MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfcf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isfcf 23951
Description: The property of being a cluster point of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfcf ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐽 fClusf 𝐿)β€˜πΉ) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘œ   π‘œ,𝑠,𝐽   π‘œ,𝐿,𝑠   π‘œ,𝐹,𝑠   π‘œ,𝑋,𝑠   π‘œ,π‘Œ,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑠)
Proof of Theorem isfcf
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fcfval 23950 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝐽 fClusf 𝐿)β€˜πΉ) = (𝐽 fClus ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)))
21eleq2d 2815 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐽 fClusf 𝐿)β€˜πΉ) ↔ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ))))
3 simp1 1134 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4 toponmax 22841 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
5 filfbas 23765 . . . 4 (𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐿 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
6 id 22 . . . 4 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
7 fmfil 23861 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝐿 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
84, 5, 6, 7syl3an 1158 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
9 fclsopn 23931 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…))))
103, 8, 9syl2anc 583 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…))))
11 simpll1 1210 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1211, 4syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
13 simpll2 1211 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
1413, 5syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ 𝐿 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
15 simpll3 1212 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
16 simpl2 1190 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
17 fgfil 23792 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘ŒfilGen𝐿) = 𝐿)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (π‘ŒfilGen𝐿) = 𝐿)
1918eleq2d 2815 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (𝑠 ∈ (π‘ŒfilGen𝐿) ↔ 𝑠 ∈ 𝐿))
2019biimpar 477 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ 𝑠 ∈ (π‘ŒfilGen𝐿))
21 eqid 2728 . . . . . . . . . 10 (π‘ŒfilGen𝐿) = (π‘ŒfilGen𝐿)
2221imaelfm 23868 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝐿 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑠 ∈ (π‘ŒfilGen𝐿)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑠) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ))
2312, 14, 15, 20, 22syl31anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ (𝐹 β€œ 𝑠) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ))
24 ineq2 4206 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝐹 β€œ 𝑠) β†’ (π‘œ ∩ π‘₯) = (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)))
2524neeq1d 2997 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝐹 β€œ 𝑠) β†’ ((π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ… ↔ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
2625rspcv 3605 . . . . . . . 8 ((𝐹 β€œ 𝑠) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ… β†’ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
2723, 26syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ… β†’ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
2827ralrimdva 3151 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
29 elfm 23864 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝐿 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯)))
304, 5, 6, 29syl3an 1158 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯)))
3130adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯)))
3231simplbda 499 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯)
33 r19.29r 3113 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 ((𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯ ∧ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
34 sslin 4235 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯ β†’ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) βŠ† (π‘œ ∩ π‘₯))
35 ssn0 4401 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) βŠ† (π‘œ ∩ π‘₯) ∧ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ (π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…)
3634, 35sylan 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯ ∧ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ (π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…)
3736rexlimivw 3148 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 ((𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯ ∧ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ (π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…)
3833, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ (π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…)
3938ex 412 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… β†’ (π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…))
4032, 39syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… β†’ (π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…))
4140ralrimdva 3151 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…))
4228, 41impbid 211 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ… ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
4342imbi2d 340 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ ((𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…) ↔ (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…)))
4443ralbidva 3172 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…)))
4544anbi2d 629 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))))
462, 10, 453bitrd 305 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐽 fClusf 𝐿)β€˜πΉ) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323   β€œ cima 5681  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  fBascfbas 21267  filGencfg 21268  TopOnctopon 22825  Filcfil 23762   FilMap cfm 23850   fClus cfcls 23853   fClusf cfcf 23854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8847  df-fbas 21276  df-fg 21277  df-top 22809  df-topon 22826  df-cld 22936  df-ntr 22937  df-cls 22938  df-fil 23763  df-fm 23855  df-fcls 23858  df-fcf 23859
This theorem is referenced by:  fcfnei  23952
  Copyright terms: Public domain W3C validator