Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkr0f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkr0f 38467
Description: The kernel of the zero functional is the set of all vectors. (Contributed by NM, 17-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkr0f.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lkr0f.o 0 = (0gβ€˜π·)
lkr0f.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lkr0f.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lkr0f.k 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lkr0f ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 })))

Proof of Theorem lkr0f
StepHypRef Expression
1 lkr0f.d . . . . . . 7 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2 eqid 2724 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
3 lkr0f.v . . . . . . 7 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
4 lkr0f.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
51, 2, 3, 4lflf 38436 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π·))
65ffnd 6709 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
76adantr 480 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = 𝑉) β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
8 lkr0f.o . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π·)
9 lkr0f.k . . . . . . 7 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
101, 8, 4, 9lkrval 38461 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (◑𝐺 β€œ { 0 }))
1110eqeq1d 2726 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) = 𝑉 ↔ (◑𝐺 β€œ { 0 }) = 𝑉))
1211biimpa 476 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = 𝑉) β†’ (◑𝐺 β€œ { 0 }) = 𝑉)
138fvexi 6896 . . . . . 6 0 ∈ V
1413fconst2 7199 . . . . 5 (𝐺:π‘‰βŸΆ{ 0 } ↔ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 }))
15 fconst4 7208 . . . . 5 (𝐺:π‘‰βŸΆ{ 0 } ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◑𝐺 β€œ { 0 }) = 𝑉))
1614, 15bitr3i 277 . . . 4 (𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 }) ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◑𝐺 β€œ { 0 }) = 𝑉))
177, 12, 16sylanbrc 582 . . 3 (((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΎβ€˜πΊ) = 𝑉) β†’ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 }))
1817ex 412 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) = 𝑉 β†’ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 })))
1916biimpi 215 . . . . . 6 (𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 }) β†’ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◑𝐺 β€œ { 0 }) = 𝑉))
2019adantl 481 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◑𝐺 β€œ { 0 }) = 𝑉))
21 simpr 484 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 }))
22 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (LFnlβ€˜π‘Š) = (LFnlβ€˜π‘Š)
231, 8, 3, 22lfl0f 38442 . . . . . . . . . 10 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (LFnlβ€˜π‘Š))
2423adantr 480 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ (𝑉 Γ— { 0 }) ∈ (LFnlβ€˜π‘Š))
2521, 24eqeltrd 2825 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ 𝐺 ∈ (LFnlβ€˜π‘Š))
261, 8, 22, 9lkrval 38461 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LFnlβ€˜π‘Š)) β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (◑𝐺 β€œ { 0 }))
2725, 26syldan 590 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ (πΎβ€˜πΊ) = (◑𝐺 β€œ { 0 }))
2827eqeq1d 2726 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) = 𝑉 ↔ (◑𝐺 β€œ { 0 }) = 𝑉))
29 ffn 6708 . . . . . . . . 9 (𝐺:π‘‰βŸΆ{ 0 } β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
3014, 29sylbir 234 . . . . . . . 8 (𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 }) β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
3130adantl 481 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
3231biantrurd 532 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ ((◑𝐺 β€œ { 0 }) = 𝑉 ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◑𝐺 β€œ { 0 }) = 𝑉)))
3328, 32bitrd 279 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) = 𝑉 ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◑𝐺 β€œ { 0 }) = 𝑉)))
3420, 33mpbird 257 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ (πΎβ€˜πΊ) = 𝑉)
3534ex 412 . . 3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 }) β†’ (πΎβ€˜πΊ) = 𝑉))
3635adantr 480 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 }) β†’ (πΎβ€˜πΊ) = 𝑉))
3718, 36impbid 211 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 })))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {csn 4621   Γ— cxp 5665  β—‘ccnv 5666   β€œ cima 5670   Fn wfn 6529  βŸΆwf 6530  β€˜cfv 6534  Basecbs 17149  Scalarcsca 17205  0gc0g 17390  LModclmod 20702  LFnlclfn 38430  LKerclk 38458
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-map 8819  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-plusg 17215  df-0g 17392  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18862  df-minusg 18863  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-lmod 20704  df-lfl 38431  df-lkr 38459
This theorem is referenced by:  lkrscss  38471  eqlkr  38472  lkrshp  38478  lkrshp3  38479  lkrshpor  38480  lfl1dim  38494  lfl1dim2N  38495  lkr0f2  38534  lclkrlem1  40880  lclkrlem2j  40890  lclkr  40907  lclkrs  40913  mapd0  41039
  Copyright terms: Public domain W3C validator