MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfcf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isfcf 23401
Description: The property of being a cluster point of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfcf ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐽 fClusf 𝐿)β€˜πΉ) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘œ   π‘œ,𝑠,𝐽   π‘œ,𝐿,𝑠   π‘œ,𝐹,𝑠   π‘œ,𝑋,𝑠   π‘œ,π‘Œ,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑠)

Proof of Theorem isfcf
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fcfval 23400 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝐽 fClusf 𝐿)β€˜πΉ) = (𝐽 fClus ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)))
21eleq2d 2824 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐽 fClusf 𝐿)β€˜πΉ) ↔ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ))))
3 simp1 1137 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4 toponmax 22291 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
5 filfbas 23215 . . . 4 (𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐿 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
6 id 22 . . . 4 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
7 fmfil 23311 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝐿 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
84, 5, 6, 7syl3an 1161 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
9 fclsopn 23381 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…))))
103, 8, 9syl2anc 585 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…))))
11 simpll1 1213 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1211, 4syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
13 simpll2 1214 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
1413, 5syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ 𝐿 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
15 simpll3 1215 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
16 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
17 fgfil 23242 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘ŒfilGen𝐿) = 𝐿)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (π‘ŒfilGen𝐿) = 𝐿)
1918eleq2d 2824 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (𝑠 ∈ (π‘ŒfilGen𝐿) ↔ 𝑠 ∈ 𝐿))
2019biimpar 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ 𝑠 ∈ (π‘ŒfilGen𝐿))
21 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (π‘ŒfilGen𝐿) = (π‘ŒfilGen𝐿)
2221imaelfm 23318 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝐿 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑠 ∈ (π‘ŒfilGen𝐿)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑠) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ))
2312, 14, 15, 20, 22syl31anc 1374 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ (𝐹 β€œ 𝑠) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ))
24 ineq2 4171 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝐹 β€œ 𝑠) β†’ (π‘œ ∩ π‘₯) = (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)))
2524neeq1d 3004 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝐹 β€œ 𝑠) β†’ ((π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ… ↔ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
2625rspcv 3580 . . . . . . . 8 ((𝐹 β€œ 𝑠) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ… β†’ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
2723, 26syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ… β†’ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
2827ralrimdva 3152 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
29 elfm 23314 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝐿 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯)))
304, 5, 6, 29syl3an 1161 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯)))
3130adantr 482 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯)))
3231simplbda 501 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯)
33 r19.29r 3120 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 ((𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯ ∧ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
34 sslin 4199 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯ β†’ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) βŠ† (π‘œ ∩ π‘₯))
35 ssn0 4365 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) βŠ† (π‘œ ∩ π‘₯) ∧ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ (π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…)
3634, 35sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯ ∧ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ (π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…)
3736rexlimivw 3149 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 ((𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯ ∧ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ (π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…)
3833, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ (π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…)
3938ex 414 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… β†’ (π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…))
4032, 39syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… β†’ (π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…))
4140ralrimdva 3152 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…))
4228, 41impbid 211 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ… ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
4342imbi2d 341 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ ((𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…) ↔ (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…)))
4443ralbidva 3173 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…)))
4544anbi2d 630 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))))
462, 10, 453bitrd 305 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐽 fClusf 𝐿)β€˜πΉ) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287   β€œ cima 5641  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  fBascfbas 20800  filGencfg 20801  TopOnctopon 22275  Filcfil 23212   FilMap cfm 23300   fClus cfcls 23303   fClusf cfcf 23304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-map 8774  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-top 22259  df-topon 22276  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-fil 23213  df-fm 23305  df-fcls 23308  df-fcf 23309
This theorem is referenced by:  fcfnei  23402
  Copyright terms: Public domain W3C validator