Theorem lfl1 39944

Description: A nonzero functional has a value of 1 at some argument. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lfl1.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lfl1.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lfl1.u	⊢ 1 = (1r‘𝐷)
lfl1.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lfl1.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lfl1	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 )

Distinct variable groups:   𝑥,𝐷   𝑥,𝐺   𝑥, 1   𝑥,𝑉   𝑥,𝑊

Allowed substitution hints:   𝐹(𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem lfl1

Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nne 2959	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ↔ (𝐺‘𝑧) = 0 )
2	1	ralbii 3108	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑉 ¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 )
3		lfl1.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2760	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
5		lfl1.v	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
6		lfl1.f	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
7	3, 4, 5, 6	lflf 39937	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺:𝑉⟶(Base‘𝐷))
8	7	ffnd 6704	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → 𝐺 Fn 𝑉)
9		fconstfv 7212	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 ))
10	9	simplbi2 506	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 Fn 𝑉 → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 → 𝐺:𝑉⟶{ 0 }))
11	8, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 → 𝐺:𝑉⟶{ 0 }))
12		lfl1.o	. . . . . . . . 9 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
13	12	fvexi 6893	. . . . . . . 8 ⊢ 0 ∈ V
14	13	fconst2 7205	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺:𝑉⟶{ 0 } ↔ 𝐺 = (𝑉 × { 0 }))
15	11, 14	imbitrdi 254	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) = 0 → 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
16	2, 15	biimtrid 245	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (∀𝑧 ∈ 𝑉 ¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 → 𝐺 = (𝑉 × { 0 })))
17	16	necon3ad 2968	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }) → ¬ ∀𝑧 ∈ 𝑉 ¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ))
18		dfrex2 3089	. . . 4 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ↔ ¬ ∀𝑧 ∈ 𝑉 ¬ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 )
19	17, 18	imbitrrdi 255	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 }) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ))
20	19	3impia 1135	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 )
21		simp1l 1216	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LVec)
22		lveclmod 21291	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
23	21, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
24	3	lvecdrng 21290	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
25	21, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝐷 ∈ DivRing)
26		simp1r 1217	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ 𝐹)
27		simp2 1155	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → 𝑧 ∈ 𝑉)
28	3, 4, 5, 6	lflcl 39938	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝐷))
29	21, 26, 27, 28	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝐷))
30		simp3 1156	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘𝑧) ≠ 0 )
31		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝐷) = (invr‘𝐷)
32	4, 12, 31	drnginvrcl 20921	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝐷))
33	25, 29, 30, 32	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝐷))
34		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
35	5, 3, 34, 4	lmodvscl 21063	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
36	23, 33, 27, 35	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
37		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
38	3, 4, 37, 5, 34, 6	lflmul 39942	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑧)))
39	23, 26, 33, 27, 38	syl112anc 1401	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑧)))
40		lfl1.u	. . . . . . . 8 ⊢ 1 = (1r‘𝐷)
41	4, 12, 37, 40, 31	drnginvrl 20924	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑧)) = 1 )
42	25, 29, 30, 41	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑧)) = 1 )
43	39, 42	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = 1 )
44		fveqeq2 6888	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧) → ((𝐺‘𝑥) = 1 ↔ (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = 1 ))
45	44	rspcev 3576	. . . . 5 ⊢ (((((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑧)) = 1 ) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 )
46	36, 43, 45	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘𝑧) ≠ 0 ) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 )
47	46	rexlimdv3a 3167	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 ))
48	47	3adant3 1150	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → (∃𝑧 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑧) ≠ 0 → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 ))
49	20, 48	mpd 16	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × { 0 })) → ∃𝑥 ∈ 𝑉 (𝐺‘𝑥) = 1 )

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  {csn 4584   × cxp 5653   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17302  ._rcmulr 17344  Scalarcsca 17346   ·_𝑠 cvsca 17347  0_gc0g 17525  1_rcur 20321  inv_rcinvr 20529  DivRingcdr 20891  LModclmod 21045  LVecclvec 21287  LFnlclfn 39931

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-0g 17527  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-drng 20893  df-lmod 21047  df-lvec 21288  df-lfl 39932

This theorem is used by:  eqlkr  39973  lkrshp  39979