MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnextcn 22593
Description: Extension by continuity. Theorem 1 of [BourbakiTop1] p. I.57. Given a topology 𝐽 on 𝐶, a subset 𝐴 dense in 𝐶, this states a condition for 𝐹 from 𝐴 to a regular space 𝐾 to be extensible by continuity. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1 𝐶 = 𝐽
cnextf.2 𝐵 = 𝐾
cnextf.3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
cnextf.4 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
cnextf.5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
cnextf.a (𝜑𝐴𝐶)
cnextf.6 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
cnextf.7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
cnextcn.8 (𝜑𝐾 ∈ Reg)
Assertion
Ref Expression
cnextcn (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Proof of Theorem cnextcn
Dummy variables 𝑦 𝑏 𝑑 𝑢 𝑣 𝑧 𝑤 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 763 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → 𝜑)
2 simpll 763 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ (𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}) ∧ 𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤)) → 𝜑)
3 simpr3 1190 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ (𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}) ∧ 𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤)) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤)
4 cnextf.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ Top)
54ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ (𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}) ∧ 𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤)) → 𝐽 ∈ Top)
6 simpr2 1189 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ (𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}) ∧ 𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤)) → 𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
7 neii2 21634 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})) → ∃𝑣𝐽 ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑))
85, 6, 7syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ (𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}) ∧ 𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤)) → ∃𝑣𝐽 ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑))
9 vex 3502 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 ∈ V
109snss 4716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝑣 ↔ {𝑥} ⊆ 𝑣)
1110biimpri 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑥𝑣)
1211anim1i 614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑) → (𝑥𝑣𝑣𝑑))
1312anim2i 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐽 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑)) → (𝑣𝐽 ∧ (𝑥𝑣𝑣𝑑)))
1413anim2i 616 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑣𝐽 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑))) → (𝜑 ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝑥𝑣𝑣𝑑))))
1514ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑣𝐽 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑)) → (𝜑 ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝑥𝑣𝑣𝑑)))))
16 3anass 1089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑣𝐽𝑥𝑣) ↔ (𝜑 ∧ (𝑣𝐽𝑥𝑣)))
1716anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝐽𝑥𝑣) ∧ 𝑣𝑑) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑣𝐽𝑥𝑣)) ∧ 𝑣𝑑))
18 anass 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑣𝐽𝑥𝑣)) ∧ 𝑣𝑑) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑣𝐽𝑥𝑣) ∧ 𝑣𝑑)))
19 anass 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑣𝐽𝑥𝑣) ∧ 𝑣𝑑) ↔ (𝑣𝐽 ∧ (𝑥𝑣𝑣𝑑)))
2019anbi2i 622 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑣𝐽𝑥𝑣) ∧ 𝑣𝑑)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝑥𝑣𝑣𝑑))))
2117, 18, 203bitri 298 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣𝐽𝑥𝑣) ∧ 𝑣𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝑥𝑣𝑣𝑑))))
22 opnneip 21645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑣𝐽𝑥𝑣) → 𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
234, 22syl3an1 1157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑣𝐽𝑥𝑣) → 𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
2423adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝐽𝑥𝑣) ∧ 𝑣𝑑) → 𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
25 simpr2 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣𝑑 ∧ (𝜑𝑣𝐽𝑥𝑣)) → 𝑣𝐽)
2625ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣𝑑 → ((𝜑𝑣𝐽𝑥𝑣) → 𝑣𝐽))
2726imdistanri 570 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝐽𝑥𝑣) ∧ 𝑣𝑑) → (𝑣𝐽𝑣𝑑))
2824, 27jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣𝐽𝑥𝑣) ∧ 𝑣𝑑) → (𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ (𝑣𝐽𝑣𝑑)))
2921, 28sylbir 236 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝑥𝑣𝑣𝑑))) → (𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ (𝑣𝐽𝑣𝑑)))
3015, 29syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑣𝐽 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑)) → (𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ (𝑣𝐽𝑣𝑑))))
3130adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) → ((𝑣𝐽 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑)) → (𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ (𝑣𝐽𝑣𝑑))))
32 cnextf.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
33 haustop 21857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐾 ∈ Top)
35 imassrn 5937 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐹 “ (𝑑𝐴)) ⊆ ran 𝐹
36 cnextf.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
3736frnd 6517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → ran 𝐹𝐵)
3835, 37sstrid 3981 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹 “ (𝑑𝐴)) ⊆ 𝐵)
39 ssrin 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣𝑑 → (𝑣𝐴) ⊆ (𝑑𝐴))
40 imass2 5962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑣𝐴) ⊆ (𝑑𝐴) → (𝐹 “ (𝑣𝐴)) ⊆ (𝐹 “ (𝑑𝐴)))
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑣𝑑 → (𝐹 “ (𝑣𝐴)) ⊆ (𝐹 “ (𝑑𝐴)))
42 cnextf.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵 = 𝐾
4342clsss 21580 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹 “ (𝑑𝐴)) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐹 “ (𝑣𝐴)) ⊆ (𝐹 “ (𝑑𝐴))) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))))
4434, 38, 41, 43syl2an3an 1416 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑣𝑑) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))))
45 sstr 3978 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤)
4644, 45sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝑑) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤)
4746an32s 648 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) ∧ 𝑣𝑑) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤)
4847ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) → (𝑣𝑑 → ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤))
4948anim2d 611 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) → ((𝑣𝐽𝑣𝑑) → (𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤)))
5049anim2d 611 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) → ((𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ (𝑣𝐽𝑣𝑑)) → (𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ (𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤))))
5131, 50syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) → ((𝑣𝐽 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑)) → (𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ (𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤))))
5251reximdv2 3275 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) → (∃𝑣𝐽 ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤)))
5352imp 407 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) ∧ ∃𝑣𝐽 ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑)) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤))
542, 3, 8, 53syl21anc 835 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ (𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}) ∧ 𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤)) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤))
55543anassrs 1354 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤))
56 simpr 485 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤)
57 simp-4l 779 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤) → 𝜑)
58 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤) → 𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))
59 imaeq2 5922 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = (𝑑𝐴) → (𝐹𝑢) = (𝐹 “ (𝑑𝐴)))
6059fveq2d 6670 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = (𝑑𝐴) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) = ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))))
6160sseq1d 4001 . . . . . . . . . . . 12 (𝑢 = (𝑑𝐴) → (((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤 ↔ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤))
6261biimpcd 250 . . . . . . . . . . 11 (((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤 → (𝑢 = (𝑑𝐴) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤))
6362reximdv 3277 . . . . . . . . . 10 (((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤 → (∃𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})𝑢 = (𝑑𝐴) → ∃𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤))
64 fvexd 6681 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ V)
65 cnextf.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐶 = 𝐽
6665toptopon 21443 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
674, 66sylib 219 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
6867elfvexd 6700 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐶 ∈ V)
69 cnextf.a . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴𝐶)
7068, 69ssexd 5224 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐴 ∈ V)
71 elrest 16693 . . . . . . . . . . . 12 ((((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})𝑢 = (𝑑𝐴)))
7264, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})𝑢 = (𝑑𝐴)))
7372biimpa 477 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) → ∃𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})𝑢 = (𝑑𝐴))
7463, 73impel 506 . . . . . . . . 9 ((((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤 ∧ (𝜑𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))) → ∃𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤)
7556, 57, 58, 74syl12anc 834 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤) → ∃𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤)
76 cnextf.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
77 eleq1w 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐶𝑦𝐶))
7877anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐶) ↔ (𝜑𝑦𝐶)))
79 sneq 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
8079fveq2d 6670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘{𝑦}))
8180oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
8281oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)))
8382fveq1d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
8483neeq1d 3079 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅ ↔ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅))
8578, 84imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) ↔ ((𝜑𝑦𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)))
86 cnextf.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
8785, 86chvarvv 1998 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
8865, 42, 4, 32, 36, 69, 76, 87cnextfvval 22591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
89 fvex 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ V
9089uniex 7458 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ V
9190snid 4597 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)}
9232adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐾 ∈ Haus)
9376eleq2d 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ 𝑥𝐶))
9493biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
9567adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
9669adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐴𝐶)
97 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
98 trnei 22418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴𝐶𝑥𝐶) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
9995, 96, 97, 98syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
10094, 99mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
10136adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐹:𝐴𝐵)
10242hausflf2 22524 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ Haus ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
10392, 100, 101, 86, 102syl31anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
104 en1b 8569 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o ↔ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)})
105103, 104sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)})
10691, 105eleqtrrid 2924 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
10788, 106eqeltrd 2917 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
10842toptopon 21443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
10934, 108sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
110109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
111 flfnei 22517 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑢) ⊆ 𝑏)))
112110, 100, 101, 111syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐶) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑢) ⊆ 𝑏)))
113107, 112mpbid 233 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐶) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑢) ⊆ 𝑏))
114113simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → ∀𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑢) ⊆ 𝑏)
115114r19.21bi 3212 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑢) ⊆ 𝑏)
116115ad4ant13 747 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → ∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑢) ⊆ 𝑏)
11734ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → 𝐾 ∈ Top)
118 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}))
11942neii1 21632 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → 𝑏𝐵)
120117, 118, 119syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → 𝑏𝐵)
121 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤)
12242clsss 21580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑏𝐵 ∧ (𝐹𝑢) ⊆ 𝑏) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ ((cls‘𝐾)‘𝑏))
123 sstr 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤)
124122, 123sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑏𝐵 ∧ (𝐹𝑢) ⊆ 𝑏) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤)
1251243an1rs 1353 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑏𝐵 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) ∧ (𝐹𝑢) ⊆ 𝑏) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤)
126125ex 413 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑏𝐵 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → ((𝐹𝑢) ⊆ 𝑏 → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤))
127126reximdv 3277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑏𝐵 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → (∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑢) ⊆ 𝑏 → ∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤))
128117, 120, 121, 127syl3anc 1365 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → (∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑢) ⊆ 𝑏 → ∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤))
129128adantllr 715 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → (∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑢) ⊆ 𝑏 → ∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤))
130116, 129mpd 15 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → ∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤)
13134ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → 𝐾 ∈ Top)
132 cnextcn.8 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾 ∈ Reg)
133132ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → 𝐾 ∈ Reg)
134133ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑐𝐾) ∧ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤)) → 𝐾 ∈ Reg)
135 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑐𝐾) ∧ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤)) → 𝑐𝐾)
136 simprl 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑐𝐾) ∧ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤)) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐)
137 regsep 21860 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Reg ∧ 𝑐𝐾 ∧ (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐) → ∃𝑏𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑐))
138134, 135, 136, 137syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑐𝐾) ∧ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤)) → ∃𝑏𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑐))
139 sstr 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑐𝑐𝑤) → ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤)
140139expcom 414 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐𝑤 → (((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑐 → ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤))
141140anim2d 611 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐𝑤 → (((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑐) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤)))
142141reximdv 3277 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐𝑤 → (∃𝑏𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑐) → ∃𝑏𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤)))
143142ad2antll 725 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑐𝐾) ∧ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤)) → (∃𝑏𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑐) → ∃𝑏𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤)))
144138, 143mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑐𝐾) ∧ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤)) → ∃𝑏𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤))
145 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}))
146 neii2 21634 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑐𝐾 ({(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)} ⊆ 𝑐𝑐𝑤))
147 fvex 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ V
148147snss 4716 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐 ↔ {(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)} ⊆ 𝑐)
149148anbi1i 623 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤) ↔ ({(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)} ⊆ 𝑐𝑐𝑤))
150149biimpri 229 . . . . . . . . . . . . . 14 (({(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)} ⊆ 𝑐𝑐𝑤) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤))
151150reximi 3247 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑐𝐾 ({(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)} ⊆ 𝑐𝑐𝑤) → ∃𝑐𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤))
152146, 151syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑐𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤))
153131, 145, 152syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑐𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤))
154144, 153r19.29a 3293 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑏𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤))
155 anass 469 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏𝐾 ∧ (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) ↔ (𝑏𝐾 ∧ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤)))
156 opnneip 21645 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑏𝐾 ∧ (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏) → 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}))
1571563expib 1116 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ Top → ((𝑏𝐾 ∧ (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏) → 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})))
158157anim1d 610 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ Top → (((𝑏𝐾 ∧ (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → (𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤)))
159155, 158syl5bir 244 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ Top → ((𝑏𝐾 ∧ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤)) → (𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤)))
160159reximdv2 3275 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Top → (∃𝑏𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → ∃𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤))
161131, 154, 160sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤)
162130, 161r19.29a 3293 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤)
16375, 162r19.29a 3293 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤)
16455, 163r19.29a 3293 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤))
165 simplr 765 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑣𝐽) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤) ∧ 𝑧𝑣) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤)
166 simpll 763 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → 𝜑)
1674ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → 𝐽 ∈ Top)
168 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → 𝑣𝐽)
16965eltopss 21433 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑣𝐽) → 𝑣𝐶)
170167, 168, 169syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → 𝑣𝐶)
171 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → 𝑧𝑣)
172170, 171sseldd 3971 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → 𝑧𝐶)
173 fvexd 6681 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ V)
17470ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → 𝐴 ∈ V)
175 opnneip 21645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑣𝐽𝑧𝑣) → 𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}))
1764, 175syl3an1 1157 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑣𝐽𝑧𝑣) → 𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}))
1771763expa 1112 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → 𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}))
178 elrestr 16694 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})) → (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))
179173, 174, 177, 178syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))
18065, 42, 4, 32, 36, 69, 76, 86cnextfvval 22591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
181180adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
18232adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐶) → 𝐾 ∈ Haus)
18376eleq2d 2902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑧 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ 𝑧𝐶))
184183biimpar 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧𝐶) → 𝑧 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
18567adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧𝐶) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
18669adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧𝐶) → 𝐴𝐶)
187 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧𝐶) → 𝑧𝐶)
188 trnei 22418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴𝐶𝑧𝐶) → (𝑧 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
189185, 186, 187, 188syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧𝐶) → (𝑧 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
190184, 189mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐶) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
19136adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐶) → 𝐹:𝐴𝐵)
192 eleq1w 2899 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐶𝑧𝐶))
193192anbi2d 628 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → ((𝜑𝑥𝐶) ↔ (𝜑𝑧𝐶)))
194 sneq 4573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑧 → {𝑥} = {𝑧})
195194fveq2d 6670 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑧 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘{𝑧}))
196195oveq1d 7166 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) = (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))
197196oveq2d 7167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑧 → (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)))
198197fveq1d 6668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
199198neeq1d 3079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → (((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅ ↔ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅))
200193, 199imbi12d 346 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) ↔ ((𝜑𝑧𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)))
201200, 86chvarvv 1998 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
20242hausflf2 22524 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ Haus ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
203182, 190, 191, 201, 202syl31anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o)
204 en1b 8569 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1o ↔ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹)})
205203, 204sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹)})
206205adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹)})
207109adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐶) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
208 flfval 22516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = (𝐾 fLim ((𝐵 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))))
209207, 190, 191, 208syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = (𝐾 fLim ((𝐵 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))))
210209adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = (𝐾 fLim ((𝐵 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))))
211 uniexg 7460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ V)
21232, 211syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 𝐾 ∈ V)
213212ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → 𝐾 ∈ V)
21442, 213eqeltrid 2921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → 𝐵 ∈ V)
215190adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
216 filfbas 22374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴))
217215, 216syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴))
21836ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → 𝐹:𝐴𝐵)
219 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))
220 fgfil 22401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) → (𝐴filGen(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) = (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))
221190, 220syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧𝐶) → (𝐴filGen(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) = (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))
222221adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → (𝐴filGen(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) = (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))
223219, 222eleqtrrd 2920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → (𝑣𝐴) ∈ (𝐴filGen(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)))
224 eqid 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴filGen(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) = (𝐴filGen(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))
225224imaelfm 22477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ V ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (𝐴filGen(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))) → (𝐹 “ (𝑣𝐴)) ∈ ((𝐵 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)))
226214, 217, 218, 223, 225syl31anc 1367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → (𝐹 “ (𝑣𝐴)) ∈ ((𝐵 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)))
227 flimclsi 22504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 “ (𝑣𝐴)) ∈ ((𝐵 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → (𝐾 fLim ((𝐵 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))))
228226, 227syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → (𝐾 fLim ((𝐵 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))))
229210, 228eqsstrd 4008 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))))
230206, 229eqsstrrd 4009 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹)} ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))))
231 fvex 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ V
232231uniex 7458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ V
233232snss 4716 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ↔ { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹)} ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))))
234230, 233sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))))
235181, 234eqeltrd 2917 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))))
236166, 172, 179, 235syl21anc 835 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))))
237236adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑣𝐽) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤) ∧ 𝑧𝑣) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))))
238165, 237sseldd 3971 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑣𝐽) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤) ∧ 𝑧𝑣) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑤)
239238ralrimiva 3186 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤) → ∀𝑧𝑣 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑤)
240239expl 458 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤) → ∀𝑧𝑣 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑤))
241240reximdv 3277 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})∀𝑧𝑣 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑤))
242241ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})∀𝑧𝑣 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑤))
243164, 242mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})∀𝑧𝑣 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑤)
24465, 42, 4, 32, 36, 69, 76, 86cnextf 22592 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹):𝐶𝐵)
245244ffund 6514 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
246245adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})) → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
24765neii1 21632 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})) → 𝑣𝐶)
2484, 247sylan 580 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})) → 𝑣𝐶)
249244fdmd 6519 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝐶)
250249adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})) → dom ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝐶)
251248, 250sseqtrrd 4011 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})) → 𝑣 ⊆ dom ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
252 funimass4 6726 . . . . . . . 8 ((Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ∧ 𝑣 ⊆ dom ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) “ 𝑣) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑧𝑣 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑤))
253246, 251, 252syl2anc 584 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) “ 𝑣) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑧𝑣 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑤))
254253biimprd 249 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})) → (∀𝑧𝑣 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑤 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) “ 𝑣) ⊆ 𝑤))
255254reximdva 3278 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})∀𝑧𝑣 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑤 → ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) “ 𝑣) ⊆ 𝑤))
2561, 243, 255sylc 65 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) “ 𝑣) ⊆ 𝑤)
257256ralrimiva 3186 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) “ 𝑣) ⊆ 𝑤)
258257ralrimiva 3186 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐶𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) “ 𝑣) ⊆ 𝑤)
25965, 42cnnei 21808 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹):𝐶𝐵) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑥𝐶𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) “ 𝑣) ⊆ 𝑤))
2604, 34, 244, 259syl3anc 1365 . 2 (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑥𝐶𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) “ 𝑣) ⊆ 𝑤))
261258, 260mpbird 258 1 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  wral 3142  wrex 3143  Vcvv 3499  cin 3938  wss 3939  c0 4294  {csn 4563   cuni 4836   class class class wbr 5062  dom cdm 5553  ran crn 5554  cima 5556  Fun wfun 6345  wf 6347  cfv 6351  (class class class)co 7151  1oc1o 8089  cen 8498  t crest 16686  fBascfbas 20451  filGencfg 20452  Topctop 21419  TopOnctopon 21436  clsccl 21544  neicnei 21623   Cn ccn 21750  Hauscha 21834  Regcreg 21835  Filcfil 22371   FilMap cfm 22459   fLim cflim 22460   fLimf cflf 22461  CnExtccnext 22585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-1o 8096  df-map 8401  df-pm 8402  df-en 8502  df-rest 16688  df-topgen 16709  df-fbas 20460  df-fg 20461  df-top 21420  df-topon 21437  df-cld 21545  df-ntr 21546  df-cls 21547  df-nei 21624  df-cn 21753  df-cnp 21754  df-haus 21841  df-reg 21842  df-fil 22372  df-fm 22464  df-flim 22465  df-flf 22466  df-cnext 22586
This theorem is referenced by:  cnextucn  22829
  Copyright terms: Public domain W3C validator