MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcmul 25888
Description: The product rule when one argument is a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcmul.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvcmul.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvcmul.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dvcmul.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
dvcmul.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
Assertion
Ref Expression
dvcmul (πœ‘ β†’ ((𝑆 D ((𝑆 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))β€˜πΆ) = (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ)))

Proof of Theorem dvcmul
StepHypRef Expression
1 dvcmul.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2 fconst6g 6786 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑆 Γ— {𝐴}):π‘†βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— {𝐴}):π‘†βŸΆβ„‚)
4 ssidd 4003 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑆)
5 dvcmul.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
6 dvcmul.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
7 dvcmul.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
8 recnprss 25846 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
109, 5, 6dvbss 25843 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑋)
11 dvcmul.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
1210, 11sseldd 3981 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
136, 12sseldd 3981 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑆)
14 fconst6g 6786 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}):β„‚βŸΆβ„‚)
151, 14syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}):β„‚βŸΆβ„‚)
16 ssidd 4003 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
17 dvconst 25859 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) = (β„‚ Γ— {0}))
181, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) = (β„‚ Γ— {0}))
1918dmeqd 5908 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) = dom (β„‚ Γ— {0}))
20 c0ex 11239 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
2120fconst 6783 . . . . . . . . . . 11 (β„‚ Γ— {0}):β„‚βŸΆ{0}
2221fdmi 6734 . . . . . . . . . 10 dom (β„‚ Γ— {0}) = β„‚
2319, 22eqtrdi 2784 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) = β„‚)
249, 23sseqtrrd 4021 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† dom (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})))
25 dvres3 25855 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ (β„‚ Γ— {𝐴}):β„‚βŸΆβ„‚) ∧ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝑆 βŠ† dom (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})))) β†’ (𝑆 D ((β„‚ Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) β†Ύ 𝑆))
267, 15, 16, 24, 25syl22anc 838 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((β„‚ Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) β†Ύ 𝑆))
27 xpssres 6022 . . . . . . . . 9 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {𝐴}))
289, 27syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {𝐴}))
2928oveq2d 7436 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((β„‚ Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})))
3018reseq1d 5984 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) β†Ύ 𝑆) = ((β„‚ Γ— {0}) β†Ύ 𝑆))
31 xpssres 6022 . . . . . . . . 9 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {0}) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {0}))
329, 31syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β„‚ Γ— {0}) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {0}))
3330, 32eqtrd 2768 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {0}))
3426, 29, 333eqtr3d 2776 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})) = (𝑆 Γ— {0}))
3520fconst2 7217 . . . . . 6 ((𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})):π‘†βŸΆ{0} ↔ (𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})) = (𝑆 Γ— {0}))
3634, 35sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})):π‘†βŸΆ{0})
3736fdmd 6733 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})) = 𝑆)
3813, 37eleqtrrd 2832 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})))
393, 4, 5, 6, 7, 38, 11dvmul 25885 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D ((𝑆 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))β€˜πΆ) = ((((𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴}))β€˜πΆ) Β· (πΉβ€˜πΆ)) + (((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ) Β· ((𝑆 Γ— {𝐴})β€˜πΆ))))
4034fveq1d 6899 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴}))β€˜πΆ) = ((𝑆 Γ— {0})β€˜πΆ))
4120fvconst2 7216 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ 𝑆 β†’ ((𝑆 Γ— {0})β€˜πΆ) = 0)
4213, 41syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {0})β€˜πΆ) = 0)
4340, 42eqtrd 2768 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴}))β€˜πΆ) = 0)
4443oveq1d 7435 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴}))β€˜πΆ) Β· (πΉβ€˜πΆ)) = (0 Β· (πΉβ€˜πΆ)))
455, 12ffvelcdmd 7095 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
4645mul02d 11443 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 Β· (πΉβ€˜πΆ)) = 0)
4744, 46eqtrd 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴}))β€˜πΆ) Β· (πΉβ€˜πΆ)) = 0)
48 fvconst2g 7214 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑆 Γ— {𝐴})β€˜πΆ) = 𝐴)
491, 13, 48syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {𝐴})β€˜πΆ) = 𝐴)
5049oveq2d 7436 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ) Β· ((𝑆 Γ— {𝐴})β€˜πΆ)) = (((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ) Β· 𝐴))
51 dvfg 25848 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
527, 51syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
5352, 11ffvelcdmd 7095 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ β„‚)
5453, 1mulcomd 11266 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ) Β· 𝐴) = (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ)))
5550, 54eqtrd 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ) Β· ((𝑆 Γ— {𝐴})β€˜πΆ)) = (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ)))
5647, 55oveq12d 7438 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴}))β€˜πΆ) Β· (πΉβ€˜πΆ)) + (((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ) Β· ((𝑆 Γ— {𝐴})β€˜πΆ))) = (0 + (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ))))
571, 53mulcld 11265 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ)) ∈ β„‚)
5857addlidd 11446 . 2 (πœ‘ β†’ (0 + (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ))) = (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ)))
5939, 56, 583eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D ((𝑆 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))β€˜πΆ) = (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βŠ† wss 3947  {csn 4629  {cpr 4631   Γ— cxp 5676  dom cdm 5678   β†Ύ cres 5680  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∘f cof 7683  β„‚cc 11137  β„cr 11138  0cc0 11139   + caddc 11142   Β· cmul 11144   D cdv 25805
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-nei 23015  df-lp 23053  df-perf 23054  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-haus 23232  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-fil 23763  df-fm 23855  df-flim 23856  df-flf 23857  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-limc 25808  df-dv 25809
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator