Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matunitlindflem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matunitlindflem1 35046
Description: One direction of matunitlindf 35048. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
matunitlindflem1 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))

Proof of Theorem matunitlindflem1
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfld 19507 . . . . 5 (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
21simplbi 501 . . . 4 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ DivRing)
3 drngring 19505 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ Ring)
5 eqid 2801 . . . . . . . . 9 (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
65frlmlmod 20441 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
76adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
8 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
9 eldifi 4057 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → 𝐼 ∈ Fin)
10 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
115, 10frlmfibas 20454 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
129, 11sylan2 595 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
13 fvex 6662 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) ∈ V
14 curf 35028 . . . . . . . . . 10 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → curry 𝑀:𝐼⟶((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
1513, 14mp3an3 1447 . . . . . . . . 9 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → curry 𝑀:𝐼⟶((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
16 feq3 6474 . . . . . . . . . 10 (((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → (curry 𝑀:𝐼⟶((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ curry 𝑀:𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
1716biimpa 480 . . . . . . . . 9 ((((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ curry 𝑀:𝐼⟶((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)) → curry 𝑀:𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1812, 15, 17syl2an 598 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))) → curry 𝑀:𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1918anandirs 678 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → curry 𝑀:𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
20 eqid 2801 . . . . . . . 8 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
21 eqid 2801 . . . . . . . 8 (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
22 eqid 2801 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
23 eqid 2801 . . . . . . . 8 (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
24 eqid 2801 . . . . . . . 8 (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
25 eqid 2801 . . . . . . . 8 (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)) = (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))
2620, 21, 22, 23, 24, 25islindf4 20530 . . . . . . 7 (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ curry 𝑀:𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))(((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
277, 8, 19, 26syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))(((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
285frlmsca 20445 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
2928fvoveq1d 7161 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)))
3012, 29eqtrd 2836 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)))
3130adantlr 714 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)))
32 elmapi 8415 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅))
33 ffn 6491 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) → 𝑓 Fn 𝐼)
3433adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → 𝑓 Fn 𝐼)
3519ffnd 6492 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → curry 𝑀 Fn 𝐼)
3635adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → curry 𝑀 Fn 𝐼)
37 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
38 inidm 4148 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼𝐼) = 𝐼
39 eqidd 2802 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑛))
40 eqidd 2802 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) = (curry 𝑀𝑛))
4134, 36, 37, 37, 38, 39, 40offval 7400 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀) = (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry 𝑀𝑛))))
42 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
43 ffvelrn 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑓𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
4443adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑓𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
4519ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
4645adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
47 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑅) = (.r𝑅)
485, 20, 10, 42, 44, 46, 22, 47frlmvscafval 20458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑓𝑛)( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry 𝑀𝑛)) = ((𝐼 × {(𝑓𝑛)}) ∘f (.r𝑅)(curry 𝑀𝑛)))
49 fvex 6662 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓𝑛) ∈ V
50 fnconstg 6545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓𝑛) ∈ V → (𝐼 × {(𝑓𝑛)}) Fn 𝐼)
5149, 50mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝐼 × {(𝑓𝑛)}) Fn 𝐼)
5215ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
53 elmapfn 8416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((curry 𝑀𝑛) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) → (curry 𝑀𝑛) Fn 𝐼)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) Fn 𝐼)
5554adantlll 717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) Fn 𝐼)
5655adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) Fn 𝐼)
5749fvconst2 6947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝐼 → ((𝐼 × {(𝑓𝑛)})‘𝑘) = (𝑓𝑛))
5857adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐼 × {(𝑓𝑛)})‘𝑘) = (𝑓𝑛))
59 ffn 6491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) → 𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼))
6059anim2i 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼)))
6160ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼)))
6261ad4ant23 752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼)))
63 curfv 35030 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼) ∧ 𝑛𝐼𝑘𝐼) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((curry 𝑀𝑛)‘𝑘) = (𝑛𝑀𝑘))
64633exp1 1349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼) → (𝑛𝐼 → (𝑘𝐼 → (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → ((curry 𝑀𝑛)‘𝑘) = (𝑛𝑀𝑘)))))
6564com4r 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → (𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼) → (𝑛𝐼 → (𝑘𝐼 → ((curry 𝑀𝑛)‘𝑘) = (𝑛𝑀𝑘)))))
6665imp41 429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((curry 𝑀𝑛)‘𝑘) = (𝑛𝑀𝑘))
6762, 66sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((curry 𝑀𝑛)‘𝑘) = (𝑛𝑀𝑘))
6851, 56, 42, 42, 38, 58, 67offval 7400 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝐼 × {(𝑓𝑛)}) ∘f (.r𝑅)(curry 𝑀𝑛)) = (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))
6948, 68eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑓𝑛)( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry 𝑀𝑛)) = (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))
7069mpteq2dva 5128 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry 𝑀𝑛))) = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
7141, 70eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀) = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
7271oveq2d 7155 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
73 simplll 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
74 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
7543ad4ant23 752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
76 fovrn 7302 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑛𝐼𝑘𝐼) → (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
7776ad5ant245 1358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
7810, 47ringcl 19310 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑓𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
7974, 75, 77, 78syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
8079fmpttd 6860 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
8180adantllr 718 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
82 elmapg 8406 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
8313, 82mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
8483adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
8512eleq2d 2878 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
8684, 85bitr3d 284 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
8786ad5ant13 756 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
8881, 87mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
89 mptexg 6965 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ V)
9089ralrimivw 3153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → ∀𝑛𝐼 (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ V)
91 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))
9291fnmpt 6464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑛𝐼 (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ V → (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝐼)
9390, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝐼)
94 fvexd 6664 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ V)
9593, 9, 94fndmfifsupp 8834 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
9695ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
975, 20, 23, 37, 37, 73, 88, 96frlmgsum 20464 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
9872, 97eqtr2d 2837 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)))
9932, 98sylan2 595 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)) → (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)))
100 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
1015, 100frlm0 20446 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝐼 × {(0g𝑅)}) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
102101ad4ant13 750 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)) → (𝐼 × {(0g𝑅)}) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
10399, 102eqeq12d 2817 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)) → ((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ↔ ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
10428fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
105104sneqd 4540 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → {(0g𝑅)} = {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})
106105xpeq2d 5553 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝐼 × {(0g𝑅)}) = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))
107106eqeq2d 2812 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ↔ 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})))
108107ad4ant13 750 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)) → (𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ↔ 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})))
109103, 108imbi12d 348 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)) → (((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ↔ (((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
11031, 109raleqbidva 3373 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (∀𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))(((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
11127, 110bitr4d 285 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∀𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))))
112111notbid 321 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))))
113 rexanali 3227 . . . 4 (∃𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})))
114112, 113syl6bbr 292 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∃𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))))
1154, 114sylanl1 679 . 2 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∃𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))))
116 fconstfv 6956 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐼⟶{(0g𝑅)} ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅)))
117 fvex 6662 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) ∈ V
118117fconst2 6948 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐼⟶{(0g𝑅)} ↔ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))
119116, 118sylbb1 240 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅)) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))
120119ex 416 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝐼 → (∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})))
121120con3d 155 . . . . . . . . 9 (𝑓 Fn 𝐼 → (¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → ¬ ∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅)))
122 df-ne 2991 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅) ↔ ¬ (𝑓𝑖) = (0g𝑅))
123122rexbii 3213 . . . . . . . . . 10 (∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅) ↔ ∃𝑖𝐼 ¬ (𝑓𝑖) = (0g𝑅))
124 rexnal 3204 . . . . . . . . . 10 (∃𝑖𝐼 ¬ (𝑓𝑖) = (0g𝑅) ↔ ¬ ∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅))
125123, 124bitri 278 . . . . . . . . 9 (∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅) ↔ ¬ ∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅))
126121, 125syl6ibr 255 . . . . . . . 8 (𝑓 Fn 𝐼 → (¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → ∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)))
12733, 126syl 17 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) → (¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → ∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)))
128127adantl 485 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → ∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)))
129 neldifsn 4688 . . . . . . . . . . 11 ¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})
130 difss 4062 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼
131 diffi 8738 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ Fin → (𝐼 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
132131ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼)) → (𝐼 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
133 eleq2 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = ∅ → (𝑖𝑦𝑖 ∈ ∅))
134133notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ∅ → (¬ 𝑖𝑦 ↔ ¬ 𝑖 ∈ ∅))
135 sseq1 3943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ∅ → (𝑦𝐼 ↔ ∅ ⊆ 𝐼))
136134, 135anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = ∅ → ((¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼) ↔ (¬ 𝑖 ∈ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝐼)))
137136anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ∅ → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝐼))))
138 mpteq1 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = ∅ → (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛 ∈ ∅ ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
139 mpt0 6466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ∅ ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = ∅
140138, 139eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = ∅ → (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = ∅)
141140oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑅 Σg ∅))
142100gsum0 17889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 Σg ∅) = (0g𝑅)
143141, 142eqtrdi 2852 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (0g𝑅))
144143oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = ∅ → ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
145144ifeq1d 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = ∅ → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
146145mpoeq3dv 7216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ∅ → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
147146fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = ∅ → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
148147eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ∅ → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
149137, 148imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ∅ → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
150 elequ2 2127 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (𝑖𝑦𝑖𝑥))
151150notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (¬ 𝑖𝑦 ↔ ¬ 𝑖𝑥))
152 sseq1 3943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐼𝑥𝐼))
153151, 152anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ((¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼) ↔ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)))
154153anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼))))
155 mpteq1 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
156155oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → (𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
157156oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
158157ifeq1d 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
159158mpoeq3dv 7216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
160159fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
161160eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
162154, 161imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
163 eleq2 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑖𝑦𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})))
164163notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (¬ 𝑖𝑦 ↔ ¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})))
165 sseq1 3943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑦𝐼 ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼))
166164, 165anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼) ↔ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)))
167166anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼))))
168 mpteq1 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
169168oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
170169oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
171170ifeq1d 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
172171mpoeq3dv 7216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
173172fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
174173eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
175167, 174imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
176 eleq2 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (𝑖𝑦𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})))
177176notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (¬ 𝑖𝑦 ↔ ¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})))
178 sseq1 3943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (𝑦𝐼 ↔ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼))
179177, 178anbi12d 633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → ((¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼) ↔ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼)))
180179anbi2d 631 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼))))
181 mpteq1 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
182181oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
183182oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
184183ifeq1d 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
185184mpoeq3dv 7216 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
186185fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
187186eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
188180, 187imbi12d 348 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
189 fnov 7265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼) ↔ 𝑀 = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ (𝑗𝑀𝑘)))
19059, 189sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) → 𝑀 = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ (𝑗𝑀𝑘)))
191190adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → 𝑀 = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ (𝑗𝑀𝑘)))
192 ringgrp 19298 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1934, 192syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ Grp)
194 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖𝑀𝑘) = (𝑗𝑀𝑘))
195194equcoms 2027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 → (𝑖𝑀𝑘) = (𝑗𝑀𝑘))
196195oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑖 → ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑗𝑀𝑘)))
197 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Grp)
198 fovrn 7302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → (𝑗𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
1991983adant1l 1173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → (𝑗𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
200 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (+g𝑅) = (+g𝑅)
20110, 200, 100grplid 18128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑗𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
202197, 199, 201syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
203196, 202sylan9eqr 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) ∧ 𝑗 = 𝑖) → ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
204 eqidd 2802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) ∧ ¬ 𝑗 = 𝑖) → (𝑗𝑀𝑘) = (𝑗𝑀𝑘))
205203, 204ifeqda 4463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
206205mpoeq3dva 7214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ (𝑗𝑀𝑘)))
207193, 206sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ (𝑗𝑀𝑘)))
208191, 207eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → 𝑀 = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
209208fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
210209ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
211 elun1 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖𝑥𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}))
212211con3i 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) → ¬ 𝑖𝑥)
213 ssun1 4102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
214 sstr 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → 𝑥𝐼)
215213, 214mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼𝑥𝐼)
216212, 215anim12i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼))
217216anim2i 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)))
218217adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)))
219 velsn 4544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ {𝑧} ↔ 𝑖 = 𝑧)
220 elun2 4107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ {𝑧} → 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}))
221219, 220sylbir 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑧𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}))
222221necon3bi 3016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) → 𝑖𝑧)
223222anim1i 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼))
224 ringcmn 19330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
2254, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ CMnd)
226225ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
227 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → 𝐼 ∈ Fin)
228215adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → 𝑥𝐼)
229 ssfi 8726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ Fin)
230227, 228, 229syl2an 598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑥 ∈ Fin)
231230ad5ant13 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑥 ∈ Fin)
232215sselda 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼𝑛𝑥) → 𝑛𝐼)
233232adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑛𝑥) → 𝑛𝐼)
234233ad4ant24 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝑥) → 𝑛𝐼)
2354ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
2362ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ DivRing)
237 ffvelrn 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
238237anim2i 619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼)) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
239238anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
240 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (invr𝑅) = (invr𝑅)
24110, 100, 240drnginvrcl 19515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
2422413expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
243239, 242sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
244243anasss 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
245236, 244sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
246245ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
24743ad5ant25 761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑓𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
248 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
249763expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
250249an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
251248, 250sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
252235, 247, 251, 78syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
25310, 47ringcl 19310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
254235, 246, 252, 253syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
255254adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
256234, 255syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝑥) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
257256adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝑥) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
258 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑧 ∈ V
259258a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑧 ∈ V)
260 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → ¬ 𝑧𝑥)
261 ssun2 4103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 {𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
262 sstr 3926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (({𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → {𝑧} ⊆ 𝐼)
263261, 262mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼 → {𝑧} ⊆ 𝐼)
264258snss 4682 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧𝐼 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐼)
265263, 264sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼𝑧𝐼)
266265adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → 𝑧𝐼)
2674ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
2684ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
269245adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
270 ffvelrn 6830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑓𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
271270ad4ant24 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑓𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
27210, 47ringcl 19310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
273268, 269, 271, 272syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
274273adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
275 fovrn 7302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑧𝐼𝑘𝐼) → (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
2762753expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
277248, 276sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
27810, 47ringcl 19310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
279267, 274, 277, 278syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
280266, 279sylanl2 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
281280adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
282 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑛 = 𝑧 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑧))
283 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑛 = 𝑧 → (𝑛𝑀𝑘) = (𝑧𝑀𝑘))
284282, 283oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑛 = 𝑧 → ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) = ((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))
285284oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 𝑧 → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
286245ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
287270ad5ant24 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
28810, 47ringass 19313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
289267, 286, 287, 277, 288syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
290289eqcomd 2807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))) = ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))
291266, 290sylanl2 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))) = ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))
292285, 291sylan9eqr 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑧) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))
293292adantllr 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑧) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))
29410, 200, 226, 231, 257, 259, 260, 281, 293gsumunsnd 19074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
295294oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
296 ringabl 19329 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2974, 296syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ Abel)
298297ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Abel)
299225ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
300 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝑥 ∈ V
301300a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑥 ∈ V)
302 ssel2 3913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥𝐼𝑛𝑥) → 𝑛𝐼)
303302, 254sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑥𝐼𝑛𝑥)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
304303anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑛𝑥) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
305304fmpttd 6860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))):𝑥⟶(Base‘𝑅))
306305an32s 651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))):𝑥⟶(Base‘𝑅))
307 ovex 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ V
308 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))
309307, 308fnmpti 6467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝑥
310309a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝑥)
311 fvexd 6664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐼) → (0g𝑅) ∈ V)
312310, 229, 311fndmfifsupp 8834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
313312adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
314313ad5ant14 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
31510, 100, 299, 301, 306, 314gsumcl 19031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) ∈ (Base‘𝑅))
316215, 315sylanl2 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) ∈ (Base‘𝑅))
317265, 279sylanl2 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
318 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
319 simpl 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → 𝑖𝐼)
320318, 319anim12i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼))
321320adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼))
322 fovrn 7302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
3233223expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
324321, 323sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
32510, 200, 298, 316, 317, 324abl32 18923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
326325adantlrl 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
327326adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
328295, 327eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
329328ifeq1d 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))
3303293adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))
331330mpoeq3dva 7214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)))))
332331fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))))
333 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 maDet 𝑅) = (𝐼 maDet 𝑅)
3341simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ CRing)
335334ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑅 ∈ CRing)
336 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
337193ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Grp)
338320adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼))
339338, 323sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
34010, 200grpcl 18106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
341337, 315, 339, 340syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
342228, 341sylanl2 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
343248, 266anim12i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑧𝐼))
344343, 276sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
345 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
346345, 198syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → (𝑗𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
347266, 273sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
348 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑖𝐼)
349265ad2antll 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑧𝐼)
350 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑖𝑧)
351333, 10, 200, 47, 335, 336, 342, 344, 346, 347, 348, 349, 350mdetero 21218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))))
352351adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))))
353332, 352eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))))
354 iftrue 4434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = 𝑧 → if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑧𝑀𝑘))
355 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = 𝑧 → (𝑗𝑀𝑘) = (𝑧𝑀𝑘))
356354, 355eqtr4d 2839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = 𝑧 → if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
357 iffalse 4437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑗 = 𝑧 → if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
358356, 357pm2.61i 185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘)
359 ifeq2 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
360358, 359mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗𝐼𝑘𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
361360mpoeq3ia 7215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
362361fveq2i 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
363 ifeq2 4433 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
364358, 363mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗𝐼𝑘𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
365364mpoeq3ia 7215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
366365fveq2i 6652 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
367353, 362, 3663eqtr3g 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
368223, 367sylanl2 680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
369368eqeq2d 2812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
370369biimprd 251 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
371218, 370embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
372371expcom 417 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧𝑥 → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
373372com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧𝑥 → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
374373adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
375149, 162, 175, 188, 210, 374findcard2s 8747 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∖ {𝑖}) ∈ Fin → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
376132, 375mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
377129, 130, 376mpanr12 704 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
378377adantlr 714 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
379 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = 𝐼
380 fconstmpt 5582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 × {(0g𝑅)}) = (𝑘𝐼 ↦ (0g𝑅))
381380eqeq2i 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ↔ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑘𝐼 ↦ (0g𝑅)))
382 ovex 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) ∈ V
383382rgenw 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) ∈ V
384 mpteqb 6768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) ∈ V → ((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑘𝐼 ↦ (0g𝑅)) ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)))
385383, 384ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑘𝐼 ↦ (0g𝑅)) ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅))
386381, 385bitri 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅))
387225ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
388 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → 𝐼 ∈ Fin)
389 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))
390307, 389fnmpti 6467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝐼
391390a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin → (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝐼)
392 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
393 fvexd 6664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin → (0g𝑅) ∈ V)
394391, 392, 393fndmfifsupp 8834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 ∈ Fin → (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
395394ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
396 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑖𝐼)
397320, 323sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
398 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑖 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑖))
399 oveq1 7146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑖 → (𝑛𝑀𝑘) = (𝑖𝑀𝑘))
400398, 399oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) = ((𝑓𝑖)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
401400oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑖 → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑖)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘))))
402 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Field)
4032, 237anim12i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼)) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
404403anassrs 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
405 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (1r𝑅) = (1r𝑅)
40610, 100, 47, 405, 240drnginvrl 19517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖)) = (1r𝑅))
4074063expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖)) = (1r𝑅))
408404, 407sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖)) = (1r𝑅))
409408anasss 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖)) = (1r𝑅))
410409oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
411402, 410sylanl1 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
412411adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
4134ad5antr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
414245adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
415237ad2ant2lr 747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
416415adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
41710, 47ringass 19313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑖)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘))))
418413, 414, 416, 397, 417syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑖)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘))))
4194adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
4204193ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
4213223adant1l 1173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
42210, 47, 405ringlidm 19320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (𝑖𝑀𝑘))
423420, 421, 422syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼𝑘𝐼) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (𝑖𝑀𝑘))
424423ad5ant145 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (𝑖𝑀𝑘))
425424adantlrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (𝑖𝑀𝑘))
426412, 418, 4253eqtr3d 2844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑖)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘))) = (𝑖𝑀𝑘))
427401, 426sylan9eqr 2858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑖) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = (𝑖𝑀𝑘))
42810, 200, 387, 388, 395, 254, 396, 397, 427gsumdifsnd 19077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
429 ovex 7172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) ∈ V
430 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))
431429, 430fnmpti 6467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) Fn 𝐼
432431a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin → (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) Fn 𝐼)
433432, 392, 393fndmfifsupp 8834 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 ∈ Fin → (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) finSupp (0g𝑅))
434433ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) finSupp (0g𝑅))
43510, 100, 200, 47, 413, 388, 414, 252, 434gsummulc2 19356 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
436428, 435eqtr3d 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
437436adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
438 oveq2 7147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(0g𝑅)))
439438adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(0g𝑅)))
4404ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
44110, 47, 100ringrz 19337 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
442440, 245, 441syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
443442ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
444437, 439, 4433eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (0g𝑅))
445444ifeq1d 4446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))
446445ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
447446ralimdva 3147 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅) → ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
448447imp 410 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))
449386, 448sylan2b 596 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))
450449, 379jctil 523 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
451450ralrimivw 3153 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ∀𝑗𝐼 (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
452 mpoeq123 7209 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑗𝐼 (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
453379, 451, 452sylancr 590 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
454453an32s 651 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
455454fveq2d 6653 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))))
456334ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝑅 ∈ CRing)
457 simplr 768 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝐼 ∈ Fin)
458 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
459458, 198syl3an1 1160 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → (𝑗𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
460 simprl 770 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝑖𝐼)
461333, 10, 100, 456, 457, 459, 460mdetr0 21213 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))) = (0g𝑅))
462461ad4ant14 751 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))) = (0g𝑅))
463378, 455, 4623eqtrd 2840 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅))
464463rexlimdvaa 3247 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → (∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
465464expimpd 457 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
466128, 465sylan2d 607 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
46732, 466sylan2 595 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)) → (((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
468467rexlimdva 3246 . . 3 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (∃𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
4699, 468sylan2 595 . 2 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (∃𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
470115, 469sylbid 243 1 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  wral 3109  wrex 3110  Vcvv 3444  cdif 3881  cun 3882  wss 3884  c0 4246  ifcif 4428  {csn 4528   class class class wbr 5033  cmpt 5113   × cxp 5521   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cmpo 7141  f cof 7391  curry ccur 7918  m cmap 8393  Fincfn 8496   finSupp cfsupp 8821  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  .rcmulr 16561  Scalarcsca 16563   ·𝑠 cvsca 16564  0gc0g 16708   Σg cgsu 16709  Grpcgrp 18098  CMndccmn 18901  Abelcabl 18902  1rcur 19247  Ringcrg 19293  CRingccrg 19294  invrcinvr 19420  DivRingcdr 19498  Fieldcfield 19499  LModclmod 19630   freeLMod cfrlm 20438   LIndF clindf 20496   maDet cmdat 21192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1503  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-ot 4537  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-tpos 7879  df-cur 7920  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-xnn0 11960  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-rp 12382  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-word 13862  df-lsw 13910  df-concat 13918  df-s1 13945  df-substr 13998  df-pfx 14028  df-splice 14107  df-reverse 14116  df-s2 14205  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-efmnd 18029  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-gim 18394  df-cntz 18442  df-oppg 18469  df-symg 18491  df-pmtr 18565  df-psgn 18614  df-evpm 18615  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-rnghom 19466  df-drng 19500  df-field 19501  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-lmhm 19790  df-lbs 19843  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-nzr 20027  df-cnfld 20095  df-zring 20167  df-zrh 20200  df-dsmm 20424  df-frlm 20439  df-uvc 20475  df-lindf 20498  df-mat 21016  df-mdet 21193
This theorem is referenced by:  matunitlindf  35048
  Copyright terms: Public domain W3C validator