MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snstrvtxval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snstrvtxval 28824
Description: The set of vertices of a graph without edges represented as an extensible structure with vertices as base set and no indexed edges. See vtxvalsnop 28828 for the (degenerate) case where 𝑉 = (Base‘ndx). (Contributed by AV, 23-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
snstrvtxval.v 𝑉 ∈ V
snstrvtxval.g 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
Assertion
Ref Expression
snstrvtxval (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)

Proof of Theorem snstrvtxval
StepHypRef Expression
1 necom 2989 . . . 4 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) ↔ (Base‘ndx) ≠ 𝑉)
2 fvex 6904 . . . . 5 (Base‘ndx) ∈ V
3 snstrvtxval.v . . . . 5 𝑉 ∈ V
4 snstrvtxval.g . . . . 5 𝐺 = {⟨(Base‘ndx), 𝑉⟩}
52, 3, 4funsndifnop 7154 . . . 4 ((Base‘ndx) ≠ 𝑉 → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
61, 5sylbi 216 . . 3 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → ¬ 𝐺 ∈ (V × V))
76iffalsed 4535 . 2 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → if(𝐺 ∈ (V × V), (1st𝐺), (Base‘𝐺)) = (Base‘𝐺))
8 vtxval 28787 . . 3 (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st𝐺), (Base‘𝐺))
98a1i 11 . 2 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (Vtx‘𝐺) = if(𝐺 ∈ (V × V), (1st𝐺), (Base‘𝐺)))
1041strbas 17182 . . 3 (𝑉 ∈ V → 𝑉 = (Base‘𝐺))
113, 10mp1i 13 . 2 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → 𝑉 = (Base‘𝐺))
127, 9, 113eqtr4d 2777 1 (𝑉 ≠ (Base‘ndx) → (Vtx‘𝐺) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2935  Vcvv 3469  ifcif 4524  {csn 4624  cop 4630   × cxp 5670  cfv 6542  1st c1st 7983  ndxcnx 17147  Basecbs 17165  Vtxcvtx 28783
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-uz 12839  df-fz 13503  df-struct 17101  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-vtx 28785
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator