Theorem snstriedgval 29443

Description: The set of indexed edges of a graph without edges represented as an extensible structure with vertices as base set and no indexed edges. See iedgvalsnop 29447 for the (degenerate) case where 𝑉 = (Base‘ndx). (Contributed by AV, 24-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
snstrvtxval.v	⊢ 𝑉 ∈ V
snstrvtxval.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}

Assertion

Ref	Expression
snstriedgval	⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem snstriedgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iedgval 29406	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
3		necom 3013	. . . 4 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) ↔ (Base‘ndx) ≠ 𝑉)
4		fvex 6898	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
5		snstrvtxval.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
6		snstrvtxval.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
7	4, 5, 6	funsndifnop 7154	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ 𝑉 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
8	3, 7	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
9	8	iffalsed 4500	. 2 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) = (.ef‘𝐺))
10		snex 5412	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} ∈ V)
12	6, 11	eqeltrid 2869	. . . 4 ⊢ (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} → 𝐺 ∈ V)
13		edgfndxid 29398	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx)))
14	6, 12, 13	mp2b 10	. . 3 ⊢ (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx))
15		basendxnedgfndx 29400	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
16	15	nesymi 3017	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx)
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
18		fvex 6898	. . . . . . 7 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ V
19	18	elsn 4606	. . . . . 6 ⊢ ((.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx)} ↔ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
20	17, 19	sylnibr 332	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx)})
21	6	dmeqi 5896	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐺 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
22		dmsnopg 6216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ V → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} = {(Base‘ndx)})
23	5, 22	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} = {(Base‘ndx)})
24	21, 23	eqtrid 2812	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → dom 𝐺 = {(Base‘ndx)})
25	20, 24	neleqtrrd 2888	. . . 4 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺)
26		ndmfv 6917	. . . 4 ⊢ (¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺 → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
27	25, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
28	14, 27	eqtrid 2812	. 2 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (.ef‘𝐺) = ∅)
29	2, 9, 28	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457  ∅c0 4286  ifcif 4489  {csn 4591  ⟨cop 4597   × cxp 5661  dom cdm 5663  ‘cfv 6540  2^nd c2nd 7991  ndxcnx 17275  Basecbs 17291  .efcedgf 29393  iEdgciedg 29402

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11171  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-xr 11262  df-ltxr 11263  df-le 11264  df-sub 11458  df-neg 11459  df-nn 12249  df-2 12318  df-3 12319  df-4 12320  df-5 12321  df-6 12322  df-7 12323  df-8 12324  df-9 12325  df-n0 12520  df-z 12607  df-dec 12728  df-slot 17264  df-ndx 17276  df-base 17292  df-edgf 29394  df-iedg 29404

This theorem is used by: (None)