan9eqr 2819	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = 0ℎ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = 0ℎ)
20		ovex 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ V
21	20	elsn 4602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ} ↔ (𝑥 ·ℎ 𝑦) = 0ℎ)
22	19, 21	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = 0ℎ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})
23	8, 22	sylan2b 606	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ {0ℎ}) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})
24	23	rgen2 3204	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ}
25	16, 24	pm3.2i 476	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ {0ℎ}∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ} ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})
26		issh2 31698	. . 3 ⊢ ({0ℎ} ∈ Sℋ ↔ (({0ℎ} ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ {0ℎ}) ∧ (∀𝑥 ∈ {0ℎ}∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ} ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})))
27	6, 25, 26	mpbir2an 724	. 2 ⊢ {0ℎ} ∈ Sℋ
28	4	fconst2 7208	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:ℕ⟶{0ℎ} ↔ 𝑓 = (ℕ × {0ℎ}))
29		hlim0 31724	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ
30		breq1 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (ℕ × {0ℎ}) → (𝑓 ⇝𝑣 0ℎ ↔ (ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ))
31	29, 30	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (ℕ × {0ℎ}) → 𝑓 ⇝𝑣 0ℎ)
32	28, 31	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑓:ℕ⟶{0ℎ} → 𝑓 ⇝𝑣 0ℎ)
33		hlimuni 31727	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ⇝𝑣 0ℎ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 0ℎ = 𝑥)
34	33	eleq1d 2847	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ⇝𝑣 0ℎ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (0ℎ ∈ {0ℎ} ↔ 𝑥 ∈ {0ℎ}))
35	32, 34	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶{0ℎ} ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (0ℎ ∈ {0ℎ} ↔ 𝑥 ∈ {0ℎ}))
36	5, 35	mpbii 236	. . 3 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶{0ℎ} ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ {0ℎ})
37	36	gen2 1829	. 2 ⊢ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶{0ℎ} ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ {0ℎ})
38		isch2 31712	. 2 ⊢ ({0ℎ} ∈ Cℋ ↔ ({0ℎ} ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶{0ℎ} ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ {0ℎ})))
39	27, 37, 38	mpbir2an 724	1 ⊢ {0ℎ} ∈ Cℋ

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078   ⊆ wss 3902  {csn 4587   class class class wbr 5107   × cxp 5657  ⟶wf 6533  (class class class)co 7417  ℂcc 11126  ℕcn 12261   ℋchba 31408   +_ℎ cva 31409   ·_ℎ csm 31410  0_ℎc0v 31413   ⇝_𝑣 chli 31416   S_ℋ csh 31417   C_ℋ cch 31418

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206  ax-addf 11207  ax-mulf 11208  ax-hilex 31488  ax-hfvadd 31489  ax-hvcom 31490  ax-hvass 31491  ax-hv0cl 31492  ax-hvaddid 31493  ax-hfvmul 31494  ax-hvmulid 31495  ax-hvmulass 31496  ax-hvdistr1 31497  ax-hvdistr2 31498  ax-hvmul0 31499  ax-hfi 31568  ax-his1 31571  ax-his2 31572  ax-his3 31573  ax-his4 31574

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-sup 9416  df-inf 9417  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-icc 13409  df-seq 14070  df-exp 14130  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-topgen 17534  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-top 23125  df-topon 23142  df-bases 23177  df-lm 23460  df-haus 23546  df-grpo 30982  df-gid 30983  df-ginv 30984  df-gdiv 30985  df-ablo 31034  df-vc 31048  df-nv 31081  df-va 31084  df-ba 31085  df-sm 31086  df-0v 31087  df-vs 31088  df-nmcv 31089  df-ims 31090  df-hnorm 31457  df-hvsub 31460  df-hlim 31461  df-sh 31696  df-ch 31710

This theorem is used by:  h0elch  31744  h1de2ctlem  32044