Theorem snstriedgval 29017

Description: The set of indexed edges of a graph without edges represented as an extensible structure with vertices as base set and no indexed edges. See iedgvalsnop 29021 for the (degenerate) case where 𝑉 = (Base‘ndx). (Contributed by AV, 24-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
snstrvtxval.v	⊢ 𝑉 ∈ V
snstrvtxval.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}

Assertion

Ref	Expression
snstriedgval	⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Proof of Theorem snstriedgval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iedgval 28980	. . 3 ⊢ (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺))
2	1	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (iEdg‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)))
3		necom 2985	. . . 4 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) ↔ (Base‘ndx) ≠ 𝑉)
4		fvex 6889	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
5		snstrvtxval.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
6		snstrvtxval.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
7	4, 5, 6	funsndifnop 7141	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ 𝑉 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
8	3, 7	sylbi 217	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
9	8	iffalsed 4511	. 2 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → if(𝐺 ∈ (V × V), (2nd ‘𝐺), (.ef‘𝐺)) = (.ef‘𝐺))
10		snex 5406	. . . . . 6 ⊢ {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} ∈ V
11	10	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} → {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} ∈ V)
12	6, 11	eqeltrid 2838	. . . 4 ⊢ (𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} → 𝐺 ∈ V)
13		edgfndxid 28972	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ V → (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx)))
14	6, 12, 13	mp2b 10	. . 3 ⊢ (.ef‘𝐺) = (𝐺‘(.ef‘ndx))
15		basendxnedgfndx 28974	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (.ef‘ndx)
16	15	nesymi 2989	. . . . . . 7 ⊢ ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx)
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
18		fvex 6889	. . . . . . 7 ⊢ (.ef‘ndx) ∈ V
19	18	elsn 4616	. . . . . 6 ⊢ ((.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx)} ↔ (.ef‘ndx) = (Base‘ndx))
20	17, 19	sylnibr 329	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ {(Base‘ndx)})
21	6	dmeqi 5884	. . . . . 6 ⊢ dom 𝐺 = dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
22		dmsnopg 6202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑉 ∈ V → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} = {(Base‘ndx)})
23	5, 22	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → dom {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩} = {(Base‘ndx)})
24	21, 23	eqtrid 2782	. . . . 5 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → dom 𝐺 = {(Base‘ndx)})
25	20, 24	neleqtrrd 2857	. . . 4 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺)
26		ndmfv 6911	. . . 4 ⊢ (¬ (.ef‘ndx) ∈ dom 𝐺 → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
27	25, 26	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (𝐺‘(.ef‘ndx)) = ∅)
28	14, 27	eqtrid 2782	. 2 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (.ef‘𝐺) = ∅)
29	2, 9, 28	3eqtrd 2774	1 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (iEdg‘𝐺) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  Vcvv 3459  ∅c0 4308  ifcif 4500  {csn 4601  ⟨cop 4607   × cxp 5652  dom cdm 5654  ‘cfv 6531  2^nd c2nd 7987  ndxcnx 17212  Basecbs 17228  .efcedgf 28967  iEdgciedg 28976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-edgf 28968  df-iedg 28978

This theorem is referenced by: (None)