Theorem hsn0elch 29196

Description: The zero subspace belongs to the set of closed subspaces of Hilbert space. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hsn0elch	⊢ {0ℎ} ∈ Cℋ

Proof of Theorem hsn0elch

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 28951	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		snssi 4706	. . . . 5 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → {0ℎ} ⊆ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {0ℎ} ⊆ ℋ
4	1	elexi 3419	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ V
5	4	snid 4562	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ {0ℎ}
6	3, 5	pm3.2i 474	. . 3 ⊢ ({0ℎ} ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ {0ℎ})
7		velsn 4542	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {0ℎ} ↔ 𝑥 = 0ℎ)
8		velsn 4542	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {0ℎ} ↔ 𝑦 = 0ℎ)
9		oveq12 7192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 0ℎ ∧ 𝑦 = 0ℎ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (0ℎ +ℎ 0ℎ))
10	1	hvaddid2i 28977	. . . . . . . 8 ⊢ (0ℎ +ℎ 0ℎ) = 0ℎ
11	9, 10	eqtrdi 2790	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0ℎ ∧ 𝑦 = 0ℎ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = 0ℎ)
12		ovex 7216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ V
13	12	elsn 4541	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ} ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) = 0ℎ)
14	11, 13	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0ℎ ∧ 𝑦 = 0ℎ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})
15	7, 8, 14	syl2anb 601	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {0ℎ} ∧ 𝑦 ∈ {0ℎ}) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})
16	15	rgen2 3116	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ {0ℎ}∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ}
17		oveq2 7191	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑥 ·ℎ 0ℎ))
18		hvmul0 28972	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
19	17, 18	sylan9eqr 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = 0ℎ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = 0ℎ)
20		ovex 7216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ V
21	20	elsn 4541	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ} ↔ (𝑥 ·ℎ 𝑦) = 0ℎ)
22	19, 21	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = 0ℎ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})
23	8, 22	sylan2b 597	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ {0ℎ}) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})
24	23	rgen2 3116	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ}
25	16, 24	pm3.2i 474	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ {0ℎ}∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ} ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})
26		issh2 29157	. . 3 ⊢ ({0ℎ} ∈ Sℋ ↔ (({0ℎ} ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ {0ℎ}) ∧ (∀𝑥 ∈ {0ℎ}∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ} ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})))
27	6, 25, 26	mpbir2an 711	. 2 ⊢ {0ℎ} ∈ Sℋ
28	4	fconst2 6990	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:ℕ⟶{0ℎ} ↔ 𝑓 = (ℕ × {0ℎ}))
29		hlim0 29183	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ
30		breq1 5043	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (ℕ × {0ℎ}) → (𝑓 ⇝𝑣 0ℎ ↔ (ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ))
31	29, 30	mpbiri 261	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (ℕ × {0ℎ}) → 𝑓 ⇝𝑣 0ℎ)
32	28, 31	sylbi 220	. . . . 5 ⊢ (𝑓:ℕ⟶{0ℎ} → 𝑓 ⇝𝑣 0ℎ)
33		hlimuni 29186	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ⇝𝑣 0ℎ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 0ℎ = 𝑥)
34	33	eleq1d 2818	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ⇝𝑣 0ℎ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (0ℎ ∈ {0ℎ} ↔ 𝑥 ∈ {0ℎ}))
35	32, 34	sylan 583	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶{0ℎ} ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (0ℎ ∈ {0ℎ} ↔ 𝑥 ∈ {0ℎ}))
36	5, 35	mpbii 236	. . 3 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶{0ℎ} ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ {0ℎ})
37	36	gen2 1803	. 2 ⊢ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶{0ℎ} ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ {0ℎ})
38		isch2 29171	. 2 ⊢ ({0ℎ} ∈ Cℋ ↔ ({0ℎ} ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶{0ℎ} ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ {0ℎ})))
39	27, 37, 38	mpbir2an 711	1 ⊢ {0ℎ} ∈ Cℋ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3054   ⊆ wss 3853  {csn 4526   class class class wbr 5040   × cxp 5533  ⟶wf 6346  (class class class)co 7183  ℂcc 10626  ℕcn 11729   ℋchba 28867   +_ℎ cva 28868   ·_ℎ csm 28869  0_ℎc0v 28872   ⇝_𝑣 chli 28875   S_ℋ csh 28876   C_ℋ cch 28877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492  ax-cnex 10684  ax-resscn 10685  ax-1cn 10686  ax-icn 10687  ax-addcl 10688  ax-addrcl 10689  ax-mulcl 10690  ax-mulrcl 10691  ax-mulcom 10692  ax-addass 10693  ax-mulass 10694  ax-distr 10695  ax-i2m1 10696  ax-1ne0 10697  ax-1rid 10698  ax-rnegex 10699  ax-rrecex 10700  ax-cnre 10701  ax-pre-lttri 10702  ax-pre-lttrn 10703  ax-pre-ltadd 10704  ax-pre-mulgt0 10705  ax-pre-sup 10706  ax-addf 10707  ax-mulf 10708  ax-hilex 28947  ax-hfvadd 28948  ax-hvcom 28949  ax-hvass 28950  ax-hv0cl 28951  ax-hvaddid 28952  ax-hfvmul 28953  ax-hvmulid 28954  ax-hvmulass 28955  ax-hvdistr1 28956  ax-hvdistr2 28957  ax-hvmul0 28958  ax-hfi 29027  ax-his1 29030  ax-his2 29031  ax-his3 29032  ax-his4 29033

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5439  df-eprel 5444  df-po 5452  df-so 5453  df-fr 5493  df-we 5495  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-pred 6139  df-ord 6186  df-on 6187  df-lim 6188  df-suc 6189  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-om 7613  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-wrecs 7989  df-recs 8050  df-rdg 8088  df-er 8333  df-map 8452  df-pm 8453  df-en 8569  df-dom 8570  df-sdom 8571  df-sup 8992  df-inf 8993  df-pnf 10768  df-mnf 10769  df-xr 10770  df-ltxr 10771  df-le 10772  df-sub 10963  df-neg 10964  df-div 11389  df-nn 11730  df-2 11792  df-3 11793  df-4 11794  df-n0 11990  df-z 12076  df-uz 12338  df-q 12444  df-rp 12486  df-xneg 12603  df-xadd 12604  df-xmul 12605  df-icc 12841  df-seq 13474  df-exp 13535  df-cj 14561  df-re 14562  df-im 14563  df-sqrt 14697  df-abs 14698  df-topgen 16833  df-psmet 20222  df-xmet 20223  df-met 20224  df-bl 20225  df-mopn 20226  df-top 21658  df-topon 21675  df-bases 21710  df-lm 21993  df-haus 22079  df-grpo 28441  df-gid 28442  df-ginv 28443  df-gdiv 28444  df-ablo 28493  df-vc 28507  df-nv 28540  df-va 28543  df-ba 28544  df-sm 28545  df-0v 28546  df-vs 28547  df-nmcv 28548  df-ims 28549  df-hnorm 28916  df-hvsub 28919  df-hlim 28920  df-sh 29155  df-ch 29169

This theorem is referenced by:  h0elch  29203  h1de2ctlem  29503