MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcmul 25331
Description: The product rule when one argument is a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcmul.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
dvcmul.f (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
dvcmul.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
dvcmul.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
dvcmul.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
Assertion
Ref Expression
dvcmul (πœ‘ β†’ ((𝑆 D ((𝑆 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))β€˜πΆ) = (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ)))

Proof of Theorem dvcmul
StepHypRef Expression
1 dvcmul.a . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
2 fconst6g 6735 . . . 4 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (𝑆 Γ— {𝐴}):π‘†βŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑆 Γ— {𝐴}):π‘†βŸΆβ„‚)
4 ssidd 3971 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† 𝑆)
5 dvcmul.f . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹:π‘‹βŸΆβ„‚)
6 dvcmul.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† 𝑆)
7 dvcmul.s . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ {ℝ, β„‚})
8 recnprss 25291 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† β„‚)
109, 5, 6dvbss 25288 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D 𝐹) βŠ† 𝑋)
11 dvcmul.c . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
1210, 11sseldd 3949 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
136, 12sseldd 3949 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑆)
14 fconst6g 6735 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}):β„‚βŸΆβ„‚)
151, 14syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„‚ Γ— {𝐴}):β„‚βŸΆβ„‚)
16 ssidd 3971 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ β„‚ βŠ† β„‚)
17 dvconst 25304 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ β„‚ β†’ (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) = (β„‚ Γ— {0}))
181, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) = (β„‚ Γ— {0}))
1918dmeqd 5865 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) = dom (β„‚ Γ— {0}))
20 c0ex 11157 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
2120fconst 6732 . . . . . . . . . . 11 (β„‚ Γ— {0}):β„‚βŸΆ{0}
2221fdmi 6684 . . . . . . . . . 10 dom (β„‚ Γ— {0}) = β„‚
2319, 22eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ dom (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) = β„‚)
249, 23sseqtrrd 3989 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† dom (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})))
25 dvres3 25300 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} ∧ (β„‚ Γ— {𝐴}):β„‚βŸΆβ„‚) ∧ (β„‚ βŠ† β„‚ ∧ 𝑆 βŠ† dom (β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})))) β†’ (𝑆 D ((β„‚ Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) β†Ύ 𝑆))
267, 15, 16, 24, 25syl22anc 838 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((β„‚ Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑆)) = ((β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) β†Ύ 𝑆))
27 xpssres 5978 . . . . . . . . 9 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {𝐴}))
289, 27syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β„‚ Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {𝐴}))
2928oveq2d 7377 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑆 D ((β„‚ Γ— {𝐴}) β†Ύ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})))
3018reseq1d 5940 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) β†Ύ 𝑆) = ((β„‚ Γ— {0}) β†Ύ 𝑆))
31 xpssres 5978 . . . . . . . . 9 (𝑆 βŠ† β„‚ β†’ ((β„‚ Γ— {0}) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {0}))
329, 31syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((β„‚ Γ— {0}) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {0}))
3330, 32eqtrd 2773 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((β„‚ D (β„‚ Γ— {𝐴})) β†Ύ 𝑆) = (𝑆 Γ— {0}))
3426, 29, 333eqtr3d 2781 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})) = (𝑆 Γ— {0}))
3520fconst2 7158 . . . . . 6 ((𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})):π‘†βŸΆ{0} ↔ (𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})) = (𝑆 Γ— {0}))
3634, 35sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})):π‘†βŸΆ{0})
3736fdmd 6683 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom (𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})) = 𝑆)
3813, 37eleqtrrd 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ dom (𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴})))
393, 4, 5, 6, 7, 38, 11dvmul 25328 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D ((𝑆 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))β€˜πΆ) = ((((𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴}))β€˜πΆ) Β· (πΉβ€˜πΆ)) + (((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ) Β· ((𝑆 Γ— {𝐴})β€˜πΆ))))
4034fveq1d 6848 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴}))β€˜πΆ) = ((𝑆 Γ— {0})β€˜πΆ))
4120fvconst2 7157 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ 𝑆 β†’ ((𝑆 Γ— {0})β€˜πΆ) = 0)
4213, 41syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {0})β€˜πΆ) = 0)
4340, 42eqtrd 2773 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴}))β€˜πΆ) = 0)
4443oveq1d 7376 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴}))β€˜πΆ) Β· (πΉβ€˜πΆ)) = (0 Β· (πΉβ€˜πΆ)))
455, 12ffvelcdmd 7040 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
4645mul02d 11361 . . . 4 (πœ‘ β†’ (0 Β· (πΉβ€˜πΆ)) = 0)
4744, 46eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴}))β€˜πΆ) Β· (πΉβ€˜πΆ)) = 0)
48 fvconst2g 7155 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ β„‚ ∧ 𝐢 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑆 Γ— {𝐴})β€˜πΆ) = 𝐴)
491, 13, 48syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆 Γ— {𝐴})β€˜πΆ) = 𝐴)
5049oveq2d 7377 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ) Β· ((𝑆 Γ— {𝐴})β€˜πΆ)) = (((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ) Β· 𝐴))
51 dvfg 25293 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ {ℝ, β„‚} β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
527, 51syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)βŸΆβ„‚)
5352, 11ffvelcdmd 7040 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ) ∈ β„‚)
5453, 1mulcomd 11184 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ) Β· 𝐴) = (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ)))
5550, 54eqtrd 2773 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ) Β· ((𝑆 Γ— {𝐴})β€˜πΆ)) = (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ)))
5647, 55oveq12d 7379 . 2 (πœ‘ β†’ ((((𝑆 D (𝑆 Γ— {𝐴}))β€˜πΆ) Β· (πΉβ€˜πΆ)) + (((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ) Β· ((𝑆 Γ— {𝐴})β€˜πΆ))) = (0 + (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ))))
571, 53mulcld 11183 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ)) ∈ β„‚)
5857addid2d 11364 . 2 (πœ‘ β†’ (0 + (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ))) = (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ)))
5939, 56, 583eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ ((𝑆 D ((𝑆 Γ— {𝐴}) ∘f Β· 𝐹))β€˜πΆ) = (𝐴 Β· ((𝑆 D 𝐹)β€˜πΆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3914  {csn 4590  {cpr 4592   Γ— cxp 5635  dom cdm 5637   β†Ύ cres 5639  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059   + caddc 11062   Β· cmul 11064   D cdv 25250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator