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Theorem matunitlindflem1 36484
Description: One direction of matunitlindf 36486. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
matunitlindflem1 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (Β¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘…)))

Proof of Theorem matunitlindflem1
Dummy variables π‘₯ 𝑓 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfld 20368 . . . . 5 (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
21simplbi 499 . . . 4 (𝑅 ∈ Field β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
3 drngring 20364 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Field β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
65frlmlmod 21304 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
76adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
8 simpr 486 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}))
9 eldifi 4127 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
10 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
115, 10frlmfibas 21317 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
129, 11sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
13 fvex 6905 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
14 curf 36466 . . . . . . . . . 10 ((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V) β†’ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))
1513, 14mp3an3 1451 . . . . . . . . 9 ((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))
16 feq3 6701 . . . . . . . . . 10 (((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ (curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ↔ curry 𝑀:𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
1716biimpa 478 . . . . . . . . 9 ((((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ curry 𝑀:𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1812, 15, 17syl2an 597 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ (𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}))) β†’ curry 𝑀:𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1918anandirs 678 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ curry 𝑀:𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
20 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
21 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
22 eqid 2733 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
23 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
24 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
25 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))
2620, 21, 22, 23, 24, 25islindf4 21393 . . . . . . 7 (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))(((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑓 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
277, 8, 19, 26syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))(((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑓 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
285frlmsca 21308 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
2928fvoveq1d 7431 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)))
3012, 29eqtrd 2773 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)))
3130adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)))
32 elmapi 8843 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) β†’ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
33 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) β†’ 𝑓 Fn 𝐼)
3433adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑓 Fn 𝐼)
3519ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ curry 𝑀 Fn 𝐼)
3635adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ curry 𝑀 Fn 𝐼)
37 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}))
38 inidm 4219 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
39 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘›) = (π‘“β€˜π‘›))
40 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘›) = (curry π‘€β€˜π‘›))
4134, 36, 37, 37, 38, 39, 40offval 7679 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑓 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry π‘€β€˜π‘›))))
42 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}))
43 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4443adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4519ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
4645adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
47 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
485, 20, 10, 42, 44, 46, 22, 47frlmvscafval 21321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘›)( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry π‘€β€˜π‘›)) = ((𝐼 Γ— {(π‘“β€˜π‘›)}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(curry π‘€β€˜π‘›)))
49 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘“β€˜π‘›) ∈ V
50 fnconstg 6780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘“β€˜π‘›) ∈ V β†’ (𝐼 Γ— {(π‘“β€˜π‘›)}) Fn 𝐼)
5149, 50mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (𝐼 Γ— {(π‘“β€˜π‘›)}) Fn 𝐼)
5215ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘›) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))
53 elmapfn 8859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((curry π‘€β€˜π‘›) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘›) Fn 𝐼)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘›) Fn 𝐼)
5554adantlll 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘›) Fn 𝐼)
5655adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘›) Fn 𝐼)
5749fvconst2 7205 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ 𝐼 β†’ ((𝐼 Γ— {(π‘“β€˜π‘›)})β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘›))
5857adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {(π‘“β€˜π‘›)})β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘›))
59 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) β†’ 𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼))
6059anim2i 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼)))
6160ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼)))
6261ad4ant23 752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼)))
63 curfv 36468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ ((curry π‘€β€˜π‘›)β€˜π‘˜) = (π‘›π‘€π‘˜))
64633exp1 1353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 β†’ (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) β†’ ((curry π‘€β€˜π‘›)β€˜π‘˜) = (π‘›π‘€π‘˜)))))
6564com4r 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) β†’ (𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 β†’ ((curry π‘€β€˜π‘›)β€˜π‘˜) = (π‘›π‘€π‘˜)))))
6665imp41 427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((curry π‘€β€˜π‘›)β€˜π‘˜) = (π‘›π‘€π‘˜))
6762, 66sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((curry π‘€β€˜π‘›)β€˜π‘˜) = (π‘›π‘€π‘˜))
6851, 56, 42, 42, 38, 58, 67offval 7679 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {(π‘“β€˜π‘›)}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(curry π‘€β€˜π‘›)) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))
6948, 68eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘›)( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry π‘€β€˜π‘›)) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))
7069mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry π‘€β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))
7141, 70eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑓 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))
7271oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑓 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))))
73 simplll 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
74 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7543ad4ant23 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
76 fovcdm 7577 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘›π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7776ad5ant245 1362 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘›π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7810, 47ringcl 20073 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘“β€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘›π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7974, 75, 77, 78syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
8079fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
8180adantllr 718 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
82 elmapg 8833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)))
8313, 82mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)))
8483adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)))
8512eleq2d 2820 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
8684, 85bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
8786ad5ant13 756 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
8881, 87mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
89 mptexg 7223 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ V)
9089ralrimivw 3151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ V)
91 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))
9291fnmpt 6691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘› ∈ 𝐼 (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ V β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) Fn 𝐼)
9390, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) Fn 𝐼)
94 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) β†’ (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ V)
9593, 9, 94fndmfifsupp 9376 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) finSupp (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
9695ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) finSupp (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
975, 20, 23, 37, 37, 73, 88, 96frlmgsum 21327 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))))
9872, 97eqtr2d 2774 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑓 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)))
9932, 98sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑓 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)))
100 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
1015, 100frlm0 21309 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) = (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
102101ad4ant13 750 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) = (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
10399, 102eqeq12d 2749 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑓 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
10428fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
105104sneqd 4641 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ {(0gβ€˜π‘…)} = {(0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))})
106105xpeq2d 5707 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))
107106eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))})))
108107ad4ant13 750 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))})))
109103, 108imbi12d 345 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) ↔ (((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑓 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
11031, 109raleqbidva 3328 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))(((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑓 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
11127, 110bitr4d 282 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))))
112111notbid 318 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (Β¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ Β¬ βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))))
113 rexanali 3103 . . . 4 (βˆƒπ‘“ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∧ Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) ↔ Β¬ βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})))
114112, 113bitr4di 289 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (Β¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∧ Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))))
1154, 114sylanl1 679 . 2 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (Β¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∧ Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))))
116 fconstfv 7214 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐼⟢{(0gβ€˜π‘…)} ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) = (0gβ€˜π‘…)))
117 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
118117fconst2 7206 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐼⟢{(0gβ€˜π‘…)} ↔ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
119116, 118sylbb1 236 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
120119ex 414 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝐼 β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) = (0gβ€˜π‘…) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})))
121120con3d 152 . . . . . . . . 9 (𝑓 Fn 𝐼 β†’ (Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) = (0gβ€˜π‘…)))
122 df-ne 2942 . . . . . . . . . . 11 ((π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…) ↔ Β¬ (π‘“β€˜π‘–) = (0gβ€˜π‘…))
123122rexbii 3095 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…) ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 Β¬ (π‘“β€˜π‘–) = (0gβ€˜π‘…))
124 rexnal 3101 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 Β¬ (π‘“β€˜π‘–) = (0gβ€˜π‘…) ↔ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) = (0gβ€˜π‘…))
125123, 124bitri 275 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…) ↔ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) = (0gβ€˜π‘…))
126121, 125syl6ibr 252 . . . . . . . 8 (𝑓 Fn 𝐼 β†’ (Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
12733, 126syl 17 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) β†’ (Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
128127adantl 483 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
129 neldifsn 4796 . . . . . . . . . . 11 Β¬ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖})
130 difss 4132 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 βˆ– {𝑖}) βŠ† 𝐼
131 diffi 9179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ∈ Fin)
132131ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ∧ (𝐼 βˆ– {𝑖}) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ∈ Fin)
133 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑖 ∈ 𝑦 ↔ 𝑖 ∈ βˆ…))
134133notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = βˆ… β†’ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ↔ Β¬ 𝑖 ∈ βˆ…))
135 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑦 βŠ† 𝐼 ↔ βˆ… βŠ† 𝐼))
136134, 135anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = βˆ… β†’ ((Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼) ↔ (Β¬ 𝑖 ∈ βˆ… ∧ βˆ… βŠ† 𝐼)))
137136anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = βˆ… β†’ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ βˆ… ∧ βˆ… βŠ† 𝐼))))
138 mpteq1 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (𝑛 ∈ βˆ… ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))
139 mpt0 6693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ βˆ… ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = βˆ…
140138, 139eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = βˆ…)
141140oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝑅 Ξ£g βˆ…))
142100gsum0 18603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 Ξ£g βˆ…) = (0gβ€˜π‘…)
143141, 142eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (0gβ€˜π‘…))
144143oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = βˆ… β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)))
145144ifeq1d 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = βˆ… β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))
146145mpoeq3dv 7488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))
147146fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = βˆ… β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
148147eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = βˆ… β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))))
149137, 148imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = βˆ… β†’ (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ βˆ… ∧ βˆ… βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))))
150 elequ2 2122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑖 ∈ 𝑦 ↔ 𝑖 ∈ π‘₯))
151150notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘₯ β†’ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ↔ Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯))
152 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 βŠ† 𝐼 ↔ π‘₯ βŠ† 𝐼))
153151, 152anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼) ↔ (Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼)))
154153anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼))))
155 mpteq1 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))
156155oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))))
157156oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)))
158157ifeq1d 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = π‘₯ β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))
159158mpoeq3dv 7488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))
160159fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
161160eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘₯ β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))))
162154, 161imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘₯ β†’ (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))))
163 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑖 ∈ 𝑦 ↔ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧})))
164163notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ↔ Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧})))
165 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑦 βŠ† 𝐼 ↔ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼))
166164, 165anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼) ↔ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)))
167166anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼))))
168 mpteq1 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))
169168oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))))
170169oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)))
171170ifeq1d 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))
172171mpoeq3dv 7488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))
173172fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
174173eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))))
175167, 174imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))))
176 eleq2 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ (𝑖 ∈ 𝑦 ↔ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖})))
177176notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ↔ Β¬ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖})))
178 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ (𝑦 βŠ† 𝐼 ↔ (𝐼 βˆ– {𝑖}) βŠ† 𝐼))
179177, 178anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ ((Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼) ↔ (Β¬ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ∧ (𝐼 βˆ– {𝑖}) βŠ† 𝐼)))
180179anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ∧ (𝐼 βˆ– {𝑖}) βŠ† 𝐼))))
181 mpteq1 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))
182181oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))))
183182oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)))
184183ifeq1d 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))
185184mpoeq3dv 7488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))
186185fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
187186eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))))
188180, 187imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ∧ (𝐼 βˆ– {𝑖}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))))
189 fnov 7540 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ↔ 𝑀 = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘—π‘€π‘˜)))
19059, 189sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) β†’ 𝑀 = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘—π‘€π‘˜)))
191190adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘—π‘€π‘˜)))
192 ringgrp 20061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
1934, 192syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ Field β†’ 𝑅 ∈ Grp)
194 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘–π‘€π‘˜) = (π‘—π‘€π‘˜))
195194equcoms 2024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘–π‘€π‘˜) = (π‘—π‘€π‘˜))
196195oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘—π‘€π‘˜)))
197 simp1l 1198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
198 fovcdm 7577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘—π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1991983adant1l 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘—π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
200 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
20110, 200, 100grplid 18852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (π‘—π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘—π‘€π‘˜)) = (π‘—π‘€π‘˜))
202197, 199, 201syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘—π‘€π‘˜)) = (π‘—π‘€π‘˜))
203196, 202sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 𝑖) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (π‘—π‘€π‘˜))
204 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑗 = 𝑖) β†’ (π‘—π‘€π‘˜) = (π‘—π‘€π‘˜))
205203, 204ifeqda 4565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = (π‘—π‘€π‘˜))
206205mpoeq3dva 7486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘—π‘€π‘˜)))
207193, 206sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘—π‘€π‘˜)))
208191, 207eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))
209208fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
210209ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ βˆ… ∧ βˆ… βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
211 elun1 4177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ π‘₯ β†’ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}))
212211con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯)
213 ssun1 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π‘₯ βŠ† (π‘₯ βˆͺ {𝑧})
214 sstr 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ βŠ† (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐼)
215213, 214mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼 β†’ π‘₯ βŠ† 𝐼)
216212, 215anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) β†’ (Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼))
217216anim2i 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼)))
218217adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼)))
219 velsn 4645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ {𝑧} ↔ 𝑖 = 𝑧)
220 elun2 4178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ {𝑧} β†’ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}))
221219, 220sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑧 β†’ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}))
222221necon3bi 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ 𝑖 β‰  𝑧)
223222anim1i 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) β†’ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼))
224 ringcmn 20099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
2254, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑅 ∈ Field β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
226225ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
227 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
228215adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐼)
229 ssfi 9173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐼 ∈ Fin ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
230227, 228, 229syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
231230ad5ant13 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
232215sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼 ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ 𝑛 ∈ 𝐼)
233232adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ 𝑛 ∈ 𝐼)
234233ad4ant24 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ 𝑛 ∈ 𝐼)
2354ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2362ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
237 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
238237anim2i 618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
239238anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
240 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
24110, 100, 240drnginvrcl 20379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
2422413expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
243239, 242sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
244243anasss 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
245236, 244sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
246245ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
24743ad5ant25 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
248 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…))
249763expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘›π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
250249an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘›π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
251248, 250sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘›π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
252235, 247, 251, 78syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
25310, 47ringcl 20073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
254235, 246, 252, 253syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
255254adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
256234, 255syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
257256adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
258 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑧 ∈ V
259258a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑧 ∈ V)
260 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)
261 ssun2 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 {𝑧} βŠ† (π‘₯ βˆͺ {𝑧})
262 sstr 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (({𝑧} βŠ† (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) β†’ {𝑧} βŠ† 𝐼)
263261, 262mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼 β†’ {𝑧} βŠ† 𝐼)
264258snss 4790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ 𝐼 ↔ {𝑧} βŠ† 𝐼)
265263, 264sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼 β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
266265adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
2674ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2684ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
269245adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
270 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
271270ad4ant24 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
27210, 47ringcl 20073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
273268, 269, 271, 272syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
274273adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
275 fovcdm 7577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘§π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
2762753expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘§π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
277248, 276sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘§π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
27810, 47ringcl 20073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘§π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
279267, 274, 277, 278syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
280266, 279sylanl2 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
281280adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
282 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑛 = 𝑧 β†’ (π‘“β€˜π‘›) = (π‘“β€˜π‘§))
283 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑛 = 𝑧 β†’ (π‘›π‘€π‘˜) = (π‘§π‘€π‘˜))
284282, 283oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑛 = 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)) = ((π‘“β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)))
285284oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 𝑧 β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))))
286245ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
287270ad5ant24 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
28810, 47ringass 20076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘§π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))))
289267, 286, 287, 277, 288syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))))
290289eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))) = ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)))
291266, 290sylanl2 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))) = ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)))
292285, 291sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑧) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) = ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)))
293292adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑧) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) = ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)))
29410, 200, 226, 231, 257, 259, 260, 281, 293gsumunsnd 19826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))))
295294oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)))
296 ringabl 20098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Abel)
2974, 296syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑅 ∈ Field β†’ 𝑅 ∈ Abel)
298297ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Abel)
299225ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
300 vex 3479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 π‘₯ ∈ V
301300a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ V)
302 ssel2 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ 𝑛 ∈ 𝐼)
303302, 254sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ 𝑛 ∈ π‘₯)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
304303anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
305304fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) β†’ (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))):π‘₯⟢(Baseβ€˜π‘…))
306305an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))):π‘₯⟢(Baseβ€˜π‘…))
307 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ V
308 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))
309307, 308fnmpti 6694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) Fn π‘₯
310309a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐼 ∈ Fin ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) β†’ (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) Fn π‘₯)
311 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐼 ∈ Fin ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
312310, 229, 311fndmfifsupp 9376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐼 ∈ Fin ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) β†’ (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
313312adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) β†’ (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
314313ad5ant14 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
31510, 100, 299, 301, 306, 314gsumcl 19783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
316215, 315sylanl2 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
317265, 279sylanl2 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
318 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…))
319 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
320318, 319anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼))
321320adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) β†’ (𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼))
322 fovcdm 7577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘–π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3233223expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘–π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
324321, 323sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘–π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
32510, 200, 298, 316, 317, 324abl32 19671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))))
326325adantlrl 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))))
327326adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))))
328295, 327eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))))
329328ifeq1d 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))) = if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))
3303293adant2 1132 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))) = if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))
331330mpoeq3dva 7486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜)))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜)))))
332331fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))))
333 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 maDet 𝑅) = (𝐼 maDet 𝑅)
3341simprbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑅 ∈ Field β†’ 𝑅 ∈ CRing)
335334ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
336 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
337193ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
338320adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) β†’ (𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼))
339338, 323sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘–π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
34010, 200grpcl 18827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘–π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
341337, 315, 339, 340syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
342228, 341sylanl2 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
343248, 266anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼))
344343, 276sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘§π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
345 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…))
346345, 198syl3an1 1164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘—π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
347266, 273sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
348 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
349265ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
350 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝑖 β‰  𝑧)
351333, 10, 200, 47, 335, 336, 342, 344, 346, 347, 348, 349, 350mdetero 22112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))))
352351adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))))
353332, 352eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))))
354 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = 𝑧 β†’ if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜)) = (π‘§π‘€π‘˜))
355 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = 𝑧 β†’ (π‘—π‘€π‘˜) = (π‘§π‘€π‘˜))
356354, 355eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = 𝑧 β†’ if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜)) = (π‘—π‘€π‘˜))
357 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Β¬ 𝑗 = 𝑧 β†’ if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜)) = (π‘—π‘€π‘˜))
358356, 357pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜)) = (π‘—π‘€π‘˜)
359 ifeq2 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜)) = (π‘—π‘€π‘˜) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))
360358, 359mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))
361360mpoeq3ia 7487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜)))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))
362361fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))
363 ifeq2 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜)) = (π‘—π‘€π‘˜) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))
364358, 363mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))
365364mpoeq3ia 7487 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜)))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))
366365fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))
367353, 362, 3663eqtr3g 2796 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
368223, 367sylanl2 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
369368eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))))
370369biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))))
371218, 370embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))))
372371expcom 415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯ β†’ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))))
373372com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯ β†’ (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))) β†’ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))))
374373adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))) β†’ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))))
375149, 162, 175, 188, 210, 374findcard2s 9165 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 βˆ– {𝑖}) ∈ Fin β†’ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ∧ (𝐼 βˆ– {𝑖}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))))
376132, 375mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ∧ (𝐼 βˆ– {𝑖}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
377129, 130, 376mpanr12 704 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
378377adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
379 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = 𝐼
380 fconstmpt 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (0gβ€˜π‘…))
381380eqeq2i 2746 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (0gβ€˜π‘…)))
382 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) ∈ V
383382rgenw 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) ∈ V
384 mpteqb 7018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) ∈ V β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (0gβ€˜π‘…)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…)))
385383, 384ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (0gβ€˜π‘…)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…))
386381, 385bitri 275 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…))
387225ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
388 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
389 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))
390307, 389fnmpti 6694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) Fn 𝐼
391390a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) Fn 𝐼)
392 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐼 ∈ Fin)
393 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
394391, 392, 393fndmfifsupp 9376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
395394ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
396 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
397320, 323sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘–π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
398 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑖 β†’ (π‘“β€˜π‘›) = (π‘“β€˜π‘–))
399 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑖 β†’ (π‘›π‘€π‘˜) = (π‘–π‘€π‘˜))
400398, 399oveq12d 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑖 β†’ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)) = ((π‘“β€˜π‘–)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)))
401400oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑖 β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘–)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))))
402 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝑅 ∈ Field)
4032, 237anim12i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
404403anassrs 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
405 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
40610, 100, 47, 405, 240drnginvrl 20382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘–)) = (1rβ€˜π‘…))
4074063expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘–)) = (1rβ€˜π‘…))
408404, 407sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘–)) = (1rβ€˜π‘…))
409408anasss 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘–)) = (1rβ€˜π‘…))
410409oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)))
411402, 410sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)))
412411adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)))
4134ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
414245adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
415237ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
416415adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
41710, 47ringass 20076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘–π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘–)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))))
418413, 414, 416, 397, 417syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘–)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))))
4194adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4204193ad2ant1 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4213223adant1l 1177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘–π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
42210, 47, 405ringlidm 20086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘–π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (π‘–π‘€π‘˜))
423420, 421, 422syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (π‘–π‘€π‘˜))
424423ad5ant145 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (π‘–π‘€π‘˜))
425424adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (π‘–π‘€π‘˜))
426412, 418, 4253eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘–)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))) = (π‘–π‘€π‘˜))
427401, 426sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑖) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) = (π‘–π‘€π‘˜))
42810, 200, 387, 388, 395, 254, 396, 397, 427gsumdifsnd 19829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)))
429 ovex 7442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)) ∈ V
430 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))
431429, 430fnmpti 6694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) Fn 𝐼
432431a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) Fn 𝐼)
433432, 392, 393fndmfifsupp 9376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
434433ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
43510, 100, 47, 413, 388, 414, 252, 434gsummulc2 20129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))))
436428, 435eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))))
437436adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))))
438 oveq2 7417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
439438adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
4404ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
44110, 47, 100ringrz 20108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
442440, 245, 441syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
443442ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
444437, 439, 4433eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (0gβ€˜π‘…))
445444ifeq1d 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜)))
446445ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜))))
447446ralimdva 3168 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜))))
448447imp 408 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜)))
449386, 448sylan2b 595 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜)))
450449, 379jctil 521 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (𝐼 = 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜))))
451450ralrimivw 3151 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐼 (𝐼 = 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜))))
452 mpoeq123 7481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 = 𝐼 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐼 (𝐼 = 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜)))) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜))))
453379, 451, 452sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜))))
454453an32s 651 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜))))
455454fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜)))))
456334ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
457 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
458 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…))
459458, 198syl3an1 1164 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘—π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
460 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
461333, 10, 100, 456, 457, 459, 460mdetr0 22107 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…))
462461ad4ant14 751 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…))
463378, 455, 4623eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘…))
464463rexlimdvaa 3157 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘…)))
465464expimpd 455 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∧ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘…)))
466128, 465sylan2d 606 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∧ Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘…)))
46732, 466sylan2 594 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∧ Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘…)))
468467rexlimdva 3156 . . 3 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∧ Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘…)))
4699, 468sylan2 594 . 2 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∧ Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘…)))
470115, 469sylbid 239 1 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (Β¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411   ∘f cof 7668  curry ccur 8250   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  .rcmulr 17198  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  Grpcgrp 18819  CMndccmn 19648  Abelcabl 19649  1rcur 20004  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  invrcinvr 20201  DivRingcdr 20357  Fieldcfield 20358  LModclmod 20471   freeLMod cfrlm 21301   LIndF clindf 21359   maDet cmdat 22086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-cur 8252  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-xnn0 12545  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-word 14465  df-lsw 14513  df-concat 14521  df-s1 14546  df-substr 14591  df-pfx 14621  df-splice 14700  df-reverse 14709  df-s2 14799  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-efmnd 18750  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-gim 19133  df-cntz 19181  df-oppg 19210  df-symg 19235  df-pmtr 19310  df-psgn 19359  df-evpm 19360  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-nzr 20292  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-field 20360  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lmhm 20633  df-lbs 20686  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-uvc 21338  df-lindf 21361  df-mat 21908  df-mdet 22087
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