Mathbox for Norm Megill < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkr0f Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkr0f 36663
 Description: The kernel of the zero functional is the set of all vectors. (Contributed by NM, 17-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkr0f.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkr0f.o 0 = (0g𝐷)
lkr0f.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkr0f.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkr0f.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkr0f ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem lkr0f
StepHypRef Expression
1 lkr0f.d . . . . . . 7 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2 eqid 2759 . . . . . . 7 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
3 lkr0f.v . . . . . . 7 𝑉 = (Base‘𝑊)
4 lkr0f.f . . . . . . 7 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
51, 2, 3, 4lflf 36632 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷))
65ffnd 6500 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → 𝐺 Fn 𝑉)
76adantr 485 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ (𝐾𝐺) = 𝑉) → 𝐺 Fn 𝑉)
8 lkr0f.o . . . . . . 7 0 = (0g𝐷)
9 lkr0f.k . . . . . . 7 𝐾 = (LKer‘𝑊)
101, 8, 4, 9lkrval 36657 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) = (𝐺 “ { 0 }))
1110eqeq1d 2761 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐾𝐺) = 𝑉 ↔ (𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
1211biimpa 481 . . . 4 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ (𝐾𝐺) = 𝑉) → (𝐺 “ { 0 }) = 𝑉)
138fvexi 6673 . . . . . 6 0 ∈ V
1413fconst2 6959 . . . . 5 (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
15 fconst4 6969 . . . . 5 (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
1614, 15bitr3i 280 . . . 4 (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
177, 12, 16sylanbrc 587 . . 3 (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) ∧ (𝐾𝐺) = 𝑉) → 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
1817ex 417 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
1916biimpi 219 . . . . . 6 (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
2019adantl 486 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
21 simpr 489 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
22 eqid 2759 . . . . . . . . . . 11 (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
231, 8, 3, 22lfl0f 36638 . . . . . . . . . 10 (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
2423adantr 485 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
2521, 24eqeltrd 2853 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊))
261, 8, 22, 9lkrval 36657 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊)) → (𝐾𝐺) = (𝐺 “ { 0 }))
2725, 26syldan 595 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) = (𝐺 “ { 0 }))
2827eqeq1d 2761 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾𝐺) = 𝑉 ↔ (𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
29 ffn 6499 . . . . . . . . 9 (𝐺:𝑉⟶{ 0 } → 𝐺 Fn 𝑉)
3014, 29sylbir 238 . . . . . . . 8 (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → 𝐺 Fn 𝑉)
3130adantl 486 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 Fn 𝑉)
3231biantrurd 537 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → ((𝐺 “ { 0 }) = 𝑉 ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (𝐺 “ { 0 }) = 𝑉)))
3328, 32bitrd 282 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾𝐺) = 𝑉 ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (𝐺 “ { 0 }) = 𝑉)))
3420, 33mpbird 260 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝐾𝐺) = 𝑉)
3534ex 417 . . 3 (𝑊 ∈ LMod → (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → (𝐾𝐺) = 𝑉))
3635adantr 485 . 2 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → (𝐾𝐺) = 𝑉))
3718, 36impbid 215 1 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐾𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539   ∈ wcel 2112  {csn 4523   × cxp 5523  ◡ccnv 5524   “ cima 5528   Fn wfn 6331  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  Basecbs 16534  Scalarcsca 16619  0gc0g 16764  LModclmod 19695  LFnlclfn 36626  LKerclk 36654 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7460  ax-cnex 10624  ax-resscn 10625  ax-1cn 10626  ax-icn 10627  ax-addcl 10628  ax-addrcl 10629  ax-mulcl 10630  ax-mulrcl 10631  ax-mulcom 10632  ax-addass 10633  ax-mulass 10634  ax-distr 10635  ax-i2m1 10636  ax-1ne0 10637  ax-1rid 10638  ax-rnegex 10639  ax-rrecex 10640  ax-cnre 10641  ax-pre-lttri 10642  ax-pre-lttrn 10643  ax-pre-ltadd 10644  ax-pre-mulgt0 10645 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-csb 3807  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4227  df-if 4422  df-pw 4497  df-sn 4524  df-pr 4526  df-tp 4528  df-op 4530  df-uni 4800  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5431  df-eprel 5436  df-po 5444  df-so 5445  df-fr 5484  df-we 5486  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6127  df-ord 6173  df-on 6174  df-lim 6175  df-suc 6176  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7581  df-wrecs 7958  df-recs 8019  df-rdg 8057  df-er 8300  df-map 8419  df-en 8529  df-dom 8530  df-sdom 8531  df-pnf 10708  df-mnf 10709  df-xr 10710  df-ltxr 10711  df-le 10712  df-sub 10903  df-neg 10904  df-nn 11668  df-2 11730  df-ndx 16537  df-slot 16538  df-base 16540  df-sets 16541  df-plusg 16629  df-0g 16766  df-mgm 17911  df-sgrp 17960  df-mnd 17971  df-grp 18165  df-mgp 19301  df-ring 19360  df-lmod 19697  df-lfl 36627  df-lkr 36655 This theorem is referenced by:  lkrscss  36667  eqlkr  36668  lkrshp  36674  lkrshp3  36675  lkrshpor  36676  lfl1dim  36690  lfl1dim2N  36691  lkr0f2  36730  lclkrlem1  39075  lclkrlem2j  39085  lclkr  39102  lclkrs  39108  mapd0  39234
 Copyright terms: Public domain W3C validator