Theorem dvcmul 25933

Description: The product rule when one argument is a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcmul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcmul.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dvcmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvcmul.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
dvcmul	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcmul.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		fconst6g 6720	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
4		ssidd 3940	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑆)
5		dvcmul.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
6		dvcmul.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
7		dvcmul.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
8		recnprss 25893	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
10	9, 5, 6	dvbss 25890	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
11		dvcmul.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
12	10, 11	sseldd 3918	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
13	6, 12	sseldd 3918	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
14		fconst6g 6720	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
15	1, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
16		ssidd 3940	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
17		dvconst 25906	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
19	18	dmeqd 5854	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = dom (ℂ × {0}))
20		c0ex 11133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
21	20	fconst 6717	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
22	21	fdmi 6670	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (ℂ × {0}) = ℂ
23	19, 22	eqtrdi 2792	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = ℂ)
24	9, 23	sseqtrrd 3954	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
25		dvres3 25902	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
26	7, 15, 16, 24, 25	syl22anc 845	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
27		xpssres 5977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
28	9, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
29	28	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
30	18	reseq1d 5937	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆))
31		xpssres 5977	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
32	9, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
33	30, 32	eqtrd 2776	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
34	26, 29, 33	3eqtr3d 2784	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
35	20	fconst2 7153	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})):𝑆⟶{0} ↔ (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
36	34, 35	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})):𝑆⟶{0})
37	36	fdmd 6669	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = 𝑆)
38	13, 37	eleqtrrd 2844	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
39	3, 4, 5, 6, 7, 38, 11	dvmul 25930	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))‘𝐶) = ((((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹‘𝐶)) + (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶))))
40	34	fveq1d 6833	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) = ((𝑆 × {0})‘𝐶))
41	20	fvconst2 7152	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → ((𝑆 × {0})‘𝐶) = 0)
42	13, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {0})‘𝐶) = 0)
43	40, 42	eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) = 0)
44	43	oveq1d 7375	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹‘𝐶)) = (0 · (𝐹‘𝐶)))
45	5, 12	ffvelcdmd 7030	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
46	45	mul02d 11339	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 · (𝐹‘𝐶)) = 0)
47	44, 46	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹‘𝐶)) = 0)
48		fvconst2g 7150	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶) = 𝐴)
49	1, 13, 48	syl2anc 591	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶) = 𝐴)
50	49	oveq2d 7376	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶)) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · 𝐴))
51		dvfg 25895	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
52	7, 51	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
53	52, 11	ffvelcdmd 7030	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
54	53, 1	mulcomd 11161	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · 𝐴) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
55	50, 54	eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶)) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
56	47, 55	oveq12d 7378	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹‘𝐶)) + (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶))) = (0 + (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))))
57	1, 53	mulcld 11160	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ℂ)
58	57	addlidd 11342	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
59	39, 56, 58	3eqtrd 2780	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3885  {csn 4558  {cpr 4560   × cxp 5619  dom cdm 5621   ↾ cres 5623  ⟶wf 6485  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   ∘_f cof 7622  ℂcc 11031  ℝcr 11032  0cc0 11033   + caddc 11036   · cmul 11038   D cdv 25852

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-pre-sup 11111  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-int 4881  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-isom 6498  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-q 12894  df-rp 12938  df-xneg 13058  df-xadd 13059  df-xmul 13060  df-icc 13300  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-hom 17239  df-cco 17240  df-rest 17380  df-topn 17381  df-0g 17399  df-gsum 17400  df-topgen 17401  df-pt 17402  df-prds 17405  df-xrs 17461  df-qtop 17466  df-imas 17467  df-xps 17469  df-mre 17543  df-mrc 17544  df-acs 17546  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039  df-cntz 19287  df-cmn 19752  df-psmet 21343  df-xmet 21344  df-met 21345  df-bl 21346  df-mopn 21347  df-fbas 21348  df-fg 21349  df-cnfld 21352  df-top 22881  df-topon 22898  df-topsp 22920  df-bases 22933  df-cld 23006  df-ntr 23007  df-cls 23008  df-nei 23085  df-lp 23123  df-perf 23124  df-cn 23214  df-cnp 23215  df-haus 23302  df-tx 23549  df-hmeo 23742  df-fil 23833  df-fm 23925  df-flim 23926  df-flf 23927  df-xms 24307  df-ms 24308  df-tms 24309  df-cncf 24867  df-limc 25855  df-dv 25856

This theorem is referenced by: (None)