Theorem gaf 19409

Description: The mapping of the group action operation. (Contributed by Jeff Hankins, 11-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
gaf.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gaf	⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → ⊕ :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)

Proof of Theorem gaf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gaf.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
3		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
4	1, 2, 3	isga 19405	. . 3 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ↔ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ V) ∧ ( ⊕ :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑌 (((0g‘𝐺) ⊕ 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ⊕ 𝑥) = (𝑦 ⊕ (𝑧 ⊕ 𝑥))))))
5	4	simprbi 503	. 2 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → ( ⊕ :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑌 (((0g‘𝐺) ⊕ 𝑥) = 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ∀𝑧 ∈ 𝑋 ((𝑦(+g‘𝐺)𝑧) ⊕ 𝑥) = (𝑦 ⊕ (𝑧 ⊕ 𝑥)))))
6	5	simpld 500	1 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → ⊕ :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3081  Vcvv 3457   × cxp 5661  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17291  +_gcplusg 17332  0_gc0g 17514  Grpcgrp 19044   GrpAct cga 19403

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-map 8832  df-ga 19404

This theorem is used by:  gafo  19410  gass  19415  gasubg  19416  gacan  19419  gapm  19420  gastacos  19424  orbsta  19427  galactghm  19518  sylow2alem2  19732  fxpgaval  33551  mplvrpmmhm  34000  mplvrpmrhm  34001