Theorem norecov 27814

Description: Calculate the value of the surreal recursion operation. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
norec.1	⊢ 𝐹 = norec (𝐺)

Assertion

Ref	Expression
norecov	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐹‘𝐴) = (𝐴𝐺(𝐹 ↾ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)))))

Proof of Theorem norecov

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}
2	1	lrrecfr 27810	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Fr No
3	1	lrrecpo 27808	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Po No
4	1	lrrecse 27809	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Se No
5	2, 3, 4	3pm3.2i 1336	. . 3 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Fr No ∧ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Po No ∧ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Se No )
6		norec.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = norec (𝐺)
7		df-norec 27805	. . . . 5 ⊢ norec (𝐺) = frecs({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}, No , 𝐺)
8	6, 7	eqtri 2754	. . . 4 ⊢ 𝐹 = frecs({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}, No , 𝐺)
9	8	fpr2 8287	. . 3 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Fr No ∧ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Po No ∧ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Se No ) ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐹‘𝐴) = (𝐴𝐺(𝐹 ↾ Pred({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}, No , 𝐴))))
10	5, 9	mpan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐹‘𝐴) = (𝐴𝐺(𝐹 ↾ Pred({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}, No , 𝐴))))
11	1	lrrecpred 27811	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → Pred({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}, No , 𝐴) = (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)))
12	11	reseq2d 5974	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐹 ↾ Pred({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}, No , 𝐴)) = (𝐹 ↾ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴))))
13	12	oveq2d 7420	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴𝐺(𝐹 ↾ Pred({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}, No , 𝐴))) = (𝐴𝐺(𝐹 ↾ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)))))
14	10, 13	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐹‘𝐴) = (𝐴𝐺(𝐹 ↾ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3941  {copab 5203   Po wpo 5579   Fr wfr 5621   Se wse 5622   ↾ cres 5671  Predcpred 6292  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404  frecscfrecs 8263   No csur 27523   L cleft 27722   R cright 27723   norec cnorec 27804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-1o 8464  df-2o 8465  df-no 27526  df-slt 27527  df-bday 27528  df-sslt 27664  df-scut 27666  df-made 27724  df-old 27725  df-left 27727  df-right 27728  df-norec 27805

This theorem is referenced by:  negsval  27888