Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lfl1 37940
Description: A nonzero functional has a value of 1 at some argument. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lfl1.o 0 = (0gβ€˜π·)
lfl1.u 1 = (1rβ€˜π·)
lfl1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lfl1.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lfl1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) = 1 )
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐺   π‘₯, 1   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯)   0 (π‘₯)
Proof of Theorem lfl1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nne 2945 . . . . . . 7 (Β¬ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ↔ (πΊβ€˜π‘§) = 0 )
21ralbii 3094 . . . . . 6 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 Β¬ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) = 0 )
3 lfl1.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
5 lfl1.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 lfl1.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6lflf 37933 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π·))
87ffnd 6719 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
9 fconstfv 7214 . . . . . . . . 9 (𝐺:π‘‰βŸΆ{ 0 } ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) = 0 ))
109simplbi2 502 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 𝑉 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) = 0 β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆ{ 0 }))
118, 10syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) = 0 β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆ{ 0 }))
12 lfl1.o . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π·)
1312fvexi 6906 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1413fconst2 7206 . . . . . . 7 (𝐺:π‘‰βŸΆ{ 0 } ↔ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 }))
1511, 14imbitrdi 250 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) = 0 β†’ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 })))
162, 15biimtrid 241 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 Β¬ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 β†’ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 })))
1716necon3ad 2954 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) β†’ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 Β¬ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ))
18 dfrex2 3074 . . . 4 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ↔ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 Β¬ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 )
1917, 18syl6ibr 252 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ))
20193impia 1118 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 )
21 simp1l 1198 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
22 lveclmod 20717 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
243lvecdrng 20716 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
2521, 24syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
26 simp1r 1199 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
27 simp2 1138 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
283, 4, 5, 6lflcl 37934 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π·))
2921, 26, 27, 28syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π·))
30 simp3 1139 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 )
31 eqid 2733 . . . . . . . 8 (invrβ€˜π·) = (invrβ€˜π·)
324, 12, 31drnginvrcl 20379 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ ((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π·))
3325, 29, 30, 32syl3anc 1372 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ ((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π·))
34 eqid 2733 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
355, 3, 34, 4lmodvscl 20489 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
3623, 33, 27, 35syl3anc 1372 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
37 eqid 2733 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
383, 4, 37, 5, 34, 6lflmul 37938 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = (((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘§)))
3923, 26, 33, 27, 38syl112anc 1375 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (πΊβ€˜(((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = (((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘§)))
40 lfl1.u . . . . . . . 8 1 = (1rβ€˜π·)
414, 12, 37, 40, 31drnginvrl 20382 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘§)) = 1 )
4225, 29, 30, 41syl3anc 1372 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘§)) = 1 )
4339, 42eqtrd 2773 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (πΊβ€˜(((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = 1 )
44 fveqeq2 6901 . . . . . 6 (π‘₯ = (((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) = 1 ↔ (πΊβ€˜(((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = 1 ))
4544rspcev 3613 . . . . 5 (((((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜(((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = 1 ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) = 1 )
4636, 43, 45syl2anc 585 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) = 1 )
4746rexlimdv3a 3160 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) = 1 ))
48473adant3 1133 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) = 1 ))
4920, 48mpd 15 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  {csn 4629   Γ— cxp 5675   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385  1rcur 20004  invrcinvr 20201  DivRingcdr 20357  LModclmod 20471  LVecclvec 20713  LFnlclfn 37927
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lvec 20714  df-lfl 37928
This theorem is referenced by:  eqlkr  37969  lkrshp  37975
  Copyright terms: Public domain W3C validator