MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  isfcf Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem isfcf 23529
Description: The property of being a cluster point of a function. (Contributed by Jeff Hankins, 24-Nov-2009.) (Revised by Stefan O'Rear, 9-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
isfcf ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐽 fClusf 𝐿)β€˜πΉ) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘œ   π‘œ,𝑠,𝐽   π‘œ,𝐿,𝑠   π‘œ,𝐹,𝑠   π‘œ,𝑋,𝑠   π‘œ,π‘Œ,𝑠
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑠)
Proof of Theorem isfcf
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fcfval 23528 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝐽 fClusf 𝐿)β€˜πΉ) = (𝐽 fClus ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)))
21eleq2d 2819 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐽 fClusf 𝐿)β€˜πΉ) ↔ 𝐴 ∈ (𝐽 fClus ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ))))
3 simp1 1136 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
4 toponmax 22419 . . . 4 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
5 filfbas 23343 . . . 4 (𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ 𝐿 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
6 id 22 . . . 4 (𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹ β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
7 fmfil 23439 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝐿 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
84, 5, 6, 7syl3an 1160 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ∈ (Filβ€˜π‘‹))
9 fclsopn 23509 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ∈ (Filβ€˜π‘‹)) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…))))
103, 8, 9syl2anc 584 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ (𝐽 fClus ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…))))
11 simpll1 1212 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹))
1211, 4syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ 𝑋 ∈ 𝐽)
13 simpll2 1213 . . . . . . . . . 10 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
1413, 5syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ 𝐿 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ))
15 simpll3 1214 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹)
16 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ))
17 fgfil 23370 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) β†’ (π‘ŒfilGen𝐿) = 𝐿)
1816, 17syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (π‘ŒfilGen𝐿) = 𝐿)
1918eleq2d 2819 . . . . . . . . . 10 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (𝑠 ∈ (π‘ŒfilGen𝐿) ↔ 𝑠 ∈ 𝐿))
2019biimpar 478 . . . . . . . . 9 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ 𝑠 ∈ (π‘ŒfilGen𝐿))
21 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (π‘ŒfilGen𝐿) = (π‘ŒfilGen𝐿)
2221imaelfm 23446 . . . . . . . . 9 (((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝐿 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ 𝑠 ∈ (π‘ŒfilGen𝐿)) β†’ (𝐹 β€œ 𝑠) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ))
2312, 14, 15, 20, 22syl31anc 1373 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ (𝐹 β€œ 𝑠) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ))
24 ineq2 4205 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = (𝐹 β€œ 𝑠) β†’ (π‘œ ∩ π‘₯) = (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)))
2524neeq1d 3000 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (𝐹 β€œ 𝑠) β†’ ((π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ… ↔ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
2625rspcv 3608 . . . . . . . 8 ((𝐹 β€œ 𝑠) ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ… β†’ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
2723, 26syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ 𝑠 ∈ 𝐿) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ… β†’ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
2827ralrimdva 3154 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
29 elfm 23442 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ 𝐽 ∧ 𝐿 ∈ (fBasβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯)))
304, 5, 6, 29syl3an 1160 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯)))
3130adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝑋 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯)))
3231simplbda 500 . . . . . . . 8 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯)
33 r19.29r 3116 . . . . . . . . . 10 ((βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 ((𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯ ∧ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
34 sslin 4233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯ β†’ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) βŠ† (π‘œ ∩ π‘₯))
35 ssn0 4399 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) βŠ† (π‘œ ∩ π‘₯) ∧ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ (π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…)
3634, 35sylan 580 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯ ∧ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ (π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…)
3736rexlimivw 3151 . . . . . . . . . 10 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 ((𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯ ∧ (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ (π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…)
3833, 37syl 17 . . . . . . . . 9 ((βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯ ∧ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…) β†’ (π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…)
3938ex 413 . . . . . . . 8 (βˆƒπ‘  ∈ 𝐿 (𝐹 β€œ 𝑠) βŠ† π‘₯ β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… β†’ (π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…))
4032, 39syl 17 . . . . . . 7 ((((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) ∧ π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… β†’ (π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…))
4140ralrimdva 3154 . . . . . 6 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ… β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…))
4228, 41impbid 211 . . . . 5 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ… ↔ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))
4342imbi2d 340 . . . 4 (((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) ∧ π‘œ ∈ 𝐽) β†’ ((𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…) ↔ (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…)))
4443ralbidva 3175 . . 3 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…) ↔ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…)))
4544anbi2d 629 . 2 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ((𝑋 FilMap 𝐹)β€˜πΏ)(π‘œ ∩ π‘₯) β‰  βˆ…)) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))))
462, 10, 453bitrd 304 1 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π‘‹) ∧ 𝐿 ∈ (Filβ€˜π‘Œ) ∧ 𝐹:π‘ŒβŸΆπ‘‹) β†’ (𝐴 ∈ ((𝐽 fClusf 𝐿)β€˜πΉ) ↔ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ βˆ€π‘œ ∈ 𝐽 (𝐴 ∈ π‘œ β†’ βˆ€π‘  ∈ 𝐿 (π‘œ ∩ (𝐹 β€œ 𝑠)) β‰  βˆ…))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321   β€œ cima 5678  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  fBascfbas 20924  filGencfg 20925  TopOnctopon 22403  Filcfil 23340   FilMap cfm 23428   fClus cfcls 23431   fClusf cfcf 23432
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8818  df-fbas 20933  df-fg 20934  df-top 22387  df-topon 22404  df-cld 22514  df-ntr 22515  df-cls 22516  df-fil 23341  df-fm 23433  df-fcls 23436  df-fcf 23437
This theorem is referenced by:  fcfnei  23530
  Copyright terms: Public domain W3C validator