Theorem dvcmul 26112

Description: The product rule when one argument is a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcmul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcmul.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dvcmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvcmul.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
dvcmul	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcmul.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		fconst6g 6767	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
4		ssidd 3960	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑆)
5		dvcmul.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
6		dvcmul.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
7		dvcmul.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
8		recnprss 26072	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
10	9, 5, 6	dvbss 26069	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
11		dvcmul.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
12	10, 11	sseldd 3938	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
13	6, 12	sseldd 3938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
14		fconst6g 6767	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
15	1, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
16		ssidd 3960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
17		dvconst 26085	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
18	1, 17	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
19	18	dmeqd 5895	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = dom (ℂ × {0}))
20		c0ex 11204	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
21	20	fconst 6764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
22	21	fdmi 6717	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (ℂ × {0}) = ℂ
23	19, 22	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = ℂ)
24	9, 23	sseqtrrd 3974	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
25		dvres3 26081	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
26	7, 15, 16, 24, 25	syl22anc 851	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
27		xpssres 6017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
28	9, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
29	28	oveq2d 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
30	18	reseq1d 5977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆))
31		xpssres 6017	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
32	9, 31	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
33	30, 32	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
34	26, 29, 33	3eqtr3d 2806	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
35	20	fconst2 7203	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})):𝑆⟶{0} ↔ (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
36	34, 35	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})):𝑆⟶{0})
37	36	fdmd 6716	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = 𝑆)
38	13, 37	eleqtrrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
39	3, 4, 5, 6, 7, 38, 11	dvmul 26109	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))‘𝐶) = ((((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹‘𝐶)) + (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶))))
40	34	fveq1d 6883	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) = ((𝑆 × {0})‘𝐶))
41	20	fvconst2 7202	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → ((𝑆 × {0})‘𝐶) = 0)
42	13, 41	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {0})‘𝐶) = 0)
43	40, 42	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) = 0)
44	43	oveq1d 7425	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹‘𝐶)) = (0 · (𝐹‘𝐶)))
45	5, 12	ffvelcdmd 7080	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
46	45	mul02d 11412	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 · (𝐹‘𝐶)) = 0)
47	44, 46	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹‘𝐶)) = 0)
48		fvconst2g 7200	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶) = 𝐴)
49	1, 13, 48	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶) = 𝐴)
50	49	oveq2d 7426	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶)) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · 𝐴))
51		dvfg 26074	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
52	7, 51	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
53	52, 11	ffvelcdmd 7080	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
54	53, 1	mulcomd 11234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · 𝐴) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
55	50, 54	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶)) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
56	47, 55	oveq12d 7428	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹‘𝐶)) + (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶))) = (0 + (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))))
57	1, 53	mulcld 11233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ℂ)
58	57	addlidd 11415	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
59	39, 56, 58	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  {csn 4589  {cpr 4591   × cxp 5659  dom cdm 5661   ↾ cres 5663  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7672  ℂcc 11102  ℝcr 11103  0cc0 11104   + caddc 11107   · cmul 11109   D cdv 26031

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-pre-sup 11182  ax-addf 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-2o 8450  df-er 8690  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-fi 9367  df-sup 9398  df-inf 9399  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11876  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-q 12977  df-rp 13021  df-xneg 13141  df-xadd 13142  df-xmul 13143  df-icc 13383  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14372  df-cj 15155  df-re 15156  df-im 15157  df-sqrt 15291  df-abs 15292  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-hom 17338  df-cco 17339  df-rest 17479  df-topn 17480  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-topgen 17500  df-pt 17501  df-prds 17504  df-xrs 17560  df-qtop 17565  df-imas 17566  df-xps 17568  df-mre 17642  df-mrc 17643  df-acs 17645  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-submnd 18846  df-mulg 19138  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-psmet 21523  df-xmet 21524  df-met 21525  df-bl 21526  df-mopn 21527  df-fbas 21528  df-fg 21529  df-cnfld 21532  df-top 23060  df-topon 23077  df-topsp 23099  df-bases 23112  df-cld 23185  df-ntr 23186  df-cls 23187  df-nei 23264  df-lp 23302  df-perf 23303  df-cn 23393  df-cnp 23394  df-haus 23481  df-tx 23728  df-hmeo 23921  df-fil 24012  df-fm 24104  df-flim 24105  df-flf 24106  df-xms 24486  df-ms 24487  df-tms 24488  df-cncf 25046  df-limc 26034  df-dv 26035

This theorem is used by: (None)