Theorem lfl1 36682

Description: A nonzero functional has a value of 1 at some argument. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl1.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lfl1.u	⊢ 1 = (1r‘𝐷)
lfl1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lfl1	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥, 1   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem lfl1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nne 2956	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ↔ (𝐺‘𝑧) = 0 )
2	1	ralbii 3098	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑉 ¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 )
3		lfl1.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2759	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5		lfl1.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lfl1.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	lflf 36675	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷))
8	7	ffnd 6505	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺 Fn 𝑉)
9		fconstfv 6973	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 ))
10	9	simplbi2 504	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 Fn 𝑉 → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 → 𝐺:𝑉⟶{ 0 }))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 → 𝐺:𝑉⟶{ 0 }))
12		lfl1.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
13	12	fvexi 6678	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
14	13	fconst2 6965	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
15	11, 14	syl6ib 254	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 → 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
16	2, 15	syl5bi 245	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 → 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
17	16	necon3ad 2965	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }) → ¬ ∀𝑧 ∈ 𝑉 ¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ))
18		dfrex2 3167	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝑉 ¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 )
19	17, 18	syl6ibr 255	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ))
20	19	3impia 1115	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 )
21		simp1l 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
22		lveclmod 19961	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
24	3	lvecdrng 19960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
25	21, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝐷 ∈ DivRing)
26		simp1r 1196	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ 𝐹)
27		simp2 1135	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑧 ∈ 𝑉)
28	3, 4, 5, 6	lflcl 36676	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝐷))
29	21, 26, 27, 28	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝐷))
30		simp3 1136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘𝑧) ≠ 0 )
31		eqid 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝐷) = (invr‘𝐷)
32	4, 12, 31	drnginvrcl 19602	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝐷))
33	25, 29, 30, 32	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝐷))
34		eqid 2759	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
35	5, 3, 34, 4	lmodvscl 19734	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
36	23, 33, 27, 35	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
37		eqid 2759	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
38	3, 4, 37, 5, 34, 6	lflmul 36680	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑧)))
39	23, 26, 33, 27, 38	syl112anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑧)))
40		lfl1.u	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝐷)
41	4, 12, 37, 40, 31	drnginvrl 19604	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑧)) = 1 )
42	25, 29, 30, 41	syl3anc 1369	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑧)) = 1 )
43	39, 42	eqtrd 2794	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = 1 )
44		fveqeq2 6673	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧) → ((𝐺‘𝑥) = 1 ↔ (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = 1 ))
45	44	rspcev 3544	. . . . 5 ⊢ (((((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = 1 ) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 )
46	36, 43, 45	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 )
47	46	rexlimdv3a 3211	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 ))
48	47	3adant3 1130	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 ))
49	20, 48	mpd 15	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2952  ∀wral 3071  ∃wrex 3072  {csn 4526   × cxp 5527   Fn wfn 6336  ⟶wf 6337  ‘cfv 6341  (class class class)co 7157  Basecbs 16556  ._rcmulr 16639  Scalarcsca 16641   ·_𝑠 cvsca 16642  0_gc0g 16786  1_rcur 19334  inv_rcinvr 19507  DivRingcdr 19585  LModclmod 19717  LVecclvec 19957  LFnlclfn 36669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-rep 5161  ax-sep 5174  ax-nul 5181  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7466  ax-cnex 10645  ax-resscn 10646  ax-1cn 10647  ax-icn 10648  ax-addcl 10649  ax-addrcl 10650  ax-mulcl 10651  ax-mulrcl 10652  ax-mulcom 10653  ax-addass 10654  ax-mulass 10655  ax-distr 10656  ax-i2m1 10657  ax-1ne0 10658  ax-1rid 10659  ax-rnegex 10660  ax-rrecex 10661  ax-cnre 10662  ax-pre-lttri 10663  ax-pre-lttrn 10664  ax-pre-ltadd 10665  ax-pre-mulgt0 10666

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-nel 3057  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3700  df-csb 3809  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3878  df-pss 3880  df-nul 4229  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-tp 4531  df-op 4533  df-uni 4803  df-iun 4889  df-br 5038  df-opab 5100  df-mpt 5118  df-tr 5144  df-id 5435  df-eprel 5440  df-po 5448  df-so 5449  df-fr 5488  df-we 5490  df-xp 5535  df-rel 5536  df-cnv 5537  df-co 5538  df-dm 5539  df-rn 5540  df-res 5541  df-ima 5542  df-pred 6132  df-ord 6178  df-on 6179  df-lim 6180  df-suc 6181  df-iota 6300  df-fun 6343  df-fn 6344  df-f 6345  df-f1 6346  df-fo 6347  df-f1o 6348  df-fv 6349  df-riota 7115  df-ov 7160  df-oprab 7161  df-mpo 7162  df-om 7587  df-1st 7700  df-2nd 7701  df-tpos 7909  df-wrecs 7964  df-recs 8025  df-rdg 8063  df-er 8306  df-map 8425  df-en 8542  df-dom 8543  df-sdom 8544  df-pnf 10729  df-mnf 10730  df-xr 10731  df-ltxr 10732  df-le 10733  df-sub 10924  df-neg 10925  df-nn 11689  df-2 11751  df-3 11752  df-ndx 16559  df-slot 16560  df-base 16562  df-sets 16563  df-ress 16564  df-plusg 16651  df-mulr 16652  df-0g 16788  df-mgm 17933  df-sgrp 17982  df-mnd 17993  df-grp 18187  df-minusg 18188  df-sbg 18189  df-mgp 19323  df-ur 19335  df-ring 19382  df-oppr 19459  df-dvdsr 19477  df-unit 19478  df-invr 19508  df-drng 19587  df-lmod 19719  df-lvec 19958  df-lfl 36670

This theorem is referenced by:  eqlkr  36711  lkrshp  36717