Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matunitlindflem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matunitlindflem1 37220
Description: One direction of matunitlindf 37222. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
matunitlindflem1 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))

Proof of Theorem matunitlindflem1
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfld 20647 . . . . 5 (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
21simplbi 496 . . . 4 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ DivRing)
3 drngring 20643 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ Ring)
5 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
65frlmlmod 21700 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
76adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
8 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
9 eldifi 4123 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → 𝐼 ∈ Fin)
10 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
115, 10frlmfibas 21713 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
129, 11sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
13 fvex 6909 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) ∈ V
14 curf 37202 . . . . . . . . . 10 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → curry 𝑀:𝐼⟶((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
1513, 14mp3an3 1446 . . . . . . . . 9 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → curry 𝑀:𝐼⟶((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
16 feq3 6706 . . . . . . . . . 10 (((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → (curry 𝑀:𝐼⟶((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ curry 𝑀:𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
1716biimpa 475 . . . . . . . . 9 ((((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ curry 𝑀:𝐼⟶((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)) → curry 𝑀:𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1812, 15, 17syl2an 594 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))) → curry 𝑀:𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1918anandirs 677 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → curry 𝑀:𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
20 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
21 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
22 eqid 2725 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
23 eqid 2725 . . . . . . . 8 (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
24 eqid 2725 . . . . . . . 8 (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
25 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)) = (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))
2620, 21, 22, 23, 24, 25islindf4 21789 . . . . . . 7 (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ curry 𝑀:𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))(((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
277, 8, 19, 26syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))(((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
285frlmsca 21704 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
2928fvoveq1d 7441 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)))
3012, 29eqtrd 2765 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)))
3130adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)))
32 elmapi 8868 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅))
33 ffn 6723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) → 𝑓 Fn 𝐼)
3433adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → 𝑓 Fn 𝐼)
3519ffnd 6724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → curry 𝑀 Fn 𝐼)
3635adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → curry 𝑀 Fn 𝐼)
37 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
38 inidm 4217 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼𝐼) = 𝐼
39 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑛))
40 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) = (curry 𝑀𝑛))
4134, 36, 37, 37, 38, 39, 40offval 7694 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀) = (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry 𝑀𝑛))))
42 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
43 ffvelcdm 7090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑓𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
4443adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑓𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
4519ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
4645adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
47 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑅) = (.r𝑅)
485, 20, 10, 42, 44, 46, 22, 47frlmvscafval 21717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑓𝑛)( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry 𝑀𝑛)) = ((𝐼 × {(𝑓𝑛)}) ∘f (.r𝑅)(curry 𝑀𝑛)))
49 fvex 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓𝑛) ∈ V
50 fnconstg 6785 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓𝑛) ∈ V → (𝐼 × {(𝑓𝑛)}) Fn 𝐼)
5149, 50mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝐼 × {(𝑓𝑛)}) Fn 𝐼)
5215ffvelcdmda 7093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
53 elmapfn 8884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((curry 𝑀𝑛) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) → (curry 𝑀𝑛) Fn 𝐼)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) Fn 𝐼)
5554adantlll 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) Fn 𝐼)
5655adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) Fn 𝐼)
5749fvconst2 7216 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝐼 → ((𝐼 × {(𝑓𝑛)})‘𝑘) = (𝑓𝑛))
5857adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐼 × {(𝑓𝑛)})‘𝑘) = (𝑓𝑛))
59 ffn 6723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) → 𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼))
6059anim2i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼)))
6160ancoms 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼)))
6261ad4ant23 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼)))
63 curfv 37204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼) ∧ 𝑛𝐼𝑘𝐼) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((curry 𝑀𝑛)‘𝑘) = (𝑛𝑀𝑘))
64633exp1 1349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼) → (𝑛𝐼 → (𝑘𝐼 → (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → ((curry 𝑀𝑛)‘𝑘) = (𝑛𝑀𝑘)))))
6564com4r 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → (𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼) → (𝑛𝐼 → (𝑘𝐼 → ((curry 𝑀𝑛)‘𝑘) = (𝑛𝑀𝑘)))))
6665imp41 424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((curry 𝑀𝑛)‘𝑘) = (𝑛𝑀𝑘))
6762, 66sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((curry 𝑀𝑛)‘𝑘) = (𝑛𝑀𝑘))
6851, 56, 42, 42, 38, 58, 67offval 7694 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝐼 × {(𝑓𝑛)}) ∘f (.r𝑅)(curry 𝑀𝑛)) = (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))
6948, 68eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑓𝑛)( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry 𝑀𝑛)) = (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))
7069mpteq2dva 5249 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry 𝑀𝑛))) = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
7141, 70eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀) = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
7271oveq2d 7435 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
73 simplll 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
74 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
7543ad4ant23 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
76 fovcdm 7591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑛𝐼𝑘𝐼) → (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
7776ad5ant245 1358 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
7810, 47ringcl 20202 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑓𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
7974, 75, 77, 78syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
8079fmpttd 7124 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
8180adantllr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
82 elmapg 8858 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
8313, 82mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
8483adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
8512eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
8684, 85bitr3d 280 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
8786ad5ant13 755 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
8881, 87mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
89 mptexg 7233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ V)
9089ralrimivw 3139 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → ∀𝑛𝐼 (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ V)
91 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))
9291fnmpt 6696 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑛𝐼 (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ V → (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝐼)
9390, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝐼)
94 fvexd 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ V)
9593, 9, 94fndmfifsupp 9403 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
9695ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
975, 20, 23, 37, 37, 73, 88, 96frlmgsum 21723 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
9872, 97eqtr2d 2766 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)))
9932, 98sylan2 591 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)) → (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)))
100 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
1015, 100frlm0 21705 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝐼 × {(0g𝑅)}) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
102101ad4ant13 749 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)) → (𝐼 × {(0g𝑅)}) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
10399, 102eqeq12d 2741 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)) → ((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ↔ ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
10428fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
105104sneqd 4642 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → {(0g𝑅)} = {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})
106105xpeq2d 5708 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝐼 × {(0g𝑅)}) = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))
107106eqeq2d 2736 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ↔ 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})))
108107ad4ant13 749 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)) → (𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ↔ 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})))
109103, 108imbi12d 343 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)) → (((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ↔ (((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
11031, 109raleqbidva 3316 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (∀𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))(((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
11127, 110bitr4d 281 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∀𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))))
112111notbid 317 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))))
113 rexanali 3091 . . . 4 (∃𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})))
114112, 113bitr4di 288 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∃𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))))
1154, 114sylanl1 678 . 2 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∃𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))))
116 fconstfv 7224 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐼⟶{(0g𝑅)} ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅)))
117 fvex 6909 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) ∈ V
118117fconst2 7217 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐼⟶{(0g𝑅)} ↔ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))
119116, 118sylbb1 236 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅)) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))
120119ex 411 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝐼 → (∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})))
121120con3d 152 . . . . . . . . 9 (𝑓 Fn 𝐼 → (¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → ¬ ∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅)))
122 df-ne 2930 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅) ↔ ¬ (𝑓𝑖) = (0g𝑅))
123122rexbii 3083 . . . . . . . . . 10 (∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅) ↔ ∃𝑖𝐼 ¬ (𝑓𝑖) = (0g𝑅))
124 rexnal 3089 . . . . . . . . . 10 (∃𝑖𝐼 ¬ (𝑓𝑖) = (0g𝑅) ↔ ¬ ∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅))
125123, 124bitri 274 . . . . . . . . 9 (∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅) ↔ ¬ ∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅))
126121, 125imbitrrdi 251 . . . . . . . 8 (𝑓 Fn 𝐼 → (¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → ∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)))
12733, 126syl 17 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) → (¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → ∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)))
128127adantl 480 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → ∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)))
129 neldifsn 4797 . . . . . . . . . . 11 ¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})
130 difss 4128 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼
131 diffi 9204 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ Fin → (𝐼 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
132131ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼)) → (𝐼 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
133 eleq2 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = ∅ → (𝑖𝑦𝑖 ∈ ∅))
134133notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ∅ → (¬ 𝑖𝑦 ↔ ¬ 𝑖 ∈ ∅))
135 sseq1 4002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ∅ → (𝑦𝐼 ↔ ∅ ⊆ 𝐼))
136134, 135anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = ∅ → ((¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼) ↔ (¬ 𝑖 ∈ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝐼)))
137136anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ∅ → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝐼))))
138 mpteq1 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = ∅ → (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛 ∈ ∅ ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
139 mpt0 6698 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ∅ ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = ∅
140138, 139eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = ∅ → (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = ∅)
141140oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑅 Σg ∅))
142100gsum0 18647 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 Σg ∅) = (0g𝑅)
143141, 142eqtrdi 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (0g𝑅))
144143oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = ∅ → ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
145144ifeq1d 4549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = ∅ → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
146145mpoeq3dv 7499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ∅ → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
147146fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = ∅ → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
148147eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ∅ → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
149137, 148imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ∅ → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
150 elequ2 2113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (𝑖𝑦𝑖𝑥))
151150notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (¬ 𝑖𝑦 ↔ ¬ 𝑖𝑥))
152 sseq1 4002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐼𝑥𝐼))
153151, 152anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ((¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼) ↔ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)))
154153anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼))))
155 mpteq1 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
156155oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → (𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
157156oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
158157ifeq1d 4549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
159158mpoeq3dv 7499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
160159fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
161160eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
162154, 161imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
163 eleq2 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑖𝑦𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})))
164163notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (¬ 𝑖𝑦 ↔ ¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})))
165 sseq1 4002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑦𝐼 ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼))
166164, 165anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼) ↔ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)))
167166anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼))))
168 mpteq1 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
169168oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
170169oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
171170ifeq1d 4549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
172171mpoeq3dv 7499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
173172fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
174173eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
175167, 174imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
176 eleq2 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (𝑖𝑦𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})))
177176notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (¬ 𝑖𝑦 ↔ ¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})))
178 sseq1 4002 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (𝑦𝐼 ↔ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼))
179177, 178anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → ((¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼) ↔ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼)))
180179anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼))))
181 mpteq1 5242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
182181oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
183182oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
184183ifeq1d 4549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
185184mpoeq3dv 7499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
186185fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
187186eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
188180, 187imbi12d 343 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
189 fnov 7552 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼) ↔ 𝑀 = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ (𝑗𝑀𝑘)))
19059, 189sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) → 𝑀 = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ (𝑗𝑀𝑘)))
191190adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → 𝑀 = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ (𝑗𝑀𝑘)))
192 ringgrp 20190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1934, 192syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ Grp)
194 oveq1 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖𝑀𝑘) = (𝑗𝑀𝑘))
195194equcoms 2015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 → (𝑖𝑀𝑘) = (𝑗𝑀𝑘))
196195oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑖 → ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑗𝑀𝑘)))
197 simp1l 1194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Grp)
198 fovcdm 7591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → (𝑗𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
1991983adant1l 1173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → (𝑗𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
200 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (+g𝑅) = (+g𝑅)
20110, 200, 100grplid 18932 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑗𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
202197, 199, 201syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
203196, 202sylan9eqr 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) ∧ 𝑗 = 𝑖) → ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
204 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) ∧ ¬ 𝑗 = 𝑖) → (𝑗𝑀𝑘) = (𝑗𝑀𝑘))
205203, 204ifeqda 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
206205mpoeq3dva 7497 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ (𝑗𝑀𝑘)))
207193, 206sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ (𝑗𝑀𝑘)))
208191, 207eqtr4d 2768 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → 𝑀 = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
209208fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
210209ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
211 elun1 4174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖𝑥𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}))
212211con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) → ¬ 𝑖𝑥)
213 ssun1 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
214 sstr 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → 𝑥𝐼)
215213, 214mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼𝑥𝐼)
216212, 215anim12i 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼))
217216anim2i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)))
218217adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)))
219 velsn 4646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ {𝑧} ↔ 𝑖 = 𝑧)
220 elun2 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ {𝑧} → 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}))
221219, 220sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑧𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}))
222221necon3bi 2956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) → 𝑖𝑧)
223222anim1i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼))
224 ringcmn 20230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
2254, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ CMnd)
226225ad7antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
227 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → 𝐼 ∈ Fin)
228215adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → 𝑥𝐼)
229 ssfi 9198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ Fin)
230227, 228, 229syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑥 ∈ Fin)
231230ad5ant13 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑥 ∈ Fin)
232215sselda 3976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼𝑛𝑥) → 𝑛𝐼)
233232adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑛𝑥) → 𝑛𝐼)
234233ad4ant24 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝑥) → 𝑛𝐼)
2354ad6antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
2362ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ DivRing)
237 ffvelcdm 7090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
238237anim2i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼)) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
239238anassrs 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
240 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (invr𝑅) = (invr𝑅)
24110, 100, 240drnginvrcl 20658 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
2422413expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
243239, 242sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
244243anasss 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
245236, 244sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
246245ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
24743ad5ant25 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑓𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
248 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
249763expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
250249an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
251248, 250sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
252235, 247, 251, 78syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
25310, 47ringcl 20202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
254235, 246, 252, 253syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
255254adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
256234, 255syldan 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝑥) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
257256adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝑥) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
258 vex 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑧 ∈ V
259258a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑧 ∈ V)
260 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → ¬ 𝑧𝑥)
261 ssun2 4171 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 {𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
262 sstr 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (({𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → {𝑧} ⊆ 𝐼)
263261, 262mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼 → {𝑧} ⊆ 𝐼)
264258snss 4791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧𝐼 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐼)
265263, 264sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼𝑧𝐼)
266265adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → 𝑧𝐼)
2674ad6antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
2684ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
269245adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
270 ffvelcdm 7090 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑓𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
271270ad4ant24 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑓𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
27210, 47ringcl 20202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
273268, 269, 271, 272syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
274273adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
275 fovcdm 7591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑧𝐼𝑘𝐼) → (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
2762753expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
277248, 276sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
27810, 47ringcl 20202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
279267, 274, 277, 278syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
280266, 279sylanl2 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
281280adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
282 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑛 = 𝑧 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑧))
283 oveq1 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑛 = 𝑧 → (𝑛𝑀𝑘) = (𝑧𝑀𝑘))
284282, 283oveq12d 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑛 = 𝑧 → ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) = ((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))
285284oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 𝑧 → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
286245ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
287270ad5ant24 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
28810, 47ringass 20205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
289267, 286, 287, 277, 288syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
290289eqcomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))) = ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))
291266, 290sylanl2 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))) = ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))
292285, 291sylan9eqr 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑧) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))
293292adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑧) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))
29410, 200, 226, 231, 257, 259, 260, 281, 293gsumunsnd 19925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
295294oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
296 ringabl 20229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2974, 296syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ Abel)
298297ad6antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Abel)
299225ad6antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
300 vex 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝑥 ∈ V
301300a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑥 ∈ V)
302 ssel2 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥𝐼𝑛𝑥) → 𝑛𝐼)
303302, 254sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑥𝐼𝑛𝑥)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
304303anassrs 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑛𝑥) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
305304fmpttd 7124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))):𝑥⟶(Base‘𝑅))
306305an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))):𝑥⟶(Base‘𝑅))
307 ovex 7452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ V
308 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))
309307, 308fnmpti 6699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝑥
310309a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝑥)
311 fvexd 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐼) → (0g𝑅) ∈ V)
312310, 229, 311fndmfifsupp 9403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
313312adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
314313ad5ant14 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
31510, 100, 299, 301, 306, 314gsumcl 19882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) ∈ (Base‘𝑅))
316215, 315sylanl2 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) ∈ (Base‘𝑅))
317265, 279sylanl2 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
318 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
319 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → 𝑖𝐼)
320318, 319anim12i 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼))
321320adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼))
322 fovcdm 7591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
3233223expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
324321, 323sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
32510, 200, 298, 316, 317, 324abl32 19770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
326325adantlrl 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
327326adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
328295, 327eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
329328ifeq1d 4549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))
3303293adant2 1128 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))
331330mpoeq3dva 7497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)))))
332331fveq2d 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))))
333 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 maDet 𝑅) = (𝐼 maDet 𝑅)
3341simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ CRing)
335334ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑅 ∈ CRing)
336 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
337193ad6antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Grp)
338320adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼))
339338, 323sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
34010, 200grpcl 18906 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
341337, 315, 339, 340syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
342228, 341sylanl2 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
343248, 266anim12i 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑧𝐼))
344343, 276sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
345 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
346345, 198syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → (𝑗𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
347266, 273sylan2 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
348 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑖𝐼)
349265ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑧𝐼)
350 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑖𝑧)
351333, 10, 200, 47, 335, 336, 342, 344, 346, 347, 348, 349, 350mdetero 22556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))))
352351adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))))
353332, 352eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))))
354 iftrue 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = 𝑧 → if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑧𝑀𝑘))
355 oveq1 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = 𝑧 → (𝑗𝑀𝑘) = (𝑧𝑀𝑘))
356354, 355eqtr4d 2768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = 𝑧 → if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
357 iffalse 4539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑗 = 𝑧 → if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
358356, 357pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘)
359 ifeq2 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
360358, 359mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗𝐼𝑘𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
361360mpoeq3ia 7498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
362361fveq2i 6899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
363 ifeq2 4535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
364358, 363mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗𝐼𝑘𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
365364mpoeq3ia 7498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
366365fveq2i 6899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
367353, 362, 3663eqtr3g 2788 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
368223, 367sylanl2 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
369368eqeq2d 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
370369biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
371218, 370embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
372371expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧𝑥 → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
373372com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧𝑥 → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
374373adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
375149, 162, 175, 188, 210, 374findcard2s 9190 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∖ {𝑖}) ∈ Fin → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
376132, 375mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
377129, 130, 376mpanr12 703 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
378377adantlr 713 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
379 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = 𝐼
380 fconstmpt 5740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 × {(0g𝑅)}) = (𝑘𝐼 ↦ (0g𝑅))
381380eqeq2i 2738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ↔ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑘𝐼 ↦ (0g𝑅)))
382 ovex 7452 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) ∈ V
383382rgenw 3054 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) ∈ V
384 mpteqb 7023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) ∈ V → ((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑘𝐼 ↦ (0g𝑅)) ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)))
385383, 384ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑘𝐼 ↦ (0g𝑅)) ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅))
386381, 385bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅))
387225ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
388 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → 𝐼 ∈ Fin)
389 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))
390307, 389fnmpti 6699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝐼
391390a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin → (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝐼)
392 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
393 fvexd 6911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin → (0g𝑅) ∈ V)
394391, 392, 393fndmfifsupp 9403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 ∈ Fin → (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
395394ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
396 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑖𝐼)
397320, 323sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
398 fveq2 6896 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑖 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑖))
399 oveq1 7426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑖 → (𝑛𝑀𝑘) = (𝑖𝑀𝑘))
400398, 399oveq12d 7437 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) = ((𝑓𝑖)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
401400oveq2d 7435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑖 → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑖)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘))))
402 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Field)
4032, 237anim12i 611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼)) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
404403anassrs 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
405 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (1r𝑅) = (1r𝑅)
40610, 100, 47, 405, 240drnginvrl 20661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖)) = (1r𝑅))
4074063expa 1115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖)) = (1r𝑅))
408404, 407sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖)) = (1r𝑅))
409408anasss 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖)) = (1r𝑅))
410409oveq1d 7434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
411402, 410sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
412411adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
4134ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
414245adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
415237ad2ant2lr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
416415adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
41710, 47ringass 20205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑖)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘))))
418413, 414, 416, 397, 417syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑖)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘))))
4194adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
4204193ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
4213223adant1l 1173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
42210, 47, 405ringlidm 20217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (𝑖𝑀𝑘))
423420, 421, 422syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼𝑘𝐼) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (𝑖𝑀𝑘))
424423ad5ant145 1366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (𝑖𝑀𝑘))
425424adantlrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (𝑖𝑀𝑘))
426412, 418, 4253eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑖)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘))) = (𝑖𝑀𝑘))
427401, 426sylan9eqr 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑖) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = (𝑖𝑀𝑘))
42810, 200, 387, 388, 395, 254, 396, 397, 427gsumdifsnd 19928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
429 ovex 7452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) ∈ V
430 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))
431429, 430fnmpti 6699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) Fn 𝐼
432431a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin → (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) Fn 𝐼)
433432, 392, 393fndmfifsupp 9403 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 ∈ Fin → (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) finSupp (0g𝑅))
434433ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) finSupp (0g𝑅))
43510, 100, 47, 413, 388, 414, 252, 434gsummulc2 20265 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
436428, 435eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
437436adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
438 oveq2 7427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(0g𝑅)))
439438adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(0g𝑅)))
4404ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
44110, 47, 100ringrz 20242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
442440, 245, 441syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
443442ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
444437, 439, 4433eqtrd 2769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (0g𝑅))
445444ifeq1d 4549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))
446445ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
447446ralimdva 3156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅) → ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
448447imp 405 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))
449386, 448sylan2b 592 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))
450449, 379jctil 518 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
451450ralrimivw 3139 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ∀𝑗𝐼 (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
452 mpoeq123 7492 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑗𝐼 (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
453379, 451, 452sylancr 585 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
454453an32s 650 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
455454fveq2d 6900 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))))
456334ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝑅 ∈ CRing)
457 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝐼 ∈ Fin)
458 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
459458, 198syl3an1 1160 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → (𝑗𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
460 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝑖𝐼)
461333, 10, 100, 456, 457, 459, 460mdetr0 22551 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))) = (0g𝑅))
462461ad4ant14 750 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))) = (0g𝑅))
463378, 455, 4623eqtrd 2769 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅))
464463rexlimdvaa 3145 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → (∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
465464expimpd 452 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
466128, 465sylan2d 603 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
46732, 466sylan2 591 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)) → (((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
468467rexlimdva 3144 . . 3 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (∃𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
4699, 468sylan2 591 . 2 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (∃𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
470115, 469sylbid 239 1 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wral 3050  wrex 3059  Vcvv 3461  cdif 3941  cun 3942  wss 3944  c0 4322  ifcif 4530  {csn 4630   class class class wbr 5149  cmpt 5232   × cxp 5676   Fn wfn 6544  wf 6545  cfv 6549  (class class class)co 7419  cmpo 7421  f cof 7683  curry ccur 8271  m cmap 8845  Fincfn 8964   finSupp cfsupp 9387  Basecbs 17183  +gcplusg 17236  .rcmulr 17237  Scalarcsca 17239   ·𝑠 cvsca 17240  0gc0g 17424   Σg cgsu 17425  Grpcgrp 18898  CMndccmn 19747  Abelcabl 19748  1rcur 20133  Ringcrg 20185  CRingccrg 20186  invrcinvr 20338  DivRingcdr 20636  Fieldcfield 20637  LModclmod 20755   freeLMod cfrlm 21697   LIndF clindf 21755   maDet cmdat 22530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-addf 11219  ax-mulf 11220
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-isom 6558  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-tpos 8232  df-cur 8273  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9388  df-sup 9467  df-oi 9535  df-card 9964  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-div 11904  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12506  df-xnn0 12578  df-z 12592  df-dec 12711  df-uz 12856  df-rp 13010  df-fz 13520  df-fzo 13663  df-seq 14003  df-exp 14063  df-hash 14326  df-word 14501  df-lsw 14549  df-concat 14557  df-s1 14582  df-substr 14627  df-pfx 14657  df-splice 14736  df-reverse 14745  df-s2 14835  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-starv 17251  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-tset 17255  df-ple 17256  df-ds 17258  df-unif 17259  df-hom 17260  df-cco 17261  df-0g 17426  df-gsum 17427  df-prds 17432  df-pws 17434  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-mhm 18743  df-submnd 18744  df-efmnd 18829  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19032  df-subg 19086  df-ghm 19176  df-gim 19222  df-cntz 19280  df-oppg 19309  df-symg 19334  df-pmtr 19409  df-psgn 19458  df-evpm 19459  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-cring 20188  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-rhm 20423  df-nzr 20464  df-subrng 20495  df-subrg 20520  df-drng 20638  df-field 20639  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-lmhm 20919  df-lbs 20972  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-cnfld 21297  df-zring 21390  df-zrh 21446  df-dsmm 21683  df-frlm 21698  df-uvc 21734  df-lindf 21757  df-mat 22352  df-mdet 22531
This theorem is referenced by:  matunitlindf  37222
  Copyright terms: Public domain W3C validator