MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxcph Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem rrxcph 25133
Description: Generalized Euclidean real spaces are subcomplex pre-Hilbert spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
rrxbase.b 𝐡 = (Baseβ€˜π»)
Assertion
Ref Expression
rrxcph (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐻 ∈ β„‚PreHil)
Proof of Theorem rrxcph
Dummy variables 𝑓 π‘₯ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxval.r . . 3 𝐻 = (ℝ^β€˜πΌ)
21rrxval 25128 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐻 = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
3 eqid 2732 . . 3 (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
4 eqid 2732 . . 3 (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
5 eqid 2732 . . 3 (Scalarβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Scalarβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
6 eqid 2732 . . . 4 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
7 rebase 21378 . . . 4 ℝ = (Baseβ€˜β„fld)
8 remulr 21383 . . . 4 Β· = (.rβ€˜β„fld)
9 eqid 2732 . . . 4 (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
10 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))
11 re0g 21384 . . . 4 0 = (0gβ€˜β„fld)
12 refldcj 21392 . . . 4 βˆ— = (*π‘Ÿβ€˜β„fld)
13 refld 21391 . . . . 5 ℝfld ∈ Field
1413a1i 11 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ℝfld ∈ Field)
15 fconstmpt 5738 . . . . 5 (𝐼 Γ— {0}) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0)
166, 7, 4frlmbasf 21534 . . . . . . . 8 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑓:πΌβŸΆβ„)
1716ffnd 6718 . . . . . . 7 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑓 Fn 𝐼)
18173adant3 1132 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ 𝑓 Fn 𝐼)
19 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
2013a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ ℝfld ∈ Field)
21 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
226, 7, 8, 4, 9frlmipval 21553 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ ℝfld ∈ Field) ∧ (𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))) β†’ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝑓)))
2319, 20, 21, 21, 22syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝑓)))
24 inidm 4218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼 ∩ 𝐼) = 𝐼
25 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = (π‘“β€˜π‘₯))
2617, 17, 19, 19, 24, 25, 25offval 7681 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑓) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯))))
2716ffvelcdmda 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
2827, 27remulcld 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
2926, 28fmpt3d 7117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑓):πΌβŸΆβ„)
30 ovexd 7446 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑓) ∈ V)
3129ffund 6721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ Fun (𝑓 ∘f Β· 𝑓))
326, 11, 4frlmbasfsupp 21532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ 𝑓 finSupp 0)
33 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ 0 ∈ ℝ)
34 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
3534recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3635mul02d 11416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (0 Β· π‘₯) = 0)
3719, 33, 16, 16, 36suppofss1d 8191 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βŠ† (𝑓 supp 0))
38 fsuppsssupp 9381 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑓 ∘f Β· 𝑓) ∈ V ∧ Fun (𝑓 ∘f Β· 𝑓)) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βŠ† (𝑓 supp 0))) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑓) finSupp 0)
3930, 31, 32, 37, 38syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑓) finSupp 0)
40 regsumsupp 21394 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓 ∘f Β· 𝑓):πΌβŸΆβ„ ∧ (𝑓 ∘f Β· 𝑓) finSupp 0 ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (ℝfld Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝑓)) = Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯))
4129, 39, 19, 40syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (ℝfld Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝑓)) = Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯))
42 suppssdm 8164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 supp 0) βŠ† dom 𝑓
4342, 16fssdm 6737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑓 supp 0) βŠ† 𝐼)
4437, 43sstrd 3992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βŠ† 𝐼)
4544sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
4617, 17, 19, 19, 24, 25, 25ofval 7683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
4745, 46syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)) β†’ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
4847sumeq2dv 15653 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯) = Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
4941, 48eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (ℝfld Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝑓)) = Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
5023, 49eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
51503adant3 1132 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
52 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0)
5351, 52eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0)
5432fsuppimpd 9371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (𝑓 supp 0) ∈ Fin)
5554, 37ssfid 9269 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) ∈ Fin)
5645, 28syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
5727msqge0d 11786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
5845, 57syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)) β†’ 0 ≀ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
5955, 56, 58fsum00 15748 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0))
60593adant3 1132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ (Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0 ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0))
6153, 60mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0)
6261r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0)
6362adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0)
64273adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ ℝ)
6564recnd 11246 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) ∈ β„‚)
6665, 65mul0ord 11868 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0 ↔ ((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ∨ (π‘“β€˜π‘₯) = 0)))
6766adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)) β†’ (((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0 ↔ ((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ∨ (π‘“β€˜π‘₯) = 0)))
6863, 67mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)) β†’ ((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ∨ (π‘“β€˜π‘₯) = 0))
69 oridm 903 . . . . . . . . 9 (((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ∨ (π‘“β€˜π‘₯) = 0) ↔ (π‘“β€˜π‘₯) = 0)
7068, 69sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0)
71293adant3 1132 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑓):πΌβŸΆβ„)
7271adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (𝑓 ∘f Β· 𝑓):πΌβŸΆβ„)
73 ssidd 4005 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βŠ† ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))
74 simpl1 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
75 0red 11221 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 0 ∈ ℝ)
7672, 73, 74, 75suppssr 8183 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))) β†’ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯) = 0)
77463adantl3 1168 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯) = ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
7877eqeq1d 2734 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯) = 0 ↔ ((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)) = 0))
7978, 66bitrd 278 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯) = 0 ↔ ((π‘“β€˜π‘₯) = 0 ∨ (π‘“β€˜π‘₯) = 0)))
8079, 69bitrdi 286 . . . . . . . . . 10 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯) = 0 ↔ (π‘“β€˜π‘₯) = 0))
8180biimpa 477 . . . . . . . . 9 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓)β€˜π‘₯) = 0) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0)
8276, 81syldan 591 . . . . . . . 8 ((((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0)
83 undif 4481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βŠ† 𝐼 ↔ (((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))) = 𝐼)
8444, 83sylib 217 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))) = 𝐼)
8584eleq2d 2819 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ (π‘₯ ∈ (((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))) ↔ π‘₯ ∈ 𝐼))
86853adant3 1132 . . . . . . . . . 10 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ (π‘₯ ∈ (((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))) ↔ π‘₯ ∈ 𝐼))
8786biimpar 478 . . . . . . . . 9 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ (((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))))
88 elun 4148 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) βˆͺ (𝐼 βˆ– ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))) ↔ (π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) ∨ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))))
8987, 88sylib 217 . . . . . . . 8 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0) ∨ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0))))
9070, 82, 89mpjaodan 957 . . . . . . 7 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘“β€˜π‘₯) = 0)
9190ralrimiva 3146 . . . . . 6 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) = 0)
92 fconstfv 7216 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟢{0} ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) = 0))
93 c0ex 11212 . . . . . . . 8 0 ∈ V
9493fconst2 7208 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟢{0} ↔ 𝑓 = (𝐼 Γ— {0}))
9592, 94sylbb1 236 . . . . . 6 ((𝑓 Fn 𝐼 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐼 (π‘“β€˜π‘₯) = 0) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {0}))
9618, 91, 95syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ 𝑓 = (𝐼 Γ— {0}))
97 isfld 20511 . . . . . . . . . . 11 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
9813, 97mpbi 229 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing)
9998simpli 484 . . . . . . . . 9 ℝfld ∈ DivRing
100 drngring 20507 . . . . . . . . 9 (ℝfld ∈ DivRing β†’ ℝfld ∈ Ring)
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . 8 ℝfld ∈ Ring
1026, 11frlm0 21528 . . . . . . . 8 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ (𝐼 Γ— {0}) = (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
103101, 102mpan 688 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (𝐼 Γ— {0}) = (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
104103, 15eqtr3di 2787 . . . . . 6 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0))
1051043ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (π‘₯ ∈ 𝐼 ↦ 0))
10615, 96, 1053eqtr4a 2798 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) β†’ 𝑓 = (0gβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
107 cjre 15090 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βˆ—β€˜π‘₯) = π‘₯)
108107adantl 482 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆ—β€˜π‘₯) = π‘₯)
109 id 22 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
1106, 7, 8, 4, 9, 10, 11, 12, 14, 106, 108, 109frlmphl 21555 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ PreHil)
1116frlmsca 21527 . . . . 5 ((ℝfld ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ℝfld = (Scalarβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
11213, 111mpan 688 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ ℝfld = (Scalarβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)))
113 df-refld 21377 . . . 4 ℝfld = (β„‚fld β†Ύs ℝ)
114112, 113eqtr3di 2787 . . 3 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Scalarβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (β„‚fld β†Ύs ℝ))
115 simpr1 1194 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑓)) β†’ 𝑓 ∈ ℝ)
116 simpr3 1196 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑓)) β†’ 0 ≀ 𝑓)
117115, 116resqrtcld 15368 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ ∧ 0 ≀ 𝑓)) β†’ (βˆšβ€˜π‘“) ∈ ℝ)
11855, 56, 58fsumge0 15745 . . . . 5 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ 0 ≀ Ξ£π‘₯ ∈ ((𝑓 ∘f Β· 𝑓) supp 0)((π‘“β€˜π‘₯) Β· (π‘“β€˜π‘₯)))
119118, 49breqtrrd 5176 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ 0 ≀ (ℝfld Ξ£g (𝑓 ∘f Β· 𝑓)))
120119, 23breqtrrd 5176 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑓 ∈ (Baseβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))) β†’ 0 ≀ (𝑓(Β·π‘–β€˜(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))
1213, 4, 5, 110, 114, 9, 117, 120tcphcph 24978 . 2 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (toβ„‚PreHilβ€˜(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∈ β„‚PreHil)
1222, 121eqeltrd 2833 1 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝐻 ∈ β„‚PreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945   βˆͺ cun 3946   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  Fun wfun 6537   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670   supp csupp 8148   finSupp cfsupp 9363  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117   ≀ cle 11253  βˆ—ccj 15047  Ξ£csu 15636  Basecbs 17148   β†Ύs cress 17177  Scalarcsca 17204  Β·π‘–cip 17206  0gc0g 17389   Ξ£g cgsu 17390  Ringcrg 20127  CRingccrg 20128  DivRingcdr 20500  Fieldcfield 20501  β„‚fldccnfld 21144  β„fldcrefld 21376   freeLMod cfrlm 21520  β„‚PreHilccph 24907  toβ„‚PreHilctcph 24908  β„^crrx 25124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ico 13334  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-sbg 18860  df-subg 19039  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-cring 20130  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-rhm 20363  df-subrng 20434  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-field 20503  df-abv 20568  df-staf 20596  df-srng 20597  df-lmod 20616  df-lss 20687  df-lmhm 20777  df-lvec 20858  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-cnfld 21145  df-refld 21377  df-phl 21398  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-xms 24046  df-ms 24047  df-nm 24311  df-ngp 24312  df-tng 24313  df-nrg 24314  df-nlm 24315  df-clm 24803  df-cph 24909  df-tcph 24910  df-rrx 25126
This theorem is referenced by:  rrxngp  45300
  Copyright terms: Public domain W3C validator