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Theorem matunitlindflem1 36789
Description: One direction of matunitlindf 36791. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
matunitlindflem1 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (Β¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘…)))

Proof of Theorem matunitlindflem1
Dummy variables π‘₯ 𝑓 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 π‘˜ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfld 20513 . . . . 5 (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
21simplbi 496 . . . 4 (𝑅 ∈ Field β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
3 drngring 20509 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Field β†’ 𝑅 ∈ Ring)
5 eqid 2730 . . . . . . . . 9 (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
65frlmlmod 21525 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
76adantlr 711 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
8 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}))
9 eldifi 4127 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
10 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
115, 10frlmfibas 21538 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
129, 11sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
13 fvex 6905 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
14 curf 36771 . . . . . . . . . 10 ((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ (Baseβ€˜π‘…) ∈ V) β†’ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))
1513, 14mp3an3 1448 . . . . . . . . 9 ((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))
16 feq3 6701 . . . . . . . . . 10 (((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ (curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ↔ curry 𝑀:𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
1716biimpa 475 . . . . . . . . 9 ((((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ curry 𝑀:𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1812, 15, 17syl2an 594 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ (𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}))) β†’ curry 𝑀:𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1918anandirs 675 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ curry 𝑀:𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
20 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
21 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
22 eqid 2730 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
23 eqid 2730 . . . . . . . 8 (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))
24 eqid 2730 . . . . . . . 8 (0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
25 eqid 2730 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜((Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))
2620, 21, 22, 23, 24, 25islindf4 21614 . . . . . . 7 (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ curry 𝑀:𝐼⟢(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))) β†’ (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))(((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑓 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
277, 8, 19, 26syl3anc 1369 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))(((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑓 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
285frlmsca 21529 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
2928fvoveq1d 7435 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)))
3012, 29eqtrd 2770 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)))
3130adantlr 711 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜((Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)))
32 elmapi 8847 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) β†’ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
33 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) β†’ 𝑓 Fn 𝐼)
3433adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑓 Fn 𝐼)
3519ffnd 6719 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ curry 𝑀 Fn 𝐼)
3635adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ curry 𝑀 Fn 𝐼)
37 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}))
38 inidm 4219 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
39 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘›) = (π‘“β€˜π‘›))
40 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘›) = (curry π‘€β€˜π‘›))
4134, 36, 37, 37, 38, 39, 40offval 7683 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑓 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry π‘€β€˜π‘›))))
42 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}))
43 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4443adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4519ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
4645adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
47 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
485, 20, 10, 42, 44, 46, 22, 47frlmvscafval 21542 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘›)( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry π‘€β€˜π‘›)) = ((𝐼 Γ— {(π‘“β€˜π‘›)}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(curry π‘€β€˜π‘›)))
49 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘“β€˜π‘›) ∈ V
50 fnconstg 6780 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘“β€˜π‘›) ∈ V β†’ (𝐼 Γ— {(π‘“β€˜π‘›)}) Fn 𝐼)
5149, 50mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (𝐼 Γ— {(π‘“β€˜π‘›)}) Fn 𝐼)
5215ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘›) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼))
53 elmapfn 8863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((curry π‘€β€˜π‘›) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘›) Fn 𝐼)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘›) Fn 𝐼)
5554adantlll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘›) Fn 𝐼)
5655adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (curry π‘€β€˜π‘›) Fn 𝐼)
5749fvconst2 7208 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ 𝐼 β†’ ((𝐼 Γ— {(π‘“β€˜π‘›)})β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘›))
5857adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {(π‘“β€˜π‘›)})β€˜π‘˜) = (π‘“β€˜π‘›))
59 ffn 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) β†’ 𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼))
6059anim2i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼)))
6160ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼)))
6261ad4ant23 749 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼)))
63 curfv 36773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ ((curry π‘€β€˜π‘›)β€˜π‘˜) = (π‘›π‘€π‘˜))
64633exp1 1350 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 β†’ (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) β†’ ((curry π‘€β€˜π‘›)β€˜π‘˜) = (π‘›π‘€π‘˜)))))
6564com4r 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) β†’ (𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 β†’ ((curry π‘€β€˜π‘›)β€˜π‘˜) = (π‘›π‘€π‘˜)))))
6665imp41 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((curry π‘€β€˜π‘›)β€˜π‘˜) = (π‘›π‘€π‘˜))
6762, 66sylanl1 676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((curry π‘€β€˜π‘›)β€˜π‘˜) = (π‘›π‘€π‘˜))
6851, 56, 42, 42, 38, 58, 67offval 7683 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((𝐼 Γ— {(π‘“β€˜π‘›)}) ∘f (.rβ€˜π‘…)(curry π‘€β€˜π‘›)) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))
6948, 68eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘›)( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry π‘€β€˜π‘›)) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))
7069mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry π‘€β€˜π‘›))) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))
7141, 70eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑓 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))
7271oveq2d 7429 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑓 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))))
73 simplll 771 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
74 simp-4l 779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
7543ad4ant23 749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
76 fovcdm 7581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘›π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7776ad5ant245 1359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘›π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7810, 47ringcl 20146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘“β€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘›π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7974, 75, 77, 78syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
8079fmpttd 7117 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
8180adantllr 715 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…))
82 elmapg 8837 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)))
8313, 82mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)))
8483adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)))
8512eleq2d 2817 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
8684, 85bitr3d 280 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
8786ad5ant13 753 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))):𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
8881, 87mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
89 mptexg 7226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ V)
9089ralrimivw 3148 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) β†’ βˆ€π‘› ∈ 𝐼 (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ V)
91 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))
9291fnmpt 6691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (βˆ€π‘› ∈ 𝐼 (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ V β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) Fn 𝐼)
9390, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) Fn 𝐼)
94 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) β†’ (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ V)
9593, 9, 94fndmfifsupp 9380 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) finSupp (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
9695ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) finSupp (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
975, 20, 23, 37, 37, 73, 88, 96frlmgsum 21548 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))))
9872, 97eqtr2d 2771 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑓 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)))
9932, 98sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑓 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)))
100 eqid 2730 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
1015, 100frlm0 21530 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) = (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
102101ad4ant13 747 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) = (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))
10399, 102eqeq12d 2746 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ ((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑓 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
10428fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))))
105104sneqd 4641 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ {(0gβ€˜π‘…)} = {(0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))})
106105xpeq2d 5707 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))
107106eqeq2d 2741 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))})))
108107ad4ant13 747 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))})))
109103, 108imbi12d 343 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) ∧ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) ↔ (((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑓 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
11031, 109raleqbidva 3325 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) ↔ βˆ€π‘“ ∈ (Baseβ€˜((Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))(((𝑅 freeLMod 𝐼) Ξ£g (𝑓 ∘f ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0gβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
11127, 110bitr4d 281 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))))
112111notbid 317 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (Β¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ Β¬ βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))))
113 rexanali 3100 . . . 4 (βˆƒπ‘“ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∧ Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) ↔ Β¬ βˆ€π‘“ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})))
114112, 113bitr4di 288 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (Β¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∧ Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))))
1154, 114sylanl1 676 . 2 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (Β¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ βˆƒπ‘“ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∧ Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))))
116 fconstfv 7217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐼⟢{(0gβ€˜π‘…)} ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) = (0gβ€˜π‘…)))
117 fvex 6905 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
118117fconst2 7209 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐼⟢{(0gβ€˜π‘…)} ↔ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
119116, 118sylbb1 236 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}))
120119ex 411 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝐼 β†’ (βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) = (0gβ€˜π‘…) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})))
121120con3d 152 . . . . . . . . 9 (𝑓 Fn 𝐼 β†’ (Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) = (0gβ€˜π‘…)))
122 df-ne 2939 . . . . . . . . . . 11 ((π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…) ↔ Β¬ (π‘“β€˜π‘–) = (0gβ€˜π‘…))
123122rexbii 3092 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…) ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 Β¬ (π‘“β€˜π‘–) = (0gβ€˜π‘…))
124 rexnal 3098 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 Β¬ (π‘“β€˜π‘–) = (0gβ€˜π‘…) ↔ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) = (0gβ€˜π‘…))
125123, 124bitri 274 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…) ↔ Β¬ βˆ€π‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) = (0gβ€˜π‘…))
126121, 125imbitrrdi 251 . . . . . . . 8 (𝑓 Fn 𝐼 β†’ (Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
12733, 126syl 17 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) β†’ (Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
128127adantl 480 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
129 neldifsn 4796 . . . . . . . . . . 11 Β¬ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖})
130 difss 4132 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 βˆ– {𝑖}) βŠ† 𝐼
131 diffi 9183 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ∈ Fin)
132131ad4antlr 729 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ∧ (𝐼 βˆ– {𝑖}) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ∈ Fin)
133 eleq2 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑖 ∈ 𝑦 ↔ 𝑖 ∈ βˆ…))
134133notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = βˆ… β†’ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ↔ Β¬ 𝑖 ∈ βˆ…))
135 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑦 βŠ† 𝐼 ↔ βˆ… βŠ† 𝐼))
136134, 135anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = βˆ… β†’ ((Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼) ↔ (Β¬ 𝑖 ∈ βˆ… ∧ βˆ… βŠ† 𝐼)))
137136anbi2d 627 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = βˆ… β†’ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ βˆ… ∧ βˆ… βŠ† 𝐼))))
138 mpteq1 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (𝑛 ∈ βˆ… ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))
139 mpt0 6693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ βˆ… ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = βˆ…
140138, 139eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = βˆ…)
141140oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝑅 Ξ£g βˆ…))
142100gsum0 18611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 Ξ£g βˆ…) = (0gβ€˜π‘…)
143141, 142eqtrdi 2786 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (0gβ€˜π‘…))
144143oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = βˆ… β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)))
145144ifeq1d 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = βˆ… β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))
146145mpoeq3dv 7492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = βˆ… β†’ (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))
147146fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = βˆ… β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
148147eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = βˆ… β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))))
149137, 148imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = βˆ… β†’ (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ βˆ… ∧ βˆ… βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))))
150 elequ2 2119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑖 ∈ 𝑦 ↔ 𝑖 ∈ π‘₯))
151150notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘₯ β†’ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ↔ Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯))
152 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑦 βŠ† 𝐼 ↔ π‘₯ βŠ† 𝐼))
153151, 152anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼) ↔ (Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼)))
154153anbi2d 627 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼))))
155 mpteq1 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))
156155oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))))
157156oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)))
158157ifeq1d 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = π‘₯ β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))
159158mpoeq3dv 7492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = π‘₯ β†’ (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))
160159fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
161160eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = π‘₯ β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))))
162154, 161imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘₯ β†’ (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))))
163 eleq2 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑖 ∈ 𝑦 ↔ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧})))
164163notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ↔ Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧})))
165 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑦 βŠ† 𝐼 ↔ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼))
166164, 165anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼) ↔ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)))
167166anbi2d 627 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼))))
168 mpteq1 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))
169168oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))))
170169oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)))
171170ifeq1d 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))
172171mpoeq3dv 7492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))
173172fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
174173eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))))
175167, 174imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))))
176 eleq2 2820 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ (𝑖 ∈ 𝑦 ↔ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖})))
177176notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ↔ Β¬ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖})))
178 sseq1 4008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ (𝑦 βŠ† 𝐼 ↔ (𝐼 βˆ– {𝑖}) βŠ† 𝐼))
179177, 178anbi12d 629 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ ((Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼) ↔ (Β¬ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ∧ (𝐼 βˆ– {𝑖}) βŠ† 𝐼)))
180179anbi2d 627 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ∧ (𝐼 βˆ– {𝑖}) βŠ† 𝐼))))
181 mpteq1 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))
182181oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))))
183182oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)))
184183ifeq1d 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))
185184mpoeq3dv 7492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))
186185fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
187186eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))))
188180, 187imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐼 βˆ– {𝑖}) β†’ (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ 𝑦 ∧ 𝑦 βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝑦 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ∧ (𝐼 βˆ– {𝑖}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))))
189 fnov 7544 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 Fn (𝐼 Γ— 𝐼) ↔ 𝑀 = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘—π‘€π‘˜)))
19059, 189sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) β†’ 𝑀 = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘—π‘€π‘˜)))
191190adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘—π‘€π‘˜)))
192 ringgrp 20134 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
1934, 192syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ Field β†’ 𝑅 ∈ Grp)
194 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑗 β†’ (π‘–π‘€π‘˜) = (π‘—π‘€π‘˜))
195194equcoms 2021 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 β†’ (π‘–π‘€π‘˜) = (π‘—π‘€π‘˜))
196195oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑖 β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘—π‘€π‘˜)))
197 simp1l 1195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
198 fovcdm 7581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘—π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
1991983adant1l 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘—π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
200 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
20110, 200, 100grplid 18890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (π‘—π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘—π‘€π‘˜)) = (π‘—π‘€π‘˜))
202197, 199, 201syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘—π‘€π‘˜)) = (π‘—π‘€π‘˜))
203196, 202sylan9eqr 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑗 = 𝑖) β†’ ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (π‘—π‘€π‘˜))
204 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ Β¬ 𝑗 = 𝑖) β†’ (π‘—π‘€π‘˜) = (π‘—π‘€π‘˜))
205203, 204ifeqda 4565 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = (π‘—π‘€π‘˜))
206205mpoeq3dva 7490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘—π‘€π‘˜)))
207193, 206sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (π‘—π‘€π‘˜)))
208191, 207eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀 = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))
209208fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
210209ad4antr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ βˆ… ∧ βˆ… βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0gβ€˜π‘…)(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
211 elun1 4177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖 ∈ π‘₯ β†’ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}))
212211con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯)
213 ssun1 4173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 π‘₯ βŠ† (π‘₯ βˆͺ {𝑧})
214 sstr 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘₯ βŠ† (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐼)
215213, 214mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼 β†’ π‘₯ βŠ† 𝐼)
216212, 215anim12i 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) β†’ (Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼))
217216anim2i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼)))
218217adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼)))
219 velsn 4645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ {𝑧} ↔ 𝑖 = 𝑧)
220 elun2 4178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ {𝑧} β†’ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}))
221219, 220sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑧 β†’ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}))
222221necon3bi 2965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) β†’ 𝑖 β‰  𝑧)
223222anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) β†’ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼))
224 ringcmn 20172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
2254, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑅 ∈ Field β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
226225ad7antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
227 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
228215adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐼)
229 ssfi 9177 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐼 ∈ Fin ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
230227, 228, 229syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
231230ad5ant13 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ Fin)
232215sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼 ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ 𝑛 ∈ 𝐼)
233232adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ 𝑛 ∈ 𝐼)
234233ad4ant24 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ 𝑛 ∈ 𝐼)
2354ad6antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2362ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
237 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
238237anim2i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
239238anassrs 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
240 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
24110, 100, 240drnginvrcl 20524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
2422413expa 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
243239, 242sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
244243anasss 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
245236, 244sylanl1 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
246245ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
24743ad5ant25 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘›) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
248 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…))
249763expa 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘›π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
250249an32s 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘›π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
251248, 250sylanl1 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (π‘›π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
252235, 247, 251, 78syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
25310, 47ringcl 20146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
254235, 246, 252, 253syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
255254adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ 𝐼) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
256234, 255syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
257256adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
258 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑧 ∈ V
259258a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑧 ∈ V)
260 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯)
261 ssun2 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 {𝑧} βŠ† (π‘₯ βˆͺ {𝑧})
262 sstr 3991 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (({𝑧} βŠ† (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) β†’ {𝑧} βŠ† 𝐼)
263261, 262mpan 686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼 β†’ {𝑧} βŠ† 𝐼)
264258snss 4790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧 ∈ 𝐼 ↔ {𝑧} βŠ† 𝐼)
265263, 264sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼 β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
266265adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
2674ad6antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2684ad5antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
269245adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
270 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
271270ad4ant24 750 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
27210, 47ringcl 20146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
273268, 269, 271, 272syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
274273adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
275 fovcdm 7581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘§π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
2762753expa 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘§π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
277248, 276sylanl1 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘§π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
27810, 47ringcl 20146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘§π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
279267, 274, 277, 278syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
280266, 279sylanl2 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
281280adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
282 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑛 = 𝑧 β†’ (π‘“β€˜π‘›) = (π‘“β€˜π‘§))
283 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑛 = 𝑧 β†’ (π‘›π‘€π‘˜) = (π‘§π‘€π‘˜))
284282, 283oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑛 = 𝑧 β†’ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)) = ((π‘“β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)))
285284oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 𝑧 β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))))
286245ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
287270ad5ant24 757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
28810, 47ringass 20149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘“β€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘§π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))))
289267, 286, 287, 277, 288syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))))
290289eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))) = ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)))
291266, 290sylanl2 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘§)(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))) = ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)))
292285, 291sylan9eqr 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑧) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) = ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)))
293292adantllr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑧) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) = ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)))
29410, 200, 226, 231, 257, 259, 260, 281, 293gsumunsnd 19869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))))
295294oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)))
296 ringabl 20171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Abel)
2974, 296syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑅 ∈ Field β†’ 𝑅 ∈ Abel)
298297ad6antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Abel)
299225ad6antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
300 vex 3476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 π‘₯ ∈ V
301300a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ V)
302 ssel2 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ 𝑛 ∈ 𝐼)
303302, 254sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐼 ∧ 𝑛 ∈ π‘₯)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
304303anassrs 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) ∧ 𝑛 ∈ π‘₯) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
305304fmpttd 7117 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) β†’ (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))):π‘₯⟢(Baseβ€˜π‘…))
306305an32s 648 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))):π‘₯⟢(Baseβ€˜π‘…))
307 ovex 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) ∈ V
308 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))
309307, 308fnmpti 6694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) Fn π‘₯
310309a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐼 ∈ Fin ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) β†’ (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) Fn π‘₯)
311 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐼 ∈ Fin ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
312310, 229, 311fndmfifsupp 9380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐼 ∈ Fin ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) β†’ (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
313312adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) β†’ (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
314313ad5ant14 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
31510, 100, 299, 301, 306, 314gsumcl 19826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
316215, 315sylanl2 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
317265, 279sylanl2 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
318 simpllr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…))
319 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
320318, 319anim12i 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼))
321320adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) β†’ (𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼))
322 fovcdm 7581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘–π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3233223expa 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘–π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
324321, 323sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘–π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
32510, 200, 298, 316, 317, 324abl32 19714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))))
326325adantlrl 716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))))
327326adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜)))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))))
328295, 327eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))))
329328ifeq1d 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))) = if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))
3303293adant2 1129 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))) = if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))
331330mpoeq3dva 7490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜)))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜)))))
332331fveq2d 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))))
333 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 maDet 𝑅) = (𝐼 maDet 𝑅)
3341simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑅 ∈ Field β†’ 𝑅 ∈ CRing)
335334ad5antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
336 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
337193ad6antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
338320adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) β†’ (𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼))
339338, 323sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘–π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
34010, 200grpcl 18865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘–π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
341337, 315, 339, 340syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
342228, 341sylanl2 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
343248, 266anim12i 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑧 ∈ 𝐼))
344343, 276sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘§π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
345 simp-5r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…))
346345, 198syl3an1 1161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘—π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
347266, 273sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
348 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
349265ad2antll 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝑧 ∈ 𝐼)
350 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ 𝑖 β‰  𝑧)
351333, 10, 200, 47, 335, 336, 342, 344, 346, 347, 348, 349, 350mdetero 22334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))))
352351adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))(+gβ€˜π‘…)((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘§))(.rβ€˜π‘…)(π‘§π‘€π‘˜))), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))))
353332, 352eqtrd 2770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))))
354 iftrue 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = 𝑧 β†’ if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜)) = (π‘§π‘€π‘˜))
355 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = 𝑧 β†’ (π‘—π‘€π‘˜) = (π‘§π‘€π‘˜))
356354, 355eqtr4d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = 𝑧 β†’ if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜)) = (π‘—π‘€π‘˜))
357 iffalse 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (Β¬ 𝑗 = 𝑧 β†’ if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜)) = (π‘—π‘€π‘˜))
358356, 357pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜)) = (π‘—π‘€π‘˜)
359 ifeq2 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜)) = (π‘—π‘€π‘˜) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))
360358, 359mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))
361360mpoeq3ia 7491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜)))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))
362361fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))
363 ifeq2 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜)) = (π‘—π‘€π‘˜) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))
364358, 363mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))
365364mpoeq3ia 7491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜)))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))
366365fveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), if(𝑗 = 𝑧, (π‘§π‘€π‘˜), (π‘—π‘€π‘˜))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))
367353, 362, 3663eqtr3g 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (𝑖 β‰  𝑧 ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
368223, 367sylanl2 677 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
369368eqeq2d 2741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))))
370369biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))))
371218, 370embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))))
372371expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯ β†’ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))))
373372com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯ β†’ (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))) β†’ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))))
374373adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ Fin ∧ Β¬ 𝑧 ∈ π‘₯) β†’ (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ π‘₯ ∧ π‘₯ βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ π‘₯ ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))) β†’ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ∧ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (π‘₯ βˆͺ {𝑧}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))))
375149, 162, 175, 188, 210, 374findcard2s 9169 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 βˆ– {𝑖}) ∈ Fin β†’ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ∧ (𝐼 βˆ– {𝑖}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))))))
376132, 375mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (Β¬ 𝑖 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ∧ (𝐼 βˆ– {𝑖}) βŠ† 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
377129, 130, 376mpanr12 701 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
378377adantlr 711 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))))
379 eqid 2730 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = 𝐼
380 fconstmpt 5739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (0gβ€˜π‘…))
381380eqeq2i 2743 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (0gβ€˜π‘…)))
382 ovex 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) ∈ V
383382rgenw 3063 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) ∈ V
384 mpteqb 7018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) ∈ V β†’ ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (0gβ€˜π‘…)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…)))
385383, 384ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (0gβ€˜π‘…)) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…))
386381, 385bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…))
387225ad5antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
388 simp-4r 780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
389 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))
390307, 389fnmpti 6694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) Fn 𝐼
391390a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) Fn 𝐼)
392 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin β†’ 𝐼 ∈ Fin)
393 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
394391, 392, 393fndmfifsupp 9380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
395394ad4antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
396 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
397320, 323sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘–π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
398 fveq2 6892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑖 β†’ (π‘“β€˜π‘›) = (π‘“β€˜π‘–))
399 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑖 β†’ (π‘›π‘€π‘˜) = (π‘–π‘€π‘˜))
400398, 399oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑖 β†’ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)) = ((π‘“β€˜π‘–)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)))
401400oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑖 β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘–)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))))
402 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ 𝑅 ∈ Field)
4032, 237anim12i 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼)) β†’ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
404403anassrs 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 ∈ DivRing ∧ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
405 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
40610, 100, 47, 405, 240drnginvrl 20527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘–)) = (1rβ€˜π‘…))
4074063expa 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘–)) = (1rβ€˜π‘…))
408404, 407sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘–)) = (1rβ€˜π‘…))
409408anasss 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘–)) = (1rβ€˜π‘…))
410409oveq1d 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)))
411402, 410sylanl1 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)))
412411adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)))
4134ad5antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
414245adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
415237ad2ant2lr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
416415adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
41710, 47ringass 20149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘“β€˜π‘–) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π‘–π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘–)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))))
418413, 414, 416, 397, 417syl13anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘–)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))))
4194adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4204193ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4213223adant1l 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘–π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
42210, 47, 405ringlidm 20159 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘–π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (π‘–π‘€π‘˜))
423420, 421, 422syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (π‘–π‘€π‘˜))
424423ad5ant145 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝑖 ∈ 𝐼) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (π‘–π‘€π‘˜))
425424adantlrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (π‘–π‘€π‘˜))
426412, 418, 4253eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘–)(.rβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜))) = (π‘–π‘€π‘˜))
427401, 426sylan9eqr 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑖) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) = (π‘–π‘€π‘˜))
42810, 200, 387, 388, 395, 254, 396, 397, 427gsumdifsnd 19872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)))
429 ovex 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)) ∈ V
430 eqid 2730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) = (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))
431429, 430fnmpti 6694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) Fn 𝐼
432431a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) Fn 𝐼)
433432, 392, 393fndmfifsupp 9380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
434433ad4antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
43510, 100, 47, 413, 388, 414, 252, 434gsummulc2 20207 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))))
436428, 435eqtr3d 2772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))))
437436adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))))
438 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
439438adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
4404ad4antr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
44110, 47, 100ringrz 20184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
442440, 245, 441syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
443442ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
444437, 439, 4433eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)) = (0gβ€˜π‘…))
445444ifeq1d 4548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) ∧ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜)))
446445ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…) β†’ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜))))
447446ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜))))
448447imp 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜)))
449386, 448sylan2b 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜)))
450449, 379jctil 518 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (𝐼 = 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜))))
451450ralrimivw 3148 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ βˆ€π‘— ∈ 𝐼 (𝐼 = 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜))))
452 mpoeq123 7485 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 = 𝐼 ∧ βˆ€π‘— ∈ 𝐼 (𝐼 = 𝐼 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)) = if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜)))) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜))))
453379, 451, 452sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜))))
454453an32s 648 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜))) = (𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜))))
455454fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ (𝐼 βˆ– {𝑖}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘“β€˜π‘–))(.rβ€˜π‘…)((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜)))))(+gβ€˜π‘…)(π‘–π‘€π‘˜)), (π‘—π‘€π‘˜)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜)))))
456334ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑅 ∈ CRing)
457 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
458 simpllr 772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…))
459458, 198syl3an1 1161 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) ∧ 𝑗 ∈ 𝐼 ∧ π‘˜ ∈ 𝐼) β†’ (π‘—π‘€π‘˜) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
460 simprl 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ 𝑖 ∈ 𝐼)
461333, 10, 100, 456, 457, 459, 460mdetr0 22329 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…))
462461ad4ant14 748 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜(𝑗 ∈ 𝐼, π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0gβ€˜π‘…), (π‘—π‘€π‘˜)))) = (0gβ€˜π‘…))
463378, 455, 4623eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) ∧ (𝑖 ∈ 𝐼 ∧ (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘…))
464463rexlimdvaa 3154 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘…)))
465464expimpd 452 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∧ βˆƒπ‘– ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘–) β‰  (0gβ€˜π‘…)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘…)))
466128, 465sylan2d 603 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟢(Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∧ Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘…)))
46732, 466sylan2 591 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)) β†’ (((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∧ Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘…)))
468467rexlimdva 3153 . . 3 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∧ Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘…)))
4699, 468sylan2 591 . 2 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (βˆƒπ‘“ ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝐼)((π‘˜ ∈ 𝐼 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑛 ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘…)(π‘›π‘€π‘˜))))) = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)}) ∧ Β¬ 𝑓 = (𝐼 Γ— {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘…)))
470115, 469sylbid 239 1 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (Β¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  ifcif 4529  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   ∈ cmpo 7415   ∘f cof 7672  curry ccur 8254   ↑m cmap 8824  Fincfn 8943   finSupp cfsupp 9365  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  .rcmulr 17204  Scalarcsca 17206   ·𝑠 cvsca 17207  0gc0g 17391   Ξ£g cgsu 17392  Grpcgrp 18857  CMndccmn 19691  Abelcabl 19692  1rcur 20077  Ringcrg 20129  CRingccrg 20130  invrcinvr 20280  DivRingcdr 20502  Fieldcfield 20503  LModclmod 20616   freeLMod cfrlm 21522   LIndF clindf 21580   maDet cmdat 22308
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-xor 1508  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-cur 8256  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-div 11878  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-4 12283  df-5 12284  df-6 12285  df-7 12286  df-8 12287  df-9 12288  df-n0 12479  df-xnn0 12551  df-z 12565  df-dec 12684  df-uz 12829  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-exp 14034  df-hash 14297  df-word 14471  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14552  df-substr 14597  df-pfx 14627  df-splice 14706  df-reverse 14715  df-s2 14805  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-starv 17218  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-unif 17226  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17536  df-mrc 17537  df-acs 17539  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18707  df-submnd 18708  df-efmnd 18788  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-sbg 18862  df-mulg 18989  df-subg 19041  df-ghm 19130  df-gim 19175  df-cntz 19224  df-oppg 19253  df-symg 19278  df-pmtr 19353  df-psgn 19402  df-evpm 19403  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-cring 20132  df-oppr 20227  df-dvdsr 20250  df-unit 20251  df-invr 20281  df-dvr 20294  df-rhm 20365  df-nzr 20406  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-drng 20504  df-field 20505  df-lmod 20618  df-lss 20689  df-lsp 20729  df-lmhm 20779  df-lbs 20832  df-sra 20932  df-rgmod 20933  df-cnfld 21147  df-zring 21220  df-zrh 21274  df-dsmm 21508  df-frlm 21523  df-uvc 21559  df-lindf 21582  df-mat 22130  df-mdet 22309
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