Theorem lkr0f 39586

Description: The kernel of the zero functional is the set of all vectors. (Contributed by NM, 17-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkr0f.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkr0f.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkr0f.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkr0f.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkr0f.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkr0f	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem lkr0f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkr0f.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
3		lkr0f.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lkr0f.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	lflf 39555	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷))
6	5	ffnd 6656	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺 Fn 𝑉)
7	6	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = 𝑉) → 𝐺 Fn 𝑉)
8		lkr0f.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
9		lkr0f.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
10	1, 8, 4, 9	lkrval 39580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) = (◡𝐺 “ { 0 }))
11	10	eqeq1d 2741	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
12	11	biimpa 477	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = 𝑉) → (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉)
13	8	fvexi 6841	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
14	13	fconst2 7149	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
15		fconst4 7158	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
16	14, 15	bitr3i 278	. . . 4 ⊢ (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
17	7, 12, 16	sylanbrc 589	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = 𝑉) → 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
18	17	ex 413	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 → 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
19	16	bilani 505	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
20		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
21		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
22	1, 8, 3, 21	lfl0f 39561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
23	22	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
24	20, 23	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊))
25	1, 8, 21, 9	lkrval 39580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊)) → (𝐾‘𝐺) = (◡𝐺 “ { 0 }))
26	24, 25	syldan 597	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) = (◡𝐺 “ { 0 }))
27	26	eqeq1d 2741	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
28		ffn 6655	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } → 𝐺 Fn 𝑉)
29	14, 28	sylbir 236	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → 𝐺 Fn 𝑉)
30	29	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 Fn 𝑉)
31	30	biantrurd 537	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → ((◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉 ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉)))
32	27, 31	bitrd 280	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉)))
33	19, 32	mpbird 258	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) = 𝑉)
34	33	ex 413	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → (𝐾‘𝐺) = 𝑉))
35	34	adantr 481	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → (𝐾‘𝐺) = 𝑉))
36	18, 35	impbid 213	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  {csn 4555   × cxp 5616  ^◡ccnv 5617   “ cima 5621   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214  0_gc0g 17393  LModclmod 20850  LFnlclfn 39549  LKerclk 39577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-lmod 20852  df-lfl 39550  df-lkr 39578

This theorem is referenced by:  lkrscss  39590  eqlkr  39591  lkrshp  39597  lkrshp3  39598  lkrshpor  39599  lfl1dim  39613  lfl1dim2N  39614  lkr0f2  39653  lclkrlem1  41998  lclkrlem2j  42008  lclkr  42025  lclkrs  42031  mapd0  42157