Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matunitlindflem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matunitlindflem1 36012
Description: One direction of matunitlindf 36014. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
matunitlindflem1 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))

Proof of Theorem matunitlindflem1
Dummy variables 𝑥 𝑓 𝑦 𝑧 𝑖 𝑗 𝑘 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isfld 20149 . . . . 5 (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
21simplbi 498 . . . 4 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ DivRing)
3 drngring 20145 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
42, 3syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ Ring)
5 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod 𝐼)
65frlmlmod 21108 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
76adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod)
8 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
9 eldifi 4084 . . . . . . . . . 10 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → 𝐼 ∈ Fin)
10 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
115, 10frlmfibas 21121 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
129, 11sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
13 fvex 6852 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) ∈ V
14 curf 35994 . . . . . . . . . 10 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ (Base‘𝑅) ∈ V) → curry 𝑀:𝐼⟶((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
1513, 14mp3an3 1450 . . . . . . . . 9 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → curry 𝑀:𝐼⟶((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
16 feq3 6648 . . . . . . . . . 10 (((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → (curry 𝑀:𝐼⟶((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ curry 𝑀:𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
1716biimpa 477 . . . . . . . . 9 ((((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∧ curry 𝑀:𝐼⟶((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)) → curry 𝑀:𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1812, 15, 17syl2an 596 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))) → curry 𝑀:𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
1918anandirs 677 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → curry 𝑀:𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
20 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
21 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
22 eqid 2737 . . . . . . . 8 ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
23 eqid 2737 . . . . . . . 8 (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼))
24 eqid 2737 . . . . . . . 8 (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) = (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
25 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)) = (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))
2620, 21, 22, 23, 24, 25islindf4 21197 . . . . . . 7 (((𝑅 freeLMod 𝐼) ∈ LMod ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ curry 𝑀:𝐼⟶(Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))(((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
277, 8, 19, 26syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))(((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
285frlmsca 21112 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → 𝑅 = (Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
2928fvoveq1d 7373 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) = (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)))
3012, 29eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)))
3130adantlr 713 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) = (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼)))
32 elmapi 8745 . . . . . . . . . 10 (𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) → 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅))
33 ffn 6665 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) → 𝑓 Fn 𝐼)
3433adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → 𝑓 Fn 𝐼)
3519ffnd 6666 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → curry 𝑀 Fn 𝐼)
3635adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → curry 𝑀 Fn 𝐼)
37 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
38 inidm 4176 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼𝐼) = 𝐼
39 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑛))
40 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) = (curry 𝑀𝑛))
4134, 36, 37, 37, 38, 39, 40offval 7618 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀) = (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry 𝑀𝑛))))
42 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}))
43 ffvelcdm 7029 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑓𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
4443adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑓𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
4519ffvelcdmda 7031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
4645adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
47 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (.r𝑅) = (.r𝑅)
485, 20, 10, 42, 44, 46, 22, 47frlmvscafval 21125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑓𝑛)( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry 𝑀𝑛)) = ((𝐼 × {(𝑓𝑛)}) ∘f (.r𝑅)(curry 𝑀𝑛)))
49 fvex 6852 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓𝑛) ∈ V
50 fnconstg 6727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓𝑛) ∈ V → (𝐼 × {(𝑓𝑛)}) Fn 𝐼)
5149, 50mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝐼 × {(𝑓𝑛)}) Fn 𝐼)
5215ffvelcdmda 7031 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼))
53 elmapfn 8761 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((curry 𝑀𝑛) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) → (curry 𝑀𝑛) Fn 𝐼)
5452, 53syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) Fn 𝐼)
5554adantlll 716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) Fn 𝐼)
5655adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (curry 𝑀𝑛) Fn 𝐼)
5749fvconst2 7149 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝐼 → ((𝐼 × {(𝑓𝑛)})‘𝑘) = (𝑓𝑛))
5857adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝐼 × {(𝑓𝑛)})‘𝑘) = (𝑓𝑛))
59 ffn 6665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) → 𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼))
6059anim2i 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼)))
6160ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼)))
6261ad4ant23 751 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼)))
63 curfv 35996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼) ∧ 𝑛𝐼𝑘𝐼) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((curry 𝑀𝑛)‘𝑘) = (𝑛𝑀𝑘))
64633exp1 1352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼) → (𝑛𝐼 → (𝑘𝐼 → (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → ((curry 𝑀𝑛)‘𝑘) = (𝑛𝑀𝑘)))))
6564com4r 94 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → (𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼) → (𝑛𝐼 → (𝑘𝐼 → ((curry 𝑀𝑛)‘𝑘) = (𝑛𝑀𝑘)))))
6665imp41 426 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ∧ 𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((curry 𝑀𝑛)‘𝑘) = (𝑛𝑀𝑘))
6762, 66sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((curry 𝑀𝑛)‘𝑘) = (𝑛𝑀𝑘))
6851, 56, 42, 42, 38, 58, 67offval 7618 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝐼 × {(𝑓𝑛)}) ∘f (.r𝑅)(curry 𝑀𝑛)) = (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))
6948, 68eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑓𝑛)( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry 𝑀𝑛)) = (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))
7069mpteq2dva 5203 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))(curry 𝑀𝑛))) = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
7141, 70eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀) = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
7271oveq2d 7367 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
73 simplll 773 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
74 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
7543ad4ant23 751 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
76 fovcdm 7518 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑛𝐼𝑘𝐼) → (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
7776ad5ant245 1361 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
7810, 47ringcl 19935 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑓𝑛) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
7974, 75, 77, 78syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
8079fmpttd 7059 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
8180adantllr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅))
82 elmapg 8736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
8313, 82mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
8483adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅)))
8512eleq2d 2823 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
8684, 85bitr3d 280 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
8786ad5ant13 755 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))):𝐼⟶(Base‘𝑅) ↔ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
8881, 87mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
89 mptexg 7167 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ V)
9089ralrimivw 3145 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → ∀𝑛𝐼 (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ V)
91 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))
9291fnmpt 6638 . . . . . . . . . . . . . . 15 (∀𝑛𝐼 (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ V → (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝐼)
9390, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝐼)
94 fvexd 6854 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) ∈ V)
9593, 9, 94fndmfifsupp 9276 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) → (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
9695ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
975, 20, 23, 37, 37, 73, 88, 96frlmgsum 21131 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑛𝐼 ↦ (𝑘𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
9872, 97eqtr2d 2778 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)))
9932, 98sylan2 593 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)) → (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)))
100 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (0g𝑅) = (0g𝑅)
1015, 100frlm0 21113 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝐼 × {(0g𝑅)}) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
102101ad4ant13 749 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)) → (𝐼 × {(0g𝑅)}) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))
10399, 102eqeq12d 2753 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)) → ((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ↔ ((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
10428fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (0g𝑅) = (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼))))
105104sneqd 4596 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → {(0g𝑅)} = {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})
106105xpeq2d 5661 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝐼 × {(0g𝑅)}) = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))
107106eqeq2d 2748 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ↔ 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})))
108107ad4ant13 749 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)) → (𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ↔ 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))})))
109103, 108imbi12d 344 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)) → (((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ↔ (((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
11031, 109raleqbidva 3319 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (∀𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ↔ ∀𝑓 ∈ (Base‘((Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) freeLMod 𝐼))(((𝑅 freeLMod 𝐼) Σg (𝑓f ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod 𝐼))curry 𝑀)) = (0g‘(𝑅 freeLMod 𝐼)) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod 𝐼)))}))))
11127, 110bitr4d 281 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∀𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))))
112111notbid 317 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))))
113 rexanali 3103 . . . 4 (∃𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ↔ ¬ ∀𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})))
114112, 113bitr4di 288 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∃𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))))
1154, 114sylanl1 678 . 2 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∃𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))))
116 fconstfv 7158 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐼⟶{(0g𝑅)} ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅)))
117 fvex 6852 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝑅) ∈ V
118117fconst2 7150 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐼⟶{(0g𝑅)} ↔ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))
119116, 118sylbb1 236 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅)) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}))
120119ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝑓 Fn 𝐼 → (∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅) → 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})))
121120con3d 152 . . . . . . . . 9 (𝑓 Fn 𝐼 → (¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → ¬ ∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅)))
122 df-ne 2942 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅) ↔ ¬ (𝑓𝑖) = (0g𝑅))
123122rexbii 3095 . . . . . . . . . 10 (∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅) ↔ ∃𝑖𝐼 ¬ (𝑓𝑖) = (0g𝑅))
124 rexnal 3101 . . . . . . . . . 10 (∃𝑖𝐼 ¬ (𝑓𝑖) = (0g𝑅) ↔ ¬ ∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅))
125123, 124bitri 274 . . . . . . . . 9 (∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅) ↔ ¬ ∀𝑖𝐼 (𝑓𝑖) = (0g𝑅))
126121, 125syl6ibr 251 . . . . . . . 8 (𝑓 Fn 𝐼 → (¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → ∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)))
12733, 126syl 17 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) → (¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → ∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)))
128127adantl 482 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)}) → ∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)))
129 neldifsn 4750 . . . . . . . . . . 11 ¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})
130 difss 4089 . . . . . . . . . . 11 (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼
131 diffi 9081 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐼 ∈ Fin → (𝐼 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
132131ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼)) → (𝐼 ∖ {𝑖}) ∈ Fin)
133 eleq2 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = ∅ → (𝑖𝑦𝑖 ∈ ∅))
134133notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ∅ → (¬ 𝑖𝑦 ↔ ¬ 𝑖 ∈ ∅))
135 sseq1 3967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ∅ → (𝑦𝐼 ↔ ∅ ⊆ 𝐼))
136134, 135anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = ∅ → ((¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼) ↔ (¬ 𝑖 ∈ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝐼)))
137136anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ∅ → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝐼))))
138 mpteq1 5196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 = ∅ → (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛 ∈ ∅ ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
139 mpt0 6640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑛 ∈ ∅ ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = ∅
140138, 139eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = ∅ → (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = ∅)
141140oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑅 Σg ∅))
142100gsum0 18499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑅 Σg ∅) = (0g𝑅)
143141, 142eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = ∅ → (𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (0g𝑅))
144143oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = ∅ → ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
145144ifeq1d 4503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = ∅ → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
146145mpoeq3dv 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = ∅ → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
147146fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = ∅ → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
148147eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = ∅ → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
149137, 148imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = ∅ → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
150 elequ2 2121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → (𝑖𝑦𝑖𝑥))
151150notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (¬ 𝑖𝑦 ↔ ¬ 𝑖𝑥))
152 sseq1 3967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (𝑦𝐼𝑥𝐼))
153151, 152anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ((¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼) ↔ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)))
154153anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼))))
155 mpteq1 5196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑥 → (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
156155oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = 𝑥 → (𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
157156oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = 𝑥 → ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
158157ifeq1d 4503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = 𝑥 → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
159158mpoeq3dv 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = 𝑥 → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
160159fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = 𝑥 → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
161160eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑥 → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
162154, 161imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑥 → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
163 eleq2 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑖𝑦𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})))
164163notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (¬ 𝑖𝑦 ↔ ¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧})))
165 sseq1 3967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑦𝐼 ↔ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼))
166164, 165anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼) ↔ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)))
167166anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼))))
168 mpteq1 5196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
169168oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
170169oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
171170ifeq1d 4503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
172171mpoeq3dv 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
173172fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
174173eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
175167, 174imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝑥 ∪ {𝑧}) → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
176 eleq2 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (𝑖𝑦𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})))
177176notbid 317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (¬ 𝑖𝑦 ↔ ¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖})))
178 sseq1 3967 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (𝑦𝐼 ↔ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼))
179177, 178anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → ((¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼) ↔ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼)))
180179anbi2d 629 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) ↔ (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼))))
181 mpteq1 5196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))
182181oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
183182oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
184183ifeq1d 4503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
185184mpoeq3dv 7430 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
186185fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
187186eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
188180, 187imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐼 ∖ {𝑖}) → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑦𝑦𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑦 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) ↔ ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
189 fnov 7481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑀 Fn (𝐼 × 𝐼) ↔ 𝑀 = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ (𝑗𝑀𝑘)))
19059, 189sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) → 𝑀 = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ (𝑗𝑀𝑘)))
191190adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → 𝑀 = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ (𝑗𝑀𝑘)))
192 ringgrp 19923 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
1934, 192syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ Grp)
194 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑗 → (𝑖𝑀𝑘) = (𝑗𝑀𝑘))
195194equcoms 2023 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑗 = 𝑖 → (𝑖𝑀𝑘) = (𝑗𝑀𝑘))
196195oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑗 = 𝑖 → ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑗𝑀𝑘)))
197 simp1l 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Grp)
198 fovcdm 7518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → (𝑗𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
1991983adant1l 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → (𝑗𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
200 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (+g𝑅) = (+g𝑅)
20110, 200, 100grplid 18740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑗𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅)) → ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
202197, 199, 201syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
203196, 202sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) ∧ 𝑗 = 𝑖) → ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
204 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) ∧ ¬ 𝑗 = 𝑖) → (𝑗𝑀𝑘) = (𝑗𝑀𝑘))
205203, 204ifeqda 4520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
206205mpoeq3dva 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ (𝑗𝑀𝑘)))
207193, 206sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ (𝑗𝑀𝑘)))
208191, 207eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → 𝑀 = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
209208fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
210209ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ ∅ ∧ ∅ ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((0g𝑅)(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
211 elun1 4134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑖𝑥𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}))
212211con3i 154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) → ¬ 𝑖𝑥)
213 ssun1 4130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
214 sstr 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑥 ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → 𝑥𝐼)
215213, 214mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼𝑥𝐼)
216212, 215anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼))
217216anim2i 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)))
218217adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)))
219 velsn 4600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ {𝑧} ↔ 𝑖 = 𝑧)
220 elun2 4135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑖 ∈ {𝑧} → 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}))
221219, 220sylbir 234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑖 = 𝑧𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}))
222221necon3bi 2968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) → 𝑖𝑧)
223222anim1i 615 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼))
224 ringcmn 19956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
2254, 224syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ CMnd)
226225ad7antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
227 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → 𝐼 ∈ Fin)
228215adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → 𝑥𝐼)
229 ssfi 9075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ Fin)
230227, 228, 229syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑥 ∈ Fin)
231230ad5ant13 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑥 ∈ Fin)
232215sselda 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼𝑛𝑥) → 𝑛𝐼)
233232adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑛𝑥) → 𝑛𝐼)
234233ad4ant24 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝑥) → 𝑛𝐼)
2354ad6antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
2362ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ DivRing)
237 ffvelcdm 7029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 ((𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
238237anim2i 617 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼)) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
239238anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
240 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 (invr𝑅) = (invr𝑅)
24110, 100, 240drnginvrcl 20158 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
2422413expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
243239, 242sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
244243anasss 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
245236, 244sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
246245ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
24743ad5ant25 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑓𝑛) ∈ (Base‘𝑅))
248 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
249763expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑛𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
250249an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
251248, 250sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → (𝑛𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
252235, 247, 251, 78syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
25310, 47ringcl 19935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
254235, 246, 252, 253syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
255254adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
256234, 255syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝑥) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
257256adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛𝑥) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
258 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 𝑧 ∈ V
259258a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑧 ∈ V)
260 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → ¬ 𝑧𝑥)
261 ssun2 4131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 {𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧})
262 sstr 3950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (({𝑧} ⊆ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → {𝑧} ⊆ 𝐼)
263261, 262mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼 → {𝑧} ⊆ 𝐼)
264258snss 4744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑧𝐼 ↔ {𝑧} ⊆ 𝐼)
265263, 264sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼𝑧𝐼)
266265adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → 𝑧𝐼)
2674ad6antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
2684ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
269245adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
270 ffvelcdm 7029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑓𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
271270ad4ant24 752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) → (𝑓𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
27210, 47ringcl 19935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
273268, 269, 271, 272syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
274273adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
275 fovcdm 7518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑧𝐼𝑘𝐼) → (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
2762753expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
277248, 276sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
27810, 47ringcl 19935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅)) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
279267, 274, 277, 278syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
280266, 279sylanl2 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
281280adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
282 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑛 = 𝑧 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑧))
283 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (𝑛 = 𝑧 → (𝑛𝑀𝑘) = (𝑧𝑀𝑘))
284282, 283oveq12d 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑛 = 𝑧 → ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) = ((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))
285284oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑛 = 𝑧 → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
286245ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
287270ad5ant24 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑧) ∈ (Base‘𝑅))
28810, 47ringass 19938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑓𝑧) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
289267, 286, 287, 277, 288syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
290289eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑧𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))) = ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))
291266, 290sylanl2 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑧)(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))) = ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))
292285, 291sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑧) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))
293292adantllr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑧) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))
29410, 200, 226, 231, 257, 259, 260, 281, 293gsumunsnd 19694 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
295294oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
296 ringabl 19955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Abel)
2974, 296syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ Abel)
298297ad6antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Abel)
299225ad6antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
300 vex 3447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 𝑥 ∈ V
301300a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑥 ∈ V)
302 ssel2 3937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 ((𝑥𝐼𝑛𝑥) → 𝑛𝐼)
303302, 254sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑥𝐼𝑛𝑥)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
304303anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑛𝑥) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ (Base‘𝑅))
305304fmpttd 7059 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))):𝑥⟶(Base‘𝑅))
306305an32s 650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))):𝑥⟶(Base‘𝑅))
307 ovex 7384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) ∈ V
308 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))
309307, 308fnmpti 6641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝑥
310309a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝑥)
311 fvexd 6854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐼) → (0g𝑅) ∈ V)
312310, 229, 311fndmfifsupp 9276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑥𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
313312adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
314313ad5ant14 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
31510, 100, 299, 301, 306, 314gsumcl 19651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) ∈ (Base‘𝑅))
316215, 315sylanl2 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) ∈ (Base‘𝑅))
317265, 279sylanl2 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
318 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
319 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → 𝑖𝐼)
320318, 319anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼))
321320adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼))
322 fovcdm 7518 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
3233223expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
324321, 323sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
32510, 200, 298, 316, 317, 324abl32 19544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
326325adantlrl 718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
327326adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘)))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
328295, 327eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))))
329328ifeq1d 4503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑘𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))
3303293adant2 1131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))
331330mpoeq3dva 7428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)))))
332331fveq2d 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))))
333 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 maDet 𝑅) = (𝐼 maDet 𝑅)
3341simprbi 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ CRing)
335334ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑅 ∈ CRing)
336 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝐼 ∈ Fin)
337193ad6antr 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Grp)
338320adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼))
339338, 323sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
34010, 200grpcl 18716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
341337, 315, 339, 340syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
342228, 341sylanl2 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) ∈ (Base‘𝑅))
343248, 266anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑧𝐼))
344343, 276sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑧𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
345 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
346345, 198syl3an1 1163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → (𝑗𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
347266, 273sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧)) ∈ (Base‘𝑅))
348 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑖𝐼)
349265ad2antll 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑧𝐼)
350 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → 𝑖𝑧)
351333, 10, 200, 47, 335, 336, 342, 344, 346, 347, 348, 349, 350mdetero 21911 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))))
352351adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘))(+g𝑅)((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑧))(.r𝑅)(𝑧𝑀𝑘))), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))))
353332, 352eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))))
354 iftrue 4490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = 𝑧 → if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑧𝑀𝑘))
355 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑗 = 𝑧 → (𝑗𝑀𝑘) = (𝑧𝑀𝑘))
356354, 355eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑗 = 𝑧 → if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
357 iffalse 4493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 𝑗 = 𝑧 → if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘))
358356, 357pm2.61i 182 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘)
359 ifeq2 4489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
360358, 359mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗𝐼𝑘𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
361360mpoeq3ia 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
362361fveq2i 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
363 ifeq2 4489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)) = (𝑗𝑀𝑘) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
364358, 363mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑗𝐼𝑘𝐼) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))) = if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
365364mpoeq3ia 7429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘)))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))
366365fveq2i 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), if(𝑗 = 𝑧, (𝑧𝑀𝑘), (𝑗𝑀𝑘))))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))
367353, 362, 3663eqtr3g 2800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑖𝑧 ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
368223, 367sylanl2 679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
369368eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
370369biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
371218, 370embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
372371expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑧𝑥 → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
373372com23 86 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑧𝑥 → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
374373adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ Fin ∧ ¬ 𝑧𝑥) → (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖𝑥𝑥𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛𝑥 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))) → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ∧ (𝑥 ∪ {𝑧}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝑥 ∪ {𝑧}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))))
375149, 162, 175, 188, 210, 374findcard2s 9067 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∖ {𝑖}) ∈ Fin → ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))))))
376132, 375mpcom 38 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (¬ 𝑖 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ∧ (𝐼 ∖ {𝑖}) ⊆ 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
377129, 130, 376mpanr12 703 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
378377adantlr 713 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))))
379 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 𝐼 = 𝐼
380 fconstmpt 5692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐼 × {(0g𝑅)}) = (𝑘𝐼 ↦ (0g𝑅))
381380eqeq2i 2750 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ↔ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑘𝐼 ↦ (0g𝑅)))
382 ovex 7384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) ∈ V
383382rgenw 3066 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) ∈ V
384 mpteqb 6964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) ∈ V → ((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑘𝐼 ↦ (0g𝑅)) ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)))
385383, 384ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝑘𝐼 ↦ (0g𝑅)) ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅))
386381, 385bitri 274 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ↔ ∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅))
387225ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ CMnd)
388 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → 𝐼 ∈ Fin)
389 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))
390307, 389fnmpti 6641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝐼
391390a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin → (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) Fn 𝐼)
392 id 22 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin → 𝐼 ∈ Fin)
393 fvexd 6854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin → (0g𝑅) ∈ V)
394391, 392, 393fndmfifsupp 9276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 ∈ Fin → (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
395394ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) finSupp (0g𝑅))
396 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑖𝐼)
397320, 323sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
398 fveq2 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑖 → (𝑓𝑛) = (𝑓𝑖))
399 oveq1 7358 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛 = 𝑖 → (𝑛𝑀𝑘) = (𝑖𝑀𝑘))
400398, 399oveq12d 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑛 = 𝑖 → ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) = ((𝑓𝑖)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
401400oveq2d 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑛 = 𝑖 → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑖)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘))))
402 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → 𝑅 ∈ Field)
4032, 237anim12i 613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝐼)) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
404403anassrs 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
405 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (1r𝑅) = (1r𝑅)
40610, 100, 47, 405, 240drnginvrl 20161 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖)) = (1r𝑅))
4074063expa 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅)) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖)) = (1r𝑅))
408404, 407sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼) ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖)) = (1r𝑅))
409408anasss 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖)) = (1r𝑅))
410409oveq1d 7366 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
411402, 410sylanl1 678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
412411adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
4134ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
414245adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅))
415237ad2ant2lr 746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
416415adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
41710, 47ringass 19938 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑓𝑖) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑖)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘))))
418413, 414, 416, 397, 417syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑖)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘))))
4194adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) → 𝑅 ∈ Ring)
4204193ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼𝑘𝐼) → 𝑅 ∈ Ring)
4213223adant1l 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼𝑘𝐼) → (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
42210, 47, 405ringlidm 19946 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑖𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅)) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (𝑖𝑀𝑘))
423420, 421, 422syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼𝑘𝐼) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (𝑖𝑀𝑘))
424423ad5ant145 1369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝑖𝐼) ∧ 𝑘𝐼) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (𝑖𝑀𝑘))
425424adantlrr 719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((1r𝑅)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (𝑖𝑀𝑘))
426412, 418, 4253eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑖)(.r𝑅)(𝑖𝑀𝑘))) = (𝑖𝑀𝑘))
427401, 426sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ 𝑛 = 𝑖) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = (𝑖𝑀𝑘))
42810, 200, 387, 388, 395, 254, 396, 397, 427gsumdifsnd 19697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)))
429 ovex 7384 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)) ∈ V
430 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) = (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))
431429, 430fnmpti 6641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) Fn 𝐼
432431a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝐼 ∈ Fin → (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) Fn 𝐼)
433432, 392, 393fndmfifsupp 9276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝐼 ∈ Fin → (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) finSupp (0g𝑅))
434433ad4antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))) finSupp (0g𝑅))
43510, 100, 200, 47, 413, 388, 414, 252, 434gsummulc2 19984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
436428, 435eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
437436adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))))
438 oveq2 7359 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(0g𝑅)))
439438adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(0g𝑅)))
4404ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝑅 ∈ Ring)
44110, 47, 100ringrz 19965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((invr𝑅)‘(𝑓𝑖)) ∈ (Base‘𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
442440, 245, 441syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
443442ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
444437, 439, 4433eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)) = (0g𝑅))
445444ifeq1d 4503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) ∧ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))
446445ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑘𝐼) → ((𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅) → if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
447446ralimdva 3162 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅) → ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
448447imp 407 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ ∀𝑘𝐼 (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))) = (0g𝑅)) → ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))
449386, 448sylan2b 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))
450449, 379jctil 520 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
451450ralrimivw 3145 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ∀𝑗𝐼 (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
452 mpoeq123 7423 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑗𝐼 (𝐼 = 𝐼 ∧ ∀𝑘𝐼 if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)) = if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
453379, 451, 452sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
454453an32s 650 . . . . . . . . . 10 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘))) = (𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘))))
455454fveq2d 6843 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, ((𝑅 Σg (𝑛 ∈ (𝐼 ∖ {𝑖}) ↦ (((invr𝑅)‘(𝑓𝑖))(.r𝑅)((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘)))))(+g𝑅)(𝑖𝑀𝑘)), (𝑗𝑀𝑘)))) = ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))))
456334ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝑅 ∈ CRing)
457 simplr 767 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝐼 ∈ Fin)
458 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))
459458, 198syl3an1 1163 . . . . . . . . . . 11 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) ∧ 𝑗𝐼𝑘𝐼) → (𝑗𝑀𝑘) ∈ (Base‘𝑅))
460 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → 𝑖𝐼)
461333, 10, 100, 456, 457, 459, 460mdetr0 21906 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))) = (0g𝑅))
462461ad4ant14 750 . . . . . . . . 9 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘(𝑗𝐼, 𝑘𝐼 ↦ if(𝑗 = 𝑖, (0g𝑅), (𝑗𝑀𝑘)))) = (0g𝑅))
463378, 455, 4623eqtrd 2781 . . . . . . . 8 ((((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) ∧ (𝑖𝐼 ∧ (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅))
464463rexlimdvaa 3151 . . . . . . 7 (((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → (∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
465464expimpd 454 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ∃𝑖𝐼 (𝑓𝑖) ≠ (0g𝑅)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
466128, 465sylan2d 605 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓:𝐼⟶(Base‘𝑅)) → (((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
46732, 466sylan2 593 . . . 4 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)) → (((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
468467rexlimdva 3150 . . 3 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (∃𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
4699, 468sylan2 593 . 2 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (∃𝑓 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝐼)((𝑘𝐼 ↦ (𝑅 Σg (𝑛𝐼 ↦ ((𝑓𝑛)(.r𝑅)(𝑛𝑀𝑘))))) = (𝐼 × {(0g𝑅)}) ∧ ¬ 𝑓 = (𝐼 × {(0g𝑅)})) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
470115, 469sylbid 239 1 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  wrex 3071  Vcvv 3443  cdif 3905  cun 3906  wss 3908  c0 4280  ifcif 4484  {csn 4584   class class class wbr 5103  cmpt 5186   × cxp 5629   Fn wfn 6488  wf 6489  cfv 6493  (class class class)co 7351  cmpo 7353  f cof 7607  curry ccur 8188  m cmap 8723  Fincfn 8841   finSupp cfsupp 9263  Basecbs 17043  +gcplusg 17093  .rcmulr 17094  Scalarcsca 17096   ·𝑠 cvsca 17097  0gc0g 17281   Σg cgsu 17282  Grpcgrp 18708  CMndccmn 19521  Abelcabl 19522  1rcur 19872  Ringcrg 19918  CRingccrg 19919  invrcinvr 20053  DivRingcdr 20138  Fieldcfield 20139  LModclmod 20275   freeLMod cfrlm 21105   LIndF clindf 21163   maDet cmdat 21885
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-addf 11088  ax-mulf 11089
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4864  df-int 4906  df-iun 4954  df-iin 4955  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-tr 5221  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6251  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7307  df-ov 7354  df-oprab 7355  df-mpo 7356  df-of 7609  df-om 7795  df-1st 7913  df-2nd 7914  df-supp 8085  df-tpos 8149  df-cur 8190  df-frecs 8204  df-wrecs 8235  df-recs 8309  df-rdg 8348  df-1o 8404  df-2o 8405  df-er 8606  df-map 8725  df-pm 8726  df-ixp 8794  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-fin 8845  df-fsupp 9264  df-sup 9336  df-oi 9404  df-card 9833  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153  df-sub 11345  df-neg 11346  df-div 11771  df-nn 12112  df-2 12174  df-3 12175  df-4 12176  df-5 12177  df-6 12178  df-7 12179  df-8 12180  df-9 12181  df-n0 12372  df-xnn0 12444  df-z 12458  df-dec 12577  df-uz 12722  df-rp 12870  df-fz 13379  df-fzo 13522  df-seq 13861  df-exp 13922  df-hash 14185  df-word 14357  df-lsw 14405  df-concat 14413  df-s1 14438  df-substr 14487  df-pfx 14517  df-splice 14596  df-reverse 14605  df-s2 14695  df-struct 16979  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-starv 17108  df-sca 17109  df-vsca 17110  df-ip 17111  df-tset 17112  df-ple 17113  df-ds 17115  df-unif 17116  df-hom 17117  df-cco 17118  df-0g 17283  df-gsum 17284  df-prds 17289  df-pws 17291  df-mre 17426  df-mrc 17427  df-acs 17429  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-mhm 18561  df-submnd 18562  df-efmnd 18639  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-sbg 18713  df-mulg 18832  df-subg 18884  df-ghm 18965  df-gim 19008  df-cntz 19056  df-oppg 19083  df-symg 19108  df-pmtr 19183  df-psgn 19232  df-evpm 19233  df-cmn 19523  df-abl 19524  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-cring 19921  df-oppr 20002  df-dvdsr 20023  df-unit 20024  df-invr 20054  df-dvr 20065  df-rnghom 20099  df-drng 20140  df-field 20141  df-subrg 20173  df-lmod 20277  df-lss 20346  df-lsp 20386  df-lmhm 20436  df-lbs 20489  df-sra 20586  df-rgmod 20587  df-nzr 20681  df-cnfld 20750  df-zring 20823  df-zrh 20857  df-dsmm 21091  df-frlm 21106  df-uvc 21142  df-lindf 21165  df-mat 21707  df-mdet 21886
This theorem is referenced by:  matunitlindf  36014
  Copyright terms: Public domain W3C validator