Theorem dvcmul 26291

Description: The product rule when one argument is a constant. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Aug-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dvcmul.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
dvcmul.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
dvcmul.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
dvcmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
dvcmul.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))

Assertion

Ref	Expression
dvcmul	⊢ (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))

Proof of Theorem dvcmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvcmul.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		fconst6g 6790	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
3	1, 2	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆 × {𝐴}):𝑆⟶ℂ)
4		ssidd 3936	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ 𝑆)
5		dvcmul.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑋⟶ℂ)
6		dvcmul.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ 𝑆)
7		dvcmul.s	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ {ℝ, ℂ})
8		recnprss 26251	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → 𝑆 ⊆ ℂ)
9	7, 8	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℂ)
10	9, 5, 6	dvbss 26248	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D 𝐹) ⊆ 𝑋)
11		dvcmul.c	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D 𝐹))
12	10, 11	sseldd 3914	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
13	6, 12	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑆)
14		fconst6g 6790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
15	1, 14	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ)
16		ssidd 3936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ℂ ⊆ ℂ)
17		dvconst 26264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
18	1, 17	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = (ℂ × {0}))
19	18	dmeqd 5893	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = dom (ℂ × {0}))
20		c0ex 11324	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ V
21	20	fconst 6787	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℂ × {0}):ℂ⟶{0}
22	21	fdmi 6740	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (ℂ × {0}) = ℂ
23	19, 22	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})) = ℂ)
24	9, 23	sseqtrrd 3950	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))
25		dvres3 26260	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} ∧ (ℂ × {𝐴}):ℂ⟶ℂ) ∧ (ℂ ⊆ ℂ ∧ 𝑆 ⊆ dom (ℂ D (ℂ × {𝐴})))) → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
26	7, 15, 16, 24, 25	syl22anc 852	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆))
27		xpssres 6018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
28	9, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {𝐴}))
29	28	oveq2d 7456	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D ((ℂ × {𝐴}) ↾ 𝑆)) = (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
30	18	reseq1d 5979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆))
31		xpssres 6018	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ⊆ ℂ → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
32	9, 31	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((ℂ × {0}) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
33	30, 32	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((ℂ D (ℂ × {𝐴})) ↾ 𝑆) = (𝑆 × {0}))
34	26, 29, 33	3eqtr3d 2806	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
35	20	fconst2 7231	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴})):𝑆⟶{0} ↔ (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = (𝑆 × {0}))
36	34, 35	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})):𝑆⟶{0})
37	36	fdmd 6739	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})) = 𝑆)
38	13, 37	eleqtrrd 2867	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ dom (𝑆 D (𝑆 × {𝐴})))
39	3, 4, 5, 6, 7, 38, 11	dvmul 26288	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))‘𝐶) = ((((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹‘𝐶)) + (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶))))
40	34	fveq1d 6907	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) = ((𝑆 × {0})‘𝐶))
41	20	fvconst2 7230	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑆 → ((𝑆 × {0})‘𝐶) = 0)
42	13, 41	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {0})‘𝐶) = 0)
43	40, 42	eqtrd 2798	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) = 0)
44	43	oveq1d 7455	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹‘𝐶)) = (0 · (𝐹‘𝐶)))
45	5, 12	ffvelcdmd 7106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝐶) ∈ ℂ)
46	45	mul02d 11532	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (0 · (𝐹‘𝐶)) = 0)
47	44, 46	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹‘𝐶)) = 0)
48		fvconst2g 7228	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ 𝑆) → ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶) = 𝐴)
49	1, 13, 48	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶) = 𝐴)
50	49	oveq2d 7456	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶)) = (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · 𝐴))
51		dvfg 26253	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ {ℝ, ℂ} → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
52	7, 51	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 D 𝐹):dom (𝑆 D 𝐹)⟶ℂ)
53	52, 11	ffvelcdmd 7106	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) ∈ ℂ)
54	53, 1	mulcomd 11354	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · 𝐴) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
55	50, 54	eqtrd 2798	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶)) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
56	47, 55	oveq12d 7458	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝑆 D (𝑆 × {𝐴}))‘𝐶) · (𝐹‘𝐶)) + (((𝑆 D 𝐹)‘𝐶) · ((𝑆 × {𝐴})‘𝐶))) = (0 + (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))))
57	1, 53	mulcld 11353	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)) ∈ ℂ)
58	57	addlidd 11535	. 2 ⊢ (𝜑 → (0 + (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶))) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))
59	39, 56, 58	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑆 D ((𝑆 × {𝐴}) ∘f · 𝐹))‘𝐶) = (𝐴 · ((𝑆 D 𝐹)‘𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  {csn 4588  {cpr 4590   × cxp 5653  dom cdm 5655   ↾ cres 5657  ⟶wf 6551  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440   ∘_f cof 7712  ℂcc 11222  ℝcr 11223  0cc0 11224   + caddc 11227   · cmul 11229   D cdv 26210

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302  ax-addf 11303

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-of 7714  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-supp 8202  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-pm 8875  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-fsupp 9379  df-fi 9427  df-sup 9458  df-inf 9459  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-q 13100  df-rp 13145  df-xneg 13265  df-xadd 13266  df-xmul 13267  df-icc 13507  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-struct 17351  df-sets 17368  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-ress 17435  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-starv 17469  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-unif 17477  df-hom 17478  df-cco 17479  df-rest 17619  df-topn 17620  df-0g 17638  df-gsum 17639  df-topgen 17640  df-pt 17641  df-prds 17644  df-xrs 17700  df-qtop 17705  df-imas 17706  df-xps 17708  df-mre 17782  df-mrc 17783  df-acs 17785  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-submnd 19005  df-mulg 19304  df-cntz 19558  df-cmn 20023  df-psmet 21697  df-xmet 21698  df-met 21699  df-bl 21700  df-mopn 21701  df-fbas 21702  df-fg 21703  df-cnfld 21706  df-top 23239  df-topon 23256  df-topsp 23278  df-bases 23291  df-cld 23364  df-ntr 23365  df-cls 23366  df-nei 23443  df-lp 23481  df-perf 23482  df-cn 23572  df-cnp 23573  df-haus 23660  df-tx 23908  df-hmeo 24101  df-fil 24192  df-fm 24284  df-flim 24285  df-flf 24286  df-xms 24666  df-ms 24667  df-tms 24668  df-cncf 25226  df-limc 26213  df-dv 26214

This theorem is used by: (None)