Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snstrvtxval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snstrvtxval 26833
 Description: The set of vertices of a graph without edges represented as an extensible structure with vertices as base set and no indexed edges. See vtxvalsnop 26837 for the (degenerate) case where 𝑉 = (Base‘ndx). (Contributed by AV, 23-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
snstrvtxval.v 𝑉 ∈ V
snstrvtxval.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
Assertion
Ref Expression
snstrvtxval (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Proof of Theorem snstrvtxval
StepHypRef Expression
1 necom 3043 . . . 4 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) ↔ (Base‘ndx) ≠ 𝑉)
2 fvex 6662 . . . . 5 (Base‘ndx) ∈ V
3 snstrvtxval.v . . . . 5 𝑉 ∈ V
4 snstrvtxval.g . . . . 5 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
52, 3, 4funsndifnop 6894 . . . 4 ((Base‘ndx) ≠ 𝑉 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
61, 5sylbi 220 . . 3 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
76iffalsed 4439 . 2 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → if(𝐺 ∈ (V × V), (1st𝐺), (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐺))
8 vtxval 26796 . . 3 (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st𝐺), (Base‘𝐺))
98a1i 11 . 2 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st𝐺), (Base‘𝐺)))
1041strbas 16594 . . 3 (𝑉 ∈ V → 𝑉 = (Base‘𝐺))
113, 10mp1i 13 . 2 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → 𝑉 = (Base‘𝐺))
127, 9, 113eqtr4d 2846 1 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ≠ wne 2990  Vcvv 3444  ifcif 4428  {csn 4528  ⟨cop 4534   × cxp 5521  ‘cfv 6328  1st c1st 7673  ndxcnx 16475  Basecbs 16478  Vtxcvtx 26792 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12890  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-vtx 26794 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator