HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  hsn0elch Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hsn0elch 30088
Description: The zero subspace belongs to the set of closed subspaces of Hilbert space. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
hsn0elch {0} ∈ C

Proof of Theorem hsn0elch
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ax-hv0cl 29843 . . . . 5 0 ∈ ℋ
2 snssi 4767 . . . . 5 (0 ∈ ℋ → {0} ⊆ ℋ)
31, 2ax-mp 5 . . . 4 {0} ⊆ ℋ
41elexi 3463 . . . . 5 0 ∈ V
54snid 4621 . . . 4 0 ∈ {0}
63, 5pm3.2i 471 . . 3 ({0} ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ {0})
7 velsn 4601 . . . . . 6 (𝑥 ∈ {0} ↔ 𝑥 = 0)
8 velsn 4601 . . . . . 6 (𝑦 ∈ {0} ↔ 𝑦 = 0)
9 oveq12 7363 . . . . . . . 8 ((𝑥 = 0𝑦 = 0) → (𝑥 + 𝑦) = (0 + 0))
101hvaddid2i 29869 . . . . . . . 8 (0 + 0) = 0
119, 10eqtrdi 2792 . . . . . . 7 ((𝑥 = 0𝑦 = 0) → (𝑥 + 𝑦) = 0)
12 ovex 7387 . . . . . . . 8 (𝑥 + 𝑦) ∈ V
1312elsn 4600 . . . . . . 7 ((𝑥 + 𝑦) ∈ {0} ↔ (𝑥 + 𝑦) = 0)
1411, 13sylibr 233 . . . . . 6 ((𝑥 = 0𝑦 = 0) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {0})
157, 8, 14syl2anb 598 . . . . 5 ((𝑥 ∈ {0} ∧ 𝑦 ∈ {0}) → (𝑥 + 𝑦) ∈ {0})
1615rgen2 3193 . . . 4 𝑥 ∈ {0}∀𝑦 ∈ {0} (𝑥 + 𝑦) ∈ {0}
17 oveq2 7362 . . . . . . . 8 (𝑦 = 0 → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥 · 0))
18 hvmul0 29864 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 · 0) = 0)
1917, 18sylan9eqr 2798 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 𝑦) = 0)
20 ovex 7387 . . . . . . . 8 (𝑥 · 𝑦) ∈ V
2120elsn 4600 . . . . . . 7 ((𝑥 · 𝑦) ∈ {0} ↔ (𝑥 · 𝑦) = 0)
2219, 21sylibr 233 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = 0) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {0})
238, 22sylan2b 594 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ {0}) → (𝑥 · 𝑦) ∈ {0})
2423rgen2 3193 . . . 4 𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ {0} (𝑥 · 𝑦) ∈ {0}
2516, 24pm3.2i 471 . . 3 (∀𝑥 ∈ {0}∀𝑦 ∈ {0} (𝑥 + 𝑦) ∈ {0} ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ {0} (𝑥 · 𝑦) ∈ {0})
26 issh2 30049 . . 3 ({0} ∈ S ↔ (({0} ⊆ ℋ ∧ 0 ∈ {0}) ∧ (∀𝑥 ∈ {0}∀𝑦 ∈ {0} (𝑥 + 𝑦) ∈ {0} ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ {0} (𝑥 · 𝑦) ∈ {0})))
276, 25, 26mpbir2an 709 . 2 {0} ∈ S
284fconst2 7151 . . . . . 6 (𝑓:ℕ⟶{0} ↔ 𝑓 = (ℕ × {0}))
29 hlim0 30075 . . . . . . 7 (ℕ × {0}) ⇝𝑣 0
30 breq1 5107 . . . . . . 7 (𝑓 = (ℕ × {0}) → (𝑓𝑣 0 ↔ (ℕ × {0}) ⇝𝑣 0))
3129, 30mpbiri 257 . . . . . 6 (𝑓 = (ℕ × {0}) → 𝑓𝑣 0)
3228, 31sylbi 216 . . . . 5 (𝑓:ℕ⟶{0} → 𝑓𝑣 0)
33 hlimuni 30078 . . . . . 6 ((𝑓𝑣 0𝑓𝑣 𝑥) → 0 = 𝑥)
3433eleq1d 2822 . . . . 5 ((𝑓𝑣 0𝑓𝑣 𝑥) → (0 ∈ {0} ↔ 𝑥 ∈ {0}))
3532, 34sylan 580 . . . 4 ((𝑓:ℕ⟶{0} ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → (0 ∈ {0} ↔ 𝑥 ∈ {0}))
365, 35mpbii 232 . . 3 ((𝑓:ℕ⟶{0} ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ {0})
3736gen2 1798 . 2 𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶{0} ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ {0})
38 isch2 30063 . 2 ({0} ∈ C ↔ ({0} ∈ S ∧ ∀𝑓𝑥((𝑓:ℕ⟶{0} ∧ 𝑓𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ {0})))
3927, 37, 38mpbir2an 709 1 {0} ∈ C
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3063  wss 3909  {csn 4585   class class class wbr 5104   × cxp 5630  wf 6490  (class class class)co 7354  cc 11046  cn 12150  chba 29759   + cva 29760   · csm 29761  0c0v 29764  𝑣 chli 29767   S csh 29768   C cch 29769
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7669  ax-cnex 11104  ax-resscn 11105  ax-1cn 11106  ax-icn 11107  ax-addcl 11108  ax-addrcl 11109  ax-mulcl 11110  ax-mulrcl 11111  ax-mulcom 11112  ax-addass 11113  ax-mulass 11114  ax-distr 11115  ax-i2m1 11116  ax-1ne0 11117  ax-1rid 11118  ax-rnegex 11119  ax-rrecex 11120  ax-cnre 11121  ax-pre-lttri 11122  ax-pre-lttrn 11123  ax-pre-ltadd 11124  ax-pre-mulgt0 11125  ax-pre-sup 11126  ax-addf 11127  ax-mulf 11128  ax-hilex 29839  ax-hfvadd 29840  ax-hvcom 29841  ax-hvass 29842  ax-hv0cl 29843  ax-hvaddid 29844  ax-hfvmul 29845  ax-hvmulid 29846  ax-hvmulass 29847  ax-hvdistr1 29848  ax-hvdistr2 29849  ax-hvmul0 29850  ax-hfi 29919  ax-his1 29922  ax-his2 29923  ax-his3 29924  ax-his4 29925
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7310  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7800  df-1st 7918  df-2nd 7919  df-frecs 8209  df-wrecs 8240  df-recs 8314  df-rdg 8353  df-er 8645  df-map 8764  df-pm 8765  df-en 8881  df-dom 8882  df-sdom 8883  df-sup 9375  df-inf 9376  df-pnf 11188  df-mnf 11189  df-xr 11190  df-ltxr 11191  df-le 11192  df-sub 11384  df-neg 11385  df-div 11810  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-n0 12411  df-z 12497  df-uz 12761  df-q 12871  df-rp 12913  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-icc 13268  df-seq 13904  df-exp 13965  df-cj 14981  df-re 14982  df-im 14983  df-sqrt 15117  df-abs 15118  df-topgen 17322  df-psmet 20784  df-xmet 20785  df-met 20786  df-bl 20787  df-mopn 20788  df-top 22239  df-topon 22256  df-bases 22292  df-lm 22576  df-haus 22662  df-grpo 29333  df-gid 29334  df-ginv 29335  df-gdiv 29336  df-ablo 29385  df-vc 29399  df-nv 29432  df-va 29435  df-ba 29436  df-sm 29437  df-0v 29438  df-vs 29439  df-nmcv 29440  df-ims 29441  df-hnorm 29808  df-hvsub 29811  df-hlim 29812  df-sh 30047  df-ch 30061
This theorem is referenced by:  h0elch  30095  h1de2ctlem  30395
  Copyright terms: Public domain W3C validator