Theorem lfl1 39269

Description: A nonzero functional has a value of 1 at some argument. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl1.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lfl1.u	⊢ 1 = (1r‘𝐷)
lfl1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lfl1	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥, 1   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem lfl1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nne 2934	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ↔ (𝐺‘𝑧) = 0 )
2	1	ralbii 3080	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑉 ¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 )
3		lfl1.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5		lfl1.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lfl1.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	lflf 39262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷))
8	7	ffnd 6661	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺 Fn 𝑉)
9		fconstfv 7156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 ))
10	9	simplbi2 500	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 Fn 𝑉 → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 → 𝐺:𝑉⟶{ 0 }))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 → 𝐺:𝑉⟶{ 0 }))
12		lfl1.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
13	12	fvexi 6846	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
14	13	fconst2 7149	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
15	11, 14	imbitrdi 251	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 → 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
16	2, 15	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 → 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
17	16	necon3ad 2943	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }) → ¬ ∀𝑧 ∈ 𝑉 ¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ))
18		dfrex2 3061	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝑉 ¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 )
19	17, 18	imbitrrdi 252	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ))
20	19	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 )
21		simp1l 1198	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
22		lveclmod 21056	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
24	3	lvecdrng 21055	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
25	21, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝐷 ∈ DivRing)
26		simp1r 1199	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ 𝐹)
27		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑧 ∈ 𝑉)
28	3, 4, 5, 6	lflcl 39263	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝐷))
29	21, 26, 27, 28	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝐷))
30		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘𝑧) ≠ 0 )
31		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝐷) = (invr‘𝐷)
32	4, 12, 31	drnginvrcl 20684	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝐷))
33	25, 29, 30, 32	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝐷))
34		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
35	5, 3, 34, 4	lmodvscl 20827	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
36	23, 33, 27, 35	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
37		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
38	3, 4, 37, 5, 34, 6	lflmul 39267	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑧)))
39	23, 26, 33, 27, 38	syl112anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑧)))
40		lfl1.u	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝐷)
41	4, 12, 37, 40, 31	drnginvrl 20687	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑧)) = 1 )
42	25, 29, 30, 41	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑧)) = 1 )
43	39, 42	eqtrd 2769	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = 1 )
44		fveqeq2 6841	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧) → ((𝐺‘𝑥) = 1 ↔ (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = 1 ))
45	44	rspcev 3574	. . . . 5 ⊢ (((((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = 1 ) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 )
46	36, 43, 45	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 )
47	46	rexlimdv3a 3139	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 ))
48	47	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 ))
49	20, 48	mpd 15	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  ∃wrex 3058  {csn 4578   × cxp 5620   Fn wfn 6485  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  ._rcmulr 17176  Scalarcsca 17178   ·_𝑠 cvsca 17179  0_gc0g 17357  1_rcur 20114  inv_rcinvr 20321  DivRingcdr 20660  LModclmod 20809  LVecclvec 21052  LFnlclfn 39256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-drng 20662  df-lmod 20811  df-lvec 21053  df-lfl 39257

This theorem is referenced by:  eqlkr  39298  lkrshp  39304