Theorem norecov 34104

Description: Calculate the value of the surreal recursion operation. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
norec.1	⊢ 𝐹 = norec (𝐺)

Assertion

Ref	Expression
norecov	⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐹‘𝐴) = (𝐴𝐺(𝐹 ↾ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)))))

Proof of Theorem norecov

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}
2	1	lrrecfr 34100	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Fr No
3	1	lrrecpo 34098	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Po No
4	1	lrrecse 34099	. . . 4 ⊢ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Se No
5	2, 3, 4	3pm3.2i 1338	. . 3 ⊢ ({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Fr No ∧ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Po No ∧ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Se No )
6		norec.1	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = norec (𝐺)
7		df-norec 34095	. . . . 5 ⊢ norec (𝐺) = frecs({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}, No , 𝐺)
8	6, 7	eqtri 2766	. . . 4 ⊢ 𝐹 = frecs({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}, No , 𝐺)
9	8	fpr2 8120	. . 3 ⊢ ((({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Fr No ∧ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Po No ∧ {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))} Se No ) ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐹‘𝐴) = (𝐴𝐺(𝐹 ↾ Pred({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}, No , 𝐴))))
10	5, 9	mpan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐹‘𝐴) = (𝐴𝐺(𝐹 ↾ Pred({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}, No , 𝐴))))
11	1	lrrecpred 34101	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → Pred({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}, No , 𝐴) = (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)))
12	11	reseq2d 5891	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐹 ↾ Pred({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}, No , 𝐴)) = (𝐹 ↾ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴))))
13	12	oveq2d 7291	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴𝐺(𝐹 ↾ Pred({⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}, No , 𝐴))) = (𝐴𝐺(𝐹 ↾ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)))))
14	10, 13	eqtrd 2778	1 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐹‘𝐴) = (𝐴𝐺(𝐹 ↾ (( L ‘𝐴) ∪ ( R ‘𝐴)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3885  {copab 5136   Po wpo 5501   Fr wfr 5541   Se wse 5542   ↾ cres 5591  Predcpred 6201  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  frecscfrecs 8096   No csur 33843   L cleft 34029   R cright 34030   norec cnorec 34094

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-1o 8297  df-2o 8298  df-no 33846  df-slt 33847  df-bday 33848  df-sslt 33976  df-scut 33978  df-made 34031  df-old 34032  df-left 34034  df-right 34035  df-norec 34095

This theorem is referenced by:  negsval  34123