Theorem snstrvtxval 26816

Description: The set of vertices of a graph without edges represented as an extensible structure with vertices as base set and no indexed edges. See vtxvalsnop 26820 for the (degenerate) case where 𝑉 = (Base‘ndx). (Contributed by AV, 23-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
snstrvtxval.v	⊢ 𝑉 ∈ V
snstrvtxval.g	⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}

Assertion

Ref	Expression
snstrvtxval	⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Proof of Theorem snstrvtxval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		necom 3069	. . . 4 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) ↔ (Base‘ndx) ≠ 𝑉)
2		fvex 6677	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ V
3		snstrvtxval.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 ∈ V
4		snstrvtxval.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
5	2, 3, 4	funsndifnop 6907	. . . 4 ⊢ ((Base‘ndx) ≠ 𝑉 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
6	1, 5	sylbi 219	. . 3 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
7	6	iffalsed 4477	. 2 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐺))
8		vtxval 26779	. . 3 ⊢ (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺))
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st ‘𝐺), (Base‘𝐺)))
10	4	1strbas 16593	. . 3 ⊢ (𝑉 ∈ V → 𝑉 = (Base‘𝐺))
11	3, 10	mp1i 13	. 2 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → 𝑉 = (Base‘𝐺))
12	7, 9, 11	3eqtr4d 2866	1 ⊢ (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  Vcvv 3494  ifcif 4466  {csn 4560  ⟨cop 4566   × cxp 5547  ‘cfv 6349  1^st c1st 7681  ndxcnx 16474  Basecbs 16477  Vtxcvtx 26775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-n0 11892  df-z 11976  df-uz 12238  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-vtx 26777

This theorem is referenced by: (None)