Theorem lfl1 39562

Description: A nonzero functional has a value of 1 at some argument. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl1.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lfl1.u	⊢ 1 = (1r‘𝐷)
lfl1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lfl1	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥, 1   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem lfl1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nne 2938	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ↔ (𝐺‘𝑧) = 0 )
2	1	ralbii 3085	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑉 ¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 )
3		lfl1.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5		lfl1.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lfl1.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	lflf 39555	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷))
8	7	ffnd 6656	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺 Fn 𝑉)
9		fconstfv 7156	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 ))
10	9	simplbi2 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 Fn 𝑉 → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 → 𝐺:𝑉⟶{ 0 }))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 → 𝐺:𝑉⟶{ 0 }))
12		lfl1.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
13	12	fvexi 6841	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
14	13	fconst2 7149	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
15	11, 14	imbitrdi 252	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 → 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
16	2, 15	biimtrid 243	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 → 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
17	16	necon3ad 2947	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }) → ¬ ∀𝑧 ∈ 𝑉 ¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ))
18		dfrex2 3066	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝑉 ¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 )
19	17, 18	imbitrrdi 253	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ))
20	19	3impia 1123	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 )
21		simp1l 1204	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
22		lveclmod 21096	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
24	3	lvecdrng 21095	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
25	21, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝐷 ∈ DivRing)
26		simp1r 1205	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ 𝐹)
27		simp2 1143	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑧 ∈ 𝑉)
28	3, 4, 5, 6	lflcl 39556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝐷))
29	21, 26, 27, 28	syl3anc 1379	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝐷))
30		simp3 1144	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘𝑧) ≠ 0 )
31		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝐷) = (invr‘𝐷)
32	4, 12, 31	drnginvrcl 20725	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝐷))
33	25, 29, 30, 32	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝐷))
34		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
35	5, 3, 34, 4	lmodvscl 20868	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
36	23, 33, 27, 35	syl3anc 1379	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
37		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
38	3, 4, 37, 5, 34, 6	lflmul 39560	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑧)))
39	23, 26, 33, 27, 38	syl112anc 1382	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑧)))
40		lfl1.u	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝐷)
41	4, 12, 37, 40, 31	drnginvrl 20728	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑧)) = 1 )
42	25, 29, 30, 41	syl3anc 1379	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑧)) = 1 )
43	39, 42	eqtrd 2774	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = 1 )
44		fveqeq2 6836	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧) → ((𝐺‘𝑥) = 1 ↔ (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = 1 ))
45	44	rspcev 3560	. . . . 5 ⊢ (((((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = 1 ) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 )
46	36, 43, 45	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 )
47	46	rexlimdv3a 3144	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 ))
48	47	3adant3 1138	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 ))
49	20, 48	mpd 15	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  ∀wral 3053  ∃wrex 3063  {csn 4555   × cxp 5616   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  1_rcur 20153  inv_rcinvr 20358  DivRingcdr 20701  LModclmod 20850  LVecclvec 21092  LFnlclfn 39549

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-drng 20703  df-lmod 20852  df-lvec 21093  df-lfl 39550

This theorem is referenced by:  eqlkr  39591  lkrshp  39597