Theorem lkr0f 39076

Description: The kernel of the zero functional is the set of all vectors. (Contributed by NM, 17-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkr0f.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkr0f.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkr0f.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkr0f.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkr0f.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkr0f	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))

Proof of Theorem lkr0f

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lkr0f.d	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
3		lkr0f.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
4		lkr0f.f	. . . . . . 7 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5	1, 2, 3, 4	lflf 39045	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷))
6	5	ffnd 6738	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺 Fn 𝑉)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = 𝑉) → 𝐺 Fn 𝑉)
8		lkr0f.o	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
9		lkr0f.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
10	1, 8, 4, 9	lkrval 39070	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) = (◡𝐺 “ { 0 }))
11	10	eqeq1d 2737	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
12	11	biimpa 476	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = 𝑉) → (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉)
13	8	fvexi 6921	. . . . . 6 ⊢ 0 ∈ V
14	13	fconst2 7225	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
15		fconst4 7234	. . . . 5 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
16	14, 15	bitr3i 277	. . . 4 ⊢ (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
17	7, 12, 16	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐾‘𝐺) = 𝑉) → 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
18	17	ex 412	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 → 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
19	16	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
20	19	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
21		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
22		eqid 2735	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LFnl‘𝑊) = (LFnl‘𝑊)
23	1, 8, 3, 22	lfl0f 39051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
24	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝑉 × { 0 }) ∈ (LFnl‘𝑊))
25	21, 24	eqeltrd 2839	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊))
26	1, 8, 22, 9	lkrval 39070	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (LFnl‘𝑊)) → (𝐾‘𝐺) = (◡𝐺 “ { 0 }))
27	25, 26	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) = (◡𝐺 “ { 0 }))
28	27	eqeq1d 2737	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉))
29		ffn 6737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } → 𝐺 Fn 𝑉)
30	14, 29	sylbir 235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → 𝐺 Fn 𝑉)
31	30	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → 𝐺 Fn 𝑉)
32	31	biantrurd 532	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → ((◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉 ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉)))
33	28, 32	bitrd 279	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ (◡𝐺 “ { 0 }) = 𝑉)))
34	20, 33	mpbird 257	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })) → (𝐾‘𝐺) = 𝑉)
35	34	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → (𝐾‘𝐺) = 𝑉))
36	35	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺 = (𝑉 × { 0 }) → (𝐾‘𝐺) = 𝑉))
37	18, 36	impbid 212	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝐾‘𝐺) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {csn 4631   × cxp 5687  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692   Fn wfn 6558  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  Basecbs 17245  Scalarcsca 17301  0_gc0g 17486  LModclmod 20875  LFnlclfn 39039  LKerclk 39067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-plusg 17311  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lfl 39040  df-lkr 39068

This theorem is referenced by:  lkrscss  39080  eqlkr  39081  lkrshp  39087  lkrshp3  39088  lkrshpor  39089  lfl1dim  39103  lfl1dim2N  39104  lkr0f2  39143  lclkrlem1  41489  lclkrlem2j  41499  lclkr  41516  lclkrs  41522  mapd0  41648