Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  poimir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poimir 35456
Description: Poincare-Miranda theorem. Theorem on [Kulpa] p. 547. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
poimir.0 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
poimir.i 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
poimir.r 𝑅 = (∏t‘((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}))
poimir.1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
poimir.2 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
poimir.3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
Assertion
Ref Expression
poimir (𝜑 → ∃𝑐𝐼 (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝜑   𝑛,𝐹   𝑛,𝑁   𝜑,𝑧   𝑧,𝐹   𝑧,𝑁   𝑛,𝑐,𝑧,𝜑   𝐹,𝑐   𝐼,𝑐,𝑛,𝑧   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐,𝑛,𝑧

Proof of Theorem poimir
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poimir.0 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 poimir.i . . 3 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
3 poimir.r . . 3 𝑅 = (∏t‘((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}))
4 poimir.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
5 poimir.2 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
6 poimir.3 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
71, 2, 3, 4, 5, 6poimirlem32 35455 . 2 (𝜑 → ∃𝑐𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
8 ovex 7206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1...𝑁) ∈ V
9 retopon 23519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
103pttoponconst 22351 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((1...𝑁) ∈ V ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)) → 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁))))
118, 9, 10mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁)))
1211topontopi 21669 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑅 ∈ Top
13 reex 10709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℝ ∈ V
14 unitssre 12976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0[,]1) ⊆ ℝ
15 mapss 8502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ℝ ∈ V ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ) → ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
1613, 14, 15mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))
172, 16eqsstri 3912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐼 ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))
1811toponunii 21670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ℝ ↑m (1...𝑁)) = 𝑅
1918restuni 21916 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐼 ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → 𝐼 = (𝑅t 𝐼))
2012, 17, 19mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐼 = (𝑅t 𝐼)
2120, 18cnf 22000 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅) → 𝐹:𝐼⟶(ℝ ↑m (1...𝑁)))
224, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐼⟶(ℝ ↑m (1...𝑁)))
2322ffvelrnda 6864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐) ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
24 elmapi 8462 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑐) ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶ℝ)
2625ffvelrnda 6864 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ)
27 recn 10708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℂ)
28 absrpcl 14741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0) → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+)
2928ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℂ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+))
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+))
31 ltsubrp 12511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛))
32 ltaddrp 12512 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))
3331, 32jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
3433ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → ((abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+ → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
3530, 34syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
3627abscld 14889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ)
37 resubcl 11031 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ)
3836, 37mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ)
3938rexrd 10772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ*)
40 readdcl 10701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ)
4136, 40mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ)
4241rexrd 10772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ*)
43 rexr 10768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ*)
44 elioo5 12881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ* ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ*) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
4539, 42, 43, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
4635, 45sylibrd 262 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
4726, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
48 fveq2 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑐 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑐))
4948fveq1d 6679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹𝑥)‘𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛))
50 eqid 2739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))
51 fvex 6690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ V
5249, 50, 51fvmpt 6778 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) = ((𝐹𝑐)‘𝑛))
5352eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
5453ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
5547, 54sylibrd 262 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
56 iooretop 23521 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∈ (topGen‘ran (,))
57 resttopon 21915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝐼 ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
5811, 17, 57mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼)
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
6022feqmptd 6740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
6160, 4eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
6261adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
6311a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁))))
64 retop 23517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
6564fconst6 6569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top
6618, 3ptpjcn 22365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1...𝑁) ∈ V ∧ ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑧𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
678, 65, 66mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑧 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑧𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
68 fvex 6690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) ∈ V
6968fvconst2 6979 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛) = (topGen‘ran (,)))
7069oveq2d 7189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)) = (𝑅 Cn (topGen‘ran (,))))
7167, 70eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑧 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑧𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (topGen‘ran (,))))
7271adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑧𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (topGen‘ran (,))))
73 fveq1 6676 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝐹𝑥) → (𝑧𝑛) = ((𝐹𝑥)‘𝑛))
7459, 62, 63, 72, 73cnmpt11 22417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (topGen‘ran (,))))
7520cncnpi 22032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑐𝐼) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐))
7674, 75sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑐𝐼) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐))
7776an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐))
78 iscnp 21991 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼) ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝑐𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐) ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)):𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)))))
7958, 9, 78mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐) ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)):𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)))))
8079ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐) ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)):𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)))))
8177, 80mpbid 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)):𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧))))
8281simprd 499 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)))
83 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
84 sseq2 3904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
8584anbi2d 632 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ((𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))))
8685rexbidv 3208 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))))
8783, 86imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ((((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)) ↔ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))))
8887rspcv 3522 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∈ (topGen‘ran (,)) → (∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))))
8956, 82, 88mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))))
9055, 89syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))))
91 0re 10724 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
92 letric 10821 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
9326, 91, 92sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
9490, 93jctird 530 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
95 r19.41v 3252 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)((𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))))
96 anass 472 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ (𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
9796rexbii 3162 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)((𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
9895, 97bitr3i 280 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
9994, 98syl6ib 254 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
10058topontopi 21669 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅t 𝐼) ∈ Top
10120eltopss 21661 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅t 𝐼) ∈ Top ∧ 𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)) → 𝑣𝐼)
102100, 101mpan 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼) → 𝑣𝐼)
103 fvex 6690 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑥)‘𝑛) ∈ V
104103, 50dmmpti 6482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) = 𝐼
105104sseq2i 3907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ⊆ dom (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ↔ 𝑣𝐼)
106 funmpt 6378 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))
107 funimass4 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∧ 𝑣 ⊆ dom (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ∀𝑧𝑣 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
108106, 107mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ⊆ dom (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ∀𝑧𝑣 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
109105, 108sylbir 238 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ∀𝑧𝑣 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
110 ssel2 3873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐼𝑧𝑣) → 𝑧𝐼)
111 fveq2 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
112111fveq1d 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥)‘𝑛) = ((𝐹𝑧)‘𝑛))
113 fvex 6690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ V
114112, 50, 113fvmpt 6778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) = ((𝐹𝑧)‘𝑛))
115114eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
116 eliooord 12883 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
117115, 116syl6bi 256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
118110, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐼𝑧𝑣) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
119118ralimdva 3092 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝐼 → (∀𝑧𝑣 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
120109, 119sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
121120adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
122 absnid 14751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) = -((𝐹𝑐)‘𝑛))
123122oveq2d 7189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = (((𝐹𝑐)‘𝑛) + -((𝐹𝑐)‘𝑛)))
12427negidd 11068 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + -((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0)
125124adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + -((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0)
126123, 125eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
12726, 126sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
128127adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
129128breq2d 5043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < 0))
13022ffvelrnda 6864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
131 elmapi 8462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶ℝ)
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶ℝ)
133132ffvelrnda 6864 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ ℝ)
134133an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ ℝ)
135 0red 10725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → 0 ∈ ℝ)
136134, 135ltnled 10868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
137136adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
138137adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
139129, 138bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
140139biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) → ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
141110, 140sylan2 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ (𝑣𝐼𝑧𝑣)) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) → ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
142141anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑣𝐼) ∧ 𝑧𝑣) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) → ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
143142adantld 494 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑣𝐼) ∧ 𝑧𝑣) → (((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
144143ralimdva 3092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑣𝐼) → (∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
145144an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
146145impancom 455 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 → ∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
147 absid 14749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) = ((𝐹𝑐)‘𝑛))
148147oveq2d 7189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = (((𝐹𝑐)‘𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
14927subidd 11066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0)
150149adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0)
151148, 150eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
15226, 151sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
153152adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
154153breq1d 5041 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑧𝐼) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ 0 < ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
155135, 134ltnled 10868 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → (0 < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
156155adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → (0 < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
157156adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑧𝐼) → (0 < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
158154, 157bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑧𝐼) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
159158biimpd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑧𝐼) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) → ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
160110, 159sylan2 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ (𝑣𝐼𝑧𝑣)) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) → ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
161160anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ 𝑧𝑣) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) → ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
162161adantrd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ 𝑧𝑣) → (((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
163162ralimdva 3092 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑣𝐼) → (∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
164163an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
165164impancom 455 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) → (0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛) → ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
166146, 165orim12d 964 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)))
167166expimpd 457 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) → ((∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) → (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)))
168121, 167syland 606 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) → ((((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) → (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)))
169102, 168sylan2 596 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)) → ((((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) → (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)))
170169anim2d 615 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)) → ((𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → (𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))))
171170reximdva 3185 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))))
17299, 171syld 47 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))))
173 ralnex 3150 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑧𝑣 ¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛))
174173rexbii 3162 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∀𝑧𝑣 ¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ∃𝑟 ∈ { ≤ , ≤ } ¬ ∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛))
175 letsr 17956 . . . . . . . . . . . . . . 15 ≤ ∈ TosetRel
176175elexi 3418 . . . . . . . . . . . . . 14 ≤ ∈ V
177176cnvex 7659 . . . . . . . . . . . . . 14 ≤ ∈ V
178 breq 5033 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = ≤ → (0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
179178notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = ≤ → (¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
180179ralbidv 3110 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = ≤ → (∀𝑧𝑣 ¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
181 breq 5033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = ≤ → (0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
182 c0ex 10716 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
183182, 113brcnv 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
184181, 183bitrdi 290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = ≤ → (0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
185184notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = ≤ → (¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
186185ralbidv 3110 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = ≤ → (∀𝑧𝑣 ¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
187176, 177, 180, 186rexpr 4593 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∀𝑧𝑣 ¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
188 rexnal 3152 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟 ∈ { ≤ , ≤ } ¬ ∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛))
189174, 187, 1883bitr3i 304 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛))
190189anbi2i 626 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)) ↔ (𝑐𝑣 ∧ ¬ ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
191 annim 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐𝑣 ∧ ¬ ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) ↔ ¬ (𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
192190, 191bitri 278 . . . . . . . . . 10 ((𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)) ↔ ¬ (𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
193192rexbii 3162 . . . . . . . . 9 (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼) ¬ (𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
194 rexnal 3152 . . . . . . . . 9 (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼) ¬ (𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) ↔ ¬ ∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
195193, 194bitri 278 . . . . . . . 8 (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)) ↔ ¬ ∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
196172, 195syl6ib 254 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ¬ ∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛))))
197196necon4ad 2954 . . . . . 6 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) = 0))
198197ralimdva 3092 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → (∀𝑛 ∈ (1...𝑁)∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) → ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑐)‘𝑛) = 0))
19925ffnd 6506 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁))
200198, 199jctild 529 . . . 4 ((𝜑𝑐𝐼) → (∀𝑛 ∈ (1...𝑁)∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) → ((𝐹𝑐) Fn (1...𝑁) ∧ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑐)‘𝑛) = 0)))
201 fconstfv 6988 . . . . 5 ((𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶{0} ↔ ((𝐹𝑐) Fn (1...𝑁) ∧ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑐)‘𝑛) = 0))
202182fconst2 6980 . . . . 5 ((𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶{0} ↔ (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0}))
203201, 202bitr3i 280 . . . 4 (((𝐹𝑐) Fn (1...𝑁) ∧ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑐)‘𝑛) = 0) ↔ (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0}))
204200, 203syl6ib 254 . . 3 ((𝜑𝑐𝐼) → (∀𝑛 ∈ (1...𝑁)∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) → (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0})))
205204reximdva 3185 . 2 (𝜑 → (∃𝑐𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) → ∃𝑐𝐼 (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0})))
2067, 205mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑐𝐼 (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114  wne 2935  wral 3054  wrex 3055  Vcvv 3399  wss 3844  {csn 4517  {cpr 4519   cuni 4797   class class class wbr 5031  cmpt 5111   × cxp 5524  ccnv 5525  dom cdm 5526  ran crn 5527  cima 5529  Fun wfun 6334   Fn wfn 6335  wf 6336  cfv 6340  (class class class)co 7173  m cmap 8440  cc 10616  cr 10617  0cc0 10618  1c1 10619   + caddc 10621  *cxr 10755   < clt 10756  cle 10757  cmin 10951  -cneg 10952  cn 11719  +crp 12475  (,)cioo 12824  [,]cicc 12827  ...cfz 12984  abscabs 14686  t crest 16800  topGenctg 16817  tcpt 16818   TosetRel ctsr 17928  Topctop 21647  TopOnctopon 21664   Cn ccn 21978   CnP ccnp 21979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-inf2 9180  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695  ax-pre-sup 10696
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-disj 4997  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-of 7428  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-oadd 8138  df-omul 8139  df-er 8323  df-map 8442  df-pm 8443  df-ixp 8511  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-fi 8951  df-sup 8982  df-inf 8983  df-oi 9050  df-dju 9406  df-card 9444  df-acn 9447  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-div 11379  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-n0 11980  df-xnn0 12052  df-z 12066  df-uz 12328  df-q 12434  df-rp 12476  df-xneg 12593  df-xadd 12594  df-xmul 12595  df-ioo 12828  df-icc 12831  df-fz 12985  df-fzo 13128  df-fl 13256  df-seq 13464  df-exp 13525  df-fac 13729  df-bc 13758  df-hash 13786  df-cj 14551  df-re 14552  df-im 14553  df-sqrt 14687  df-abs 14688  df-clim 14938  df-sum 15139  df-dvds 15703  df-rest 16802  df-topgen 16823  df-pt 16824  df-ps 17929  df-tsr 17930  df-psmet 20212  df-xmet 20213  df-met 20214  df-bl 20215  df-mopn 20216  df-top 21648  df-topon 21665  df-bases 21700  df-cld 21773  df-ntr 21774  df-cls 21775  df-lp 21890  df-cn 21981  df-cnp 21982  df-t1 22068  df-haus 22069  df-cmp 22141  df-tx 22316  df-hmeo 22509  df-hmph 22510  df-ii 23632
This theorem is referenced by:  broucube  35457
  Copyright terms: Public domain W3C validator