Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | isfld 20368 |
. . . . 5
β’ (π
β Field β (π
β DivRing β§ π
β CRing)) |
2 | 1 | simplbi 499 |
. . . 4
β’ (π
β Field β π
β
DivRing) |
3 | | drngring 20364 |
. . . 4
β’ (π
β DivRing β π
β Ring) |
4 | 2, 3 | syl 17 |
. . 3
β’ (π
β Field β π
β Ring) |
5 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . 9
β’ (π
freeLMod πΌ) = (π
freeLMod πΌ) |
6 | 5 | frlmlmod 21304 |
. . . . . . . 8
β’ ((π
β Ring β§ πΌ β (Fin β {β
}))
β (π
freeLMod πΌ) β LMod) |
7 | 6 | adantlr 714 |
. . . . . . 7
β’ (((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β
(π
freeLMod πΌ) β LMod) |
8 | | simpr 486 |
. . . . . . 7
β’ (((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β
πΌ β (Fin β
{β
})) |
9 | | eldifi 4127 |
. . . . . . . . . 10
β’ (πΌ β (Fin β {β
})
β πΌ β
Fin) |
10 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(Baseβπ
) =
(Baseβπ
) |
11 | 5, 10 | frlmfibas 21317 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π
β Ring β§ πΌ β Fin) β
((Baseβπ
)
βm πΌ) =
(Baseβ(π
freeLMod
πΌ))) |
12 | 9, 11 | sylan2 594 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π
β Ring β§ πΌ β (Fin β {β
}))
β ((Baseβπ
)
βm πΌ) =
(Baseβ(π
freeLMod
πΌ))) |
13 | | fvex 6905 |
. . . . . . . . . 10
β’
(Baseβπ
)
β V |
14 | | curf 36466 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
) β§ πΌ β (Fin β {β
}) β§
(Baseβπ
) β V)
β curry π:πΌβΆ((Baseβπ
) βm πΌ)) |
15 | 13, 14 | mp3an3 1451 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β
curry π:πΌβΆ((Baseβπ
) βm πΌ)) |
16 | | feq3 6701 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((Baseβπ
)
βm πΌ) =
(Baseβ(π
freeLMod
πΌ)) β (curry π:πΌβΆ((Baseβπ
) βm πΌ) β curry π:πΌβΆ(Baseβ(π
freeLMod πΌ)))) |
17 | 16 | biimpa 478 |
. . . . . . . . 9
β’
((((Baseβπ
)
βm πΌ) =
(Baseβ(π
freeLMod
πΌ)) β§ curry π:πΌβΆ((Baseβπ
) βm πΌ)) β curry π:πΌβΆ(Baseβ(π
freeLMod πΌ))) |
18 | 12, 15, 17 | syl2an 597 |
. . . . . . . 8
β’ (((π
β Ring β§ πΌ β (Fin β {β
}))
β§ (π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
) β§ πΌ β (Fin β {β
}))) β
curry π:πΌβΆ(Baseβ(π
freeLMod πΌ))) |
19 | 18 | anandirs 678 |
. . . . . . 7
β’ (((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β
curry π:πΌβΆ(Baseβ(π
freeLMod πΌ))) |
20 | | eqid 2733 |
. . . . . . . 8
β’
(Baseβ(π
freeLMod πΌ)) =
(Baseβ(π
freeLMod
πΌ)) |
21 | | eqid 2733 |
. . . . . . . 8
β’
(Scalarβ(π
freeLMod πΌ)) =
(Scalarβ(π
freeLMod
πΌ)) |
22 | | eqid 2733 |
. . . . . . . 8
β’ (
Β·π β(π
freeLMod πΌ)) = ( Β·π
β(π
freeLMod πΌ)) |
23 | | eqid 2733 |
. . . . . . . 8
β’
(0gβ(π
freeLMod πΌ)) = (0gβ(π
freeLMod πΌ)) |
24 | | eqid 2733 |
. . . . . . . 8
β’
(0gβ(Scalarβ(π
freeLMod πΌ))) =
(0gβ(Scalarβ(π
freeLMod πΌ))) |
25 | | eqid 2733 |
. . . . . . . 8
β’
(Baseβ((Scalarβ(π
freeLMod πΌ)) freeLMod πΌ)) = (Baseβ((Scalarβ(π
freeLMod πΌ)) freeLMod πΌ)) |
26 | 20, 21, 22, 23, 24, 25 | islindf4 21393 |
. . . . . . 7
β’ (((π
freeLMod πΌ) β LMod β§ πΌ β (Fin β {β
}) β§ curry
π:πΌβΆ(Baseβ(π
freeLMod πΌ))) β (curry π LIndF (π
freeLMod πΌ) β βπ β (Baseβ((Scalarβ(π
freeLMod πΌ)) freeLMod πΌ))(((π
freeLMod πΌ) Ξ£g (π βf (
Β·π β(π
freeLMod πΌ))curry π)) = (0gβ(π
freeLMod πΌ)) β π = (πΌ Γ
{(0gβ(Scalarβ(π
freeLMod πΌ)))})))) |
27 | 7, 8, 19, 26 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β
(curry π LIndF (π
freeLMod πΌ) β βπ β (Baseβ((Scalarβ(π
freeLMod πΌ)) freeLMod πΌ))(((π
freeLMod πΌ) Ξ£g (π βf (
Β·π β(π
freeLMod πΌ))curry π)) = (0gβ(π
freeLMod πΌ)) β π = (πΌ Γ
{(0gβ(Scalarβ(π
freeLMod πΌ)))})))) |
28 | 5 | frlmsca 21308 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π
β Ring β§ πΌ β (Fin β {β
}))
β π
=
(Scalarβ(π
freeLMod
πΌ))) |
29 | 28 | fvoveq1d 7431 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π
β Ring β§ πΌ β (Fin β {β
}))
β (Baseβ(π
freeLMod πΌ)) =
(Baseβ((Scalarβ(π
freeLMod πΌ)) freeLMod πΌ))) |
30 | 12, 29 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . 8
β’ ((π
β Ring β§ πΌ β (Fin β {β
}))
β ((Baseβπ
)
βm πΌ) =
(Baseβ((Scalarβ(π
freeLMod πΌ)) freeLMod πΌ))) |
31 | 30 | adantlr 714 |
. . . . . . 7
β’ (((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β
((Baseβπ
)
βm πΌ) =
(Baseβ((Scalarβ(π
freeLMod πΌ)) freeLMod πΌ))) |
32 | | elmapi 8843 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π β ((Baseβπ
) βm πΌ) β π:πΌβΆ(Baseβπ
)) |
33 | | ffn 6718 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π:πΌβΆ(Baseβπ
) β π Fn πΌ) |
34 | 33 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β π Fn πΌ) |
35 | 19 | ffnd 6719 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β
curry π Fn πΌ) |
36 | 35 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β curry π Fn πΌ) |
37 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β πΌ β (Fin β
{β
})) |
38 | | inidm 4219 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (πΌ β© πΌ) = πΌ |
39 | | eqidd 2734 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π
β Ring
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β (πβπ) = (πβπ)) |
40 | | eqidd 2734 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π
β Ring
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β (curry πβπ) = (curry πβπ)) |
41 | 34, 36, 37, 37, 38, 39, 40 | offval 7679 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β (π βf (
Β·π β(π
freeLMod πΌ))curry π) = (π β πΌ β¦ ((πβπ)( Β·π
β(π
freeLMod πΌ))(curry πβπ)))) |
42 | | simpllr 775 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π
β Ring
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β πΌ β (Fin β
{β
})) |
43 | | ffvelcdm 7084 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π:πΌβΆ(Baseβπ
) β§ π β πΌ) β (πβπ) β (Baseβπ
)) |
44 | 43 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π
β Ring
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β (πβπ) β (Baseβπ
)) |
45 | 19 | ffvelcdmda 7087 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π β πΌ) β (curry πβπ) β (Baseβ(π
freeLMod πΌ))) |
46 | 45 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π
β Ring
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β (curry πβπ) β (Baseβ(π
freeLMod πΌ))) |
47 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(.rβπ
) = (.rβπ
) |
48 | 5, 20, 10, 42, 44, 46, 22, 47 | frlmvscafval 21321 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π
β Ring
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β ((πβπ)( Β·π
β(π
freeLMod πΌ))(curry πβπ)) = ((πΌ Γ {(πβπ)}) βf
(.rβπ
)(curry πβπ))) |
49 | | fvex 6905 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (πβπ) β V |
50 | | fnconstg 6780 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((πβπ) β V β (πΌ Γ {(πβπ)}) Fn πΌ) |
51 | 49, 50 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π
β Ring
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β (πΌ Γ {(πβπ)}) Fn πΌ) |
52 | 15 | ffvelcdmda 7087 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (((π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π β πΌ) β (curry πβπ) β ((Baseβπ
) βm πΌ)) |
53 | | elmapfn 8859 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((curry
πβπ) β ((Baseβπ
) βm πΌ) β (curry πβπ) Fn πΌ) |
54 | 52, 53 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π β πΌ) β (curry πβπ) Fn πΌ) |
55 | 54 | adantlll 717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π β πΌ) β (curry πβπ) Fn πΌ) |
56 | 55 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π
β Ring
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β (curry πβπ) Fn πΌ) |
57 | 49 | fvconst2 7205 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π β πΌ β ((πΌ Γ {(πβπ)})βπ) = (πβπ)) |
58 | 57 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
((((((π
β Ring
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β§ π β πΌ) β ((πΌ Γ {(πβπ)})βπ) = (πβπ)) |
59 | | ffn 6718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
) β π Fn (πΌ Γ πΌ)) |
60 | 59 | anim2i 618 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((πΌ β (Fin β {β
})
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β (πΌ β (Fin β {β
}) β§ π Fn (πΌ Γ πΌ))) |
61 | 60 | ancoms 460 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ ((π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β
(πΌ β (Fin β
{β
}) β§ π Fn
(πΌ Γ πΌ))) |
62 | 61 | ad4ant23 752 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β (πΌ β (Fin β {β
}) β§ π Fn (πΌ Γ πΌ))) |
63 | | curfv 36468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π Fn (πΌ Γ πΌ) β§ π β πΌ β§ π β πΌ) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β
((curry πβπ)βπ) = (πππ)) |
64 | 63 | 3exp1 1353 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π Fn (πΌ Γ πΌ) β (π β πΌ β (π β πΌ β (πΌ β (Fin β {β
}) β
((curry πβπ)βπ) = (πππ))))) |
65 | 64 | com4r 94 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (πΌ β (Fin β {β
})
β (π Fn (πΌ Γ πΌ) β (π β πΌ β (π β πΌ β ((curry πβπ)βπ) = (πππ))))) |
66 | 65 | imp41 427 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((((πΌ β (Fin β {β
})
β§ π Fn (πΌ Γ πΌ)) β§ π β πΌ) β§ π β πΌ) β ((curry πβπ)βπ) = (πππ)) |
67 | 62, 66 | sylanl1 679 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
((((((π
β Ring
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β§ π β πΌ) β ((curry πβπ)βπ) = (πππ)) |
68 | 51, 56, 42, 42, 38, 58, 67 | offval 7679 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π
β Ring
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β ((πΌ Γ {(πβπ)}) βf
(.rβπ
)(curry πβπ)) = (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) |
69 | 48, 68 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
(((((π
β Ring
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β ((πβπ)( Β·π
β(π
freeLMod πΌ))(curry πβπ)) = (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) |
70 | 69 | mpteq2dva 5249 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β (π β πΌ β¦ ((πβπ)( Β·π
β(π
freeLMod πΌ))(curry πβπ))) = (π β πΌ β¦ (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) |
71 | 41, 70 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β (π βf (
Β·π β(π
freeLMod πΌ))curry π) = (π β πΌ β¦ (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) |
72 | 71 | oveq2d 7425 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β ((π
freeLMod πΌ) Ξ£g (π βf (
Β·π β(π
freeLMod πΌ))curry π)) = ((π
freeLMod πΌ) Ξ£g (π β πΌ β¦ (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))) |
73 | | simplll 774 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β π
β Ring) |
74 | | simp-4l 782 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π
β Ring
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β§ π β πΌ) β π
β Ring) |
75 | 43 | ad4ant23 752 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π
β Ring
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β§ π β πΌ) β (πβπ) β (Baseβπ
)) |
76 | | fovcdm 7577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
) β§ π β πΌ β§ π β πΌ) β (πππ) β (Baseβπ
)) |
77 | 76 | ad5ant245 1362 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π
β Ring
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β§ π β πΌ) β (πππ) β (Baseβπ
)) |
78 | 10, 47 | ringcl 20073 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π
β Ring β§ (πβπ) β (Baseβπ
) β§ (πππ) β (Baseβπ
)) β ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)) β (Baseβπ
)) |
79 | 74, 75, 77, 78 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(((((π
β Ring
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β§ π β πΌ) β ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)) β (Baseβπ
)) |
80 | 79 | fmpttd 7115 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))):πΌβΆ(Baseβπ
)) |
81 | 80 | adantllr 718 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π
β Ring
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))):πΌβΆ(Baseβπ
)) |
82 | | elmapg 8833 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((Baseβπ
)
β V β§ πΌ β
(Fin β {β
})) β ((π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) β ((Baseβπ
) βm πΌ) β (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))):πΌβΆ(Baseβπ
))) |
83 | 13, 82 | mpan 689 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (πΌ β (Fin β {β
})
β ((π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) β ((Baseβπ
) βm πΌ) β (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))):πΌβΆ(Baseβπ
))) |
84 | 83 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π
β Ring β§ πΌ β (Fin β {β
}))
β ((π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) β ((Baseβπ
) βm πΌ) β (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))):πΌβΆ(Baseβπ
))) |
85 | 12 | eleq2d 2820 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π
β Ring β§ πΌ β (Fin β {β
}))
β ((π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) β ((Baseβπ
) βm πΌ) β (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) β (Baseβ(π
freeLMod πΌ)))) |
86 | 84, 85 | bitr3d 281 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π
β Ring β§ πΌ β (Fin β {β
}))
β ((π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))):πΌβΆ(Baseβπ
) β (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) β (Baseβ(π
freeLMod πΌ)))) |
87 | 86 | ad5ant13 756 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(((((π
β Ring
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β ((π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))):πΌβΆ(Baseβπ
) β (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) β (Baseβ(π
freeLMod πΌ)))) |
88 | 81, 87 | mpbid 231 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
(((((π
β Ring
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) β (Baseβ(π
freeLMod πΌ))) |
89 | | mptexg 7223 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (πΌ β (Fin β {β
})
β (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) β V) |
90 | 89 | ralrimivw 3151 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (πΌ β (Fin β {β
})
β βπ β
πΌ (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) β V) |
91 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π β πΌ β¦ (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) = (π β πΌ β¦ (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) |
92 | 91 | fnmpt 6691 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
(βπ β
πΌ (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) β V β (π β πΌ β¦ (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) Fn πΌ) |
93 | 90, 92 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (πΌ β (Fin β {β
})
β (π β πΌ β¦ (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) Fn πΌ) |
94 | | fvexd 6907 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (πΌ β (Fin β {β
})
β (0gβ(π
freeLMod πΌ)) β V) |
95 | 93, 9, 94 | fndmfifsupp 9376 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (πΌ β (Fin β {β
})
β (π β πΌ β¦ (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) finSupp (0gβ(π
freeLMod πΌ))) |
96 | 95 | ad2antlr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β (π β πΌ β¦ (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) finSupp (0gβ(π
freeLMod πΌ))) |
97 | 5, 20, 23, 37, 37, 73, 88, 96 | frlmgsum 21327 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β ((π
freeLMod πΌ) Ξ£g (π β πΌ β¦ (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))) |
98 | 72, 97 | eqtr2d 2774 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β (π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = ((π
freeLMod πΌ) Ξ£g (π βf (
Β·π β(π
freeLMod πΌ))curry π))) |
99 | 32, 98 | sylan2 594 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π β ((Baseβπ
) βm πΌ)) β (π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = ((π
freeLMod πΌ) Ξ£g (π βf (
Β·π β(π
freeLMod πΌ))curry π))) |
100 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(0gβπ
) = (0gβπ
) |
101 | 5, 100 | frlm0 21309 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π
β Ring β§ πΌ β (Fin β {β
}))
β (πΌ Γ
{(0gβπ
)})
= (0gβ(π
freeLMod πΌ))) |
102 | 101 | ad4ant13 750 |
. . . . . . . . 9
β’ ((((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π β ((Baseβπ
) βm πΌ)) β (πΌ Γ {(0gβπ
)}) =
(0gβ(π
freeLMod πΌ))) |
103 | 99, 102 | eqeq12d 2749 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π β ((Baseβπ
) βm πΌ)) β ((π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)}) β ((π
freeLMod πΌ) Ξ£g (π βf (
Β·π β(π
freeLMod πΌ))curry π)) = (0gβ(π
freeLMod πΌ)))) |
104 | 28 | fveq2d 6896 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((π
β Ring β§ πΌ β (Fin β {β
}))
β (0gβπ
) =
(0gβ(Scalarβ(π
freeLMod πΌ)))) |
105 | 104 | sneqd 4641 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π
β Ring β§ πΌ β (Fin β {β
}))
β {(0gβπ
)} =
{(0gβ(Scalarβ(π
freeLMod πΌ)))}) |
106 | 105 | xpeq2d 5707 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((π
β Ring β§ πΌ β (Fin β {β
}))
β (πΌ Γ
{(0gβπ
)})
= (πΌ Γ
{(0gβ(Scalarβ(π
freeLMod πΌ)))})) |
107 | 106 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . . . 9
β’ ((π
β Ring β§ πΌ β (Fin β {β
}))
β (π = (πΌ Γ
{(0gβπ
)})
β π = (πΌ Γ
{(0gβ(Scalarβ(π
freeLMod πΌ)))}))) |
108 | 107 | ad4ant13 750 |
. . . . . . . 8
β’ ((((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π β ((Baseβπ
) βm πΌ)) β (π = (πΌ Γ {(0gβπ
)}) β π = (πΌ Γ
{(0gβ(Scalarβ(π
freeLMod πΌ)))}))) |
109 | 103, 108 | imbi12d 345 |
. . . . . . 7
β’ ((((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β§ π β ((Baseβπ
) βm πΌ)) β (((π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)}) β π = (πΌ Γ {(0gβπ
)})) β (((π
freeLMod πΌ) Ξ£g (π βf (
Β·π β(π
freeLMod πΌ))curry π)) = (0gβ(π
freeLMod πΌ)) β π = (πΌ Γ
{(0gβ(Scalarβ(π
freeLMod πΌ)))})))) |
110 | 31, 109 | raleqbidva 3328 |
. . . . . 6
β’ (((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β
(βπ β
((Baseβπ
)
βm πΌ)((π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)}) β π = (πΌ Γ {(0gβπ
)})) β βπ β
(Baseβ((Scalarβ(π
freeLMod πΌ)) freeLMod πΌ))(((π
freeLMod πΌ) Ξ£g (π βf (
Β·π β(π
freeLMod πΌ))curry π)) = (0gβ(π
freeLMod πΌ)) β π = (πΌ Γ
{(0gβ(Scalarβ(π
freeLMod πΌ)))})))) |
111 | 27, 110 | bitr4d 282 |
. . . . 5
β’ (((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β
(curry π LIndF (π
freeLMod πΌ) β βπ β ((Baseβπ
) βm πΌ)((π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)}) β π = (πΌ Γ {(0gβπ
)})))) |
112 | 111 | notbid 318 |
. . . 4
β’ (((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β
(Β¬ curry π LIndF (π
freeLMod πΌ) β Β¬ βπ β ((Baseβπ
) βm πΌ)((π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)}) β π = (πΌ Γ {(0gβπ
)})))) |
113 | | rexanali 3103 |
. . . 4
β’
(βπ β
((Baseβπ
)
βm πΌ)((π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)}) β§ Β¬ π = (πΌ Γ {(0gβπ
)})) β Β¬ βπ β ((Baseβπ
) βm πΌ)((π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)}) β π = (πΌ Γ {(0gβπ
)}))) |
114 | 112, 113 | bitr4di 289 |
. . 3
β’ (((π
β Ring β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β
(Β¬ curry π LIndF (π
freeLMod πΌ) β βπ β ((Baseβπ
) βm πΌ)((π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)}) β§ Β¬ π = (πΌ Γ {(0gβπ
)})))) |
115 | 4, 114 | sylanl1 679 |
. 2
β’ (((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β
(Β¬ curry π LIndF (π
freeLMod πΌ) β βπ β ((Baseβπ
) βm πΌ)((π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)}) β§ Β¬ π = (πΌ Γ {(0gβπ
)})))) |
116 | | fconstfv 7214 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π:πΌβΆ{(0gβπ
)} β (π Fn πΌ β§ βπ β πΌ (πβπ) = (0gβπ
))) |
117 | | fvex 6905 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
(0gβπ
) β V |
118 | 117 | fconst2 7206 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ (π:πΌβΆ{(0gβπ
)} β π = (πΌ Γ {(0gβπ
)})) |
119 | 116, 118 | sylbb1 236 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((π Fn πΌ β§ βπ β πΌ (πβπ) = (0gβπ
)) β π = (πΌ Γ {(0gβπ
)})) |
120 | 119 | ex 414 |
. . . . . . . . . 10
β’ (π Fn πΌ β (βπ β πΌ (πβπ) = (0gβπ
) β π = (πΌ Γ {(0gβπ
)}))) |
121 | 120 | con3d 152 |
. . . . . . . . 9
β’ (π Fn πΌ β (Β¬ π = (πΌ Γ {(0gβπ
)}) β Β¬ βπ β πΌ (πβπ) = (0gβπ
))) |
122 | | df-ne 2942 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((πβπ) β (0gβπ
) β Β¬ (πβπ) = (0gβπ
)) |
123 | 122 | rexbii 3095 |
. . . . . . . . . 10
β’
(βπ β
πΌ (πβπ) β (0gβπ
) β βπ β πΌ Β¬ (πβπ) = (0gβπ
)) |
124 | | rexnal 3101 |
. . . . . . . . . 10
β’
(βπ β
πΌ Β¬ (πβπ) = (0gβπ
) β Β¬ βπ β πΌ (πβπ) = (0gβπ
)) |
125 | 123, 124 | bitri 275 |
. . . . . . . . 9
β’
(βπ β
πΌ (πβπ) β (0gβπ
) β Β¬ βπ β πΌ (πβπ) = (0gβπ
)) |
126 | 121, 125 | syl6ibr 252 |
. . . . . . . 8
β’ (π Fn πΌ β (Β¬ π = (πΌ Γ {(0gβπ
)}) β βπ β πΌ (πβπ) β (0gβπ
))) |
127 | 33, 126 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (π:πΌβΆ(Baseβπ
) β (Β¬ π = (πΌ Γ {(0gβπ
)}) β βπ β πΌ (πβπ) β (0gβπ
))) |
128 | 127 | adantl 483 |
. . . . . 6
β’ ((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β (Β¬ π = (πΌ Γ {(0gβπ
)}) β βπ β πΌ (πβπ) β (0gβπ
))) |
129 | | neldifsn 4796 |
. . . . . . . . . . 11
β’ Β¬
π β (πΌ β {π}) |
130 | | difss 4132 |
. . . . . . . . . . 11
β’ (πΌ β {π}) β πΌ |
131 | | diffi 9179 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (πΌ β Fin β (πΌ β {π}) β Fin) |
132 | 131 | ad4antlr 732 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β (πΌ β {π}) β§ (πΌ β {π}) β πΌ)) β (πΌ β {π}) β Fin) |
133 | | eleq2 2823 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π¦ = β
β (π β π¦ β π β β
)) |
134 | 133 | notbid 318 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π¦ = β
β (Β¬ π β π¦ β Β¬ π β β
)) |
135 | | sseq1 4008 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π¦ = β
β (π¦ β πΌ β β
β πΌ)) |
136 | 134, 135 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π¦ = β
β ((Β¬ π β π¦ β§ π¦ β πΌ) β (Β¬ π β β
β§ β
β πΌ))) |
137 | 136 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π¦ = β
β ((((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β π¦ β§ π¦ β πΌ)) β (((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β β
β§ β
β πΌ)))) |
138 | | mpteq1 5242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π¦ = β
β (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) = (π β β
β¦
(((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) |
139 | | mpt0 6693 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β β
β¦
(((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) = β
|
140 | 138, 139 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π¦ = β
β (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) = β
) |
141 | 140 | oveq2d 7425 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π¦ = β
β (π
Ξ£g
(π β π¦ β¦
(((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (π
Ξ£g
β
)) |
142 | 100 | gsum0 18603 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π
Ξ£g
β
) = (0gβπ
) |
143 | 141, 142 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π¦ = β
β (π
Ξ£g
(π β π¦ β¦
(((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (0gβπ
)) |
144 | 143 | oveq1d 7424 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π¦ = β
β ((π
Ξ£g
(π β π¦ β¦
(((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)) = ((0gβπ
)(+gβπ
)(πππ))) |
145 | 144 | ifeq1d 4548 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π¦ = β
β if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)) = if(π = π, ((0gβπ
)(+gβπ
)(πππ)), (πππ))) |
146 | 145 | mpoeq3dv 7488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π¦ = β
β (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))) = (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((0gβπ
)(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))) |
147 | 146 | fveq2d 6896 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π¦ = β
β ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((0gβπ
)(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))) |
148 | 147 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π¦ = β
β (((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((0gβπ
)(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))))) |
149 | 137, 148 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π¦ = β
β (((((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β π¦ β§ π¦ β πΌ)) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))) β ((((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β β
β§ β
β πΌ)) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((0gβπ
)(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))))) |
150 | | elequ2 2122 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π¦ = π₯ β (π β π¦ β π β π₯)) |
151 | 150 | notbid 318 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π¦ = π₯ β (Β¬ π β π¦ β Β¬ π β π₯)) |
152 | | sseq1 4008 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π¦ = π₯ β (π¦ β πΌ β π₯ β πΌ)) |
153 | 151, 152 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π¦ = π₯ β ((Β¬ π β π¦ β§ π¦ β πΌ) β (Β¬ π β π₯ β§ π₯ β πΌ))) |
154 | 153 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π¦ = π₯ β ((((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β π¦ β§ π¦ β πΌ)) β (((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β π₯ β§ π₯ β πΌ)))) |
155 | | mpteq1 5242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π¦ = π₯ β (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) = (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) |
156 | 155 | oveq2d 7425 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π¦ = π₯ β (π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))) |
157 | 156 | oveq1d 7424 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π¦ = π₯ β ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)) = ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ))) |
158 | 157 | ifeq1d 4548 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π¦ = π₯ β if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)) = if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))) |
159 | 158 | mpoeq3dv 7488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π¦ = π₯ β (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))) = (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))) |
160 | 159 | fveq2d 6896 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π¦ = π₯ β ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))) |
161 | 160 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π¦ = π₯ β (((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))))) |
162 | 154, 161 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π¦ = π₯ β (((((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β π¦ β§ π¦ β πΌ)) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))) β ((((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β π₯ β§ π₯ β πΌ)) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))))) |
163 | | eleq2 2823 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π¦ = (π₯ βͺ {π§}) β (π β π¦ β π β (π₯ βͺ {π§}))) |
164 | 163 | notbid 318 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π¦ = (π₯ βͺ {π§}) β (Β¬ π β π¦ β Β¬ π β (π₯ βͺ {π§}))) |
165 | | sseq1 4008 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π¦ = (π₯ βͺ {π§}) β (π¦ β πΌ β (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) |
166 | 164, 165 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π¦ = (π₯ βͺ {π§}) β ((Β¬ π β π¦ β§ π¦ β πΌ) β (Β¬ π β (π₯ βͺ {π§}) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ))) |
167 | 166 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π¦ = (π₯ βͺ {π§}) β ((((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β π¦ β§ π¦ β πΌ)) β (((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β (π₯ βͺ {π§}) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)))) |
168 | | mpteq1 5242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π¦ = (π₯ βͺ {π§}) β (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) = (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) |
169 | 168 | oveq2d 7425 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π¦ = (π₯ βͺ {π§}) β (π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))) |
170 | 169 | oveq1d 7424 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π¦ = (π₯ βͺ {π§}) β ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)) = ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ))) |
171 | 170 | ifeq1d 4548 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π¦ = (π₯ βͺ {π§}) β if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)) = if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))) |
172 | 171 | mpoeq3dv 7488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π¦ = (π₯ βͺ {π§}) β (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))) = (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))) |
173 | 172 | fveq2d 6896 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π¦ = (π₯ βͺ {π§}) β ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))) |
174 | 173 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π¦ = (π₯ βͺ {π§}) β (((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))))) |
175 | 167, 174 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π¦ = (π₯ βͺ {π§}) β (((((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β π¦ β§ π¦ β πΌ)) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))) β ((((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β (π₯ βͺ {π§}) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))))) |
176 | | eleq2 2823 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π¦ = (πΌ β {π}) β (π β π¦ β π β (πΌ β {π}))) |
177 | 176 | notbid 318 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π¦ = (πΌ β {π}) β (Β¬ π β π¦ β Β¬ π β (πΌ β {π}))) |
178 | | sseq1 4008 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π¦ = (πΌ β {π}) β (π¦ β πΌ β (πΌ β {π}) β πΌ)) |
179 | 177, 178 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π¦ = (πΌ β {π}) β ((Β¬ π β π¦ β§ π¦ β πΌ) β (Β¬ π β (πΌ β {π}) β§ (πΌ β {π}) β πΌ))) |
180 | 179 | anbi2d 630 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π¦ = (πΌ β {π}) β ((((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β π¦ β§ π¦ β πΌ)) β (((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β (πΌ β {π}) β§ (πΌ β {π}) β πΌ)))) |
181 | | mpteq1 5242 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π¦ = (πΌ β {π}) β (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) = (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) |
182 | 181 | oveq2d 7425 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ (π¦ = (πΌ β {π}) β (π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))) |
183 | 182 | oveq1d 7424 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π¦ = (πΌ β {π}) β ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)) = ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ))) |
184 | 183 | ifeq1d 4548 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π¦ = (πΌ β {π}) β if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)) = if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))) |
185 | 184 | mpoeq3dv 7488 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ (π¦ = (πΌ β {π}) β (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))) = (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))) |
186 | 185 | fveq2d 6896 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (π¦ = (πΌ β {π}) β ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))) |
187 | 186 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (π¦ = (πΌ β {π}) β (((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))))) |
188 | 180, 187 | imbi12d 345 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ (π¦ = (πΌ β {π}) β (((((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β π¦ β§ π¦ β πΌ)) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π¦ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))) β ((((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β (πΌ β {π}) β§ (πΌ β {π}) β πΌ)) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))))) |
189 | | fnov 7540 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π Fn (πΌ Γ πΌ) β π = (π β πΌ, π β πΌ β¦ (πππ))) |
190 | 59, 189 | sylib 217 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
) β π = (π β πΌ, π β πΌ β¦ (πππ))) |
191 | 190 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β π = (π β πΌ, π β πΌ β¦ (πππ))) |
192 | | ringgrp 20061 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π
β Ring β π
β Grp) |
193 | 4, 192 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (π
β Field β π
β Grp) |
194 | | oveq1 7416 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = π β (πππ) = (πππ)) |
195 | 194 | equcoms 2024 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π = π β (πππ) = (πππ)) |
196 | 195 | oveq2d 7425 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (π = π β ((0gβπ
)(+gβπ
)(πππ)) = ((0gβπ
)(+gβπ
)(πππ))) |
197 | | simp1l 1198 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π
β Grp β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ β§ π β πΌ) β π
β Grp) |
198 | | fovcdm 7577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
) β§ π β πΌ β§ π β πΌ) β (πππ) β (Baseβπ
)) |
199 | 198 | 3adant1l 1177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (((π
β Grp β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ β§ π β πΌ) β (πππ) β (Baseβπ
)) |
200 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(+gβπ
) = (+gβπ
) |
201 | 10, 200, 100 | grplid 18852 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π
β Grp β§ (πππ) β (Baseβπ
)) β ((0gβπ
)(+gβπ
)(πππ)) = (πππ)) |
202 | 197, 199,
201 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (((π
β Grp β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ β§ π β πΌ) β ((0gβπ
)(+gβπ
)(πππ)) = (πππ)) |
203 | 196, 202 | sylan9eqr 2795 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π
β Grp β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ β§ π β πΌ) β§ π = π) β ((0gβπ
)(+gβπ
)(πππ)) = (πππ)) |
204 | | eqidd 2734 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((((π
β Grp β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ β§ π β πΌ) β§ Β¬ π = π) β (πππ) = (πππ)) |
205 | 203, 204 | ifeqda 4565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (((π
β Grp β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ β§ π β πΌ) β if(π = π, ((0gβπ
)(+gβπ
)(πππ)), (πππ)) = (πππ)) |
206 | 205 | mpoeq3dva 7486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ ((π
β Grp β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((0gβπ
)(+gβπ
)(πππ)), (πππ))) = (π β πΌ, π β πΌ β¦ (πππ))) |
207 | 193, 206 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((0gβπ
)(+gβπ
)(πππ)), (πππ))) = (π β πΌ, π β πΌ β¦ (πππ))) |
208 | 191, 207 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β π = (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((0gβπ
)(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))) |
209 | 208 | fveq2d 6896 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ ((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((0gβπ
)(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))) |
210 | 209 | ad4antr 731 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β β
β§ β
β πΌ)) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((0gβπ
)(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))) |
211 | | elun1 4177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (π β π₯ β π β (π₯ βͺ {π§})) |
212 | 211 | con3i 154 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ (Β¬
π β (π₯ βͺ {π§}) β Β¬ π β π₯) |
213 | | ssun1 4173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ π₯ β (π₯ βͺ {π§}) |
214 | | sstr 3991 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π₯ β (π₯ βͺ {π§}) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ) β π₯ β πΌ) |
215 | 213, 214 | mpan 689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((π₯ βͺ {π§}) β πΌ β π₯ β πΌ) |
216 | 212, 215 | anim12i 614 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’ ((Β¬
π β (π₯ βͺ {π§}) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ) β (Β¬ π β π₯ β§ π₯ β πΌ)) |
217 | 216 | anim2i 618 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β (π₯ βͺ {π§}) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β (((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β π₯ β§ π₯ β πΌ))) |
218 | 217 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β (π₯ βͺ {π§}) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β (((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β π₯ β§ π₯ β πΌ))) |
219 | | velsn 4645 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β {π§} β π = π§) |
220 | | elun2 4178 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ (π β {π§} β π β (π₯ βͺ {π§})) |
221 | 219, 220 | sylbir 234 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π = π§ β π β (π₯ βͺ {π§})) |
222 | 221 | necon3bi 2968 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ (Β¬
π β (π₯ βͺ {π§}) β π β π§) |
223 | 222 | anim1i 616 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’ ((Β¬
π β (π₯ βͺ {π§}) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ) β (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) |
224 | | ringcmn 20099 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π
β Ring β π
β CMnd) |
225 | 4, 224 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (π
β Field β π
β CMnd) |
226 | 225 | ad7antr 737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’
((((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β§ π β πΌ) β π
β CMnd) |
227 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β πΌ β Fin) |
228 | 215 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ) β π₯ β πΌ) |
229 | | ssfi 9173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((πΌ β Fin β§ π₯ β πΌ) β π₯ β Fin) |
230 | 227, 228,
229 | syl2an 597 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’
(((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β π₯ β Fin) |
231 | 230 | ad5ant13 756 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’
((((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β§ π β πΌ) β π₯ β Fin) |
232 | 215 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π₯ βͺ {π§}) β πΌ β§ π β π₯) β π β πΌ) |
233 | 232 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (((π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ) β§ π β π₯) β π β πΌ) |
234 | 233 | ad4ant24 753 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’
((((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ π β πΌ) β§ π β π₯) β π β πΌ) |
235 | 4 | ad6antr 735 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β§ π β πΌ) β π
β Ring) |
236 | 2 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β π
β DivRing) |
237 | | ffvelcdm 7084 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’ ((π:πΌβΆ(Baseβπ
) β§ π β πΌ) β (πβπ) β (Baseβπ
)) |
238 | 237 | anim2i 618 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π
β DivRing β§ (π:πΌβΆ(Baseβπ
) β§ π β πΌ)) β (π
β DivRing β§ (πβπ) β (Baseβπ
))) |
239 | 238 | anassrs 469 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (((π
β DivRing β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β (π
β DivRing β§ (πβπ) β (Baseβπ
))) |
240 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . 39
β’
(invrβπ
) = (invrβπ
) |
241 | 10, 100, 240 | drnginvrcl 20379 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . 38
β’ ((π
β DivRing β§ (πβπ) β (Baseβπ
) β§ (πβπ) β (0gβπ
)) β ((invrβπ
)β(πβπ)) β (Baseβπ
)) |
242 | 241 | 3expa 1119 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (((π
β DivRing β§ (πβπ) β (Baseβπ
)) β§ (πβπ) β (0gβπ
)) β ((invrβπ
)β(πβπ)) β (Baseβπ
)) |
243 | 239, 242 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((((π
β DivRing β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β§ (πβπ) β (0gβπ
)) β ((invrβπ
)β(πβπ)) β (Baseβπ
)) |
244 | 243 | anasss 468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (((π
β DivRing β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β ((invrβπ
)β(πβπ)) β (Baseβπ
)) |
245 | 236, 244 | sylanl1 679 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’
(((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β ((invrβπ
)β(πβπ)) β (Baseβπ
)) |
246 | 245 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β§ π β πΌ) β ((invrβπ
)β(πβπ)) β (Baseβπ
)) |
247 | 43 | ad5ant25 761 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β§ π β πΌ) β (πβπ) β (Baseβπ
)) |
248 | | simp-4r 783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’
(((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) |
249 | 76 | 3expa 1119 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (((π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
) β§ π β πΌ) β§ π β πΌ) β (πππ) β (Baseβπ
)) |
250 | 249 | an32s 651 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ (((π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
) β§ π β πΌ) β§ π β πΌ) β (πππ) β (Baseβπ
)) |
251 | 248, 250 | sylanl1 679 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β§ π β πΌ) β (πππ) β (Baseβπ
)) |
252 | 235, 247,
251, 78 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β§ π β πΌ) β ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)) β (Baseβπ
)) |
253 | 10, 47 | ringcl 20073 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π
β Ring β§
((invrβπ
)β(πβπ)) β (Baseβπ
) β§ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)) β (Baseβπ
)) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) β (Baseβπ
)) |
254 | 235, 246,
252, 253 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β§ π β πΌ) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) β (Baseβπ
)) |
255 | 254 | adantllr 718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’
((((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ π β πΌ) β§ π β πΌ) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) β (Baseβπ
)) |
256 | 234, 255 | syldan 592 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’
((((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ π β πΌ) β§ π β π₯) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) β (Baseβπ
)) |
257 | 256 | adantllr 718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’
(((((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β§ π β πΌ) β§ π β π₯) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) β (Baseβπ
)) |
258 | | vex 3479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ π§ β V |
259 | 258 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’
((((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β§ π β πΌ) β π§ β V) |
260 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’
((((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β§ π β πΌ) β Β¬ π§ β π₯) |
261 | | ssun2 4174 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ {π§} β (π₯ βͺ {π§}) |
262 | | sstr 3991 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ (({π§} β (π₯ βͺ {π§}) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ) β {π§} β πΌ) |
263 | 261, 262 | mpan 689 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π₯ βͺ {π§}) β πΌ β {π§} β πΌ) |
264 | 258 | snss 4790 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π§ β πΌ β {π§} β πΌ) |
265 | 263, 264 | sylibr 233 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π₯ βͺ {π§}) β πΌ β π§ β πΌ) |
266 | 265 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ) β π§ β πΌ) |
267 | 4 | ad6antr 735 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π§ β πΌ) β§ π β πΌ) β π
β Ring) |
268 | 4 | ad5antr 733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π§ β πΌ) β π
β Ring) |
269 | 245 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π§ β πΌ) β ((invrβπ
)β(πβπ)) β (Baseβπ
)) |
270 | | ffvelcdm 7084 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((π:πΌβΆ(Baseβπ
) β§ π§ β πΌ) β (πβπ§) β (Baseβπ
)) |
271 | 270 | ad4ant24 753 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π§ β πΌ) β (πβπ§) β (Baseβπ
)) |
272 | 10, 47 | ringcl 20073 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π
β Ring β§
((invrβπ
)β(πβπ)) β (Baseβπ
) β§ (πβπ§) β (Baseβπ
)) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§)) β (Baseβπ
)) |
273 | 268, 269,
271, 272 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π§ β πΌ) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§)) β (Baseβπ
)) |
274 | 273 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π§ β πΌ) β§ π β πΌ) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§)) β (Baseβπ
)) |
275 | | fovcdm 7577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
) β§ π§ β πΌ β§ π β πΌ) β (π§ππ) β (Baseβπ
)) |
276 | 275 | 3expa 1119 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (((π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
) β§ π§ β πΌ) β§ π β πΌ) β (π§ππ) β (Baseβπ
)) |
277 | 248, 276 | sylanl1 679 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π§ β πΌ) β§ π β πΌ) β (π§ππ) β (Baseβπ
)) |
278 | 10, 47 | ringcl 20073 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π
β Ring β§
(((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§)) β (Baseβπ
) β§ (π§ππ) β (Baseβπ
)) β ((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ)) β (Baseβπ
)) |
279 | 267, 274,
277, 278 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π§ β πΌ) β§ π β πΌ) β ((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ)) β (Baseβπ
)) |
280 | 266, 279 | sylanl2 680 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ π β πΌ) β ((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ)) β (Baseβπ
)) |
281 | 280 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’
((((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β§ π β πΌ) β ((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ)) β (Baseβπ
)) |
282 | | fveq2 6892 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π = π§ β (πβπ) = (πβπ§)) |
283 | | oveq1 7416 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ (π = π§ β (πππ) = (π§ππ)) |
284 | 282, 283 | oveq12d 7427 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π = π§ β ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)) = ((πβπ§)(.rβπ
)(π§ππ))) |
285 | 284 | oveq2d 7425 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π = π§ β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) = (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ§)(.rβπ
)(π§ππ)))) |
286 | 245 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π§ β πΌ) β§ π β πΌ) β ((invrβπ
)β(πβπ)) β (Baseβπ
)) |
287 | 270 | ad5ant24 760 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π§ β πΌ) β§ π β πΌ) β (πβπ§) β (Baseβπ
)) |
288 | 10, 47 | ringass 20076 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((π
β Ring β§
(((invrβπ
)β(πβπ)) β (Baseβπ
) β§ (πβπ§) β (Baseβπ
) β§ (π§ππ) β (Baseβπ
))) β ((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ)) = (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ§)(.rβπ
)(π§ππ)))) |
289 | 267, 286,
287, 277, 288 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π§ β πΌ) β§ π β πΌ) β ((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ)) = (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ§)(.rβπ
)(π§ππ)))) |
290 | 289 | eqcomd 2739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π§ β πΌ) β§ π β πΌ) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ§)(.rβπ
)(π§ππ))) = ((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ))) |
291 | 266, 290 | sylanl2 680 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ π β πΌ) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ§)(.rβπ
)(π§ππ))) = ((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ))) |
292 | 285, 291 | sylan9eqr 2795 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’
((((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ π β πΌ) β§ π = π§) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) = ((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ))) |
293 | 292 | adantllr 718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’
(((((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β§ π β πΌ) β§ π = π§) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) = ((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ))) |
294 | 10, 200, 226, 231, 257, 259, 260, 281, 293 | gsumunsnd 19826 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’
((((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β§ π β πΌ) β (π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ)))) |
295 | 294 | oveq1d 7424 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
((((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β§ π β πΌ) β ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)) = (((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ)))(+gβπ
)(πππ))) |
296 | | ringabl 20098 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ (π
β Ring β π
β Abel) |
297 | 4, 296 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (π
β Field β π
β Abel) |
298 | 297 | ad6antr 735 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ) β§ π β πΌ) β π
β Abel) |
299 | 225 | ad6antr 735 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π₯ β πΌ) β§ π β πΌ) β π
β CMnd) |
300 | | vex 3479 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ π₯ β V |
301 | 300 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π₯ β πΌ) β§ π β πΌ) β π₯ β V) |
302 | | ssel2 3978 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ ((π₯ β πΌ β§ π β π₯) β π β πΌ) |
303 | 302, 254 | sylan2 594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β§ (π₯ β πΌ β§ π β π₯)) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) β (Baseβπ
)) |
304 | 303 | anassrs 469 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’
((((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β§ π₯ β πΌ) β§ π β π₯) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) β (Baseβπ
)) |
305 | 304 | fmpttd 7115 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β§ π₯ β πΌ) β (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))):π₯βΆ(Baseβπ
)) |
306 | 305 | an32s 651 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π₯ β πΌ) β§ π β πΌ) β (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))):π₯βΆ(Baseβπ
)) |
307 | | ovex 7442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’
(((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) β V |
308 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . 37
β’ (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) = (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) |
309 | 307, 308 | fnmpti 6694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . 36
β’ (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) Fn π₯ |
310 | 309 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((πΌ β Fin β§ π₯ β πΌ) β (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) Fn π₯) |
311 | | fvexd 6907 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. 35
β’ ((πΌ β Fin β§ π₯ β πΌ) β (0gβπ
) β V) |
312 | 310, 229,
311 | fndmfifsupp 9376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
34
β’ ((πΌ β Fin β§ π₯ β πΌ) β (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) finSupp (0gβπ
)) |
313 | 312 | adantll 713 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π₯ β πΌ) β (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) finSupp (0gβπ
)) |
314 | 313 | ad5ant14 757 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π₯ β πΌ) β§ π β πΌ) β (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) finSupp (0gβπ
)) |
315 | 10, 100, 299, 301, 306, 314 | gsumcl 19783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π₯ β πΌ) β§ π β πΌ) β (π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) β (Baseβπ
)) |
316 | 215, 315 | sylanl2 680 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ) β§ π β πΌ) β (π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) β (Baseβπ
)) |
317 | 265, 279 | sylanl2 680 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ) β§ π β πΌ) β ((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ)) β (Baseβπ
)) |
318 | | simpllr 775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) |
319 | | simpl 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
33
β’ ((π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
)) β π β πΌ) |
320 | 318, 319 | anim12i 614 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’
(((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β (π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
) β§ π β πΌ)) |
321 | 320 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ) β (π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
) β§ π β πΌ)) |
322 | | fovcdm 7577 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’ ((π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
) β§ π β πΌ β§ π β πΌ) β (πππ) β (Baseβπ
)) |
323 | 322 | 3expa 1119 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ (((π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
) β§ π β πΌ) β§ π β πΌ) β (πππ) β (Baseβπ
)) |
324 | 321, 323 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ) β§ π β πΌ) β (πππ) β (Baseβπ
)) |
325 | 10, 200, 298, 316, 317, 324 | abl32 19671 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ) β§ π β πΌ) β (((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ)))(+gβπ
)(πππ)) = (((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ))(+gβπ
)((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ)))) |
326 | 325 | adantlrl 719 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ π β πΌ) β (((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ)))(+gβπ
)(πππ)) = (((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ))(+gβπ
)((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ)))) |
327 | 326 | adantlr 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
((((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β§ π β πΌ) β (((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ)))(+gβπ
)(πππ)) = (((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ))(+gβπ
)((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ)))) |
328 | 295, 327 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
((((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β§ π β πΌ) β ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)) = (((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ))(+gβπ
)((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ)))) |
329 | 328 | ifeq1d 4548 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
((((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β§ π β πΌ) β if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), if(π = π§, (π§ππ), (πππ))) = if(π = π, (((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ))(+gβπ
)((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ))), if(π = π§, (π§ππ), (πππ)))) |
330 | 329 | 3adant2 1132 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
((((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β§ π β πΌ β§ π β πΌ) β if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), if(π = π§, (π§ππ), (πππ))) = if(π = π, (((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ))(+gβπ
)((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ))), if(π = π§, (π§ππ), (πππ)))) |
331 | 330 | mpoeq3dva 7486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), if(π = π§, (π§ππ), (πππ)))) = (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, (((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ))(+gβπ
)((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ))), if(π = π§, (π§ππ), (πππ))))) |
332 | 331 | fveq2d 6896 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), if(π = π§, (π§ππ), (πππ))))) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, (((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ))(+gβπ
)((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ))), if(π = π§, (π§ππ), (πππ)))))) |
333 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (πΌ maDet π
) = (πΌ maDet π
) |
334 | 1 | simprbi 498 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π
β Field β π
β CRing) |
335 | 334 | ad5antr 733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β π
β CRing) |
336 | | simp-4r 783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β πΌ β Fin) |
337 | 193 | ad6antr 735 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π₯ β πΌ) β§ π β πΌ) β π
β Grp) |
338 | 320 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π₯ β πΌ) β (π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
) β§ π β πΌ)) |
339 | 338, 323 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π₯ β πΌ) β§ π β πΌ) β (πππ) β (Baseβπ
)) |
340 | 10, 200 | grpcl 18827 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π
β Grp β§ (π
Ξ£g
(π β π₯ β¦
(((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) β (Baseβπ
) β§ (πππ) β (Baseβπ
)) β ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)) β (Baseβπ
)) |
341 | 337, 315,
339, 340 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π₯ β πΌ) β§ π β πΌ) β ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)) β (Baseβπ
)) |
342 | 228, 341 | sylanl2 680 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ π β πΌ) β ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)) β (Baseβπ
)) |
343 | 248, 266 | anim12i 614 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β (π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
) β§ π§ β πΌ)) |
344 | 343, 276 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ π β πΌ) β (π§ππ) β (Baseβπ
)) |
345 | | simp-5r 785 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) |
346 | 345, 198 | syl3an1 1164 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ π β πΌ β§ π β πΌ) β (πππ) β (Baseβπ
)) |
347 | 266, 273 | sylan2 594 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§)) β (Baseβπ
)) |
348 | | simplrl 776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β π β πΌ) |
349 | 265 | ad2antll 728 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β π§ β πΌ) |
350 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β π β π§) |
351 | 333, 10, 200, 47, 335, 336, 342, 344, 346, 347, 348, 349, 350 | mdetero 22112 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, (((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ))(+gβπ
)((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ))), if(π = π§, (π§ππ), (πππ))))) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), if(π = π§, (π§ππ), (πππ)))))) |
352 | 351 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, (((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ))(+gβπ
)((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ§))(.rβπ
)(π§ππ))), if(π = π§, (π§ππ), (πππ))))) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), if(π = π§, (π§ππ), (πππ)))))) |
353 | 332, 352 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), if(π = π§, (π§ππ), (πππ))))) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), if(π = π§, (π§ππ), (πππ)))))) |
354 | | iftrue 4535 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π = π§ β if(π = π§, (π§ππ), (πππ)) = (π§ππ)) |
355 | | oveq1 7416 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π = π§ β (πππ) = (π§ππ)) |
356 | 354, 355 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π = π§ β if(π = π§, (π§ππ), (πππ)) = (πππ)) |
357 | | iffalse 4538 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (Β¬
π = π§ β if(π = π§, (π§ππ), (πππ)) = (πππ)) |
358 | 356, 357 | pm2.61i 182 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ if(π = π§, (π§ππ), (πππ)) = (πππ) |
359 | | ifeq2 4534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (if(π = π§, (π§ππ), (πππ)) = (πππ) β if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), if(π = π§, (π§ππ), (πππ))) = if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))) |
360 | 358, 359 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β πΌ β§ π β πΌ) β if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), if(π = π§, (π§ππ), (πππ))) = if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))) |
361 | 360 | mpoeq3ia 7487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), if(π = π§, (π§ππ), (πππ)))) = (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))) |
362 | 361 | fveq2i 6895 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), if(π = π§, (π§ππ), (πππ))))) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))) |
363 | | ifeq2 4534 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (if(π = π§, (π§ππ), (πππ)) = (πππ) β if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), if(π = π§, (π§ππ), (πππ))) = if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))) |
364 | 358, 363 | mp1i 13 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’ ((π β πΌ β§ π β πΌ) β if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), if(π = π§, (π§ππ), (πππ))) = if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))) |
365 | 364 | mpoeq3ia 7487 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), if(π = π§, (π§ππ), (πππ)))) = (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))) |
366 | 365 | fveq2i 6895 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), if(π = π§, (π§ππ), (πππ))))) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))) |
367 | 353, 362,
366 | 3eqtr3g 2796 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β π§ β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))) |
368 | 223, 367 | sylanl2 680 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β (π₯ βͺ {π§}) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))) |
369 | 368 | eqeq2d 2744 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β (π₯ βͺ {π§}) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β (((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))))) |
370 | 369 | biimprd 247 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β (π₯ βͺ {π§}) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β (((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))))) |
371 | 218, 370 | embantd 59 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β (π₯ βͺ {π§}) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β§ Β¬ π§ β π₯) β (((((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β π₯ β§ π₯ β πΌ)) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))))) |
372 | 371 | expcom 415 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ (Β¬
π§ β π₯ β ((((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β (π₯ βͺ {π§}) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β (((((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β π₯ β§ π₯ β πΌ)) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))))) |
373 | 372 | com23 86 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’ (Β¬
π§ β π₯ β (((((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β π₯ β§ π₯ β πΌ)) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))) β ((((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β (π₯ βͺ {π§}) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))))) |
374 | 373 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’ ((π₯ β Fin β§ Β¬ π§ β π₯) β (((((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β π₯ β§ π₯ β πΌ)) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β π₯ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))) β ((((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β (π₯ βͺ {π§}) β§ (π₯ βͺ {π§}) β πΌ)) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (π₯ βͺ {π§}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))))) |
375 | 149, 162,
175, 188, 210, 374 | findcard2s 9165 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΌ β {π}) β Fin β ((((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β (πΌ β {π}) β§ (πΌ β {π}) β πΌ)) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))))) |
376 | 132, 375 | mpcom 38 |
. . . . . . . . . . 11
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (Β¬ π β (πΌ β {π}) β§ (πΌ β {π}) β πΌ)) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))) |
377 | 129, 130,
376 | mpanr12 704 |
. . . . . . . . . 10
β’
(((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))) |
378 | 377 | adantlr 714 |
. . . . . . . . 9
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)})) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β ((πΌ maDet π
)βπ) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))))) |
379 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ πΌ = πΌ |
380 | | fconstmpt 5739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’ (πΌ Γ
{(0gβπ
)})
= (π β πΌ β¦
(0gβπ
)) |
381 | 380 | eqeq2i 2746 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)}) β (π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (π β πΌ β¦ (0gβπ
))) |
382 | | ovex 7442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’ (π
Ξ£g
(π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) β V |
383 | 382 | rgenw 3066 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
βπ β
πΌ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) β V |
384 | | mpteqb 7018 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
(βπ β
πΌ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) β V β ((π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (π β πΌ β¦ (0gβπ
)) β βπ β πΌ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) = (0gβπ
))) |
385 | 383, 384 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’ ((π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (π β πΌ β¦ (0gβπ
)) β βπ β πΌ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) = (0gβπ
)) |
386 | 381, 385 | bitri 275 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’ ((π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)}) β βπ β πΌ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) = (0gβπ
)) |
387 | 225 | ad5antr 733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β π
β CMnd) |
388 | | simp-4r 783 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β πΌ β Fin) |
389 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π β πΌ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) = (π β πΌ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) |
390 | 307, 389 | fnmpti 6694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π β πΌ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) Fn πΌ |
391 | 390 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (πΌ β Fin β (π β πΌ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) Fn πΌ) |
392 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (πΌ β Fin β πΌ β Fin) |
393 | | fvexd 6907 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (πΌ β Fin β
(0gβπ
)
β V) |
394 | 391, 392,
393 | fndmfifsupp 9376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (πΌ β Fin β (π β πΌ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) finSupp (0gβπ
)) |
395 | 394 | ad4antlr 732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β (π β πΌ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) finSupp (0gβπ
)) |
396 | | simplrl 776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β π β πΌ) |
397 | 320, 323 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β (πππ) β (Baseβπ
)) |
398 | | fveq2 6892 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π = π β (πβπ) = (πβπ)) |
399 | | oveq1 7416 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π = π β (πππ) = (πππ)) |
400 | 398, 399 | oveq12d 7427 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (π = π β ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)) = ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) |
401 | 400 | oveq2d 7425 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (π = π β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) = (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) |
402 | | simpll 766 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β π
β Field) |
403 | 2, 237 | anim12i 614 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π
β Field β§ (π:πΌβΆ(Baseβπ
) β§ π β πΌ)) β (π
β DivRing β§ (πβπ) β (Baseβπ
))) |
404 | 403 | anassrs 469 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π
β Field β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β (π
β DivRing β§ (πβπ) β (Baseβπ
))) |
405 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
32
β’
(1rβπ
) = (1rβπ
) |
406 | 10, 100, 47, 405, 240 | drnginvrl 20382 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
31
β’ ((π
β DivRing β§ (πβπ) β (Baseβπ
) β§ (πβπ) β (0gβπ
)) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ)) = (1rβπ
)) |
407 | 406 | 3expa 1119 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
30
β’ (((π
β DivRing β§ (πβπ) β (Baseβπ
)) β§ (πβπ) β (0gβπ
)) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ)) = (1rβπ
)) |
408 | 404, 407 | sylan 581 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((((π
β Field β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β§ (πβπ) β (0gβπ
)) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ)) = (1rβπ
)) |
409 | 408 | anasss 468 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π
β Field β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ)) = (1rβπ
)) |
410 | 409 | oveq1d 7424 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π
β Field β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β ((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ))(.rβπ
)(πππ)) = ((1rβπ
)(.rβπ
)(πππ))) |
411 | 402, 410 | sylanl1 679 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
(((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β ((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ))(.rβπ
)(πππ)) = ((1rβπ
)(.rβπ
)(πππ))) |
412 | 411 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β ((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ))(.rβπ
)(πππ)) = ((1rβπ
)(.rβπ
)(πππ))) |
413 | 4 | ad5antr 733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β π
β Ring) |
414 | 245 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β ((invrβπ
)β(πβπ)) β (Baseβπ
)) |
415 | 237 | ad2ant2lr 747 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’
(((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β (πβπ) β (Baseβπ
)) |
416 | 415 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β (πβπ) β (Baseβπ
)) |
417 | 10, 47 | ringass 20076 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ ((π
β Ring β§
(((invrβπ
)β(πβπ)) β (Baseβπ
) β§ (πβπ) β (Baseβπ
) β§ (πππ) β (Baseβπ
))) β ((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ))(.rβπ
)(πππ)) = (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) |
418 | 413, 414,
416, 397, 417 | syl13anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β ((((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(πβπ))(.rβπ
)(πππ)) = (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) |
419 | 4 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
β’ ((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β π
β Ring) |
420 | 419 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ β§ π β πΌ) β π
β Ring) |
421 | 322 | 3adant1l 1177 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ (((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ β§ π β πΌ) β (πππ) β (Baseβπ
)) |
422 | 10, 47, 405 | ringlidm 20086 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
β’ ((π
β Ring β§ (πππ) β (Baseβπ
)) β ((1rβπ
)(.rβπ
)(πππ)) = (πππ)) |
423 | 420, 421,
422 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ β§ π β πΌ) β ((1rβπ
)(.rβπ
)(πππ)) = (πππ)) |
424 | 423 | ad5ant145 1370 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ π β πΌ) β§ π β πΌ) β ((1rβπ
)(.rβπ
)(πππ)) = (πππ)) |
425 | 424 | adantlrr 720 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β ((1rβπ
)(.rβπ
)(πππ)) = (πππ)) |
426 | 412, 418,
425 | 3eqtr3d 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) = (πππ)) |
427 | 401, 426 | sylan9eqr 2795 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β§ π = π) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) = (πππ)) |
428 | 10, 200, 387, 388, 395, 254, 396, 397, 427 | gsumdifsnd 19829 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ))) |
429 | | ovex 7442 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)) β V |
430 | | eqid 2733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
β’ (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) = (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) |
431 | 429, 430 | fnmpti 6694 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
β’ (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) Fn πΌ |
432 | 431 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
β’ (πΌ β Fin β (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) Fn πΌ) |
433 | 432, 392,
393 | fndmfifsupp 9376 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
β’ (πΌ β Fin β (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) finSupp (0gβπ
)) |
434 | 433 | ad4antlr 732 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))) finSupp (0gβπ
)) |
435 | 10, 100, 47, 413, 388, 414, 252, 434 | gsummulc2 20129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))) |
436 | 428, 435 | eqtr3d 2775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)) = (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))) |
437 | 436 | adantr 482 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β§ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) = (0gβπ
)) β ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)) = (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))) |
438 | | oveq2 7417 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’ ((π
Ξ£g
(π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) = (0gβπ
) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(0gβπ
))) |
439 | 438 | adantl 483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β§ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) = (0gβπ
)) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(0gβπ
))) |
440 | 4 | ad4antr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’
(((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β π
β Ring) |
441 | 10, 47, 100 | ringrz 20108 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
β’ ((π
β Ring β§
((invrβπ
)β(πβπ)) β (Baseβπ
)) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(0gβπ
)) = (0gβπ
)) |
442 | 440, 245,
441 | syl2anc 585 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
β’
(((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(0gβπ
)) = (0gβπ
)) |
443 | 442 | ad2antrr 725 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β§ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) = (0gβπ
)) β (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)(0gβπ
)) = (0gβπ
)) |
444 | 437, 439,
443 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β§ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) = (0gβπ
)) β ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)) = (0gβπ
)) |
445 | 444 | ifeq1d 4548 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
β’
(((((((π
β
Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β§ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) = (0gβπ
)) β if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)) = if(π = π, (0gβπ
), (πππ))) |
446 | 445 | ex 414 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ) β ((π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) = (0gβπ
) β if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)) = if(π = π, (0gβπ
), (πππ)))) |
447 | 446 | ralimdva 3168 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
β’
(((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β (βπ β πΌ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) = (0gβπ
) β βπ β πΌ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)) = if(π = π, (0gβπ
), (πππ)))) |
448 | 447 | imp 408 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ βπ β πΌ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))) = (0gβπ
)) β βπ β πΌ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)) = if(π = π, (0gβπ
), (πππ))) |
449 | 386, 448 | sylan2b 595 |
. . . . . . . . . . . . . 14
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)})) β βπ β πΌ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)) = if(π = π, (0gβπ
), (πππ))) |
450 | 449, 379 | jctil 521 |
. . . . . . . . . . . . 13
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)})) β (πΌ = πΌ β§ βπ β πΌ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)) = if(π = π, (0gβπ
), (πππ)))) |
451 | 450 | ralrimivw 3151 |
. . . . . . . . . . . 12
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)})) β βπ β πΌ (πΌ = πΌ β§ βπ β πΌ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)) = if(π = π, (0gβπ
), (πππ)))) |
452 | | mpoeq123 7481 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((πΌ = πΌ β§ βπ β πΌ (πΌ = πΌ β§ βπ β πΌ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)) = if(π = π, (0gβπ
), (πππ)))) β (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))) = (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, (0gβπ
), (πππ)))) |
453 | 379, 451,
452 | sylancr 588 |
. . . . . . . . . . 11
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ (π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)})) β (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))) = (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, (0gβπ
), (πππ)))) |
454 | 453 | an32s 651 |
. . . . . . . . . 10
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)})) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ))) = (π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, (0gβπ
), (πππ)))) |
455 | 454 | fveq2d 6896 |
. . . . . . . . 9
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)})) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, ((π
Ξ£g (π β (πΌ β {π}) β¦ (((invrβπ
)β(πβπ))(.rβπ
)((πβπ)(.rβπ
)(πππ)))))(+gβπ
)(πππ)), (πππ)))) = ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, (0gβπ
), (πππ))))) |
456 | 334 | ad3antrrr 729 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β π
β CRing) |
457 | | simplr 768 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β πΌ β Fin) |
458 | | simpllr 775 |
. . . . . . . . . . . 12
β’ ((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) |
459 | 458, 198 | syl3an1 1164 |
. . . . . . . . . . 11
β’
(((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β§ π β πΌ β§ π β πΌ) β (πππ) β (Baseβπ
)) |
460 | | simprl 770 |
. . . . . . . . . . 11
β’ ((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β π β πΌ) |
461 | 333, 10, 100, 456, 457, 459, 460 | mdetr0 22107 |
. . . . . . . . . 10
β’ ((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, (0gβπ
), (πππ)))) = (0gβπ
)) |
462 | 461 | ad4ant14 751 |
. . . . . . . . 9
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)})) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β ((πΌ maDet π
)β(π β πΌ, π β πΌ β¦ if(π = π, (0gβπ
), (πππ)))) = (0gβπ
)) |
463 | 378, 455,
462 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
β’
((((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)})) β§ (π β πΌ β§ (πβπ) β (0gβπ
))) β ((πΌ maDet π
)βπ) = (0gβπ
)) |
464 | 463 | rexlimdvaa 3157 |
. . . . . . 7
β’
(((((π
β Field
β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β§ (π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)})) β (βπ β πΌ (πβπ) β (0gβπ
) β ((πΌ maDet π
)βπ) = (0gβπ
))) |
465 | 464 | expimpd 455 |
. . . . . 6
β’ ((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β (((π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)}) β§ βπ β πΌ (πβπ) β (0gβπ
)) β ((πΌ maDet π
)βπ) = (0gβπ
))) |
466 | 128, 465 | sylan2d 606 |
. . . . 5
β’ ((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π:πΌβΆ(Baseβπ
)) β (((π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)}) β§ Β¬ π = (πΌ Γ {(0gβπ
)})) β ((πΌ maDet π
)βπ) = (0gβπ
))) |
467 | 32, 466 | sylan2 594 |
. . . 4
β’ ((((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β§ π β ((Baseβπ
) βm πΌ)) β (((π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)}) β§ Β¬ π = (πΌ Γ {(0gβπ
)})) β ((πΌ maDet π
)βπ) = (0gβπ
))) |
468 | 467 | rexlimdva 3156 |
. . 3
β’ (((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β Fin) β (βπ β ((Baseβπ
) βm πΌ)((π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)}) β§ Β¬ π = (πΌ Γ {(0gβπ
)})) β ((πΌ maDet π
)βπ) = (0gβπ
))) |
469 | 9, 468 | sylan2 594 |
. 2
β’ (((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β
(βπ β
((Baseβπ
)
βm πΌ)((π β πΌ β¦ (π
Ξ£g (π β πΌ β¦ ((πβπ)(.rβπ
)(πππ))))) = (πΌ Γ {(0gβπ
)}) β§ Β¬ π = (πΌ Γ {(0gβπ
)})) β ((πΌ maDet π
)βπ) = (0gβπ
))) |
470 | 115, 469 | sylbid 239 |
1
β’ (((π
β Field β§ π:(πΌ Γ πΌ)βΆ(Baseβπ
)) β§ πΌ β (Fin β {β
})) β
(Β¬ curry π LIndF (π
freeLMod πΌ) β ((πΌ maDet π
)βπ) = (0gβπ
))) |