MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxcph Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rrxcph 24909
Description: Generalized Euclidean real spaces are subcomplex pre-Hilbert spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
rrxbase.b 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
Assertion
Ref Expression
rrxcph (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐻 ∈ β„‚PreHil)
Proof of Theorem rrxcph
Dummy variables 𝑓 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxval.r . . 3 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
21rrxval 24904 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐻 = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
3 eqid 2733 . . 3 (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
4 eqid 2733 . . 3 (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
5 eqid 2733 . . 3 (Scalarβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Scalarβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
6 eqid 2733 . . . 4 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
7 rebase 21159 . . . 4 ℝ = (Baseβ€˜β„fld)
8 remulr 21164 . . . 4 Β· = (.rβ€˜β„fld)
9 eqid 2733 . . . 4 (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
10 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
11 re0g 21165 . . . 4 0 = (0gβ€˜β„fld)
12 refldcj 21173 . . . 4 βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜β„fld)
13 refld 21172 . . . . 5 ℝfld ∈ Field
1413a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ℝfld ∈ Field)
15 fconstmpt 5739 . . . . 5 (𝐼 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)
166, 7, 4frlmbasf 21315 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„)
1716ffnd 6719 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑓 Fn 𝐼)
18173adant3 1133 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ 𝑓 Fn 𝐼)
19 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
2013a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ ℝfld ∈ Field)
21 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
226, 7, 8, 4, 9frlmipval 21334 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℝfld ∈ Field) ∧ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))) β†’ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝑓)))
2319, 20, 21, 21, 22syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝑓)))
24 inidm 4219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
25 eqidd 2734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘₯))
2617, 17, 19, 19, 24, 25, 25offval 7679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑓) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯))))
2716ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2827, 27remulcld 11244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2926, 28fmpt3d 7116 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑓):πΌβŸΆβ„)
30 ovexd 7444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑓) ∈ V)
3129ffund 6722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ Fun (𝑓 ∘f Β· 𝑓))
326, 11, 4frlmbasfsupp 21313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑓 finSupp 0)
33 0red 11217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ 0 ∈ ℝ)
34 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3534recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3635mul02d 11412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
3719, 33, 16, 16, 36suppofss1d 8189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βŠ† (𝑓 supp 0))
38 fsuppsssupp 9379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑓 ∘f Β· 𝑓) ∈ V ∧ Fun (𝑓 ∘f Β· 𝑓)) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βŠ† (𝑓 supp 0))) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑓) finSupp 0)
3930, 31, 32, 37, 38syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑓) finSupp 0)
40 regsumsupp 21175 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓 ∘f Β· 𝑓):πΌβŸΆβ„ ∧ (𝑓 ∘f Β· 𝑓) finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (ℝfld Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝑓)) = Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯))
4129, 39, 19, 40syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (ℝfld Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝑓)) = Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯))
42 suppssdm 8162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 supp 0) βŠ† dom 𝑓
4342, 16fssdm 6738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑓 supp 0) βŠ† 𝐼)
4437, 43sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βŠ† 𝐼)
4544sselda 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
4617, 17, 19, 19, 24, 25, 25ofval 7681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
4745, 46syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)) β†’ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
4847sumeq2dv 15649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯) = Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
4941, 48eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (ℝfld Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝑓)) = Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
5023, 49eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
51503adant3 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
52 simp3 1139 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0)
5351, 52eqtr3d 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0)
5432fsuppimpd 9369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑓 supp 0) ∈ Fin)
5554, 37ssfid 9267 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) ∈ Fin)
5645, 28syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
5727msqge0d 11782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
5845, 57syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)) β†’ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
5955, 56, 58fsum00 15744 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0))
60593adant3 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ (Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0))
6153, 60mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0)
6261r19.21bi 3249 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0)
6362adantlr 714 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0)
64273adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
6564recnd 11242 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
6665, 65mul0ord 11864 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0 ↔ ((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ∨ (π‘“β€˜π‘₯) = 0)))
6766adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0 ↔ ((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ∨ (π‘“β€˜π‘₯) = 0)))
6863, 67mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ∨ (π‘“β€˜π‘₯) = 0))
69 oridm 904 . . . . . . . . 9 (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ∨ (π‘“β€˜π‘₯) = 0) ↔ (π‘“β€˜π‘₯) = 0)
7068, 69sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0)
71293adant3 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑓):πΌβŸΆβ„)
7271adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑓):πΌβŸΆβ„)
73 ssidd 4006 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βŠ† ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))
74 simpl1 1192 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
75 0red 11217 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 ∈ ℝ)
7672, 73, 74, 75suppssr 8181 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))) β†’ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯) = 0)
77463adantl3 1169 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
7877eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯) = 0 ↔ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0))
7978, 66bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯) = 0 ↔ ((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ∨ (π‘“β€˜π‘₯) = 0)))
8079, 69bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯) = 0 ↔ (π‘“β€˜π‘₯) = 0))
8180biimpa 478 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯) = 0) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0)
8276, 81syldan 592 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0)
83 undif 4482 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βŠ† 𝐼 ↔ (((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))) = 𝐼)
8444, 83sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))) = 𝐼)
8584eleq2d 2820 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (π‘₯ ∈ (((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))) ↔ π‘₯ ∈ 𝐼))
86853adant3 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ (π‘₯ ∈ (((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))) ↔ π‘₯ ∈ 𝐼))
8786biimpar 479 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ (((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))))
88 elun 4149 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))) ↔ (π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) ∨ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))))
8987, 88sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) ∨ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))))
9070, 82, 89mpjaodan 958 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0)
9190ralrimiva 3147 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) = 0)
92 fconstfv 7214 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟢{0} ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) = 0))
93 c0ex 11208 . . . . . . . 8 0 ∈ V
9493fconst2 7206 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟢{0} ↔ 𝑓 = (𝐼 Γ— {0}))
9592, 94sylbb1 236 . . . . . 6 ((𝑓 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) = 0) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {0}))
9618, 91, 95syl2anc 585 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {0}))
97 isfld 20368 . . . . . . . . . . 11 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
9813, 97mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing)
9998simpli 485 . . . . . . . . 9 ℝfld ∈ DivRing
100 drngring 20364 . . . . . . . . 9 (ℝfld ∈ DivRing β†’ ℝfld ∈ Ring)
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . 8 ℝfld ∈ Ring
1026, 11frlm0 21309 . . . . . . . 8 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 Γ— {0}) = (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
103101, 102mpan 689 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {0}) = (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
104103, 15eqtr3di 2788 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0))
1051043ad2ant1 1134 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0))
10615, 96, 1053eqtr4a 2799 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ 𝑓 = (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
107 cjre 15086 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βˆ—β€˜π‘₯) = π‘₯)
108107adantl 483 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ—β€˜π‘₯) = π‘₯)
109 id 22 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
1106, 7, 8, 4, 9, 10, 11, 12, 14, 106, 108, 109frlmphl 21336 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ PreHil)
1116frlmsca 21308 . . . . 5 ((ℝfld ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ℝfld = (Scalarβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
11213, 111mpan 689 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ℝfld = (Scalarβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
113 df-refld 21158 . . . 4 ℝfld = (β„‚fld β†Ύs ℝ)
114112, 113eqtr3di 2788 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Scalarβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (β„‚fld β†Ύs ℝ))
115 simpr1 1195 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑓)) β†’ 𝑓 ∈ ℝ)
116 simpr3 1197 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑓)) β†’ 0 ≀ 𝑓)
117115, 116resqrtcld 15364 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑓)) β†’ (βˆšβ€˜π‘“) ∈ ℝ)
11855, 56, 58fsumge0 15741 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ 0 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
119118, 49breqtrrd 5177 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ 0 ≀ (ℝfld Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝑓)))
120119, 23breqtrrd 5177 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ 0 ≀ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))
1213, 4, 5, 110, 114, 9, 117, 120tcphcph 24754 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∈ β„‚PreHil)
1222, 121eqeltrd 2834 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐻 ∈ β„‚PreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  Vcvv 3475   βˆ– cdif 3946   βˆͺ cun 3947   βŠ† wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668   supp csupp 8146   finSupp cfsupp 9361  β„cr 11109  0cc0 11110   Β· cmul 11115   ≀ cle 11249  βˆ—ccj 15043  Ξ£csu 15632  Basecbs 17144   β†Ύs cress 17173  Scalarcsca 17200  Β·π‘–cip 17202  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  DivRingcdr 20357  Fieldcfield 20358  β„‚fldccnfld 20944  β„fldcrefld 21157   freeLMod cfrlm 21301  β„‚PreHilccph 24683  toβ„‚PreHilctcph 24684  β„^crrx 24900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ico 13330  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-clim 15432  df-sum 15633  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-hom 17221  df-cco 17222  df-rest 17368  df-topn 17369  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-topgen 17389  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-field 20360  df-abv 20425  df-staf 20453  df-srng 20454  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lmhm 20633  df-lvec 20714  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-cnfld 20945  df-refld 21158  df-phl 21179  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-top 22396  df-topon 22413  df-topsp 22435  df-bases 22449  df-xms 23826  df-ms 23827  df-nm 24091  df-ngp 24092  df-tng 24093  df-nrg 24094  df-nlm 24095  df-clm 24579  df-cph 24685  df-tcph 24686  df-rrx 24902
This theorem is referenced by:  rrxngp  45049
  Copyright terms: Public domain W3C validator