Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rrxcph Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rrxcph 23598
 Description: Generalized Euclidean real spaces are subcomplex pre-Hilbert spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 23-Jun-2019.) (Proof shortened by AV, 22-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
rrxval.r 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
rrxbase.b 𝐵 = (Base‘𝐻)
Assertion
Ref Expression
rrxcph (𝐼𝑉𝐻 ∈ ℂPreHil)

Proof of Theorem rrxcph
Dummy variables 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rrxval.r . . 3 𝐻 = (ℝ^‘𝐼)
21rrxval 23593 . 2 (𝐼𝑉𝐻 = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
3 eqid 2778 . . 3 (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
4 eqid 2778 . . 3 (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
5 eqid 2778 . . 3 (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
6 eqid 2778 . . . 4 (ℝfld freeLMod 𝐼) = (ℝfld freeLMod 𝐼)
7 rebase 20349 . . . 4 ℝ = (Base‘ℝfld)
8 remulr 20354 . . . 4 · = (.r‘ℝfld)
9 eqid 2778 . . . 4 (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
10 eqid 2778 . . . 4 (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼))
11 re0g 20355 . . . 4 0 = (0g‘ℝfld)
12 refldcj 20363 . . . 4 ∗ = (*𝑟‘ℝfld)
13 refld 20362 . . . . 5 fld ∈ Field
1413a1i 11 . . . 4 (𝐼𝑉 → ℝfld ∈ Field)
15 fconstmpt 5411 . . . . 5 (𝐼 × {0}) = (𝑥𝐼 ↦ 0)
166, 7, 4frlmbasf 20503 . . . . . . . 8 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓:𝐼⟶ℝ)
1716ffnd 6292 . . . . . . 7 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓 Fn 𝐼)
18173adant3 1123 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → 𝑓 Fn 𝐼)
19 simpl 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝐼𝑉)
2013a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → ℝfld ∈ Field)
21 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
226, 7, 8, 4, 9frlmipval 20522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐼𝑉 ∧ ℝfld ∈ Field) ∧ (𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ 𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Σg (𝑓𝑓 · 𝑓)))
2319, 20, 21, 21, 22syl22anc 829 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = (ℝfld Σg (𝑓𝑓 · 𝑓)))
24 ovexd 6956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) ∈ V)
25 inidm 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐼𝐼) = 𝐼
26 eqidd 2779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) = (𝑓𝑥))
2717, 17, 19, 19, 25, 26, 26offval 7181 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓𝑓 · 𝑓) = (𝑥𝐼 ↦ ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥))))
2817, 17, 19, 19, 25, 26, 26ofval 7183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
2916ffvelrnda 6623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
3029, 29remulcld 10407 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) ∈ ℝ)
3128, 30eqeltrd 2859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) ∈ ℝ)
3224, 27, 31fmpt2d 6657 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓𝑓 · 𝑓):𝐼⟶ℝ)
33 ovexd 6956 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓𝑓 · 𝑓) ∈ V)
3432ffund 6295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → Fun (𝑓𝑓 · 𝑓))
356, 11, 4frlmbasfsupp 20501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 𝑓 finSupp 0)
36 0red 10380 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 0 ∈ ℝ)
37 simpr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
3837recnd 10405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℂ)
3938mul02d 10574 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (0 · 𝑥) = 0)
4019, 36, 16, 16, 39suppofss1d 7614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ (𝑓 supp 0))
41 fsuppsssupp 8579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝑓𝑓 · 𝑓) ∈ V ∧ Fun (𝑓𝑓 · 𝑓)) ∧ (𝑓 finSupp 0 ∧ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ (𝑓 supp 0))) → (𝑓𝑓 · 𝑓) finSupp 0)
4233, 34, 35, 40, 41syl22anc 829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓𝑓 · 𝑓) finSupp 0)
43 regsumsupp 20365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑓𝑓 · 𝑓):𝐼⟶ℝ ∧ (𝑓𝑓 · 𝑓) finSupp 0 ∧ 𝐼𝑉) → (ℝfld Σg (𝑓𝑓 · 𝑓)) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥))
4432, 42, 19, 43syl3anc 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (ℝfld Σg (𝑓𝑓 · 𝑓)) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥))
45 suppssdm 7589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓 supp 0) ⊆ dom 𝑓
4645, 16fssdm 6307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓 supp 0) ⊆ 𝐼)
4740, 46sstrd 3831 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ 𝐼)
4847sselda 3821 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → 𝑥𝐼)
4948, 28syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
5049sumeq2dv 14841 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
5144, 50eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (ℝfld Σg (𝑓𝑓 · 𝑓)) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
5223, 51eqtrd 2814 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
53523adant3 1123 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
54 simp3 1129 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0)
5553, 54eqtr3d 2816 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0)
5635fsuppimpd 8570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑓 supp 0) ∈ Fin)
57 ssfi 8468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑓 supp 0) ∈ Fin ∧ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ (𝑓 supp 0)) → ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∈ Fin)
5856, 40, 57syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∈ Fin)
5948, 30syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) ∈ ℝ)
6029msqge0d 10943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ≤ ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
6148, 60syldan 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → 0 ≤ ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
6258, 59, 61fsum00 14934 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0))
63623adant3 1123 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0 ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0))
6455, 63mpbid 224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → ∀𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0)
6564r19.21bi 3114 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0)
6665adantlr 705 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0)
67293adantl3 1170 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℝ)
6867recnd 10405 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) ∈ ℂ)
6968, 68mul0ord 11025 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0 ↔ ((𝑓𝑥) = 0 ∨ (𝑓𝑥) = 0)))
7069adantr 474 . . . . . . . . . 10 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → (((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0 ↔ ((𝑓𝑥) = 0 ∨ (𝑓𝑥) = 0)))
7166, 70mpbid 224 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → ((𝑓𝑥) = 0 ∨ (𝑓𝑥) = 0))
72 oridm 891 . . . . . . . . 9 (((𝑓𝑥) = 0 ∨ (𝑓𝑥) = 0) ↔ (𝑓𝑥) = 0)
7371, 72sylib 210 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)) → (𝑓𝑥) = 0)
74323adant3 1123 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (𝑓𝑓 · 𝑓):𝐼⟶ℝ)
7574adantr 474 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑓 · 𝑓):𝐼⟶ℝ)
76 ssidd 3843 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))
77 simpl1 1199 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → 𝐼𝑉)
78 0red 10380 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → 0 ∈ ℝ)
7975, 76, 77, 78suppssr 7608 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))) → ((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = 0)
80283adantl3 1170 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → ((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
8180eqeq1d 2780 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)) = 0))
8281, 69bitrd 271 . . . . . . . . . . 11 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = 0 ↔ ((𝑓𝑥) = 0 ∨ (𝑓𝑥) = 0)))
8382, 72syl6bb 279 . . . . . . . . . 10 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = 0 ↔ (𝑓𝑥) = 0))
8483biimpa 470 . . . . . . . . 9 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ ((𝑓𝑓 · 𝑓)‘𝑥) = 0) → (𝑓𝑥) = 0)
8579, 84syldan 585 . . . . . . . 8 ((((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))) → (𝑓𝑥) = 0)
86 undif 4273 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ⊆ 𝐼 ↔ (((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))) = 𝐼)
8747, 86sylib 210 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))) = 𝐼)
8887eleq2d 2845 . . . . . . . . . . 11 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → (𝑥 ∈ (((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))) ↔ 𝑥𝐼))
89883adant3 1123 . . . . . . . . . 10 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (𝑥 ∈ (((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))) ↔ 𝑥𝐼))
9089biimpar 471 . . . . . . . . 9 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → 𝑥 ∈ (((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))))
91 elun 3976 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ (((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∪ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))) ↔ (𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))))
9290, 91sylib 210 . . . . . . . 8 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0) ∨ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0))))
9373, 85, 92mpjaodan 944 . . . . . . 7 (((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) ∧ 𝑥𝐼) → (𝑓𝑥) = 0)
9493ralrimiva 3148 . . . . . 6 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) = 0)
95 fconstfv 6748 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟶{0} ↔ (𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) = 0))
96 c0ex 10370 . . . . . . . 8 0 ∈ V
9796fconst2 6742 . . . . . . 7 (𝑓:𝐼⟶{0} ↔ 𝑓 = (𝐼 × {0}))
9895, 97sylbb1 229 . . . . . 6 ((𝑓 Fn 𝐼 ∧ ∀𝑥𝐼 (𝑓𝑥) = 0) → 𝑓 = (𝐼 × {0}))
9918, 94, 98syl2anc 579 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → 𝑓 = (𝐼 × {0}))
100 isfld 19148 . . . . . . . . . . 11 (ℝfld ∈ Field ↔ (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing))
10113, 100mpbi 222 . . . . . . . . . 10 (ℝfld ∈ DivRing ∧ ℝfld ∈ CRing)
102101simpli 478 . . . . . . . . 9 fld ∈ DivRing
103 drngring 19146 . . . . . . . . 9 (ℝfld ∈ DivRing → ℝfld ∈ Ring)
104102, 103ax-mp 5 . . . . . . . 8 fld ∈ Ring
1056, 11frlm0 20497 . . . . . . . 8 ((ℝfld ∈ Ring ∧ 𝐼𝑉) → (𝐼 × {0}) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
106104, 105mpan 680 . . . . . . 7 (𝐼𝑉 → (𝐼 × {0}) = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
10715, 106syl5reqr 2829 . . . . . 6 (𝐼𝑉 → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (𝑥𝐼 ↦ 0))
1081073ad2ant1 1124 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (𝑥𝐼 ↦ 0))
10915, 99, 1083eqtr4a 2840 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∧ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓) = 0) → 𝑓 = (0g‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
110 cjre 14286 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ → (∗‘𝑥) = 𝑥)
111110adantl 475 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑥 ∈ ℝ) → (∗‘𝑥) = 𝑥)
112 id 22 . . . 4 (𝐼𝑉𝐼𝑉)
1136, 7, 8, 4, 9, 10, 11, 12, 14, 109, 111, 112frlmphl 20524 . . 3 (𝐼𝑉 → (ℝfld freeLMod 𝐼) ∈ PreHil)
114 df-refld 20348 . . . 4 fld = (ℂflds ℝ)
1156frlmsca 20496 . . . . 5 ((ℝfld ∈ Field ∧ 𝐼𝑉) → ℝfld = (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
11613, 115mpan 680 . . . 4 (𝐼𝑉 → ℝfld = (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼)))
117114, 116syl5reqr 2829 . . 3 (𝐼𝑉 → (Scalar‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) = (ℂflds ℝ))
118 simpr1 1205 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑓)) → 𝑓 ∈ ℝ)
119 simpr3 1209 . . . 4 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑓)) → 0 ≤ 𝑓)
120118, 119resqrtcld 14564 . . 3 ((𝐼𝑉 ∧ (𝑓 ∈ ℝ ∧ 𝑓 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑓)) → (√‘𝑓) ∈ ℝ)
12158, 59, 61fsumge0 14931 . . . . 5 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 0 ≤ Σ𝑥 ∈ ((𝑓𝑓 · 𝑓) supp 0)((𝑓𝑥) · (𝑓𝑥)))
122121, 51breqtrrd 4914 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 0 ≤ (ℝfld Σg (𝑓𝑓 · 𝑓)))
123122, 23breqtrrd 4914 . . 3 ((𝐼𝑉𝑓 ∈ (Base‘(ℝfld freeLMod 𝐼))) → 0 ≤ (𝑓(·𝑖‘(ℝfld freeLMod 𝐼))𝑓))
1243, 4, 5, 113, 117, 9, 120, 123tcphcph 23443 . 2 (𝐼𝑉 → (toℂPreHil‘(ℝfld freeLMod 𝐼)) ∈ ℂPreHil)
1252, 124eqeltrd 2859 1 (𝐼𝑉𝐻 ∈ ℂPreHil)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∨ wo 836   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  Vcvv 3398   ∖ cdif 3789   ∪ cun 3790   ⊆ wss 3792  {csn 4398   class class class wbr 4886   ↦ cmpt 4965   × cxp 5353  Fun wfun 6129   Fn wfn 6130  ⟶wf 6131  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ∘𝑓 cof 7172   supp csupp 7576  Fincfn 8241   finSupp cfsupp 8563  ℝcr 10271  0cc0 10272   · cmul 10277   ≤ cle 10412  ∗ccj 14243  Σcsu 14824  Basecbs 16255   ↾s cress 16256  Scalarcsca 16341  ·𝑖cip 16343  0gc0g 16486   Σg cgsu 16487  Ringcrg 18934  CRingccrg 18935  DivRingcdr 19139  Fieldcfield 19140  ℂfldccnfld 20142  ℝfldcrefld 20347   freeLMod cfrlm 20489  ℂPreHilccph 23373  toℂPreHilctcph 23374  ℝ^crrx 23589 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-inf2 8835  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-pre-sup 10350  ax-addf 10351  ax-mulf 10352 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-se 5315  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-isom 6144  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-tpos 7634  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-inf 8637  df-oi 8704  df-card 9098  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-div 11033  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-q 12096  df-rp 12138  df-xneg 12257  df-xadd 12258  df-xmul 12259  df-ico 12493  df-fz 12644  df-fzo 12785  df-seq 13120  df-exp 13179  df-hash 13436  df-cj 14246  df-re 14247  df-im 14248  df-sqrt 14382  df-abs 14383  df-clim 14627  df-sum 14825  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-starv 16353  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-unif 16361  df-hom 16362  df-cco 16363  df-rest 16469  df-topn 16470  df-0g 16488  df-gsum 16489  df-topgen 16490  df-prds 16494  df-pws 16496  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-mhm 17721  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-ghm 18042  df-cntz 18133  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-cring 18937  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-rnghom 19104  df-drng 19141  df-field 19142  df-subrg 19170  df-abv 19209  df-staf 19237  df-srng 19238  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lmhm 19417  df-lvec 19498  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-psmet 20134  df-xmet 20135  df-met 20136  df-bl 20137  df-mopn 20138  df-cnfld 20143  df-refld 20348  df-phl 20369  df-dsmm 20475  df-frlm 20490  df-top 21106  df-topon 21123  df-topsp 21145  df-bases 21158  df-xms 22533  df-ms 22534  df-nm 22795  df-ngp 22796  df-tng 22797  df-nrg 22798  df-nlm 22799  df-clm 23270  df-cph 23375  df-tcph 23376  df-rrx 23591 This theorem is referenced by:  rrxngp  41433
 Copyright terms: Public domain W3C validator