Theorem lkr0f 39266

Description: The kernel of the zero functional is the set of all vectors. (Contributed by NM, 17-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkr0f.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkr0f.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkr0f.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkr0f.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkr0f.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkr0f	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem lkr0f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkr0f.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
3		lkr0f.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lkr0f.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	lflf 39235	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷))
6	5	ffnd 6660	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺 Fn 𝑉)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = 𝑉) → 𝐺 Fn 𝑉)
8		lkr0f.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
9		lkr0f.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
10	1, 8, 4, 9	lkrval 39260	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) = (◡𝐺 “ { 0 }))
11	10	eqeq1d 2735	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
12	11	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = 𝑉) → (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉)
13	8	fvexi 6845	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
14	13	fconst2 7148	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
15		fconst4 7157	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
16	14, 15	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
17	7, 12, 16	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = 𝑉) → 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
18	17	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 → 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
19	16	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
21		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
22		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
23	1, 8, 3, 22	lfl0f 39241	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
25	21, 24	eqeltrd 2833	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊))
26	1, 8, 22, 9	lkrval 39260	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊)) → (𝐾‘𝐺) = (◡𝐺 “ { 0 }))
27	25, 26	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) = (◡𝐺 “ { 0 }))
28	27	eqeq1d 2735	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
29		ffn 6659	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } → 𝐺 Fn 𝑉)
30	14, 29	sylbir 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → 𝐺 Fn 𝑉)
31	30	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 Fn 𝑉)
32	31	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → ((◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉 ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉)))
33	28, 32	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉)))
34	20, 33	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) = 𝑉)
35	34	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → (𝐾‘𝐺) = 𝑉))
36	35	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → (𝐾‘𝐺) = 𝑉))
37	18, 36	impbid 212	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {csn 4577   × cxp 5619  ^◡ccnv 5620   “ cima 5624   Fn wfn 6484  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  Basecbs 17127  Scalarcsca 17171  0_gc0g 17350  LModclmod 20802  LFnlclfn 39229  LKerclk 39257

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-plusg 17181  df-0g 17352  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-lmod 20804  df-lfl 39230  df-lkr 39258

This theorem is referenced by:  lkrscss  39270  eqlkr  39271  lkrshp  39277  lkrshp3  39278  lkrshpor  39279  lfl1dim  39293  lfl1dim2N  39294  lkr0f2  39333  lclkrlem1  41678  lclkrlem2j  41688  lclkr  41705  lclkrs  41711  mapd0  41837