MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fpr2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fpr2 8303
Description: Law of well-founded recursion over a partial order, part two. Now we establish the value of 𝐹 within 𝐴. (Contributed by Scott Fenton, 11-Sep-2023.) (Proof shortened by Scott Fenton, 18-Nov-2024.)
Hypothesis
Ref Expression
fprr.1 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
Assertion
Ref Expression
fpr2 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋𝐴) → (𝐹𝑋) = (𝑋𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))

Proof of Theorem fpr2
StepHypRef Expression
1 fprr.1 . . . . . 6 𝐹 = frecs(𝑅, 𝐴, 𝐺)
21fpr1 8302 . . . . 5 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) → 𝐹 Fn 𝐴)
32fndmd 6653 . . . 4 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) → dom 𝐹 = 𝐴)
43eleq2d 2815 . . 3 ((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) → (𝑋 ∈ dom 𝐹𝑋𝐴))
54biimpar 477 . 2 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋𝐴) → 𝑋 ∈ dom 𝐹)
61fpr2a 8301 . 2 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑋) = (𝑋𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
75, 6syldan 590 1 (((𝑅 Fr 𝐴𝑅 Po 𝐴𝑅 Se 𝐴) ∧ 𝑋𝐴) → (𝐹𝑋) = (𝑋𝐺(𝐹 ↾ Pred(𝑅, 𝐴, 𝑋))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099   Po wpo 5582   Fr wfr 5624   Se wse 5625  dom cdm 5672  cres 5674  Predcpred 6298  cfv 6542  (class class class)co 7414  frecscfrecs 8279
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-po 5584  df-fr 5627  df-se 5628  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-frecs 8280
This theorem is referenced by:  fpr3  8304  on2recsov  8682  norecov  27857  norec2ov  27867
  Copyright terms: Public domain W3C validator