Theorem snstriedgval 29673

Description: The set of indexed edges of a graph without edges represented as an extensible structure with vertices as base set and no indexed edges. See iedgvalsnop 29677 for the (degenerate) case where 𝑉 = (Base‘ndx). (Contributed by AV, 24-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
snstrvtxval.v	⊢ 𝑉 ∈ V
snstrvtxval.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}

Assertion

Ref	Expression
snstriedgval	⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem snstriedgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iedgval 29636	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
3		necom 3012	. . . 4 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) ↔ (Base‘ndx) ≠ 𝑉)
4		fvex 6929	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
5		snstrvtxval.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
6		snstrvtxval.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
7	4, 5, 6	funsndifnop 7187	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ 𝑉 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
8	3, 7	sylbi 220	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
9	8	iffalsed 4496	. 2 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) = (.ef‘𝐺))
10		snex 5404	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} ∈ V)
12	6, 11	eqeltrid 2868	. . . 4 ⊢ (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} → 𝐺 ∈ V)
13		edgfndxid 29628	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx)))
14	6, 12, 13	mp2b 10	. . 3 ⊢ (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx))
15		basendxnedgfndx 29630	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
16	15	nesymi 3016	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx)
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
18		fvex 6929	. . . . . . 7 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ V
19	18	elsn 4599	. . . . . 6 ⊢ ((.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx)} ↔ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
20	17, 19	sylnibr 332	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx)})
21	6	dmeqi 5898	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐺 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
22		dmsnopg 6233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ V → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} = {(Base‘ndx)})
23	5, 22	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} = {(Base‘ndx)})
24	21, 23	eqtrid 2810	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → dom 𝐺 = {(Base‘ndx)})
25	20, 24	neleqtrrd 2887	. . . 4 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺)
26		ndmfv 6948	. . . 4 ⊢ (¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺 → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
27	25, 26	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
28	14, 27	eqtrid 2810	. 2 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (.ef‘𝐺) = ∅)
29	2, 9, 28	3eqtrd 2802	1 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  Vcvv 3454  ∅c0 4281  ifcif 4485  {csn 4588  ⟨cop 4840   × cxp 5656  dom cdm 5658  ‘cfv 6566  2^nd c2nd 8034  ndxcnx 17415  Basecbs 17431  .efcedgf 29623  iEdgciedg 29632

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-edgf 29624  df-iedg 29634

This theorem is used by: (None)