Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvcmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvcmul 24475
 Description: The product rule when one argument is a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
dvcmul.s (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcmul.f (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcmul.a (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
dvcmul.x (𝜑𝑋𝑆)
dvcmul.c (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
Assertion
Ref Expression
dvcmul (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcmul
StepHypRef Expression
1 dvcmul.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
2 fconst6g 6567 . . . 4 (𝐴 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . 3 (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
4 ssidd 3994 . . 3 (𝜑𝑆𝑆)
5 dvcmul.f . . 3 (𝜑𝐹:𝑋⟶ℂ)
6 dvcmul.x . . 3 (𝜑𝑋𝑆)
7 dvcmul.s . . 3 (𝜑𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
8 recnprss 24436 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
109, 5, 6dvbss 24433 . . . . . 6 (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
11 dvcmul.c . . . . . 6 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
1210, 11sseldd 3972 . . . . 5 (𝜑𝐶𝑋)
136, 12sseldd 3972 . . . 4 (𝜑𝐶𝑆)
14 fconst6g 6567 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
151, 14syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
16 ssidd 3994 . . . . . . . 8 (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
17 dvconst 24448 . . . . . . . . . . . 12 (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
181, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
1918dmeqd 5773 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = dom (ℂ × {0}))
20 c0ex 10629 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ V
2120fconst 6564 . . . . . . . . . . 11 (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
2221fdmi 6523 . . . . . . . . . 10 dom (ℂ × {0}) = ℂ
2319, 22syl6eq 2877 . . . . . . . . 9 (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = ℂ)
249, 23sseqtrrd 4012 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
25 dvres3 24445 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
267, 15, 16, 24, 25syl22anc 836 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
27 xpssres 5888 . . . . . . . . 9 (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
289, 27syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
2928oveq2d 7166 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
3018reseq1d 5851 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆))
31 xpssres 5888 . . . . . . . . 9 (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
329, 31syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
3330, 32eqtrd 2861 . . . . . . 7 (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
3426, 29, 333eqtr3d 2869 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
3520fconst2 6965 . . . . . 6 ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})):𝑆⟶{0} ↔ (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
3634, 35sylibr 235 . . . . 5 (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})):𝑆⟶{0})
3736fdmd 6522 . . . 4 (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = 𝑆)
3813, 37eleqtrrd 2921 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ dom (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
393, 4, 5, 6, 7, 38, 11dvmul 24472 . 2 (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))‘𝐶) = ((((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹𝐶)) + (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶))))
4034fveq1d 6671 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) = ((𝑆 × {0})‘𝐶))
4120fvconst2 6964 . . . . . . 7 (𝐶𝑆 → ((𝑆 × {0})‘𝐶) = 0)
4213, 41syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆 × {0})‘𝐶) = 0)
4340, 42eqtrd 2861 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) = 0)
4443oveq1d 7165 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹𝐶)) = (0 · (𝐹𝐶)))
455, 12ffvelrnd 6850 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹𝐶) ∈ ℂ)
4645mul02d 10832 . . . 4 (𝜑 → (0 · (𝐹𝐶)) = 0)
4744, 46eqtrd 2861 . . 3 (𝜑 → (((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹𝐶)) = 0)
48 fvconst2g 6962 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶𝑆) → ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶) = 𝐴)
491, 13, 48syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶) = 𝐴)
5049oveq2d 7166 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶)) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · 𝐴))
51 dvfg 24438 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
527, 51syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
5352, 11ffvelrnd 6850 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
5453, 1mulcomd 10656 . . . 4 (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · 𝐴) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
5550, 54eqtrd 2861 . . 3 (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶)) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
5647, 55oveq12d 7168 . 2 (𝜑 → ((((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹𝐶)) + (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶))) = (0 + (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))))
571, 53mulcld 10655 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ℂ)
5857addid2d 10835 . 2 (𝜑 → (0 + (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
5939, 56, 583eqtrd 2865 1 (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1530   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3940  {csn 4564  {cpr 4566   × cxp 5552  dom cdm 5554   ↾ cres 5556  ⟶wf 6350  ‘cfv 6354  (class class class)co 7150   ∘f cof 7401  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531   + caddc 10534   · cmul 10536   D cdv 24395 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-iin 4920  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-isom 6363  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7403  df-om 7574  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7827  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-2o 8099  df-oadd 8102  df-er 8284  df-map 8403  df-pm 8404  df-ixp 8456  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-fsupp 8828  df-fi 8869  df-sup 8900  df-inf 8901  df-oi 8968  df-card 9362  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12385  df-xneg 12502  df-xadd 12503  df-xmul 12504  df-icc 12740  df-fz 12888  df-fzo 13029  df-seq 13365  df-exp 13425  df-hash 13686  df-cj 14453  df-re 14454  df-im 14455  df-sqrt 14589  df-abs 14590  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-rest 16691  df-topn 16692  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-topgen 16712  df-pt 16713  df-prds 16716  df-xrs 16770  df-qtop 16775  df-imas 16776  df-xps 16778  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-mulg 18170  df-cntz 18392  df-cmn 18844  df-psmet 20472  df-xmet 20473  df-met 20474  df-bl 20475  df-mopn 20476  df-fbas 20477  df-fg 20478  df-cnfld 20481  df-top 21437  df-topon 21454  df-topsp 21476  df-bases 21489  df-cld 21562  df-ntr 21563  df-cls 21564  df-nei 21641  df-lp 21679  df-perf 21680  df-cn 21770  df-cnp 21771  df-haus 21858  df-tx 22105  df-hmeo 22298  df-fil 22389  df-fm 22481  df-flim 22482  df-flf 22483  df-xms 22864  df-ms 22865  df-tms 22866  df-cncf 23420  df-limc 24398  df-dv 24399 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator