Theorem lkr0f 39753

Description: The kernel of the zero functional is the set of all vectors. (Contributed by NM, 17-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkr0f.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkr0f.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkr0f.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkr0f.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkr0f.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkr0f	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem lkr0f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkr0f.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
3		lkr0f.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lkr0f.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	lflf 39722	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷))
6	5	ffnd 6704	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺 Fn 𝑉)
7	6	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = 𝑉) → 𝐺 Fn 𝑉)
8		lkr0f.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
9		lkr0f.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
10	1, 8, 4, 9	lkrval 39747	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) = (◡𝐺 “ { 0 }))
11	10	eqeq1d 2771	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
12	11	biimpa 481	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = 𝑉) → (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉)
13	8	fvexi 6893	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
14	13	fconst2 7201	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
15		fconst4 7210	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
16	14, 15	bitr3i 280	. . . 4 ⊢ (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
17	7, 12, 16	sylanbrc 594	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = 𝑉) → 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
18	17	ex 417	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 → 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
19	16	bilani 509	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
20		simpr 489	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
21		eqid 2769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
22	1, 8, 3, 21	lfl0f 39728	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
23	22	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
24	20, 23	eqeltrd 2869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊))
25	1, 8, 21, 9	lkrval 39747	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊)) → (𝐾‘𝐺) = (◡𝐺 “ { 0 }))
26	24, 25	syldan 602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) = (◡𝐺 “ { 0 }))
27	26	eqeq1d 2771	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
28		ffn 6703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } → 𝐺 Fn 𝑉)
29	14, 28	sylbir 238	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → 𝐺 Fn 𝑉)
30	29	adantl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 Fn 𝑉)
31	30	biantrurd 541	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → ((◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉 ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉)))
32	27, 31	bitrd 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉)))
33	19, 32	mpbird 260	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) = 𝑉)
34	33	ex 417	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → (𝐾‘𝐺) = 𝑉))
35	34	adantr 485	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → (𝐾‘𝐺) = 𝑉))
36	18, 35	impbid 215	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4591   × cxp 5657  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  Basecbs 17265  Scalarcsca 17309  0_gc0g 17488  LModclmod 20955  LFnlclfn 39716  LKerclk 39744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-plusg 17319  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-lmod 20957  df-lfl 39717  df-lkr 39745

This theorem is referenced by:  lkrscss  39757  eqlkr  39758  lkrshp  39764  lkrshp3  39765  lkrshpor  39766  lfl1dim  39780  lfl1dim2N  39781  lkr0f2  39820  lclkrlem1  42165  lclkrlem2j  42175  lclkr  42192  lclkrs  42198  mapd0  42324