Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lfl1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lfl1 38032
Description: A nonzero functional has a value of 1 at some argument. (Contributed by NM, 16-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lfl1.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lfl1.o 0 = (0gβ€˜π·)
lfl1.u 1 = (1rβ€˜π·)
lfl1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lfl1.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lfl1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) = 1 )
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐺   π‘₯, 1   π‘₯,𝑉   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hints:   𝐹(π‘₯)   0 (π‘₯)
Proof of Theorem lfl1
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nne 2944 . . . . . . 7 (Β¬ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ↔ (πΊβ€˜π‘§) = 0 )
21ralbii 3093 . . . . . 6 (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 Β¬ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) = 0 )
3 lfl1.d . . . . . . . . . 10 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
5 lfl1.v . . . . . . . . . 10 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
6 lfl1.f . . . . . . . . . 10 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
73, 4, 5, 6lflf 38025 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆ(Baseβ€˜π·))
87ffnd 6718 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ 𝐺 Fn 𝑉)
9 fconstfv 7216 . . . . . . . . 9 (𝐺:π‘‰βŸΆ{ 0 } ↔ (𝐺 Fn 𝑉 ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) = 0 ))
109simplbi2 501 . . . . . . . 8 (𝐺 Fn 𝑉 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) = 0 β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆ{ 0 }))
118, 10syl 17 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) = 0 β†’ 𝐺:π‘‰βŸΆ{ 0 }))
12 lfl1.o . . . . . . . . 9 0 = (0gβ€˜π·)
1312fvexi 6905 . . . . . . . 8 0 ∈ V
1413fconst2 7208 . . . . . . 7 (𝐺:π‘‰βŸΆ{ 0 } ↔ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 }))
1511, 14imbitrdi 250 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) = 0 β†’ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 })))
162, 15biimtrid 241 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 Β¬ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 β†’ 𝐺 = (𝑉 Γ— { 0 })))
1716necon3ad 2953 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) β†’ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 Β¬ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ))
18 dfrex2 3073 . . . 4 (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ↔ Β¬ βˆ€π‘§ ∈ 𝑉 Β¬ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 )
1917, 18imbitrrdi 251 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 }) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ))
20193impia 1117 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 )
21 simp1l 1197 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ π‘Š ∈ LVec)
22 lveclmod 20722 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
243lvecdrng 20721 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
2521, 24syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
26 simp1r 1198 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
27 simp2 1137 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
283, 4, 5, 6lflcl 38026 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π·))
2921, 26, 27, 28syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π·))
30 simp3 1138 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 )
31 eqid 2732 . . . . . . . 8 (invrβ€˜π·) = (invrβ€˜π·)
324, 12, 31drnginvrcl 20383 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ ((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π·))
3325, 29, 30, 32syl3anc 1371 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ ((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π·))
34 eqid 2732 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
355, 3, 34, 4lmodvscl 20493 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
3623, 33, 27, 35syl3anc 1371 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
37 eqid 2732 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
383, 4, 37, 5, 34, 6lflmul 38030 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = (((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘§)))
3923, 26, 33, 27, 38syl112anc 1374 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (πΊβ€˜(((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = (((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘§)))
40 lfl1.u . . . . . . . 8 1 = (1rβ€˜π·)
414, 12, 37, 40, 31drnginvrl 20386 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘§)) = 1 )
4225, 29, 30, 41syl3anc 1371 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘§)) = 1 )
4339, 42eqtrd 2772 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ (πΊβ€˜(((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = 1 )
44 fveqeq2 6900 . . . . . 6 (π‘₯ = (((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) = 1 ↔ (πΊβ€˜(((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = 1 ))
4544rspcev 3612 . . . . 5 (((((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜(((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = 1 ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) = 1 )
4636, 43, 45syl2anc 584 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) = 1 )
4746rexlimdv3a 3159 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) = 1 ))
48473adant3 1132 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) β‰  0 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) = 1 ))
4920, 48mpd 15 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— { 0 })) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘₯) = 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {csn 4628   Γ— cxp 5674   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  .rcmulr 17200  Scalarcsca 17202   ·𝑠 cvsca 17203  0gc0g 17387  1rcur 20006  invrcinvr 20205  DivRingcdr 20361  LModclmod 20475  LVecclvec 20718  LFnlclfn 38019
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-drng 20363  df-lmod 20477  df-lvec 20719  df-lfl 38020
This theorem is referenced by:  eqlkr  38061  lkrshp  38067
  Copyright terms: Public domain W3C validator