MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnextcn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnextcn 22150
Description: Extension by continuity. Theorem 1 of [BourbakiTop1] p. I.57. Given a topology 𝐽 on 𝐶, a subset 𝐴 dense in 𝐶, this states a condition for 𝐹 from 𝐴 to a regular space 𝐾 to be extensible by continuity. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Jan-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
cnextf.1 𝐶 = 𝐽
cnextf.2 𝐵 = 𝐾
cnextf.3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
cnextf.4 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
cnextf.5 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
cnextf.a (𝜑𝐴𝐶)
cnextf.6 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
cnextf.7 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
cnextcn.8 (𝜑𝐾 ∈ Reg)
Assertion
Ref Expression
cnextcn (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐹   𝑥,𝐽   𝑥,𝐾   𝜑,𝑥

Proof of Theorem cnextcn
Dummy variables 𝑦 𝑏 𝑑 𝑢 𝑣 𝑧 𝑤 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 783 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → 𝜑)
2 simpll 783 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ (𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}) ∧ 𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤)) → 𝜑)
3 simpr3 1252 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ (𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}) ∧ 𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤)) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤)
4 cnextf.3 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 ∈ Top)
54ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ (𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}) ∧ 𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤)) → 𝐽 ∈ Top)
6 simpr2 1250 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ (𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}) ∧ 𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤)) → 𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
7 neii2 21192 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})) → ∃𝑣𝐽 ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑))
85, 6, 7syl2anc 579 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ (𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}) ∧ 𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤)) → ∃𝑣𝐽 ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑))
9 vex 3353 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥 ∈ V
109snss 4470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝑣 ↔ {𝑥} ⊆ 𝑣)
1110biimpri 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑥𝑣)
1211anim1i 608 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑) → (𝑥𝑣𝑣𝑑))
1312anim2i 610 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣𝐽 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑)) → (𝑣𝐽 ∧ (𝑥𝑣𝑣𝑑)))
1413anim2i 610 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑣𝐽 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑))) → (𝜑 ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝑥𝑣𝑣𝑑))))
1514ex 401 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑣𝐽 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑)) → (𝜑 ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝑥𝑣𝑣𝑑)))))
16 3anass 1116 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑣𝐽𝑥𝑣) ↔ (𝜑 ∧ (𝑣𝐽𝑥𝑣)))
1716anbi1i 617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝐽𝑥𝑣) ∧ 𝑣𝑑) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑣𝐽𝑥𝑣)) ∧ 𝑣𝑑))
18 anass 460 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑 ∧ (𝑣𝐽𝑥𝑣)) ∧ 𝑣𝑑) ↔ (𝜑 ∧ ((𝑣𝐽𝑥𝑣) ∧ 𝑣𝑑)))
19 anass 460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑣𝐽𝑥𝑣) ∧ 𝑣𝑑) ↔ (𝑣𝐽 ∧ (𝑥𝑣𝑣𝑑)))
2019anbi2i 616 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ ((𝑣𝐽𝑥𝑣) ∧ 𝑣𝑑)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝑥𝑣𝑣𝑑))))
2117, 18, 203bitri 288 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣𝐽𝑥𝑣) ∧ 𝑣𝑑) ↔ (𝜑 ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝑥𝑣𝑣𝑑))))
22 opnneip 21203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑣𝐽𝑥𝑣) → 𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
234, 22syl3an1 1202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑣𝐽𝑥𝑣) → 𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
2423adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝐽𝑥𝑣) ∧ 𝑣𝑑) → 𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}))
25 simpr2 1250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑣𝑑 ∧ (𝜑𝑣𝐽𝑥𝑣)) → 𝑣𝐽)
2625ex 401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑣𝑑 → ((𝜑𝑣𝐽𝑥𝑣) → 𝑣𝐽))
2726imdistanri 565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝐽𝑥𝑣) ∧ 𝑣𝑑) → (𝑣𝐽𝑣𝑑))
2824, 27jca 507 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣𝐽𝑥𝑣) ∧ 𝑣𝑑) → (𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ (𝑣𝐽𝑣𝑑)))
2921, 28sylbir 226 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑣𝐽 ∧ (𝑥𝑣𝑣𝑑))) → (𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ (𝑣𝐽𝑣𝑑)))
3015, 29syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑣𝐽 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑)) → (𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ (𝑣𝐽𝑣𝑑))))
3130adantr 472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) → ((𝑣𝐽 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑)) → (𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ (𝑣𝐽𝑣𝑑))))
32 cnextf.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑𝐾 ∈ Haus)
33 haustop 21415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ Top)
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐾 ∈ Top)
3534adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑣𝑑) → 𝐾 ∈ Top)
36 imassrn 5659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐹 “ (𝑑𝐴)) ⊆ ran 𝐹
37 cnextf.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
3837frnd 6230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → ran 𝐹𝐵)
3936, 38syl5ss 3772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑 → (𝐹 “ (𝑑𝐴)) ⊆ 𝐵)
4039adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑣𝑑) → (𝐹 “ (𝑑𝐴)) ⊆ 𝐵)
41 ssrin 3997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑣𝑑 → (𝑣𝐴) ⊆ (𝑑𝐴))
42 imass2 5683 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑣𝐴) ⊆ (𝑑𝐴) → (𝐹 “ (𝑣𝐴)) ⊆ (𝐹 “ (𝑑𝐴)))
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑣𝑑 → (𝐹 “ (𝑣𝐴)) ⊆ (𝐹 “ (𝑑𝐴)))
4443adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑣𝑑) → (𝐹 “ (𝑣𝐴)) ⊆ (𝐹 “ (𝑑𝐴)))
45 cnextf.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝐵 = 𝐾
4645clsss 21138 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 ∈ Top ∧ (𝐹 “ (𝑑𝐴)) ⊆ 𝐵 ∧ (𝐹 “ (𝑣𝐴)) ⊆ (𝐹 “ (𝑑𝐴))) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))))
4735, 40, 44, 46syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑣𝑑) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))))
48 sstr 3769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤)
4947, 48sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑣𝑑) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤)
5049an32s 642 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) ∧ 𝑣𝑑) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤)
5150ex 401 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) → (𝑣𝑑 → ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤))
5251anim2d 605 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) → ((𝑣𝐽𝑣𝑑) → (𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤)))
5352anim2d 605 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) → ((𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ (𝑣𝐽𝑣𝑑)) → (𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ (𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤))))
5431, 53syld 47 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) → ((𝑣𝐽 ∧ ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑)) → (𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ (𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤))))
5554reximdv2 3160 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) → (∃𝑣𝐽 ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤)))
5655imp 395 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) ∧ ∃𝑣𝐽 ({𝑥} ⊆ 𝑣𝑣𝑑)) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤))
572, 3, 8, 56syl21anc 866 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ (𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}) ∧ 𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤)) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤))
58573anassrs 1469 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤))
59 simpr 477 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤)
60 simp-4l 801 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤) → 𝜑)
61 simplr 785 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤) → 𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))
62 fvexd 6390 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ V)
63 cnextf.1 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐶 = 𝐽
6463toptopon 21001 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
654, 64sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
6665elfvexd 6410 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ V)
67 cnextf.a . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐴𝐶)
6866, 67ssexd 4966 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐴 ∈ V)
69 elrest 16354 . . . . . . . . . . . . 13 ((((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) → (𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})𝑢 = (𝑑𝐴)))
7062, 68, 69syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ↔ ∃𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})𝑢 = (𝑑𝐴)))
7170biimpa 468 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) → ∃𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})𝑢 = (𝑑𝐴))
72 imaeq2 5644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑢 = (𝑑𝐴) → (𝐹𝑢) = (𝐹 “ (𝑑𝐴)))
7372fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑢 = (𝑑𝐴) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) = ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))))
7473sseq1d 3792 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑢 = (𝑑𝐴) → (((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤 ↔ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤))
7574biimpcd 240 . . . . . . . . . . . 12 (((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤 → (𝑢 = (𝑑𝐴) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤))
7675reximdv 3162 . . . . . . . . . . 11 (((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤 → (∃𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})𝑢 = (𝑑𝐴) → ∃𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤))
7771, 76syl5 34 . . . . . . . . . 10 (((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤 → ((𝜑𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) → ∃𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤))
7877imp 395 . . . . . . . . 9 ((((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤 ∧ (𝜑𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))) → ∃𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤)
7959, 60, 61, 78syl12anc 865 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤) → ∃𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤)
80 simplll 791 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → (𝜑𝑥𝐶))
81 simplr 785 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}))
82 cnextf.6 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → ((cls‘𝐽)‘𝐴) = 𝐶)
83 eleq1w 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐶𝑦𝐶))
8483anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑𝑥𝐶) ↔ (𝜑𝑦𝐶)))
85 sneq 4344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑦 → {𝑥} = {𝑦})
8685fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑦 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘{𝑦}))
8786oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑦 → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) = (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))
8887oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑦 → (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴)))
8988fveq1d 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
9089neeq1d 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅ ↔ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅))
9184, 90imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) ↔ ((𝜑𝑦𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)))
92 cnextf.7 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
9391, 92chvarv 2369 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑦}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
9463, 45, 4, 32, 37, 67, 82, 93cnextfvval 22148 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
95 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ V
9695uniex 7151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ V
9796snid 4366 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)}
9832adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐾 ∈ Haus)
9982eleq2d 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝜑 → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ 𝑥𝐶))
10099biimpar 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
10165adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
10267adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐴𝐶)
103 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
104 trnei 21975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴𝐶𝑥𝐶) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
105101, 102, 103, 104syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑥 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
106100, 105mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
10737adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐹:𝐴𝐵)
10845hausflf2 22081 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 ∈ Haus ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1𝑜)
10998, 106, 107, 92, 108syl31anc 1492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1𝑜)
110 en1b 8228 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1𝑜 ↔ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)})
111109, 110sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹)})
11297, 111syl5eleqr 2851 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
11394, 112eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
11445toptopon 21001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ Top ↔ 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
11534, 114sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
116115adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
117 flfnei 22074 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑢) ⊆ 𝑏)))
118116, 106, 107, 117syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥𝐶) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ↔ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑢) ⊆ 𝑏)))
119113, 118mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥𝐶) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑢) ⊆ 𝑏))
120119simprd 489 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → ∀𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑢) ⊆ 𝑏)
121120r19.21bi 3079 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑢) ⊆ 𝑏)
12280, 81, 121syl2anc 579 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → ∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑢) ⊆ 𝑏)
12334ad3antrrr 721 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → 𝐾 ∈ Top)
124 simplr 785 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}))
12545neii1 21190 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → 𝑏𝐵)
126123, 124, 125syl2anc 579 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → 𝑏𝐵)
127 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤)
12845clsss 21138 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑏𝐵 ∧ (𝐹𝑢) ⊆ 𝑏) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ ((cls‘𝐾)‘𝑏))
129 sstr 3769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤)
130128, 129sylan 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑏𝐵 ∧ (𝐹𝑢) ⊆ 𝑏) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤)
1311303an1rs 1468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑏𝐵 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) ∧ (𝐹𝑢) ⊆ 𝑏) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤)
132131ex 401 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑏𝐵 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → ((𝐹𝑢) ⊆ 𝑏 → ((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤))
133132reximdv 3162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑏𝐵 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → (∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑢) ⊆ 𝑏 → ∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤))
134123, 126, 127, 133syl3anc 1490 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → (∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑢) ⊆ 𝑏 → ∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤))
135134adantllr 710 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → (∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)(𝐹𝑢) ⊆ 𝑏 → ∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤))
136122, 135mpd 15 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → ∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤)
13734ad2antrr 717 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → 𝐾 ∈ Top)
138 cnextcn.8 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐾 ∈ Reg)
139138ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → 𝐾 ∈ Reg)
140139ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑐𝐾) ∧ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤)) → 𝐾 ∈ Reg)
141 simplr 785 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑐𝐾) ∧ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤)) → 𝑐𝐾)
142 simprl 787 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑐𝐾) ∧ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤)) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐)
143 regsep 21418 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Reg ∧ 𝑐𝐾 ∧ (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐) → ∃𝑏𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑐))
144140, 141, 142, 143syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑐𝐾) ∧ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤)) → ∃𝑏𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑐))
145 sstr 3769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑐𝑐𝑤) → ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤)
146145expcom 402 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑐𝑤 → (((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑐 → ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤))
147146anim2d 605 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑐𝑤 → (((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑐) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤)))
148147reximdv 3162 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐𝑤 → (∃𝑏𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑐) → ∃𝑏𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤)))
149148ad2antll 720 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑐𝐾) ∧ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤)) → (∃𝑏𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑐) → ∃𝑏𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤)))
150144, 149mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) ∧ 𝑐𝐾) ∧ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤)) → ∃𝑏𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤))
151 simpr 477 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}))
152 neii2 21192 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑐𝐾 ({(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)} ⊆ 𝑐𝑐𝑤))
153 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ V
154153snss 4470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐 ↔ {(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)} ⊆ 𝑐)
155154anbi1i 617 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤) ↔ ({(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)} ⊆ 𝑐𝑐𝑤))
156155biimpri 219 . . . . . . . . . . . . . 14 (({(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)} ⊆ 𝑐𝑐𝑤) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤))
157156reximi 3157 . . . . . . . . . . . . 13 (∃𝑐𝐾 ({(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)} ⊆ 𝑐𝑐𝑤) → ∃𝑐𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤))
158152, 157syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑐𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤))
159137, 151, 158syl2anc 579 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑐𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑐𝑐𝑤))
160150, 159r19.29a 3225 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑏𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤))
161 anass 460 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏𝐾 ∧ (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) ↔ (𝑏𝐾 ∧ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤)))
162 opnneip 21203 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝑏𝐾 ∧ (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏) → 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}))
1631623expib 1152 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ Top → ((𝑏𝐾 ∧ (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏) → 𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})))
164163anim1d 604 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ∈ Top → (((𝑏𝐾 ∧ (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → (𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤)))
165161, 164syl5bir 234 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ Top → ((𝑏𝐾 ∧ ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤)) → (𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)}) ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤)))
166165reximdv2 3160 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ Top → (∃𝑏𝐾 ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥) ∈ 𝑏 ∧ ((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤) → ∃𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤))
167137, 160, 166sylc 65 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑏 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})((cls‘𝐾)‘𝑏) ⊆ 𝑤)
168136, 167r19.29a 3225 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑢 ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)((cls‘𝐾)‘(𝐹𝑢)) ⊆ 𝑤)
16979, 168r19.29a 3225 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑑 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑑𝐴))) ⊆ 𝑤)
17058, 169r19.29a 3225 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤))
171 simplr 785 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑣𝐽) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤) ∧ 𝑧𝑣) → ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤)
172 simpll 783 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → 𝜑)
1734ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → 𝐽 ∈ Top)
174 simplr 785 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → 𝑣𝐽)
17563eltopss 20991 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑣𝐽) → 𝑣𝐶)
176173, 174, 175syl2anc 579 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → 𝑣𝐶)
177 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → 𝑧𝑣)
178176, 177sseldd 3762 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → 𝑧𝐶)
179 fvexd 6390 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → ((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ V)
18068ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → 𝐴 ∈ V)
181 opnneip 21203 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑣𝐽𝑧𝑣) → 𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}))
1824, 181syl3an1 1202 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑣𝐽𝑧𝑣) → 𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}))
1831823expa 1147 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → 𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧}))
184 elrestr 16355 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V ∧ 𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑧})) → (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))
185179, 180, 183, 184syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))
18663, 45, 4, 32, 37, 67, 82, 92cnextfvval 22148 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑧𝐶) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
187186adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
18832adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐶) → 𝐾 ∈ Haus)
18982eleq2d 2830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 → (𝑧 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ 𝑧𝐶))
190189biimpar 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧𝐶) → 𝑧 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴))
19165adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧𝐶) → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶))
19267adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧𝐶) → 𝐴𝐶)
193 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧𝐶) → 𝑧𝐶)
194 trnei 21975 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐶) ∧ 𝐴𝐶𝑧𝐶) → (𝑧 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
195191, 192, 193, 194syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑧𝐶) → (𝑧 ∈ ((cls‘𝐽)‘𝐴) ↔ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴)))
196190, 195mpbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐶) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
19737adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐶) → 𝐹:𝐴𝐵)
198 eleq1w 2827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐶𝑧𝐶))
199198anbi2d 622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → ((𝜑𝑥𝐶) ↔ (𝜑𝑧𝐶)))
200 sneq 4344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑥 = 𝑧 → {𝑥} = {𝑧})
201200fveq2d 6379 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑥 = 𝑧 → ((nei‘𝐽)‘{𝑥}) = ((nei‘𝐽)‘{𝑧}))
202201oveq1d 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑥 = 𝑧 → (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴) = (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))
203202oveq2d 6858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑥 = 𝑧 → (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴)) = (𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)))
204203fveq1d 6377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 = 𝑧 → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹))
205204neeq1d 2996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑧 → (((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅ ↔ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅))
206199, 205imbi12d 335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑧 → (((𝜑𝑥𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑥}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) ↔ ((𝜑𝑧𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)))
207206, 92chvarv 2369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅)
20845hausflf2 22081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ Haus ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≠ ∅) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1𝑜)
209188, 196, 197, 207, 208syl31anc 1492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1𝑜)
210 en1b 8228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ≈ 1𝑜 ↔ ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹)})
211209, 210sylib 209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑧𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹)})
212211adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹)})
213115adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑧𝐶) → 𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵))
214 flfval 22073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐾 ∈ (TopOn‘𝐵) ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = (𝐾 fLim ((𝐵 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))))
215213, 196, 197, 214syl3anc 1490 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑧𝐶) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = (𝐾 fLim ((𝐵 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))))
216215adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) = (𝐾 fLim ((𝐵 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))))
217 uniexg 7153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐾 ∈ Haus → 𝐾 ∈ V)
21832, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑 𝐾 ∈ V)
219218ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → 𝐾 ∈ V)
22045, 219syl5eqel 2848 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → 𝐵 ∈ V)
221196adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴))
222 filfbas 21931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴))
223221, 222syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴))
22437ad2antrr 717 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → 𝐹:𝐴𝐵)
225 simpr 477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))
226 fgfil 21958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (Fil‘𝐴) → (𝐴filGen(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) = (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))
227196, 226syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑧𝐶) → (𝐴filGen(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) = (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))
228227adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → (𝐴filGen(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) = (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))
229225, 228eleqtrrd 2847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → (𝑣𝐴) ∈ (𝐴filGen(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)))
230 eqid 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴filGen(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) = (𝐴filGen(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))
231230imaelfm 22034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐵 ∈ V ∧ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴) ∈ (fBas‘𝐴) ∧ 𝐹:𝐴𝐵) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (𝐴filGen(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))) → (𝐹 “ (𝑣𝐴)) ∈ ((𝐵 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)))
232220, 223, 224, 229, 231syl31anc 1492 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → (𝐹 “ (𝑣𝐴)) ∈ ((𝐵 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)))
233 flimclsi 22061 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 “ (𝑣𝐴)) ∈ ((𝐵 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → (𝐾 fLim ((𝐵 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))))
234232, 233syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → (𝐾 fLim ((𝐵 FilMap 𝐹)‘(((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))))
235216, 234eqsstrd 3799 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))))
236212, 235eqsstr3d 3800 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹)} ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))))
237 fvex 6388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ V
238237uniex 7151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ V
239238snss 4470 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ↔ { ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹)} ⊆ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))))
240236, 239sylibr 225 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → ((𝐾 fLimf (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴))‘𝐹) ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))))
241187, 240eqeltrd 2844 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑧𝐶) ∧ (𝑣𝐴) ∈ (((nei‘𝐽)‘{𝑧}) ↾t 𝐴)) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))))
242172, 178, 185, 241syl21anc 866 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ 𝑧𝑣) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))))
243242adantlr 706 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑣𝐽) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤) ∧ 𝑧𝑣) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))))
244171, 243sseldd 3762 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑣𝐽) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤) ∧ 𝑧𝑣) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑤)
245244ralrimiva 3113 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑣𝐽) ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤) → ∀𝑧𝑣 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑤)
246245expl 449 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤) → ∀𝑧𝑣 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑤))
247246reximdv 3162 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})∀𝑧𝑣 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑤))
248247ad2antrr 717 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → (∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(𝑣𝐽 ∧ ((cls‘𝐾)‘(𝐹 “ (𝑣𝐴))) ⊆ 𝑤) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})∀𝑧𝑣 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑤))
249170, 248mpd 15 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})∀𝑧𝑣 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑤)
25063, 45, 4, 32, 37, 67, 82, 92cnextf 22149 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹):𝐶𝐵)
251250ffund 6227 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
252251adantr 472 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})) → Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
25363neii1 21190 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})) → 𝑣𝐶)
2544, 253sylan 575 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})) → 𝑣𝐶)
255250fdmd 6232 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → dom ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝐶)
256255adantr 472 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})) → dom ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) = 𝐶)
257254, 256sseqtr4d 3802 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})) → 𝑣 ⊆ dom ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹))
258 funimass4 6436 . . . . . . . 8 ((Fun ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ∧ 𝑣 ⊆ dom ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) “ 𝑣) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑧𝑣 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑤))
259252, 257, 258syl2anc 579 . . . . . . 7 ((𝜑𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})) → ((((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) “ 𝑣) ⊆ 𝑤 ↔ ∀𝑧𝑣 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑤))
260259biimprd 239 . . . . . 6 ((𝜑𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})) → (∀𝑧𝑣 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑤 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) “ 𝑣) ⊆ 𝑤))
261260reximdva 3163 . . . . 5 (𝜑 → (∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})∀𝑧𝑣 (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑧) ∈ 𝑤 → ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) “ 𝑣) ⊆ 𝑤))
2621, 249, 261sylc 65 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})) → ∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) “ 𝑣) ⊆ 𝑤)
263262ralrimiva 3113 . . 3 ((𝜑𝑥𝐶) → ∀𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) “ 𝑣) ⊆ 𝑤)
264263ralrimiva 3113 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐶𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) “ 𝑣) ⊆ 𝑤)
26563, 45cnnei 21366 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹):𝐶𝐵) → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑥𝐶𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) “ 𝑣) ⊆ 𝑤))
2664, 34, 250, 265syl3anc 1490 . 2 (𝜑 → (((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾) ↔ ∀𝑥𝐶𝑤 ∈ ((nei‘𝐾)‘{(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹)‘𝑥)})∃𝑣 ∈ ((nei‘𝐽)‘{𝑥})(((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) “ 𝑣) ⊆ 𝑤))
267264, 266mpbird 248 1 (𝜑 → ((𝐽CnExt𝐾)‘𝐹) ∈ (𝐽 Cn 𝐾))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  Vcvv 3350  cin 3731  wss 3732  c0 4079  {csn 4334   cuni 4594   class class class wbr 4809  dom cdm 5277  ran crn 5278  cima 5280  Fun wfun 6062  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  1𝑜c1o 7757  cen 8157  t crest 16347  fBascfbas 20007  filGencfg 20008  Topctop 20977  TopOnctopon 20994  clsccl 21102  neicnei 21181   Cn ccn 21308  Hauscha 21392  Regcreg 21393  Filcfil 21928   FilMap cfm 22016   fLim cflim 22017   fLimf cflf 22018  CnExtccnext 22142
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-int 4634  df-iun 4678  df-iin 4679  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-1o 7764  df-map 8062  df-pm 8063  df-en 8161  df-rest 16349  df-topgen 16370  df-fbas 20016  df-fg 20017  df-top 20978  df-topon 20995  df-cld 21103  df-ntr 21104  df-cls 21105  df-nei 21182  df-cn 21311  df-cnp 21312  df-haus 21399  df-reg 21400  df-fil 21929  df-fm 22021  df-flim 22022  df-flf 22023  df-cnext 22143
This theorem is referenced by:  cnextucn  22386
  Copyright terms: Public domain W3C validator