Theorem lkr0f 39082

Description: The kernel of the zero functional is the set of all vectors. (Contributed by NM, 17-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkr0f.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkr0f.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkr0f.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkr0f.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkr0f.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkr0f	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem lkr0f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkr0f.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
3		lkr0f.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lkr0f.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	lflf 39051	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷))
6	5	ffnd 6691	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺 Fn 𝑉)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = 𝑉) → 𝐺 Fn 𝑉)
8		lkr0f.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
9		lkr0f.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
10	1, 8, 4, 9	lkrval 39076	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) = (◡𝐺 “ { 0 }))
11	10	eqeq1d 2732	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
12	11	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = 𝑉) → (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉)
13	8	fvexi 6874	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
14	13	fconst2 7181	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
15		fconst4 7190	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
16	14, 15	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
17	7, 12, 16	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = 𝑉) → 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
18	17	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 → 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
19	16	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
21		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
22		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
23	1, 8, 3, 22	lfl0f 39057	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
25	21, 24	eqeltrd 2829	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊))
26	1, 8, 22, 9	lkrval 39076	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊)) → (𝐾‘𝐺) = (◡𝐺 “ { 0 }))
27	25, 26	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) = (◡𝐺 “ { 0 }))
28	27	eqeq1d 2732	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
29		ffn 6690	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } → 𝐺 Fn 𝑉)
30	14, 29	sylbir 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → 𝐺 Fn 𝑉)
31	30	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 Fn 𝑉)
32	31	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → ((◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉 ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉)))
33	28, 32	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉)))
34	20, 33	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) = 𝑉)
35	34	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → (𝐾‘𝐺) = 𝑉))
36	35	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → (𝐾‘𝐺) = 𝑉))
37	18, 36	impbid 212	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4591   × cxp 5638  ^◡ccnv 5639   “ cima 5643   Fn wfn 6508  ⟶wf 6509  ‘cfv 6513  Basecbs 17185  Scalarcsca 17229  0_gc0g 17408  LModclmod 20772  LFnlclfn 39045  LKerclk 39073

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pow 5322  ax-pr 5389  ax-un 7713  ax-cnex 11130  ax-resscn 11131  ax-1cn 11132  ax-icn 11133  ax-addcl 11134  ax-addrcl 11135  ax-mulcl 11136  ax-mulrcl 11137  ax-mulcom 11138  ax-addass 11139  ax-mulass 11140  ax-distr 11141  ax-i2m1 11142  ax-1ne0 11143  ax-1rid 11144  ax-rnegex 11145  ax-rrecex 11146  ax-cnre 11147  ax-pre-lttri 11148  ax-pre-lttrn 11149  ax-pre-ltadd 11150  ax-pre-mulgt0 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-pss 3936  df-nul 4299  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6276  df-ord 6337  df-on 6338  df-lim 6339  df-suc 6340  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-riota 7346  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-om 7845  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8380  df-er 8673  df-map 8803  df-en 8921  df-dom 8922  df-sdom 8923  df-pnf 11216  df-mnf 11217  df-xr 11218  df-ltxr 11219  df-le 11220  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12188  df-2 12250  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17186  df-plusg 17239  df-0g 17410  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18874  df-minusg 18875  df-cmn 19718  df-abl 19719  df-mgp 20056  df-rng 20068  df-ur 20097  df-ring 20150  df-lmod 20774  df-lfl 39046  df-lkr 39074

This theorem is referenced by:  lkrscss  39086  eqlkr  39087  lkrshp  39093  lkrshp3  39094  lkrshpor  39095  lfl1dim  39109  lfl1dim2N  39110  lkr0f2  39149  lclkrlem1  41495  lclkrlem2j  41505  lclkr  41522  lclkrs  41528  mapd0  41654