Theorem hsn0elch 31226

Description: The zero subspace belongs to the set of closed subspaces of Hilbert space. (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
hsn0elch	⊢ {0ℎ} ∈ Cℋ

Proof of Theorem hsn0elch

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-hv0cl 30981	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ ℋ
2		snssi 4760	. . . . 5 ⊢ (0ℎ ∈ ℋ → {0ℎ} ⊆ ℋ)
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ {0ℎ} ⊆ ℋ
4	1	elexi 3459	. . . . 5 ⊢ 0ℎ ∈ V
5	4	snid 4615	. . . 4 ⊢ 0ℎ ∈ {0ℎ}
6	3, 5	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ ({0ℎ} ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ {0ℎ})
7		velsn 4592	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ {0ℎ} ↔ 𝑥 = 0ℎ)
8		velsn 4592	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ {0ℎ} ↔ 𝑦 = 0ℎ)
9		oveq12 7355	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 = 0ℎ ∧ 𝑦 = 0ℎ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = (0ℎ +ℎ 0ℎ))
10	1	hvaddlidi 31007	. . . . . . . 8 ⊢ (0ℎ +ℎ 0ℎ) = 0ℎ
11	9, 10	eqtrdi 2782	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 = 0ℎ ∧ 𝑦 = 0ℎ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) = 0ℎ)
12		ovex 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ V
13	12	elsn 4591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ} ↔ (𝑥 +ℎ 𝑦) = 0ℎ)
14	11, 13	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 = 0ℎ ∧ 𝑦 = 0ℎ) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})
15	7, 8, 14	syl2anb 598	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ {0ℎ} ∧ 𝑦 ∈ {0ℎ}) → (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})
16	15	rgen2 3172	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ {0ℎ}∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ}
17		oveq2 7354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 0ℎ → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = (𝑥 ·ℎ 0ℎ))
18		hvmul0 31002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℂ → (𝑥 ·ℎ 0ℎ) = 0ℎ)
19	17, 18	sylan9eqr 2788	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = 0ℎ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) = 0ℎ)
20		ovex 7379	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ V
21	20	elsn 4591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ} ↔ (𝑥 ·ℎ 𝑦) = 0ℎ)
22	19, 21	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 = 0ℎ) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})
23	8, 22	sylan2b 594	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ {0ℎ}) → (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})
24	23	rgen2 3172	. . . 4 ⊢ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ}
25	16, 24	pm3.2i 470	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ {0ℎ}∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ} ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})
26		issh2 31187	. . 3 ⊢ ({0ℎ} ∈ Sℋ ↔ (({0ℎ} ⊆ ℋ ∧ 0ℎ ∈ {0ℎ}) ∧ (∀𝑥 ∈ {0ℎ}∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 +ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ} ∧ ∀𝑥 ∈ ℂ ∀𝑦 ∈ {0ℎ} (𝑥 ·ℎ 𝑦) ∈ {0ℎ})))
27	6, 25, 26	mpbir2an 711	. 2 ⊢ {0ℎ} ∈ Sℋ
28	4	fconst2 7139	. . . . . 6 ⊢ (𝑓:ℕ⟶{0ℎ} ↔ 𝑓 = (ℕ × {0ℎ}))
29		hlim0 31213	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ
30		breq1 5094	. . . . . . 7 ⊢ (𝑓 = (ℕ × {0ℎ}) → (𝑓 ⇝𝑣 0ℎ ↔ (ℕ × {0ℎ}) ⇝𝑣 0ℎ))
31	29, 30	mpbiri 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 = (ℕ × {0ℎ}) → 𝑓 ⇝𝑣 0ℎ)
32	28, 31	sylbi 217	. . . . 5 ⊢ (𝑓:ℕ⟶{0ℎ} → 𝑓 ⇝𝑣 0ℎ)
33		hlimuni 31216	. . . . . 6 ⊢ ((𝑓 ⇝𝑣 0ℎ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 0ℎ = 𝑥)
34	33	eleq1d 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝑓 ⇝𝑣 0ℎ ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (0ℎ ∈ {0ℎ} ↔ 𝑥 ∈ {0ℎ}))
35	32, 34	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶{0ℎ} ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → (0ℎ ∈ {0ℎ} ↔ 𝑥 ∈ {0ℎ}))
36	5, 35	mpbii 233	. . 3 ⊢ ((𝑓:ℕ⟶{0ℎ} ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ {0ℎ})
37	36	gen2 1797	. 2 ⊢ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶{0ℎ} ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ {0ℎ})
38		isch2 31201	. 2 ⊢ ({0ℎ} ∈ Cℋ ↔ ({0ℎ} ∈ Sℋ ∧ ∀𝑓∀𝑥((𝑓:ℕ⟶{0ℎ} ∧ 𝑓 ⇝𝑣 𝑥) → 𝑥 ∈ {0ℎ})))
39	27, 37, 38	mpbir2an 711	1 ⊢ {0ℎ} ∈ Cℋ

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1539   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ⊆ wss 3902  {csn 4576   class class class wbr 5091   × cxp 5614  ⟶wf 6477  (class class class)co 7346  ℂcc 11004  ℕcn 12125   ℋchba 30897   +_ℎ cva 30898   ·_ℎ csm 30899  0_ℎc0v 30902   ⇝_𝑣 chli 30905   S_ℋ csh 30906   C_ℋ cch 30907

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084  ax-addf 11085  ax-mulf 11086  ax-hilex 30977  ax-hfvadd 30978  ax-hvcom 30979  ax-hvass 30980  ax-hv0cl 30981  ax-hvaddid 30982  ax-hfvmul 30983  ax-hvmulid 30984  ax-hvmulass 30985  ax-hvdistr1 30986  ax-hvdistr2 30987  ax-hvmul0 30988  ax-hfi 31057  ax-his1 31060  ax-his2 31061  ax-his3 31062  ax-his4 31063

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-rp 12891  df-xneg 13011  df-xadd 13012  df-xmul 13013  df-icc 13252  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-topgen 17347  df-psmet 21284  df-xmet 21285  df-met 21286  df-bl 21287  df-mopn 21288  df-top 22810  df-topon 22827  df-bases 22862  df-lm 23145  df-haus 23231  df-grpo 30471  df-gid 30472  df-ginv 30473  df-gdiv 30474  df-ablo 30523  df-vc 30537  df-nv 30570  df-va 30573  df-ba 30574  df-sm 30575  df-0v 30576  df-vs 30577  df-nmcv 30578  df-ims 30579  df-hnorm 30946  df-hvsub 30949  df-hlim 30950  df-sh 31185  df-ch 31199

This theorem is referenced by:  h0elch  31233  h1de2ctlem  31533