Theorem dvcmul 24541

Description: The product rule when one argument is a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcmul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcmul.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dvcmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvcmul.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
dvcmul	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcmul.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		fconst6g 6568	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
4		ssidd 3990	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑆)
5		dvcmul.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
6		dvcmul.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
7		dvcmul.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
8		recnprss 24502	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
10	9, 5, 6	dvbss 24499	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
11		dvcmul.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
12	10, 11	sseldd 3968	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
13	6, 12	sseldd 3968	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
14		fconst6g 6568	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
15	1, 14	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
16		ssidd 3990	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
17		dvconst 24514	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
18	1, 17	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
19	18	dmeqd 5774	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = dom (ℂ × {0}))
20		c0ex 10635	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
21	20	fconst 6565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
22	21	fdmi 6524	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (ℂ × {0}) = ℂ
23	19, 22	syl6eq 2872	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = ℂ)
24	9, 23	sseqtrrd 4008	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
25		dvres3 24511	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
26	7, 15, 16, 24, 25	syl22anc 836	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
27		xpssres 5889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
28	9, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
29	28	oveq2d 7172	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
30	18	reseq1d 5852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆))
31		xpssres 5889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
32	9, 31	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
33	30, 32	eqtrd 2856	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
34	26, 29, 33	3eqtr3d 2864	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
35	20	fconst2 6967	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})):𝑆⟶{0} ↔ (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
36	34, 35	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})):𝑆⟶{0})
37	36	fdmd 6523	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = 𝑆)
38	13, 37	eleqtrrd 2916	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
39	3, 4, 5, 6, 7, 38, 11	dvmul 24538	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))‘𝐶) = ((((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹‘𝐶)) + (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶))))
40	34	fveq1d 6672	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) = ((𝑆 × {0})‘𝐶))
41	20	fvconst2 6966	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → ((𝑆 × {0})‘𝐶) = 0)
42	13, 41	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {0})‘𝐶) = 0)
43	40, 42	eqtrd 2856	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) = 0)
44	43	oveq1d 7171	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹‘𝐶)) = (0 · (𝐹‘𝐶)))
45	5, 12	ffvelrnd 6852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
46	45	mul02d 10838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 · (𝐹‘𝐶)) = 0)
47	44, 46	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹‘𝐶)) = 0)
48		fvconst2g 6964	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶) = 𝐴)
49	1, 13, 48	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶) = 𝐴)
50	49	oveq2d 7172	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶)) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · 𝐴))
51		dvfg 24504	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
52	7, 51	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
53	52, 11	ffvelrnd 6852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
54	53, 1	mulcomd 10662	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · 𝐴) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
55	50, 54	eqtrd 2856	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶)) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
56	47, 55	oveq12d 7174	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹‘𝐶)) + (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶))) = (0 + (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))))
57	1, 53	mulcld 10661	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ℂ)
58	57	addid2d 10841	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
59	39, 56, 58	3eqtrd 2860	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3936  {csn 4567  {cpr 4569   × cxp 5553  dom cdm 5555   ↾ cres 5557  ⟶wf 6351  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156   ∘_f cof 7407  ℂcc 10535  ℝcr 10536  0cc0 10537   + caddc 10540   · cmul 10542   D cdv 24461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615  ax-addf 10616  ax-mulf 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-int 4877  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-se 5515  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-isom 6364  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-of 7409  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-supp 7831  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-1o 8102  df-2o 8103  df-oadd 8106  df-er 8289  df-map 8408  df-pm 8409  df-ixp 8462  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-fin 8513  df-fsupp 8834  df-fi 8875  df-sup 8906  df-inf 8907  df-oi 8974  df-card 9368  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11639  df-2 11701  df-3 11702  df-4 11703  df-5 11704  df-6 11705  df-7 11706  df-8 11707  df-9 11708  df-n0 11899  df-z 11983  df-dec 12100  df-uz 12245  df-q 12350  df-rp 12391  df-xneg 12508  df-xadd 12509  df-xmul 12510  df-icc 12746  df-fz 12894  df-fzo 13035  df-seq 13371  df-exp 13431  df-hash 13692  df-cj 14458  df-re 14459  df-im 14460  df-sqrt 14594  df-abs 14595  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-starv 16580  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-ip 16583  df-tset 16584  df-ple 16585  df-ds 16587  df-unif 16588  df-hom 16589  df-cco 16590  df-rest 16696  df-topn 16697  df-0g 16715  df-gsum 16716  df-topgen 16717  df-pt 16718  df-prds 16721  df-xrs 16775  df-qtop 16780  df-imas 16781  df-xps 16783  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225  df-cntz 18447  df-cmn 18908  df-psmet 20537  df-xmet 20538  df-met 20539  df-bl 20540  df-mopn 20541  df-fbas 20542  df-fg 20543  df-cnfld 20546  df-top 21502  df-topon 21519  df-topsp 21541  df-bases 21554  df-cld 21627  df-ntr 21628  df-cls 21629  df-nei 21706  df-lp 21744  df-perf 21745  df-cn 21835  df-cnp 21836  df-haus 21923  df-tx 22170  df-hmeo 22363  df-fil 22454  df-fm 22546  df-flim 22547  df-flf 22548  df-xms 22930  df-ms 22931  df-tms 22932  df-cncf 23486  df-limc 24464  df-dv 24465

This theorem is referenced by: (None)