Theorem lfl1 37605

Description: A nonzero functional has a value of 1 at some argument. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl1.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lfl1.u	⊢ 1 = (1r‘𝐷)
lfl1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lfl1	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥, 1   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem lfl1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nne 2943	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ↔ (𝐺‘𝑧) = 0 )
2	1	ralbii 3092	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑉 ¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 )
3		lfl1.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5		lfl1.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lfl1.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	lflf 37598	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷))
8	7	ffnd 6674	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺 Fn 𝑉)
9		fconstfv 7167	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 ))
10	9	simplbi2 501	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 Fn 𝑉 → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 → 𝐺:𝑉⟶{ 0 }))
11	8, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 → 𝐺:𝑉⟶{ 0 }))
12		lfl1.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
13	12	fvexi 6861	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
14	13	fconst2 7159	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
15	11, 14	syl6ib 250	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 → 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
16	2, 15	biimtrid 241	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 → 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
17	16	necon3ad 2952	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }) → ¬ ∀𝑧 ∈ 𝑉 ¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ))
18		dfrex2 3072	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝑉 ¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 )
19	17, 18	syl6ibr 251	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ))
20	19	3impia 1117	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 )
21		simp1l 1197	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
22		lveclmod 20624	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
24	3	lvecdrng 20623	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
25	21, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝐷 ∈ DivRing)
26		simp1r 1198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ 𝐹)
27		simp2 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑧 ∈ 𝑉)
28	3, 4, 5, 6	lflcl 37599	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝐷))
29	21, 26, 27, 28	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝐷))
30		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘𝑧) ≠ 0 )
31		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝐷) = (invr‘𝐷)
32	4, 12, 31	drnginvrcl 20246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝐷))
33	25, 29, 30, 32	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝐷))
34		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
35	5, 3, 34, 4	lmodvscl 20396	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
36	23, 33, 27, 35	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
37		eqid 2731	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
38	3, 4, 37, 5, 34, 6	lflmul 37603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑧)))
39	23, 26, 33, 27, 38	syl112anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑧)))
40		lfl1.u	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝐷)
41	4, 12, 37, 40, 31	drnginvrl 20249	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑧)) = 1 )
42	25, 29, 30, 41	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑧)) = 1 )
43	39, 42	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = 1 )
44		fveqeq2 6856	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧) → ((𝐺‘𝑥) = 1 ↔ (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = 1 ))
45	44	rspcev 3582	. . . . 5 ⊢ (((((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = 1 ) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 )
46	36, 43, 45	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 )
47	46	rexlimdv3a 3152	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 ))
48	47	3adant3 1132	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 ))
49	20, 48	mpd 15	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  ∃wrex 3069  {csn 4591   × cxp 5636   Fn wfn 6496  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17094  ._rcmulr 17148  Scalarcsca 17150   ·_𝑠 cvsca 17151  0_gc0g 17335  1_rcur 19927  inv_rcinvr 20114  DivRingcdr 20225  LModclmod 20378  LVecclvec 20620  LFnlclfn 37592

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11116  ax-resscn 11117  ax-1cn 11118  ax-icn 11119  ax-addcl 11120  ax-addrcl 11121  ax-mulcl 11122  ax-mulrcl 11123  ax-mulcom 11124  ax-addass 11125  ax-mulass 11126  ax-distr 11127  ax-i2m1 11128  ax-1ne0 11129  ax-1rid 11130  ax-rnegex 11131  ax-rrecex 11132  ax-cnre 11133  ax-pre-lttri 11134  ax-pre-lttrn 11135  ax-pre-ltadd 11136  ax-pre-mulgt0 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11200  df-mnf 11201  df-xr 11202  df-ltxr 11203  df-le 11204  df-sub 11396  df-neg 11397  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-sets 17047  df-slot 17065  df-ndx 17077  df-base 17095  df-ress 17124  df-plusg 17160  df-mulr 17161  df-0g 17337  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-grp 18765  df-minusg 18766  df-sbg 18767  df-mgp 19911  df-ur 19928  df-ring 19980  df-oppr 20063  df-dvdsr 20084  df-unit 20085  df-invr 20115  df-drng 20227  df-lmod 20380  df-lvec 20621  df-lfl 37593

This theorem is referenced by:  eqlkr  37634  lkrshp  37640