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Theorem poimir 36140
Description: Poincare-Miranda theorem. Theorem on [Kulpa] p. 547. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
poimir.0 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
poimir.i 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
poimir.r 𝑅 = (∏tβ€˜((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}))
poimir.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn 𝑅))
poimir.2 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0)
poimir.3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1)) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
Assertion
Ref Expression
poimir (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘) = ((1...𝑁) Γ— {0}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,πœ‘   𝑛,𝐹   𝑛,𝑁   πœ‘,𝑧   𝑧,𝐹   𝑧,𝑁   𝑛,𝑐,𝑧,πœ‘   𝐹,𝑐   𝐼,𝑐,𝑛,𝑧   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐,𝑛,𝑧

Proof of Theorem poimir
Dummy variables π‘₯ π‘Ÿ 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poimir.0 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•)
2 poimir.i . . 3 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
3 poimir.r . . 3 𝑅 = (∏tβ€˜((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}))
4 poimir.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn 𝑅))
5 poimir.2 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 0)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0)
6 poimir.3 . . 3 ((πœ‘ ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ (π‘§β€˜π‘›) = 1)) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
71, 2, 3, 4, 5, 6poimirlem32 36139 . 2 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
8 ovex 7395 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1...𝑁) ∈ V
9 retopon 24143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)
103pttoponconst 22964 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((1...𝑁) ∈ V ∧ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„)) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m (1...𝑁))))
118, 9, 10mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m (1...𝑁)))
1211topontopi 22280 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑅 ∈ Top
13 reex 11149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℝ ∈ V
14 unitssre 13423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0[,]1) βŠ† ℝ
15 mapss 8834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ℝ ∈ V ∧ (0[,]1) βŠ† ℝ) β†’ ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁)))
1613, 14, 15mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁))
172, 16eqsstri 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐼 βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁))
1811toponunii 22281 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ℝ ↑m (1...𝑁)) = βˆͺ 𝑅
1918restuni 22529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐼 βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ 𝐼 = βˆͺ (𝑅 β†Ύt 𝐼))
2012, 17, 19mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐼 = βˆͺ (𝑅 β†Ύt 𝐼)
2120, 18cnf 22613 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn 𝑅) β†’ 𝐹:𝐼⟢(ℝ ↑m (1...𝑁)))
224, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐼⟢(ℝ ↑m (1...𝑁)))
2322ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘) ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
24 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜π‘) ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘):(1...𝑁)βŸΆβ„)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘):(1...𝑁)βŸΆβ„)
2625ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ)
27 recn 11148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ β„‚)
28 absrpcl 15180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ β„‚ ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) β‰  0) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) ∈ ℝ+)
2928ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ β„‚ β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) β‰  0 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) ∈ ℝ+))
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) β‰  0 β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) ∈ ℝ+))
31 ltsubrp 12958 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) ∈ ℝ+) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))
32 ltaddrp 12959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) ∈ ℝ+) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))
3331, 32jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) ∈ ℝ+) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))))
3433ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) ∈ ℝ+ β†’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))
3530, 34syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) β‰  0 β†’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))
3627abscld 15328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) ∈ ℝ)
37 resubcl 11472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) ∈ ℝ)
3836, 37mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) ∈ ℝ)
3938rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) ∈ ℝ*)
40 readdcl 11141 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) ∈ ℝ)
4136, 40mpdan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) ∈ ℝ)
4241rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) ∈ ℝ*)
43 rexr 11208 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ*)
44 elioo5 13328 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) ∈ ℝ* ∧ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) ∈ ℝ* ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ*) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) ↔ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))
4539, 42, 43, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) ↔ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))
4635, 45sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) β‰  0 β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))
4726, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) β‰  0 β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))
48 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑐 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘))
4948fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑐 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))
50 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))
51 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ V
5249, 50, 51fvmpt 6953 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐 ∈ 𝐼 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘) = ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))
5352eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐 ∈ 𝐼 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) ↔ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))
5453ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) ↔ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))
5547, 54sylibrd 259 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) β‰  0 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))
56 iooretop 24145 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
57 resttopon 22528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝐼 βŠ† (ℝ ↑m (1...𝑁))) β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∈ (TopOnβ€˜πΌ))
5811, 17, 57mp2an 691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∈ (TopOnβ€˜πΌ)
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∈ (TopOnβ€˜πΌ))
6022feqmptd 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
6160, 4eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn 𝑅))
6261adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn 𝑅))
6311a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ 𝑅 ∈ (TopOnβ€˜(ℝ ↑m (1...𝑁))))
64 retop 24141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
6564fconst6 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}):(1...𝑁)⟢Top
6618, 3ptpjcn 22978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1...𝑁) ∈ V ∧ ((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))}):(1...𝑁)⟢Top ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑧 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (π‘§β€˜π‘›)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›)))
678, 65, 66mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (𝑧 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (π‘§β€˜π‘›)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›)))
68 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ V
6968fvconst2 7158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›) = (topGenβ€˜ran (,)))
7069oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (𝑅 Cn (((1...𝑁) Γ— {(topGenβ€˜ran (,))})β€˜π‘›)) = (𝑅 Cn (topGenβ€˜ran (,))))
7167, 70eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (1...𝑁) β†’ (𝑧 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (π‘§β€˜π‘›)) ∈ (𝑅 Cn (topGenβ€˜ran (,))))
7271adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (𝑧 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (π‘§β€˜π‘›)) ∈ (𝑅 Cn (topGenβ€˜ran (,))))
73 fveq1 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (πΉβ€˜π‘₯) β†’ (π‘§β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))
7459, 62, 63, 72, 73cnmpt11 23030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (topGenβ€˜ran (,))))
7520cncnpi 22645 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) ∈ ((𝑅 β†Ύt 𝐼) Cn (topGenβ€˜ran (,))) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) ∈ (((𝑅 β†Ύt 𝐼) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘))
7674, 75sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) ∈ (((𝑅 β†Ύt 𝐼) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘))
7776an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) ∈ (((𝑅 β†Ύt 𝐼) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘))
78 iscnp 22604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅 β†Ύt 𝐼) ∈ (TopOnβ€˜πΌ) ∧ (topGenβ€˜ran (,)) ∈ (TopOnβ€˜β„) ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) ∈ (((𝑅 β†Ύt 𝐼) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)):πΌβŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (topGenβ€˜ran (,))(((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑧)))))
7958, 9, 78mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐 ∈ 𝐼 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) ∈ (((𝑅 β†Ύt 𝐼) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)):πΌβŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (topGenβ€˜ran (,))(((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑧)))))
8079ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) ∈ (((𝑅 β†Ύt 𝐼) CnP (topGenβ€˜ran (,)))β€˜π‘) ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)):πΌβŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (topGenβ€˜ran (,))(((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑧)))))
8177, 80mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)):πΌβŸΆβ„ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (topGenβ€˜ran (,))(((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑧))))
8281simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ (topGenβ€˜ran (,))(((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑧)))
83 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘) ∈ 𝑧 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))
84 sseq2 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑧 ↔ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))
8584anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ ((𝑐 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑧) ↔ (𝑐 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))))))
8685rexbidv 3176 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑧) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))))))
8783, 86imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ ((((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑧)) ↔ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))))
8887rspcv 3580 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (topGenβ€˜ran (,))(((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘) ∈ 𝑧 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† 𝑧)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))))
8956, 82, 88mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))))))
9055, 89syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) β‰  0 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))))))
91 0re 11164 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
92 letric 11262 . . . . . . . . . . . 12 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0 ∨ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))
9326, 91, 92sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0 ∨ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))
9490, 93jctird 528 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) β‰  0 β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))) ∧ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0 ∨ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))))
95 r19.41v 3186 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)((𝑐 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))) ∧ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0 ∨ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) ↔ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))) ∧ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0 ∨ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))
96 anass 470 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑐 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))) ∧ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0 ∨ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) ↔ (𝑐 ∈ 𝑣 ∧ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) ∧ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0 ∨ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))))
9796rexbii 3098 . . . . . . . . . . 11 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)((𝑐 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))) ∧ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0 ∨ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) ∧ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0 ∨ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))))
9895, 97bitr3i 277 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))) ∧ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0 ∨ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) ∧ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0 ∨ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))))
9994, 98syl6ib 251 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) β‰  0 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) ∧ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0 ∨ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))
10058topontopi 22280 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 β†Ύt 𝐼) ∈ Top
10120eltopss 22272 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 β†Ύt 𝐼) ∈ Top ∧ 𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)) β†’ 𝑣 βŠ† 𝐼)
102100, 101mpan 689 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼) β†’ 𝑣 βŠ† 𝐼)
103 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›) ∈ V
104103, 50dmmpti 6650 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) = 𝐼
105104sseq2i 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 βŠ† dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) ↔ 𝑣 βŠ† 𝐼)
106 funmpt 6544 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Fun (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))
107 funimass4 6912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) ∧ 𝑣 βŠ† dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘§) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))
108106, 107mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 βŠ† dom (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘§) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))
109105, 108sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 βŠ† 𝐼 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘§) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))
110 ssel2 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝑣) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
111 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘§))
112111fveq1d 6849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑧 β†’ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›) = ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
113 fvex 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∈ V
114112, 50, 113fvmpt 6953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘§) = ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
115114eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘§) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) ↔ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))
116 eliooord 13330 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))))
117115, 116syl6bi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 ∈ 𝐼 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘§) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))
118110, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝑣) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘§) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))
119118ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 βŠ† 𝐼 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 ((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›))β€˜π‘§) ∈ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))
120109, 119sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣 βŠ† 𝐼 β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))
121120adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))))
122 absnid 15190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) = -((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))
123122oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) = (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + -((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))
12427negidd 11509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + -((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) = 0)
125124adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + -((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) = 0)
126123, 125eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) = 0)
12726, 126sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) = 0)
128127adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) = 0)
129128breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) ↔ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < 0))
13022ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
131 elmapi 8794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) β†’ (πΉβ€˜π‘§):(1...𝑁)βŸΆβ„)
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘§):(1...𝑁)βŸΆβ„)
133132ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((πœ‘ ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∈ ℝ)
134133an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∈ ℝ)
135 0red 11165 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ 0 ∈ ℝ)
136134, 135ltnled 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
137136adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
138137adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < 0 ↔ Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
139129, 138bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) ↔ Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
140139biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) β†’ Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
141110, 140sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0) ∧ (𝑣 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝑣)) β†’ (((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) β†’ Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
142141anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝑣) β†’ (((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) β†’ Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
143142adantld 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝑣) β†’ (((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
144143ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
145144an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) ∧ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
146145impancom 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0 β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
147 absid 15188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) = ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))
148147oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) = (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))
14927subidd 11507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) = 0)
150149adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) = 0)
151148, 150eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) = 0)
15226, 151sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) = 0)
153152adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) = 0)
154153breq1d 5120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ↔ 0 < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
155135, 134ltnled 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (0 < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ↔ Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0))
156155adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (0 < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ↔ Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0))
157156adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (0 < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ↔ Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0))
158154, 157bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ↔ Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0))
159158biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) β†’ Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0))
160110, 159sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) ∧ (𝑣 βŠ† 𝐼 ∧ 𝑧 ∈ 𝑣)) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) β†’ Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0))
161160anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝑣) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) β†’ Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0))
162161adantrd 493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) ∧ 𝑧 ∈ 𝑣) β†’ (((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0))
163162ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0))
164163an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0))
165164impancom 453 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))) β†’ (0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0))
166146, 165orim12d 964 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))))) β†’ ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0 ∨ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∨ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0)))
167166expimpd 455 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ ((βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) < ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∧ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) < (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) ∧ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0 ∨ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∨ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0)))
168121, 167syland 604 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣 βŠ† 𝐼) β†’ ((((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) ∧ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0 ∨ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∨ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0)))
169102, 168sylan2 594 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)) β†’ ((((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) ∧ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0 ∨ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›))) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∨ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0)))
170169anim2d 613 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)) β†’ ((𝑐 ∈ 𝑣 ∧ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) ∧ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0 ∨ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ (𝑐 ∈ 𝑣 ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∨ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0))))
171170reximdva 3166 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ (((π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((πΉβ€˜π‘₯)β€˜π‘›)) β€œ 𝑣) βŠ† ((((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) βˆ’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))(,)(((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) + (absβ€˜((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) ∧ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) ≀ 0 ∨ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›)))) β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∨ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0))))
17299, 171syld 47 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) β‰  0 β†’ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∨ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0))))
173 ralnex 3076 . . . . . . . . . . . . . 14 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ↔ Β¬ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
174173rexbii 3098 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ↔ βˆƒπ‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ } Β¬ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
175 letsr 18489 . . . . . . . . . . . . . . 15 ≀ ∈ TosetRel
176175elexi 3467 . . . . . . . . . . . . . 14 ≀ ∈ V
177176cnvex 7867 . . . . . . . . . . . . . 14 β—‘ ≀ ∈ V
178 breq 5112 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ = ≀ β†’ (0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ↔ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
179178notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ÿ = ≀ β†’ (Β¬ 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ↔ Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
180179ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ = ≀ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
181 breq 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘Ÿ = β—‘ ≀ β†’ (0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ↔ 0β—‘ ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
182 c0ex 11156 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
183182, 113brcnv 5843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0β—‘ ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ↔ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0)
184181, 183bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Ÿ = β—‘ ≀ β†’ (0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ↔ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0))
185184notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Ÿ = β—‘ ≀ β†’ (Β¬ 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ↔ Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0))
186185ralbidv 3175 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Ÿ = β—‘ ≀ β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0))
187176, 177, 180, 186rexpr 4667 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ↔ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∨ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0))
188 rexnal 3104 . . . . . . . . . . . . 13 (βˆƒπ‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ } Β¬ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ↔ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
189174, 187, 1883bitr3i 301 . . . . . . . . . . . 12 ((βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∨ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0) ↔ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))
190189anbi2i 624 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ 𝑣 ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∨ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0)) ↔ (𝑐 ∈ 𝑣 ∧ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
191 annim 405 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐 ∈ 𝑣 ∧ Β¬ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)) ↔ Β¬ (𝑐 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
192190, 191bitri 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑐 ∈ 𝑣 ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∨ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0)) ↔ Β¬ (𝑐 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
193192rexbii 3098 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∨ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0)) ↔ βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼) Β¬ (𝑐 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
194 rexnal 3104 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼) Β¬ (𝑐 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)) ↔ Β¬ βˆ€π‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
195193, 194bitri 275 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 ∧ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ∨ βˆ€π‘§ ∈ 𝑣 Β¬ ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›) ≀ 0)) ↔ Β¬ βˆ€π‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)))
196172, 195syl6ib 251 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) β‰  0 β†’ Β¬ βˆ€π‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›))))
197196necon4ad 2963 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) β†’ (βˆ€π‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) = 0))
198197ralimdva 3165 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)) β†’ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) = 0))
19925ffnd 6674 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (πΉβ€˜π‘) Fn (1...𝑁))
200198, 199jctild 527 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Fn (1...𝑁) ∧ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) = 0)))
201 fconstfv 7167 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘):(1...𝑁)⟢{0} ↔ ((πΉβ€˜π‘) Fn (1...𝑁) ∧ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) = 0))
202182fconst2 7159 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘):(1...𝑁)⟢{0} ↔ (πΉβ€˜π‘) = ((1...𝑁) Γ— {0}))
203201, 202bitr3i 277 . . . 4 (((πΉβ€˜π‘) Fn (1...𝑁) ∧ βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)((πΉβ€˜π‘)β€˜π‘›) = 0) ↔ (πΉβ€˜π‘) = ((1...𝑁) Γ— {0}))
204200, 203syl6ib 251 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑐 ∈ 𝐼) β†’ (βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = ((1...𝑁) Γ— {0})))
205204reximdva 3166 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 βˆ€π‘› ∈ (1...𝑁)βˆ€π‘£ ∈ (𝑅 β†Ύt 𝐼)(𝑐 ∈ 𝑣 β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ { ≀ , β—‘ ≀ }βˆƒπ‘§ ∈ 𝑣 0π‘Ÿ((πΉβ€˜π‘§)β€˜π‘›)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘) = ((1...𝑁) Γ— {0})))
2067, 205mpd 15 1 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐼 (πΉβ€˜π‘) = ((1...𝑁) Γ— {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  {csn 4591  {cpr 4593  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β€œ cima 5641  Fun wfun 6495   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ↑m cmap 8772  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393  β„•cn 12160  β„+crp 12922  (,)cioo 13271  [,]cicc 13274  ...cfz 13431  abscabs 15126   β†Ύt crest 17309  topGenctg 17326  βˆtcpt 17327   TosetRel ctsr 18461  Topctop 22258  TopOnctopon 22275   Cn ccn 22591   CnP ccnp 22592
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-xnn0 12493  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-dvds 16144  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-ps 18462  df-tsr 18463  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-lp 22503  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-t1 22681  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-hmph 23123  df-ii 24256
This theorem is referenced by:  broucube  36141
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