Theorem dvcmul 26264

Description: The product rule when one argument is a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcmul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcmul.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dvcmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvcmul.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
dvcmul	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcmul.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		fconst6g 6771	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
4		ssidd 3931	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑆)
5		dvcmul.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
6		dvcmul.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
7		dvcmul.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
8		recnprss 26224	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
10	9, 5, 6	dvbss 26221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
11		dvcmul.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
12	10, 11	sseldd 3909	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
13	6, 12	sseldd 3909	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
14		fconst6g 6771	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
15	1, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
16		ssidd 3931	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
17		dvconst 26237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
18	1, 17	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
19	18	dmeqd 5886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = dom (ℂ × {0}))
20		c0ex 11300	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
21	20	fconst 6768	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
22	21	fdmi 6721	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (ℂ × {0}) = ℂ
23	19, 22	eqtrdi 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = ℂ)
24	9, 23	sseqtrrd 3945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
25		dvres3 26233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
26	7, 15, 16, 24, 25	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
27		xpssres 6006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
28	9, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
29	28	oveq2d 7436	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
30	18	reseq1d 5968	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆))
31		xpssres 6006	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
32	9, 31	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
33	30, 32	eqtrd 2795	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
34	26, 29, 33	3eqtr3d 2803	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
35	20	fconst2 7211	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})):𝑆⟶{0} ↔ (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
36	34, 35	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})):𝑆⟶{0})
37	36	fdmd 6720	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = 𝑆)
38	13, 37	eleqtrrd 2863	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
39	3, 4, 5, 6, 7, 38, 11	dvmul 26261	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))‘𝐶) = ((((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹‘𝐶)) + (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶))))
40	34	fveq1d 6887	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) = ((𝑆 × {0})‘𝐶))
41	20	fvconst2 7210	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → ((𝑆 × {0})‘𝐶) = 0)
42	13, 41	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {0})‘𝐶) = 0)
43	40, 42	eqtrd 2795	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) = 0)
44	43	oveq1d 7435	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹‘𝐶)) = (0 · (𝐹‘𝐶)))
45	5, 12	ffvelcdmd 7085	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
46	45	mul02d 11508	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 · (𝐹‘𝐶)) = 0)
47	44, 46	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹‘𝐶)) = 0)
48		fvconst2g 7208	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶) = 𝐴)
49	1, 13, 48	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶) = 𝐴)
50	49	oveq2d 7436	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶)) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · 𝐴))
51		dvfg 26226	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
52	7, 51	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
53	52, 11	ffvelcdmd 7085	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
54	53, 1	mulcomd 11330	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · 𝐴) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
55	50, 54	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶)) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
56	47, 55	oveq12d 7438	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹‘𝐶)) + (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶))) = (0 + (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))))
57	1, 53	mulcld 11329	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ℂ)
58	57	addlidd 11511	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
59	39, 56, 58	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  {csn 4583  {cpr 4585   × cxp 5648  dom cdm 5650   ↾ cres 5652  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691  ℂcc 11198  ℝcr 11199  0cc0 11200   + caddc 11203   · cmul 11205   D cdv 26183

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-pre-sup 11278  ax-addf 11279

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-fi 9403  df-sup 9434  df-inf 9435  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-div 11974  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-q 13076  df-rp 13121  df-xneg 13241  df-xadd 13242  df-xmul 13243  df-icc 13483  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-exp 14205  df-hash 14475  df-cj 15266  df-re 15267  df-im 15268  df-sqrt 15402  df-abs 15403  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-starv 17443  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-unif 17451  df-hom 17452  df-cco 17453  df-rest 17593  df-topn 17594  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-topgen 17614  df-pt 17615  df-prds 17618  df-xrs 17674  df-qtop 17679  df-imas 17680  df-xps 17682  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-mulg 19278  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-psmet 21670  df-xmet 21671  df-met 21672  df-bl 21673  df-mopn 21674  df-fbas 21675  df-fg 21676  df-cnfld 21679  df-top 23212  df-topon 23229  df-topsp 23251  df-bases 23264  df-cld 23337  df-ntr 23338  df-cls 23339  df-nei 23416  df-lp 23454  df-perf 23455  df-cn 23545  df-cnp 23546  df-haus 23633  df-tx 23881  df-hmeo 24074  df-fil 24165  df-fm 24257  df-flim 24258  df-flf 24259  df-xms 24639  df-ms 24640  df-tms 24641  df-cncf 25199  df-limc 26186  df-dv 26187

This theorem is used by: (None)