Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  poimir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poimir 37257
Description: Poincare-Miranda theorem. Theorem on [Kulpa] p. 547. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
poimir.0 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
poimir.i 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
poimir.r 𝑅 = (∏t‘((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}))
poimir.1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
poimir.2 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
poimir.3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
Assertion
Ref Expression
poimir (𝜑 → ∃𝑐𝐼 (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝜑   𝑛,𝐹   𝑛,𝑁   𝜑,𝑧   𝑧,𝐹   𝑧,𝑁   𝑛,𝑐,𝑧,𝜑   𝐹,𝑐   𝐼,𝑐,𝑛,𝑧   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐,𝑛,𝑧

Proof of Theorem poimir
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poimir.0 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 poimir.i . . 3 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
3 poimir.r . . 3 𝑅 = (∏t‘((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}))
4 poimir.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
5 poimir.2 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
6 poimir.3 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
71, 2, 3, 4, 5, 6poimirlem32 37256 . 2 (𝜑 → ∃𝑐𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
8 ovex 7452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1...𝑁) ∈ V
9 retopon 24724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
103pttoponconst 23545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((1...𝑁) ∈ V ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)) → 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁))))
118, 9, 10mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁)))
1211topontopi 22861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑅 ∈ Top
13 reex 11231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℝ ∈ V
14 unitssre 13511 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0[,]1) ⊆ ℝ
15 mapss 8908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ℝ ∈ V ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ) → ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
1613, 14, 15mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))
172, 16eqsstri 4011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐼 ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))
1811toponunii 22862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ℝ ↑m (1...𝑁)) = 𝑅
1918restuni 23110 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐼 ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → 𝐼 = (𝑅t 𝐼))
2012, 17, 19mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐼 = (𝑅t 𝐼)
2120, 18cnf 23194 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅) → 𝐹:𝐼⟶(ℝ ↑m (1...𝑁)))
224, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐼⟶(ℝ ↑m (1...𝑁)))
2322ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐) ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
24 elmapi 8868 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑐) ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶ℝ)
2625ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ)
27 recn 11230 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℂ)
28 absrpcl 15271 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0) → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+)
2928ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℂ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+))
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+))
31 ltsubrp 13045 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛))
32 ltaddrp 13046 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))
3331, 32jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
3433ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → ((abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+ → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
3530, 34syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
3627abscld 15419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ)
37 resubcl 11556 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ)
3836, 37mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ)
3938rexrd 11296 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ*)
40 readdcl 11223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ)
4136, 40mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ)
4241rexrd 11296 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ*)
43 rexr 11292 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ*)
44 elioo5 13416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ* ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ*) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
4539, 42, 43, 44syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
4635, 45sylibrd 258 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
4726, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
48 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑐 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑐))
4948fveq1d 6898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹𝑥)‘𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛))
50 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))
51 fvex 6909 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ V
5249, 50, 51fvmpt 7004 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) = ((𝐹𝑐)‘𝑛))
5352eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
5453ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
5547, 54sylibrd 258 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
56 iooretop 24726 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∈ (topGen‘ran (,))
57 resttopon 23109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝐼 ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
5811, 17, 57mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼)
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
6022feqmptd 6966 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
6160, 4eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
6261adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
6311a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁))))
64 retop 24722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
6564fconst6 6787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top
6618, 3ptpjcn 23559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1...𝑁) ∈ V ∧ ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑧𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
678, 65, 66mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑧 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑧𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
68 fvex 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) ∈ V
6968fvconst2 7216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛) = (topGen‘ran (,)))
7069oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)) = (𝑅 Cn (topGen‘ran (,))))
7167, 70eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑧 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑧𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (topGen‘ran (,))))
7271adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑧𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (topGen‘ran (,))))
73 fveq1 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝐹𝑥) → (𝑧𝑛) = ((𝐹𝑥)‘𝑛))
7459, 62, 63, 72, 73cnmpt11 23611 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (topGen‘ran (,))))
7520cncnpi 23226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑐𝐼) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐))
7674, 75sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑐𝐼) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐))
7776an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐))
78 iscnp 23185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼) ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝑐𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐) ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)):𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)))))
7958, 9, 78mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐) ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)):𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)))))
8079ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐) ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)):𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)))))
8177, 80mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)):𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧))))
8281simprd 494 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)))
83 eleq2 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
84 sseq2 4003 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
8584anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ((𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))))
8685rexbidv 3168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))))
8783, 86imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ((((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)) ↔ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))))
8887rspcv 3602 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∈ (topGen‘ran (,)) → (∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))))
8956, 82, 88mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))))
9055, 89syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))))
91 0re 11248 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
92 letric 11346 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
9326, 91, 92sylancl 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
9490, 93jctird 525 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
95 r19.41v 3178 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)((𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))))
96 anass 467 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ (𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
9796rexbii 3083 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)((𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
9895, 97bitr3i 276 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
9994, 98imbitrdi 250 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
10058topontopi 22861 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅t 𝐼) ∈ Top
10120eltopss 22853 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅t 𝐼) ∈ Top ∧ 𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)) → 𝑣𝐼)
102100, 101mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼) → 𝑣𝐼)
103 fvex 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑥)‘𝑛) ∈ V
104103, 50dmmpti 6700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) = 𝐼
105104sseq2i 4006 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ⊆ dom (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ↔ 𝑣𝐼)
106 funmpt 6592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))
107 funimass4 6962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∧ 𝑣 ⊆ dom (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ∀𝑧𝑣 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
108106, 107mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ⊆ dom (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ∀𝑧𝑣 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
109105, 108sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ∀𝑧𝑣 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
110 ssel2 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐼𝑧𝑣) → 𝑧𝐼)
111 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
112111fveq1d 6898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥)‘𝑛) = ((𝐹𝑧)‘𝑛))
113 fvex 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ V
114112, 50, 113fvmpt 7004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) = ((𝐹𝑧)‘𝑛))
115114eleq1d 2810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
116 eliooord 13418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
117115, 116biimtrdi 252 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
118110, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐼𝑧𝑣) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
119118ralimdva 3156 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝐼 → (∀𝑧𝑣 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
120109, 119sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
121120adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
122 absnid 15281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) = -((𝐹𝑐)‘𝑛))
123122oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = (((𝐹𝑐)‘𝑛) + -((𝐹𝑐)‘𝑛)))
12427negidd 11593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + -((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0)
125124adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + -((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0)
126123, 125eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
12726, 126sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
128127adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
129128breq2d 5161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < 0))
13022ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
131 elmapi 8868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶ℝ)
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶ℝ)
133132ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ ℝ)
134133an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ ℝ)
135 0red 11249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → 0 ∈ ℝ)
136134, 135ltnled 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
137136adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
138137adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
139129, 138bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
140139biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) → ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
141110, 140sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ (𝑣𝐼𝑧𝑣)) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) → ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
142141anassrs 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑣𝐼) ∧ 𝑧𝑣) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) → ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
143142adantld 489 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑣𝐼) ∧ 𝑧𝑣) → (((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
144143ralimdva 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑣𝐼) → (∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
145144an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
146145impancom 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 → ∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
147 absid 15279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) = ((𝐹𝑐)‘𝑛))
148147oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = (((𝐹𝑐)‘𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
14927subidd 11591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0)
150149adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0)
151148, 150eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
15226, 151sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
153152adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
154153breq1d 5159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑧𝐼) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ 0 < ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
155135, 134ltnled 11393 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → (0 < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
156155adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → (0 < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
157156adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑧𝐼) → (0 < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
158154, 157bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑧𝐼) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
159158biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑧𝐼) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) → ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
160110, 159sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ (𝑣𝐼𝑧𝑣)) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) → ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
161160anassrs 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ 𝑧𝑣) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) → ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
162161adantrd 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ 𝑧𝑣) → (((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
163162ralimdva 3156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑣𝐼) → (∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
164163an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
165164impancom 450 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) → (0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛) → ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
166146, 165orim12d 962 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)))
167166expimpd 452 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) → ((∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) → (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)))
168121, 167syland 601 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) → ((((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) → (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)))
169102, 168sylan2 591 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)) → ((((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) → (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)))
170169anim2d 610 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)) → ((𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → (𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))))
171170reximdva 3157 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))))
17299, 171syld 47 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))))
173 ralnex 3061 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑧𝑣 ¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛))
174173rexbii 3083 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∀𝑧𝑣 ¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ∃𝑟 ∈ { ≤ , ≤ } ¬ ∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛))
175 letsr 18588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ≤ ∈ TosetRel
176175elexi 3482 . . . . . . . . . . . . . 14 ≤ ∈ V
177176cnvex 7933 . . . . . . . . . . . . . 14 ≤ ∈ V
178 breq 5151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = ≤ → (0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
179178notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = ≤ → (¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
180179ralbidv 3167 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = ≤ → (∀𝑧𝑣 ¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
181 breq 5151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = ≤ → (0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
182 c0ex 11240 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
183182, 113brcnv 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
184181, 183bitrdi 286 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = ≤ → (0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
185184notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = ≤ → (¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
186185ralbidv 3167 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = ≤ → (∀𝑧𝑣 ¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
187176, 177, 180, 186rexpr 4707 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∀𝑧𝑣 ¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
188 rexnal 3089 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟 ∈ { ≤ , ≤ } ¬ ∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛))
189174, 187, 1883bitr3i 300 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛))
190189anbi2i 621 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)) ↔ (𝑐𝑣 ∧ ¬ ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
191 annim 402 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐𝑣 ∧ ¬ ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) ↔ ¬ (𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
192190, 191bitri 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)) ↔ ¬ (𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
193192rexbii 3083 . . . . . . . . 9 (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼) ¬ (𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
194 rexnal 3089 . . . . . . . . 9 (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼) ¬ (𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) ↔ ¬ ∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
195193, 194bitri 274 . . . . . . . 8 (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)) ↔ ¬ ∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
196172, 195imbitrdi 250 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ¬ ∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛))))
197196necon4ad 2948 . . . . . 6 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) = 0))
198197ralimdva 3156 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → (∀𝑛 ∈ (1...𝑁)∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) → ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑐)‘𝑛) = 0))
19925ffnd 6724 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁))
200198, 199jctild 524 . . . 4 ((𝜑𝑐𝐼) → (∀𝑛 ∈ (1...𝑁)∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) → ((𝐹𝑐) Fn (1...𝑁) ∧ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑐)‘𝑛) = 0)))
201 fconstfv 7224 . . . . 5 ((𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶{0} ↔ ((𝐹𝑐) Fn (1...𝑁) ∧ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑐)‘𝑛) = 0))
202182fconst2 7217 . . . . 5 ((𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶{0} ↔ (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0}))
203201, 202bitr3i 276 . . . 4 (((𝐹𝑐) Fn (1...𝑁) ∧ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑐)‘𝑛) = 0) ↔ (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0}))
204200, 203imbitrdi 250 . . 3 ((𝜑𝑐𝐼) → (∀𝑛 ∈ (1...𝑁)∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) → (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0})))
205204reximdva 3157 . 2 (𝜑 → (∃𝑐𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) → ∃𝑐𝐼 (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0})))
2067, 205mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑐𝐼 (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  Vcvv 3461  wss 3944  {csn 4630  {cpr 4632   cuni 4909   class class class wbr 5149  cmpt 5232   × cxp 5676  ccnv 5677  dom cdm 5678  ran crn 5679  cima 5681  Fun wfun 6543   Fn wfn 6544  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  m cmap 8845  cc 11138  cr 11139  0cc0 11140  1c1 11141   + caddc 11143  *cxr 11279   < clt 11280  cle 11281  cmin 11476  -cneg 11477  cn 12245  +crp 13009  (,)cioo 13359  [,]cicc 13362  ...cfz 13519  abscabs 15217  t crest 17405  topGenctg 17422  tcpt 17423   TosetRel ctsr 18560  Topctop 22839  TopOnctopon 22856   Cn ccn 23172   CnP ccnp 23173
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-inf2 9666  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-pre-sup 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5115  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fi 9436  df-sup 9467  df-inf 9468  df-oi 9535  df-dju 9926  df-card 9964  df-acn 9967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-uz 12856  df-q 12966  df-rp 13010  df-xneg 13127  df-xadd 13128  df-xmul 13129  df-ioo 13363  df-icc 13366  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-fl 13793  df-seq 14003  df-exp 14063  df-fac 14269  df-bc 14298  df-hash 14326  df-cj 15082  df-re 15083  df-im 15084  df-sqrt 15218  df-abs 15219  df-clim 15468  df-sum 15669  df-dvds 16235  df-rest 17407  df-topgen 17428  df-pt 17429  df-ps 18561  df-tsr 18562  df-psmet 21288  df-xmet 21289  df-met 21290  df-bl 21291  df-mopn 21292  df-top 22840  df-topon 22857  df-bases 22893  df-cld 22967  df-ntr 22968  df-cls 22969  df-lp 23084  df-cn 23175  df-cnp 23176  df-t1 23262  df-haus 23263  df-cmp 23335  df-tx 23510  df-hmeo 23703  df-hmph 23704  df-ii 24841
This theorem is referenced by:  broucube  37258
  Copyright terms: Public domain W3C validator