MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxcph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxcph 25439
Description: Generalized Euclidean real spaces are subcomplex pre-Hilbert spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
rrxcph (𝐼𝑉𝐻 ∈ ℂPreHil)

Proof of Theorem rrxcph
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxval.r . . 3 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
21rrxval 25434 . 2 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
3 eqid 2734 . . 3 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
4 eqid 2734 . . 3 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
5 eqid 2734 . . 3 (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
6 eqid 2734 . . . 4 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
7 rebase 21641 . . . 4 ℝ = (Base‘ℝfld)
8 remulr 21646 . . . 4 · = (.r‘ℝfld)
9 eqid 2734 . . . 4 (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
10 eqid 2734 . . . 4 (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
11 re0g 21647 . . . 4 0 = (0g‘ℝfld)
12 refldcj 21655 . . . 4 ∗ = (*𝑟‘ℝfld)
13 refld 21654 . . . . 5 fld ∈ Field
1413a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → ℝfld ∈ Field)
15 fconstmpt 5750 . . . . 5 (𝐼 × {0}) = (𝑥𝐼 ↦ 0)
166, 7, 4frlmbasf 21797 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
1716ffnd 6737 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓 Fn 𝐼)
18173adant3 1131 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → 𝑓 Fn 𝐼)
19 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝐼𝑉)
2013a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → ℝfld ∈ Field)
21 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
226, 7, 8, 4, 9frlmipval 21816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐼𝑉 ∧ ℝfld ∈ Field) ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Σg (𝑓f · 𝑓)))
2319, 20, 21, 21, 22syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Σg (𝑓f · 𝑓)))
24 inidm 4234 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼𝐼) = 𝐼
25 eqidd 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
2617, 17, 19, 19, 24, 25, 25offval 7705 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓f · 𝑓) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥))))
2716ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
2827, 27remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) ∈ ℝ)
2926, 28fmpt3d 7135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓f · 𝑓):𝐼⟶ℝ)
30 ovexd 7465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓f · 𝑓) ∈ V)
3129ffund 6740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → Fun (𝑓f · 𝑓))
326, 11, 4frlmbasfsupp 21795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓 finSupp 0)
33 0red 11261 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 0 ∈ ℝ)
34 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
3534recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
3635mul02d 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
3719, 33, 16, 16, 36suppofss1d 8227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → ((𝑓f · 𝑓) supp 0) ⊆ (𝑓 supp 0))
38 fsuppsssupp 9418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑓f · 𝑓) ∈ V ∧ Fun (𝑓f · 𝑓)) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑓f · 𝑓) supp 0) ⊆ (𝑓 supp 0))) → (𝑓f · 𝑓) finSupp 0)
3930, 31, 32, 37, 38syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓f · 𝑓) finSupp 0)
40 regsumsupp 21657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓f · 𝑓):𝐼⟶ℝ ∧ (𝑓f · 𝑓) finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → (ℝfld Σg (𝑓f · 𝑓)) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)((𝑓f · 𝑓)‘𝑥))
4129, 39, 19, 40syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (ℝfld Σg (𝑓f · 𝑓)) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)((𝑓f · 𝑓)‘𝑥))
42 suppssdm 8200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 supp 0) ⊆ dom 𝑓
4342, 16fssdm 6755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓 supp 0) ⊆ 𝐼)
4437, 43sstrd 4005 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → ((𝑓f · 𝑓) supp 0) ⊆ 𝐼)
4544sselda 3994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)) → 𝑥𝐼)
4617, 17, 19, 19, 24, 25, 25ofval 7707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓f · 𝑓)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
4745, 46syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓f · 𝑓)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
4847sumeq2dv 15734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → Σ𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)((𝑓f · 𝑓)‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
4941, 48eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (ℝfld Σg (𝑓f · 𝑓)) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
5023, 49eqtrd 2774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
51503adant3 1131 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
52 simp3 1137 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0)
5351, 52eqtr3d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → Σ𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0)
5432fsuppimpd 9406 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓 supp 0) ∈ Fin)
5554, 37ssfid 9298 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → ((𝑓f · 𝑓) supp 0) ∈ Fin)
5645, 28syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) ∈ ℝ)
5727msqge0d 11828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ≤ ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
5845, 57syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)) → 0 ≤ ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
5955, 56, 58fsum00 15830 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (Σ𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0))
60593adant3 1131 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (Σ𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0))
6153, 60mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → ∀𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0)
6261r19.21bi 3248 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0)
6362adantlr 715 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0)
64273adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
6564recnd 11286 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
6665, 65mul0ord 11910 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0 ↔ ((𝑓𝑥) = 0 ∨ (𝑓𝑥) = 0)))
6766adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)) → (((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0 ↔ ((𝑓𝑥) = 0 ∨ (𝑓𝑥) = 0)))
6863, 67mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓𝑥) = 0 ∨ (𝑓𝑥) = 0))
69 oridm 904 . . . . . . . . 9 (((𝑓𝑥) = 0 ∨ (𝑓𝑥) = 0) ↔ (𝑓𝑥) = 0)
7068, 69sylib 218 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)) → (𝑓𝑥) = 0)
71293adant3 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (𝑓f · 𝑓):𝐼⟶ℝ)
7271adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓f · 𝑓):𝐼⟶ℝ)
73 ssidd 4018 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓f · 𝑓) supp 0) ⊆ ((𝑓f · 𝑓) supp 0))
74 simpl1 1190 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼𝑉)
75 0red 11261 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ∈ ℝ)
7672, 73, 74, 75suppssr 8218 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑓f · 𝑓) supp 0))) → ((𝑓f · 𝑓)‘𝑥) = 0)
77463adantl3 1167 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓f · 𝑓)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
7877eqeq1d 2736 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓f · 𝑓)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0))
7978, 66bitrd 279 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓f · 𝑓)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝑓𝑥) = 0 ∨ (𝑓𝑥) = 0)))
8079, 69bitrdi 287 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓f · 𝑓)‘𝑥) = 0 ↔ (𝑓𝑥) = 0))
8180biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝑓f · 𝑓)‘𝑥) = 0) → (𝑓𝑥) = 0)
8276, 81syldan 591 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑓f · 𝑓) supp 0))) → (𝑓𝑥) = 0)
83 undif 4487 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓f · 𝑓) supp 0) ⊆ 𝐼 ↔ (((𝑓f · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓f · 𝑓) supp 0))) = 𝐼)
8444, 83sylib 218 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (((𝑓f · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓f · 𝑓) supp 0))) = 𝐼)
8584eleq2d 2824 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑥 ∈ (((𝑓f · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓f · 𝑓) supp 0))) ↔ 𝑥𝐼))
86853adant3 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (𝑥 ∈ (((𝑓f · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓f · 𝑓) supp 0))) ↔ 𝑥𝐼))
8786biimpar 477 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ (((𝑓f · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓f · 𝑓) supp 0))))
88 elun 4162 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (((𝑓f · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓f · 𝑓) supp 0))) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑓f · 𝑓) supp 0))))
8987, 88sylib 218 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑓f · 𝑓) supp 0))))
9070, 82, 89mpjaodan 960 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) = 0)
9190ralrimiva 3143 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) = 0)
92 fconstfv 7231 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟶{0} ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) = 0))
93 c0ex 11252 . . . . . . . 8 0 ∈ V
9493fconst2 7224 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟶{0} ↔ 𝑓 = (𝐼 × {0}))
9592, 94sylbb1 237 . . . . . 6 ((𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) = 0) → 𝑓 = (𝐼 × {0}))
9618, 91, 95syl2anc 584 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → 𝑓 = (𝐼 × {0}))
97 isfld 20756 . . . . . . . . . . 11 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
9813, 97mpbi 230 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing)
9998simpli 483 . . . . . . . . 9 fld ∈ DivRing
100 drngring 20752 . . . . . . . . 9 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
10199, 100ax-mp 5 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
1026, 11frlm0 21791 . . . . . . . 8 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {0}) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
103101, 102mpan 690 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝐼 × {0}) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
104103, 15eqtr3di 2789 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (𝑥𝐼 ↦ 0))
1051043ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (𝑥𝐼 ↦ 0))
10615, 96, 1053eqtr4a 2800 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → 𝑓 = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
107 cjre 15174 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (∗‘𝑥) = 𝑥)
108107adantl 481 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ ℝ) → (∗‘𝑥) = 𝑥)
109 id 22 . . . 4 (𝐼𝑉𝐼𝑉)
1106, 7, 8, 4, 9, 10, 11, 12, 14, 106, 108, 109frlmphl 21818 . . 3 (𝐼𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ PreHil)
1116frlmsca 21790 . . . . 5 ((ℝfld ∈ Field ∧ 𝐼𝑉) → ℝfld = (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
11213, 111mpan 690 . . . 4 (𝐼𝑉 → ℝfld = (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
113 df-refld 21640 . . . 4 fld = (ℂflds ℝ)
114112, 113eqtr3di 2789 . . 3 (𝐼𝑉 → (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (ℂflds ℝ))
115 simpr1 1193 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑓)) → 𝑓 ∈ ℝ)
116 simpr3 1195 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑓)) → 0 ≤ 𝑓)
117115, 116resqrtcld 15452 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑓)) → (√‘𝑓) ∈ ℝ)
11855, 56, 58fsumge0 15827 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 0 ≤ Σ𝑥 ∈ ((𝑓f · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
119118, 49breqtrrd 5175 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 0 ≤ (ℝfld Σg (𝑓f · 𝑓)))
120119, 23breqtrrd 5175 . . 3 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 0 ≤ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))
1213, 4, 5, 110, 114, 9, 117, 120tcphcph 25284 . 2 (𝐼𝑉 → (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∈ ℂPreHil)
1222, 121eqeltrd 2838 1 (𝐼𝑉𝐻 ∈ ℂPreHil)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  Vcvv 3477  cdif 3959  cun 3960  wss 3962  {csn 4630   class class class wbr 5147  cmpt 5230   × cxp 5686  Fun wfun 6556   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  f cof 7694   supp csupp 8183   finSupp cfsupp 9398  cr 11151  0cc0 11152   · cmul 11157  cle 11293  ccj 15131  Σcsu 15718  Basecbs 17244  s cress 17273  Scalarcsca 17300  ·𝑖cip 17302  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  Ringcrg 20250  CRingccrg 20251  DivRingcdr 20745  Fieldcfield 20746  fldccnfld 21381  fldcrefld 21639   freeLMod cfrlm 21783  ℂPreHilccph 25213  toℂPreHilctcph 25214  ℝ^crrx 25430
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-supp 8184  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-ixp 8936  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fsupp 9399  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17468  df-topn 17469  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-topgen 17489  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-cntz 19347  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-field 20748  df-abv 20826  df-staf 20856  df-srng 20857  df-lmod 20876  df-lss 20947  df-lmhm 21038  df-lvec 21119  df-sra 21189  df-rgmod 21190  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-cnfld 21382  df-refld 21640  df-phl 21661  df-dsmm 21769  df-frlm 21784  df-top 22915  df-topon 22932  df-topsp 22954  df-bases 22968  df-xms 24345  df-ms 24346  df-nm 24610  df-ngp 24611  df-tng 24612  df-nrg 24613  df-nlm 24614  df-clm 25109  df-cph 25215  df-tcph 25216  df-rrx 25432
This theorem is referenced by:  rrxngp  46240
  Copyright terms: Public domain W3C validator