Theorem norecov 27943

Description: Calculate the value of the surreal recursion operation. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
norec.1	⊢ 𝐹 = norec (𝐺)

Assertion

Ref	Expression
norecov	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐹‘𝐴) = (𝐴𝐺(𝐹 ↾ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)))))

Proof of Theorem norecov

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}
2	1	lrrecfr 27939	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Fr No
3	1	lrrecpo 27937	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Po No
4	1	lrrecse 27938	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Se No
5	2, 3, 4	3pm3.2i 1340	. . 3 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Fr No ∧ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Po No ∧ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Se No )
6		norec.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = norec (𝐺)
7		df-norec 27934	. . . . 5 ⊢ norec (𝐺) = frecs({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}, No , 𝐺)
8	6, 7	eqtri 2759	. . . 4 ⊢ 𝐹 = frecs({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}, No , 𝐺)
9	8	fpr2 8246	. . 3 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Fr No ∧ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Po No ∧ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Se No ) ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐹‘𝐴) = (𝐴𝐺(𝐹 ↾ Pred({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}, No , 𝐴))))
10	5, 9	mpan 690	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐹‘𝐴) = (𝐴𝐺(𝐹 ↾ Pred({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}, No , 𝐴))))
11	1	lrrecpred 27940	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → Pred({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}, No , 𝐴) = (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)))
12	11	reseq2d 5938	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐹 ↾ Pred({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}, No , 𝐴)) = (𝐹 ↾ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴))))
13	12	oveq2d 7374	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴𝐺(𝐹 ↾ Pred({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}, No , 𝐴))) = (𝐴𝐺(𝐹 ↾ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)))))
14	10, 13	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐹‘𝐴) = (𝐴𝐺(𝐹 ↾ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∪ cun 3899  {copab 5160   Po wpo 5530   Fr wfr 5574   Se wse 5575   ↾ cres 5626  Predcpred 6258  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  frecscfrecs 8222   No csur 27607   L cleft 27821   R cright 27822   norec cnorec 27933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-1o 8397  df-2o 8398  df-no 27610  df-lts 27611  df-bday 27612  df-slts 27754  df-cuts 27756  df-made 27823  df-old 27824  df-left 27826  df-right 27827  df-norec 27934

This theorem is referenced by:  negsval  28021