Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  poimir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poimir 34929
 Description: Poincare-Miranda theorem. Theorem on [Kulpa] p. 547. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
poimir.0 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
poimir.i 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
poimir.r 𝑅 = (∏t‘((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}))
poimir.1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
poimir.2 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
poimir.3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
Assertion
Ref Expression
poimir (𝜑 → ∃𝑐𝐼 (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝜑   𝑛,𝐹   𝑛,𝑁   𝜑,𝑧   𝑧,𝐹   𝑧,𝑁   𝑛,𝑐,𝑧,𝜑   𝐹,𝑐   𝐼,𝑐,𝑛,𝑧   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐,𝑛,𝑧

Proof of Theorem poimir
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poimir.0 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 poimir.i . . 3 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
3 poimir.r . . 3 𝑅 = (∏t‘((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}))
4 poimir.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
5 poimir.2 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
6 poimir.3 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
71, 2, 3, 4, 5, 6poimirlem32 34928 . 2 (𝜑 → ∃𝑐𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
8 ovex 7192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1...𝑁) ∈ V
9 retopon 23375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
103pttoponconst 22208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((1...𝑁) ∈ V ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)) → 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁))))
118, 9, 10mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁)))
1211topontopi 21526 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑅 ∈ Top
13 reex 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℝ ∈ V
14 unitssre 12888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0[,]1) ⊆ ℝ
15 mapss 8456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ℝ ∈ V ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ) → ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
1613, 14, 15mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))
172, 16eqsstri 4004 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐼 ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))
1811toponunii 21527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ℝ ↑m (1...𝑁)) = 𝑅
1918restuni 21773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐼 ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → 𝐼 = (𝑅t 𝐼))
2012, 17, 19mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐼 = (𝑅t 𝐼)
2120, 18cnf 21857 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅) → 𝐹:𝐼⟶(ℝ ↑m (1...𝑁)))
224, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐼⟶(ℝ ↑m (1...𝑁)))
2322ffvelrnda 6854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐) ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
24 elmapi 8431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑐) ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶ℝ)
2625ffvelrnda 6854 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ)
27 recn 10630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℂ)
28 absrpcl 14651 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0) → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+)
2928ex 415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℂ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+))
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+))
31 ltsubrp 12428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛))
32 ltaddrp 12429 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))
3331, 32jca 514 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
3433ex 415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → ((abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+ → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
3530, 34syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
3627abscld 14799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ)
37 resubcl 10953 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ)
3836, 37mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ)
3938rexrd 10694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ*)
40 readdcl 10623 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ)
4136, 40mpdan 685 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ)
4241rexrd 10694 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ*)
43 rexr 10690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ*)
44 elioo5 12797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ* ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ*) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
4539, 42, 43, 44syl3anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
4635, 45sylibrd 261 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
4726, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
48 fveq2 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑐 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑐))
4948fveq1d 6675 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹𝑥)‘𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛))
50 eqid 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))
51 fvex 6686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ V
5249, 50, 51fvmpt 6771 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) = ((𝐹𝑐)‘𝑛))
5352eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
5453ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
5547, 54sylibrd 261 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
56 iooretop 23377 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∈ (topGen‘ran (,))
57 resttopon 21772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝐼 ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
5811, 17, 57mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼)
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
6022feqmptd 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
6160, 4eqeltrrd 2917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
6261adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
6311a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁))))
64 retop 23373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
6564fconst6 6572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top
6618, 3ptpjcn 22222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1...𝑁) ∈ V ∧ ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑧𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
678, 65, 66mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑧 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑧𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
68 fvex 6686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) ∈ V
6968fvconst2 6969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛) = (topGen‘ran (,)))
7069oveq2d 7175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)) = (𝑅 Cn (topGen‘ran (,))))
7167, 70eleqtrd 2918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑧 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑧𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (topGen‘ran (,))))
7271adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑧𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (topGen‘ran (,))))
73 fveq1 6672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝐹𝑥) → (𝑧𝑛) = ((𝐹𝑥)‘𝑛))
7459, 62, 63, 72, 73cnmpt11 22274 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (topGen‘ran (,))))
7520cncnpi 21889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑐𝐼) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐))
7674, 75sylan 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑐𝐼) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐))
7776an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐))
78 iscnp 21848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼) ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝑐𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐) ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)):𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)))))
7958, 9, 78mp3an12 1447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐) ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)):𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)))))
8079ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐) ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)):𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)))))
8177, 80mpbid 234 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)):𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧))))
8281simprd 498 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)))
83 eleq2 2904 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
84 sseq2 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
8584anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ((𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))))
8685rexbidv 3300 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))))
8783, 86imbi12d 347 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ((((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)) ↔ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))))
8887rspcv 3621 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∈ (topGen‘ran (,)) → (∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))))
8956, 82, 88mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))))
9055, 89syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))))
91 0re 10646 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
92 letric 10743 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
9326, 91, 92sylancl 588 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
9490, 93jctird 529 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
95 r19.41v 3350 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)((𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))))
96 anass 471 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ (𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
9796rexbii 3250 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)((𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
9895, 97bitr3i 279 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
9994, 98syl6ib 253 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
10058topontopi 21526 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅t 𝐼) ∈ Top
10120eltopss 21518 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅t 𝐼) ∈ Top ∧ 𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)) → 𝑣𝐼)
102100, 101mpan 688 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼) → 𝑣𝐼)
103 fvex 6686 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑥)‘𝑛) ∈ V
104103, 50dmmpti 6495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) = 𝐼
105104sseq2i 3999 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ⊆ dom (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ↔ 𝑣𝐼)
106 funmpt 6396 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))
107 funimass4 6733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∧ 𝑣 ⊆ dom (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ∀𝑧𝑣 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
108106, 107mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ⊆ dom (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ∀𝑧𝑣 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
109105, 108sylbir 237 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ∀𝑧𝑣 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
110 ssel2 3965 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐼𝑧𝑣) → 𝑧𝐼)
111 fveq2 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
112111fveq1d 6675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥)‘𝑛) = ((𝐹𝑧)‘𝑛))
113 fvex 6686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ V
114112, 50, 113fvmpt 6771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) = ((𝐹𝑧)‘𝑛))
115114eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
116 eliooord 12799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
117115, 116syl6bi 255 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
118110, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐼𝑧𝑣) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
119118ralimdva 3180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝐼 → (∀𝑧𝑣 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
120109, 119sylbid 242 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
121120adantl 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
122 absnid 14661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) = -((𝐹𝑐)‘𝑛))
123122oveq2d 7175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = (((𝐹𝑐)‘𝑛) + -((𝐹𝑐)‘𝑛)))
12427negidd 10990 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + -((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0)
125124adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + -((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0)
126123, 125eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
12726, 126sylan 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
128127adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
129128breq2d 5081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < 0))
13022ffvelrnda 6854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
131 elmapi 8431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶ℝ)
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶ℝ)
133132ffvelrnda 6854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ ℝ)
134133an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ ℝ)
135 0red 10647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → 0 ∈ ℝ)
136134, 135ltnled 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
137136adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
138137adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
139129, 138bitrd 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
140139biimpd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) → ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
141110, 140sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ (𝑣𝐼𝑧𝑣)) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) → ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
142141anassrs 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑣𝐼) ∧ 𝑧𝑣) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) → ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
143142adantld 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑣𝐼) ∧ 𝑧𝑣) → (((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
144143ralimdva 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑣𝐼) → (∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
145144an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
146145impancom 454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 → ∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
147 absid 14659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) = ((𝐹𝑐)‘𝑛))
148147oveq2d 7175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = (((𝐹𝑐)‘𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
14927subidd 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0)
150149adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0)
151148, 150eqtrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
15226, 151sylan 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
153152adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
154153breq1d 5079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑧𝐼) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ 0 < ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
155135, 134ltnled 10790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → (0 < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
156155adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → (0 < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
157156adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑧𝐼) → (0 < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
158154, 157bitrd 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑧𝐼) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
159158biimpd 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑧𝐼) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) → ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
160110, 159sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ (𝑣𝐼𝑧𝑣)) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) → ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
161160anassrs 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ 𝑧𝑣) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) → ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
162161adantrd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ 𝑧𝑣) → (((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
163162ralimdva 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑣𝐼) → (∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
164163an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
165164impancom 454 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) → (0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛) → ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
166146, 165orim12d 961 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)))
167166expimpd 456 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) → ((∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) → (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)))
168121, 167syland 604 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) → ((((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) → (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)))
169102, 168sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)) → ((((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) → (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)))
170169anim2d 613 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)) → ((𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → (𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))))
171170reximdva 3277 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))))
17299, 171syld 47 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))))
173 ralnex 3239 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑧𝑣 ¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛))
174173rexbii 3250 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∀𝑧𝑣 ¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ∃𝑟 ∈ { ≤ , ≤ } ¬ ∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛))
175 letsr 17840 . . . . . . . . . . . . . . 15 ≤ ∈ TosetRel
176175elexi 3516 . . . . . . . . . . . . . 14 ≤ ∈ V
177176cnvex 7633 . . . . . . . . . . . . . 14 ≤ ∈ V
178 breq 5071 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = ≤ → (0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
179178notbid 320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = ≤ → (¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
180179ralbidv 3200 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = ≤ → (∀𝑧𝑣 ¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
181 breq 5071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = ≤ → (0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
182 c0ex 10638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
183182, 113brcnv 5756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
184181, 183syl6bb 289 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = ≤ → (0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
185184notbid 320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = ≤ → (¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
186185ralbidv 3200 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = ≤ → (∀𝑧𝑣 ¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
187176, 177, 180, 186rexpr 4640 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∀𝑧𝑣 ¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
188 rexnal 3241 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟 ∈ { ≤ , ≤ } ¬ ∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛))
189174, 187, 1883bitr3i 303 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛))
190189anbi2i 624 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)) ↔ (𝑐𝑣 ∧ ¬ ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
191 annim 406 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐𝑣 ∧ ¬ ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) ↔ ¬ (𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
192190, 191bitri 277 . . . . . . . . . 10 ((𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)) ↔ ¬ (𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
193192rexbii 3250 . . . . . . . . 9 (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼) ¬ (𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
194 rexnal 3241 . . . . . . . . 9 (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼) ¬ (𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) ↔ ¬ ∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
195193, 194bitri 277 . . . . . . . 8 (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)) ↔ ¬ ∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
196172, 195syl6ib 253 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ¬ ∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛))))
197196necon4ad 3038 . . . . . 6 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) = 0))
198197ralimdva 3180 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → (∀𝑛 ∈ (1...𝑁)∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) → ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑐)‘𝑛) = 0))
19925ffnd 6518 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁))
200198, 199jctild 528 . . . 4 ((𝜑𝑐𝐼) → (∀𝑛 ∈ (1...𝑁)∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) → ((𝐹𝑐) Fn (1...𝑁) ∧ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑐)‘𝑛) = 0)))
201 fconstfv 6978 . . . . 5 ((𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶{0} ↔ ((𝐹𝑐) Fn (1...𝑁) ∧ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑐)‘𝑛) = 0))
202182fconst2 6970 . . . . 5 ((𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶{0} ↔ (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0}))
203201, 202bitr3i 279 . . . 4 (((𝐹𝑐) Fn (1...𝑁) ∧ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑐)‘𝑛) = 0) ↔ (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0}))
204200, 203syl6ib 253 . . 3 ((𝜑𝑐𝐼) → (∀𝑛 ∈ (1...𝑁)∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) → (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0})))
205204reximdva 3277 . 2 (𝜑 → (∃𝑐𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) → ∃𝑐𝐼 (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0})))
2067, 205mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑐𝐼 (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0}))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113   ≠ wne 3019  ∀wral 3141  ∃wrex 3142  Vcvv 3497   ⊆ wss 3939  {csn 4570  {cpr 4572  ∪ cuni 4841   class class class wbr 5069   ↦ cmpt 5149   × cxp 5556  ◡ccnv 5557  dom cdm 5558  ran crn 5559   “ cima 5561  Fun wfun 6352   Fn wfn 6353  ⟶wf 6354  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159   ↑m cmap 8409  ℂcc 10538  ℝcr 10539  0cc0 10540  1c1 10541   + caddc 10543  ℝ*cxr 10677   < clt 10678   ≤ cle 10679   − cmin 10873  -cneg 10874  ℕcn 11641  ℝ+crp 12392  (,)cioo 12741  [,]cicc 12744  ...cfz 12895  abscabs 14596   ↾t crest 16697  topGenctg 16714  ∏tcpt 16715   TosetRel ctsr 17812  Topctop 21504  TopOnctopon 21521   Cn ccn 21835   CnP ccnp 21836 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-inf2 9107  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-pre-sup 10618 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-iin 4925  df-disj 5035  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-se 5518  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-isom 6367  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-of 7412  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-2o 8106  df-oadd 8109  df-omul 8110  df-er 8292  df-map 8411  df-pm 8412  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fi 8878  df-sup 8909  df-inf 8910  df-oi 8977  df-dju 9333  df-card 9371  df-acn 9374  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-div 11301  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-n0 11901  df-xnn0 11971  df-z 11985  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-clim 14848  df-sum 15046  df-dvds 15611  df-rest 16699  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-ps 17813  df-tsr 17814  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-top 21505  df-topon 21522  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-lp 21747  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-t1 21925  df-haus 21926  df-cmp 21998  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-hmph 22367  df-ii 23488 This theorem is referenced by:  broucube  34930
 Copyright terms: Public domain W3C validator