Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  poimir Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem poimir 37661
Description: Poincare-Miranda theorem. Theorem on [Kulpa] p. 547. (Contributed by Brendan Leahy, 21-Aug-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
poimir.0 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
poimir.i 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
poimir.r 𝑅 = (∏t‘((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}))
poimir.1 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
poimir.2 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
poimir.3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
Assertion
Ref Expression
poimir (𝜑 → ∃𝑐𝐼 (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0}))
Distinct variable groups:   𝑧,𝑛,𝜑   𝑛,𝐹   𝑛,𝑁   𝜑,𝑧   𝑧,𝐹   𝑧,𝑁   𝑛,𝑐,𝑧,𝜑   𝐹,𝑐   𝐼,𝑐,𝑛,𝑧   𝑁,𝑐   𝑅,𝑐,𝑛,𝑧

Proof of Theorem poimir
Dummy variables 𝑥 𝑟 𝑣 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 poimir.0 . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
2 poimir.i . . 3 𝐼 = ((0[,]1) ↑m (1...𝑁))
3 poimir.r . . 3 𝑅 = (∏t‘((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}))
4 poimir.1 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
5 poimir.2 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 0)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
6 poimir.3 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑛 ∈ (1...𝑁) ∧ 𝑧𝐼 ∧ (𝑧𝑛) = 1)) → 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛))
71, 2, 3, 4, 5, 6poimirlem32 37660 . 2 (𝜑 → ∃𝑐𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
8 ovex 7465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (1...𝑁) ∈ V
9 retopon 24785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)
103pttoponconst 23606 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((1...𝑁) ∈ V ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ)) → 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁))))
118, 9, 10mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁)))
1211topontopi 22922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑅 ∈ Top
13 reex 11247 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ℝ ∈ V
14 unitssre 13540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (0[,]1) ⊆ ℝ
15 mapss 8930 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((ℝ ∈ V ∧ (0[,]1) ⊆ ℝ) → ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
1613, 14, 15mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((0[,]1) ↑m (1...𝑁)) ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))
172, 16eqsstri 4029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝐼 ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))
1811toponunii 22923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (ℝ ↑m (1...𝑁)) = 𝑅
1918restuni 23171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ Top ∧ 𝐼 ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → 𝐼 = (𝑅t 𝐼))
2012, 17, 19mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐼 = (𝑅t 𝐼)
2120, 18cnf 23255 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅) → 𝐹:𝐼⟶(ℝ ↑m (1...𝑁)))
224, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐼⟶(ℝ ↑m (1...𝑁)))
2322ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐) ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
24 elmapi 8890 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑐) ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶ℝ)
2625ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ)
27 recn 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℂ)
28 absrpcl 15328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℂ ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0) → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+)
2928ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℂ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+))
3027, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+))
31 ltsubrp 13072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛))
32 ltaddrp 13073 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))
3331, 32jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
3433ex 412 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → ((abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ+ → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
3530, 34syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
3627abscld 15476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ)
37 resubcl 11574 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ)
3836, 37mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ)
3938rexrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ*)
40 readdcl 11239 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∈ ℝ) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ)
4136, 40mpdan 687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ)
4241rexrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ*)
43 rexr 11308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ*)
44 elioo5 13445 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ* ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ∈ ℝ* ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ*) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
4539, 42, 43, 44syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
4635, 45sylibrd 259 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
4726, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
48 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑐 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑐))
4948fveq1d 6907 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑐 → ((𝐹𝑥)‘𝑛) = ((𝐹𝑐)‘𝑛))
50 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))
51 fvex 6918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ V
5249, 50, 51fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) = ((𝐹𝑐)‘𝑛))
5352eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
5453ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
5547, 54sylibrd 259 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
56 iooretop 24787 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∈ (topGen‘ran (,))
57 resttopon 23170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁))) ∧ 𝐼 ⊆ (ℝ ↑m (1...𝑁))) → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
5811, 17, 57mp2an 692 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼)
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼))
6022feqmptd 6976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)))
6160, 4eqeltrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
6261adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn 𝑅))
6311a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → 𝑅 ∈ (TopOn‘(ℝ ↑m (1...𝑁))))
64 retop 24783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
6564fconst6 6797 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top
6618, 3ptpjcn 23620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((1...𝑁) ∈ V ∧ ((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))}):(1...𝑁)⟶Top ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑧𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
678, 65, 66mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑧 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑧𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)))
68 fvex 6918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (topGen‘ran (,)) ∈ V
6968fvconst2 7225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛) = (topGen‘ran (,)))
7069oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑅 Cn (((1...𝑁) × {(topGen‘ran (,))})‘𝑛)) = (𝑅 Cn (topGen‘ran (,))))
7167, 70eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑛 ∈ (1...𝑁) → (𝑧 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑧𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (topGen‘ran (,))))
7271adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑧 ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) ↦ (𝑧𝑛)) ∈ (𝑅 Cn (topGen‘ran (,))))
73 fveq1 6904 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = (𝐹𝑥) → (𝑧𝑛) = ((𝐹𝑥)‘𝑛))
7459, 62, 63, 72, 73cnmpt11 23672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (topGen‘ran (,))))
7520cncnpi 23287 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ ((𝑅t 𝐼) Cn (topGen‘ran (,))) ∧ 𝑐𝐼) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐))
7674, 75sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑐𝐼) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐))
7776an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐))
78 iscnp 23246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑅t 𝐼) ∈ (TopOn‘𝐼) ∧ (topGen‘ran (,)) ∈ (TopOn‘ℝ) ∧ 𝑐𝐼) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐) ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)):𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)))))
7958, 9, 78mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑐𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐) ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)):𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)))))
8079ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∈ (((𝑅t 𝐼) CnP (topGen‘ran (,)))‘𝑐) ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)):𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)))))
8177, 80mpbid 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)):𝐼⟶ℝ ∧ ∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧))))
8281simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)))
83 eleq2 2829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
84 sseq2 4009 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧 = ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧 ↔ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
8584anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑧 = ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ((𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧) ↔ (𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))))
8685rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 = ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))))
8783, 86imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 = ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ((((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)) ↔ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))))
8887rspcv 3617 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∈ (topGen‘ran (,)) → (∀𝑧 ∈ (topGen‘ran (,))(((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ 𝑧 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ 𝑧)) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))))
8956, 82, 88mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑐) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))))
9055, 89syld 47 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))))
91 0re 11264 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
92 letric 11362 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
9326, 91, 92sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
9490, 93jctird 526 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
95 r19.41v 3188 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)((𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))))
96 anass 468 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ (𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
9796rexbii 3093 . . . . . . . . . . 11 (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)((𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
9895, 97bitr3i 277 . . . . . . . . . 10 ((∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
9994, 98imbitrdi 251 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
10058topontopi 22922 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅t 𝐼) ∈ Top
10120eltopss 22914 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅t 𝐼) ∈ Top ∧ 𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)) → 𝑣𝐼)
102100, 101mpan 690 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼) → 𝑣𝐼)
103 fvex 6918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹𝑥)‘𝑛) ∈ V
104103, 50dmmpti 6711 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 dom (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) = 𝐼
105104sseq2i 4012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ⊆ dom (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ↔ 𝑣𝐼)
106 funmpt 6603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))
107 funimass4 6972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((Fun (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) ∧ 𝑣 ⊆ dom (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ∀𝑧𝑣 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
108106, 107mpan 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑣 ⊆ dom (𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ∀𝑧𝑣 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
109105, 108sylbir 235 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ∀𝑧𝑣 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
110 ssel2 3977 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑣𝐼𝑧𝑣) → 𝑧𝐼)
111 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑧))
112111fveq1d 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐹𝑥)‘𝑛) = ((𝐹𝑧)‘𝑛))
113 fvex 6918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ V
114112, 50, 113fvmpt 7015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧𝐼 → ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) = ((𝐹𝑧)‘𝑛))
115114eleq1d 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ↔ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
116 eliooord 13447 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))))
117115, 116biimtrdi 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑧𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
118110, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐼𝑧𝑣) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
119118ralimdva 3166 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣𝐼 → (∀𝑧𝑣 ((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛))‘𝑧) ∈ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
120109, 119sylbid 240 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑣𝐼 → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
121120adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) → (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))))
122 absnid 15338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) = -((𝐹𝑐)‘𝑛))
123122oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = (((𝐹𝑐)‘𝑛) + -((𝐹𝑐)‘𝑛)))
12427negidd 11611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + -((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0)
125124adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + -((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0)
126123, 125eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
12726, 126sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
128127adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
129128breq2d 5154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < 0))
13022ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)))
131 elmapi 8890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝐹𝑧) ∈ (ℝ ↑m (1...𝑁)) → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶ℝ)
132130, 131syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝜑𝑧𝐼) → (𝐹𝑧):(1...𝑁)⟶ℝ)
133132ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝜑𝑧𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ ℝ)
134133an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∈ ℝ)
135 0red 11265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → 0 ∈ ℝ)
136134, 135ltnled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
137136adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
138137adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < 0 ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
139129, 138bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
140139biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) → ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
141110, 140sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ (𝑣𝐼𝑧𝑣)) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) → ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
142141anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑣𝐼) ∧ 𝑧𝑣) → (((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) → ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
143142adantld 490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑣𝐼) ∧ 𝑧𝑣) → (((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
144143ralimdva 3166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) ∧ 𝑣𝐼) → (∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
145144an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ ((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0) → (∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
146145impancom 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 → ∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
147 absid 15336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)) = ((𝐹𝑐)‘𝑛))
148147oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = (((𝐹𝑐)‘𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)))
14927subidd 11609 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0)
150149adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − ((𝐹𝑐)‘𝑛)) = 0)
151148, 150eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
15226, 151sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
153152adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑧𝐼) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) = 0)
154153breq1d 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑧𝐼) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ 0 < ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
155135, 134ltnled 11409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((𝜑𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → (0 < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
156155adantllr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑧𝐼) → (0 < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
157156adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑧𝐼) → (0 < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
158154, 157bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑧𝐼) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
159158biimpd 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑧𝐼) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) → ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
160110, 159sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ (𝑣𝐼𝑧𝑣)) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) → ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
161160anassrs 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ 𝑧𝑣) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) → ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
162161adantrd 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ 𝑧𝑣) → (((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
163162ralimdva 3166 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) ∧ 𝑣𝐼) → (∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
164163an32s 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
165164impancom 451 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) → (0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛) → ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
166146, 165orim12d 966 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) ∧ ∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))))) → ((((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)) → (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)))
167166expimpd 453 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) → ((∀𝑧𝑣 ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛))) < ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∧ ((𝐹𝑧)‘𝑛) < (((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) → (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)))
168121, 167syland 603 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣𝐼) → ((((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) → (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)))
169102, 168sylan2 593 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)) → ((((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛))) → (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)))
170169anim2d 612 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) ∧ 𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)) → ((𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → (𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))))
171170reximdva 3167 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (((𝑥𝐼 ↦ ((𝐹𝑥)‘𝑛)) “ 𝑣) ⊆ ((((𝐹𝑐)‘𝑛) − (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))(,)(((𝐹𝑐)‘𝑛) + (abs‘((𝐹𝑐)‘𝑛)))) ∧ (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≤ 0 ∨ 0 ≤ ((𝐹𝑐)‘𝑛)))) → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))))
17299, 171syld 47 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))))
173 ralnex 3071 . . . . . . . . . . . . . 14 (∀𝑧𝑣 ¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛))
174173rexbii 3093 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∀𝑧𝑣 ¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ∃𝑟 ∈ { ≤ , ≤ } ¬ ∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛))
175 letsr 18639 . . . . . . . . . . . . . . 15 ≤ ∈ TosetRel
176175elexi 3502 . . . . . . . . . . . . . 14 ≤ ∈ V
177176cnvex 7948 . . . . . . . . . . . . . 14 ≤ ∈ V
178 breq 5144 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = ≤ → (0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
179178notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = ≤ → (¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
180179ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = ≤ → (∀𝑧𝑣 ¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
181 breq 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑟 = ≤ → (0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛)))
182 c0ex 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ∈ V
183182, 113brcnv 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)
184181, 183bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑟 = ≤ → (0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
185184notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑟 = ≤ → (¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
186185ralbidv 3177 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑟 = ≤ → (∀𝑧𝑣 ¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
187176, 177, 180, 186rexpr 4700 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∀𝑧𝑣 ¬ 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0))
188 rexnal 3099 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑟 ∈ { ≤ , ≤ } ¬ ∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛))
189174, 187, 1883bitr3i 301 . . . . . . . . . . . 12 ((∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0) ↔ ¬ ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛))
190189anbi2i 623 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)) ↔ (𝑐𝑣 ∧ ¬ ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
191 annim 403 . . . . . . . . . . 11 ((𝑐𝑣 ∧ ¬ ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) ↔ ¬ (𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
192190, 191bitri 275 . . . . . . . . . 10 ((𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)) ↔ ¬ (𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
193192rexbii 3093 . . . . . . . . 9 (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)) ↔ ∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼) ¬ (𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
194 rexnal 3099 . . . . . . . . 9 (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼) ¬ (𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) ↔ ¬ ∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
195193, 194bitri 275 . . . . . . . 8 (∃𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 ∧ (∀𝑧𝑣 ¬ 0 ≤ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ∨ ∀𝑧𝑣 ¬ ((𝐹𝑧)‘𝑛) ≤ 0)) ↔ ¬ ∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)))
196172, 195imbitrdi 251 . . . . . . 7 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (((𝐹𝑐)‘𝑛) ≠ 0 → ¬ ∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛))))
197196necon4ad 2958 . . . . . 6 (((𝜑𝑐𝐼) ∧ 𝑛 ∈ (1...𝑁)) → (∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) → ((𝐹𝑐)‘𝑛) = 0))
198197ralimdva 3166 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → (∀𝑛 ∈ (1...𝑁)∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) → ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑐)‘𝑛) = 0))
19925ffnd 6736 . . . . 5 ((𝜑𝑐𝐼) → (𝐹𝑐) Fn (1...𝑁))
200198, 199jctild 525 . . . 4 ((𝜑𝑐𝐼) → (∀𝑛 ∈ (1...𝑁)∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) → ((𝐹𝑐) Fn (1...𝑁) ∧ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑐)‘𝑛) = 0)))
201 fconstfv 7233 . . . . 5 ((𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶{0} ↔ ((𝐹𝑐) Fn (1...𝑁) ∧ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑐)‘𝑛) = 0))
202182fconst2 7226 . . . . 5 ((𝐹𝑐):(1...𝑁)⟶{0} ↔ (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0}))
203201, 202bitr3i 277 . . . 4 (((𝐹𝑐) Fn (1...𝑁) ∧ ∀𝑛 ∈ (1...𝑁)((𝐹𝑐)‘𝑛) = 0) ↔ (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0}))
204200, 203imbitrdi 251 . . 3 ((𝜑𝑐𝐼) → (∀𝑛 ∈ (1...𝑁)∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) → (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0})))
205204reximdva 3167 . 2 (𝜑 → (∃𝑐𝐼𝑛 ∈ (1...𝑁)∀𝑣 ∈ (𝑅t 𝐼)(𝑐𝑣 → ∀𝑟 ∈ { ≤ , ≤ }∃𝑧𝑣 0𝑟((𝐹𝑧)‘𝑛)) → ∃𝑐𝐼 (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0})))
2067, 205mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑐𝐼 (𝐹𝑐) = ((1...𝑁) × {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2107  wne 2939  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3479  wss 3950  {csn 4625  {cpr 4627   cuni 4906   class class class wbr 5142  cmpt 5224   × cxp 5682  ccnv 5683  dom cdm 5684  ran crn 5685  cima 5687  Fun wfun 6554   Fn wfn 6555  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  m cmap 8867  cc 11154  cr 11155  0cc0 11156  1c1 11157   + caddc 11159  *cxr 11295   < clt 11296  cle 11297  cmin 11493  -cneg 11494  cn 12267  +crp 13035  (,)cioo 13388  [,]cicc 13391  ...cfz 13548  abscabs 15274  t crest 17466  topGenctg 17483  tcpt 17484   TosetRel ctsr 18611  Topctop 22900  TopOnctopon 22917   Cn ccn 23233   CnP ccnp 23234
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-pre-sup 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-oadd 8511  df-omul 8512  df-er 8746  df-map 8869  df-pm 8870  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fi 9452  df-sup 9483  df-inf 9484  df-oi 9551  df-dju 9942  df-card 9980  df-acn 9983  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-div 11922  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-xnn0 12602  df-z 12616  df-uz 12880  df-q 12992  df-rp 13036  df-xneg 13155  df-xadd 13156  df-xmul 13157  df-ioo 13392  df-icc 13395  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-fl 13833  df-seq 14044  df-exp 14104  df-fac 14314  df-bc 14343  df-hash 14371  df-cj 15139  df-re 15140  df-im 15141  df-sqrt 15275  df-abs 15276  df-clim 15525  df-sum 15724  df-dvds 16292  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-pt 17490  df-ps 18612  df-tsr 18613  df-psmet 21357  df-xmet 21358  df-met 21359  df-bl 21360  df-mopn 21361  df-top 22901  df-topon 22918  df-bases 22954  df-cld 23028  df-ntr 23029  df-cls 23030  df-lp 23145  df-cn 23236  df-cnp 23237  df-t1 23323  df-haus 23324  df-cmp 23396  df-tx 23571  df-hmeo 23764  df-hmph 23765  df-ii 24904
This theorem is referenced by:  broucube  37662
  Copyright terms: Public domain W3C validator