MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2alem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sylow2alem2 19272
Description: Lemma for sylow2a 19273. All the orbits which are not for fixed points have size โˆฃ ๐บ โˆฃ / โˆฃ ๐บ๐‘ฅ โˆฃ (where ๐บ๐‘ฅ is the stabilizer subgroup) and thus are powers of ๐‘ƒ. And since they are all nontrivial (because any orbit which is a singleton is a fixed point), they all divide ๐‘ƒ, and so does the sum of all of them. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2a.x ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
sylow2a.m (๐œ‘ โ†’ โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ))
sylow2a.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ pGrp ๐บ)
sylow2a.f (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
sylow2a.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
sylow2a.z ๐‘ = {๐‘ข โˆˆ ๐‘Œ โˆฃ โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ (โ„Ž โŠ• ๐‘ข) = ๐‘ข}
sylow2a.r โˆผ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† ๐‘Œ โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
Assertion
Ref Expression
sylow2alem2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง))
Distinct variable groups:   ๐‘ง,โ„Ž, โˆผ   ๐‘”,โ„Ž,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘”,๐บ,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ง,๐‘ƒ   โŠ• ,๐‘”,โ„Ž,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘”,๐‘‹,โ„Ž,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ   ๐‘ง,๐‘   ๐œ‘,โ„Ž,๐‘ง   ๐‘ง,๐‘”,๐‘Œ,โ„Ž,๐‘ข,๐‘ฅ,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐œ‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘”)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘”,โ„Ž)   โŠ• (๐‘ง)   โˆผ (๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘”)   ๐บ(๐‘ง,๐‘ข,โ„Ž)   ๐‘‹(๐‘ง)   ๐‘(๐‘ฅ,๐‘ฆ,๐‘ข,๐‘”,โ„Ž)

Proof of Theorem sylow2alem2
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘› ๐‘ค ๐‘ฃ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2a.y . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
2 pwfi 8999 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ Fin โ†” ๐’ซ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
31, 2sylib 217 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐’ซ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
4 sylow2a.m . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ))
5 sylow2a.r . . . . . . 7 โˆผ = {โŸจ๐‘ฅ, ๐‘ฆโŸฉ โˆฃ ({๐‘ฅ, ๐‘ฆ} โŠ† ๐‘Œ โˆง โˆƒ๐‘” โˆˆ ๐‘‹ (๐‘” โŠ• ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ)}
6 sylow2a.x . . . . . . 7 ๐‘‹ = (Baseโ€˜๐บ)
75, 6gaorber 18963 . . . . . 6 ( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โ†’ โˆผ Er ๐‘Œ)
84, 7syl 17 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ โˆผ Er ๐‘Œ)
98qsss 8598 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ / โˆผ ) โŠ† ๐’ซ ๐‘Œ)
103, 9ssfid 9088 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘Œ / โˆผ ) โˆˆ Fin)
11 diffi 9000 . . 3 ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆˆ Fin โ†’ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘) โˆˆ Fin)
1210, 11syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘) โˆˆ Fin)
13 sylow2a.p . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ pGrp ๐บ)
14 gagrp 18947 . . . . . . 7 ( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
154, 14syl 17 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐บ โˆˆ Grp)
16 sylow2a.f . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
176pgpfi 19259 . . . . . 6 ((๐บ โˆˆ Grp โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (๐‘ƒ pGrp ๐บ โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = (๐‘ƒโ†‘๐‘›))))
1815, 16, 17syl2anc 585 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ pGrp ๐บ โ†” (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = (๐‘ƒโ†‘๐‘›))))
1913, 18mpbid 231 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = (๐‘ƒโ†‘๐‘›)))
2019simpld 496 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
21 prmz 16429 . . 3 (๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
2220, 21syl 17 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
23 eldifi 4067 . . . . 5 (๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘) โ†’ ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ ))
241adantr 482 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Fin)
259sselda 3926 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )) โ†’ ๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘Œ)
2625elpwid 4548 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )) โ†’ ๐‘ง โŠ† ๐‘Œ)
2724, 26ssfid 9088 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Fin)
2823, 27sylan2 594 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ Fin)
29 hashcl 14120 . . . 4 (๐‘ง โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
3028, 29syl 17 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
3130nn0zd 12474 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘ง) โˆˆ โ„ค)
32 eldif 3902 . . 3 (๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘) โ†” (๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ ) โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘))
33 eqid 2736 . . . . 5 (๐‘Œ / โˆผ ) = (๐‘Œ / โˆผ )
34 sseq1 3951 . . . . . . . 8 ([๐‘ค] โˆผ = ๐‘ง โ†’ ([๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘ โ†” ๐‘ง โŠ† ๐‘))
35 velpw 4544 . . . . . . . 8 (๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘ โ†” ๐‘ง โŠ† ๐‘)
3634, 35bitr4di 289 . . . . . . 7 ([๐‘ค] โˆผ = ๐‘ง โ†’ ([๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘ โ†” ๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘))
3736notbid 318 . . . . . 6 ([๐‘ค] โˆผ = ๐‘ง โ†’ (ยฌ [๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘ โ†” ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘))
38 fveq2 6804 . . . . . . 7 ([๐‘ค] โˆผ = ๐‘ง โ†’ (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) = (โ™ฏโ€˜๐‘ง))
3938breq2d 5093 . . . . . 6 ([๐‘ค] โˆผ = ๐‘ง โ†’ (๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โ†” ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘ง)))
4037, 39imbi12d 345 . . . . 5 ([๐‘ค] โˆผ = ๐‘ง โ†’ ((ยฌ [๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ )) โ†” (ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘ง))))
4120adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„™)
428adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ โˆผ Er ๐‘Œ)
43 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ)
4442, 43erref 8549 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ค โˆผ ๐‘ค)
45 vex 3441 . . . . . . . . . . . . . 14 ๐‘ค โˆˆ V
4645, 45elec 8573 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ค โˆˆ [๐‘ค] โˆผ โ†” ๐‘ค โˆผ ๐‘ค)
4744, 46sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ค โˆˆ [๐‘ค] โˆผ )
4847ne0d 4275 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ [๐‘ค] โˆผ โ‰  โˆ…)
498ecss 8575 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ [๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘Œ)
501, 49ssfid 9088 . . . . . . . . . . . . 13 (๐œ‘ โ†’ [๐‘ค] โˆผ โˆˆ Fin)
5150adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ [๐‘ค] โˆผ โˆˆ Fin)
52 hashnncl 14130 . . . . . . . . . . . 12 ([๐‘ค] โˆผ โˆˆ Fin โ†’ ((โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆˆ โ„• โ†” [๐‘ค] โˆผ โ‰  โˆ…))
5351, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ((โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆˆ โ„• โ†” [๐‘ค] โˆผ โ‰  โˆ…))
5448, 53mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆˆ โ„•)
55 pceq0 16621 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆˆ โ„•) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ )) = 0 โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ )))
5641, 54, 55syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ )) = 0 โ†” ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ )))
57 oveq2 7315 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ )) = 0 โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ))) = (๐‘ƒโ†‘0))
58 hashcl 14120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ([๐‘ค] โˆผ โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆˆ โ„•0)
5950, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆˆ โ„•0)
6059nn0zd 12474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆˆ โ„ค)
61 ssrab2 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 {๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ฃ โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค} โŠ† ๐‘‹
62 ssfi 8994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((๐‘‹ โˆˆ Fin โˆง {๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ฃ โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค} โŠ† ๐‘‹) โ†’ {๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ฃ โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค} โˆˆ Fin)
6316, 61, 62sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (๐œ‘ โ†’ {๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ฃ โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค} โˆˆ Fin)
64 hashcl 14120 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ({๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ฃ โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค} โˆˆ Fin โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ฃ โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค}) โˆˆ โ„•0)
6563, 64syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ฃ โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค}) โˆˆ โ„•0)
6665nn0zd 12474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜{๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ฃ โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค}) โˆˆ โ„ค)
67 dvdsmul1 16036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆˆ โ„ค โˆง (โ™ฏโ€˜{๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ฃ โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค}) โˆˆ โ„ค) โ†’ (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) ยท (โ™ฏโ€˜{๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ฃ โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค})))
6860, 66, 67syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐œ‘ โ†’ (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) ยท (โ™ฏโ€˜{๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ฃ โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค})))
6968adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆฅ ((โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) ยท (โ™ฏโ€˜{๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ฃ โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค})))
704adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ))
7116adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ Fin)
72 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 {๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ฃ โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค} = {๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ฃ โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค}
73 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐บ ~QG {๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ฃ โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค}) = (๐บ ~QG {๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ฃ โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค})
746, 72, 73, 5orbsta2 18969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โˆง ๐‘‹ โˆˆ Fin) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) ยท (โ™ฏโ€˜{๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ฃ โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค})))
7570, 43, 71, 74syl21anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = ((โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) ยท (โ™ฏโ€˜{๐‘ฃ โˆˆ ๐‘‹ โˆฃ (๐‘ฃ โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค})))
7669, 75breqtrrd 5109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘‹))
7719simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐œ‘ โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = (๐‘ƒโ†‘๐‘›))
7877adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = (๐‘ƒโ†‘๐‘›))
79 breq2 5085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) = (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โ†’ ((โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โ†” (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘›)))
8079biimpcd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โ†’ ((โ™ฏโ€˜๐‘‹) = (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โ†’ (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘›)))
8180reximdv 3164 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘‹) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (โ™ฏโ€˜๐‘‹) = (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘›)))
8276, 78, 81sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘›))
83 pcprmpw2 16632 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘ƒ โˆˆ โ„™ โˆง (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆˆ โ„•) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โ†” (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ )))))
8441, 54, 83syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„•0 (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โˆฅ (๐‘ƒโ†‘๐‘›) โ†” (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ )))))
8582, 84mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) = (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ))))
8685eqcomd 2742 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ))) = (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ))
8722adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„ค)
8887zcnd 12477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ โ„‚)
8988exp0d 13908 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ƒโ†‘0) = 1)
90 hash1 14168 . . . . . . . . . . . . . . 15 (โ™ฏโ€˜1o) = 1
9189, 90eqtr4di 2794 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ƒโ†‘0) = (โ™ฏโ€˜1o))
9286, 91eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ))) = (๐‘ƒโ†‘0) โ†” (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) = (โ™ฏโ€˜1o)))
93 df1o2 8335 . . . . . . . . . . . . . . 15 1o = {โˆ…}
94 snfi 8869 . . . . . . . . . . . . . . 15 {โˆ…} โˆˆ Fin
9593, 94eqeltri 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 1o โˆˆ Fin
96 hashen 14111 . . . . . . . . . . . . . 14 (([๐‘ค] โˆผ โˆˆ Fin โˆง 1o โˆˆ Fin) โ†’ ((โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) = (โ™ฏโ€˜1o) โ†” [๐‘ค] โˆผ โ‰ˆ 1o))
9751, 95, 96sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ((โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) = (โ™ฏโ€˜1o) โ†” [๐‘ค] โˆผ โ‰ˆ 1o))
9892, 97bitrd 279 . . . . . . . . . . . 12 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ))) = (๐‘ƒโ†‘0) โ†” [๐‘ค] โˆผ โ‰ˆ 1o))
99 en1b 8848 . . . . . . . . . . . 12 ([๐‘ค] โˆผ โ‰ˆ 1o โ†” [๐‘ค] โˆผ = {โˆช [๐‘ค] โˆผ })
10098, 99bitrdi 287 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ))) = (๐‘ƒโ†‘0) โ†” [๐‘ค] โˆผ = {โˆช [๐‘ค] โˆผ }))
10143adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ โˆง [๐‘ค] โˆผ = {โˆช [๐‘ค] โˆผ })) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ)
1024ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ โˆง [๐‘ค] โˆผ = {โˆช [๐‘ค] โˆผ })) โ†’ โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ))
1036gaf 18950 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ( โŠ• โˆˆ (๐บ GrpAct ๐‘Œ) โ†’ โŠ• :(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)โŸถ๐‘Œ)
104102, 103syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ โˆง [๐‘ค] โˆผ = {โˆช [๐‘ค] โˆผ })) โ†’ โŠ• :(๐‘‹ ร— ๐‘Œ)โŸถ๐‘Œ)
105 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ โˆง [๐‘ค] โˆผ = {โˆช [๐‘ค] โˆผ })) โ†’ โ„Ž โˆˆ ๐‘‹)
106104, 105, 101fovcdmd 7476 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ โˆง [๐‘ค] โˆผ = {โˆช [๐‘ค] โˆผ })) โ†’ (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) โˆˆ ๐‘Œ)
107 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) = (โ„Ž โŠ• ๐‘ค)
108 oveq1 7314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘˜ = โ„Ž โ†’ (๐‘˜ โŠ• ๐‘ค) = (โ„Ž โŠ• ๐‘ค))
109108eqeq1d 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘˜ = โ„Ž โ†’ ((๐‘˜ โŠ• ๐‘ค) = (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) โ†” (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) = (โ„Ž โŠ• ๐‘ค)))
110109rspcev 3566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ โˆง (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) = (โ„Ž โŠ• ๐‘ค)) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘˜ โŠ• ๐‘ค) = (โ„Ž โŠ• ๐‘ค))
111105, 107, 110sylancl 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ โˆง [๐‘ค] โˆผ = {โˆช [๐‘ค] โˆผ })) โ†’ โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘˜ โŠ• ๐‘ค) = (โ„Ž โŠ• ๐‘ค))
1125gaorb 18962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (๐‘ค โˆผ (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) โ†” (๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ โˆง (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) โˆˆ ๐‘Œ โˆง โˆƒ๐‘˜ โˆˆ ๐‘‹ (๐‘˜ โŠ• ๐‘ค) = (โ„Ž โŠ• ๐‘ค)))
113101, 106, 111, 112syl3anbrc 1343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ โˆง [๐‘ค] โˆผ = {โˆช [๐‘ค] โˆผ })) โ†’ ๐‘ค โˆผ (โ„Ž โŠ• ๐‘ค))
114 ovex 7340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) โˆˆ V
115114, 45elec 8573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โ„Ž โŠ• ๐‘ค) โˆˆ [๐‘ค] โˆผ โ†” ๐‘ค โˆผ (โ„Ž โŠ• ๐‘ค))
116113, 115sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ โˆง [๐‘ค] โˆผ = {โˆช [๐‘ค] โˆผ })) โ†’ (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) โˆˆ [๐‘ค] โˆผ )
117 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ โˆง [๐‘ค] โˆผ = {โˆช [๐‘ค] โˆผ })) โ†’ [๐‘ค] โˆผ = {โˆช [๐‘ค] โˆผ })
118116, 117eleqtrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ โˆง [๐‘ค] โˆผ = {โˆช [๐‘ค] โˆผ })) โ†’ (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) โˆˆ {โˆช [๐‘ค] โˆผ })
119114elsn 4580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((โ„Ž โŠ• ๐‘ค) โˆˆ {โˆช [๐‘ค] โˆผ } โ†” (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) = โˆช [๐‘ค] โˆผ )
120118, 119sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ โˆง [๐‘ค] โˆผ = {โˆช [๐‘ค] โˆผ })) โ†’ (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) = โˆช [๐‘ค] โˆผ )
12147adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ โˆง [๐‘ค] โˆผ = {โˆช [๐‘ค] โˆผ })) โ†’ ๐‘ค โˆˆ [๐‘ค] โˆผ )
122121, 117eleqtrd 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ โˆง [๐‘ค] โˆผ = {โˆช [๐‘ค] โˆผ })) โ†’ ๐‘ค โˆˆ {โˆช [๐‘ค] โˆผ })
12345elsn 4580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ค โˆˆ {โˆช [๐‘ค] โˆผ } โ†” ๐‘ค = โˆช [๐‘ค] โˆผ )
124122, 123sylib 217 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ โˆง [๐‘ค] โˆผ = {โˆช [๐‘ค] โˆผ })) โ†’ ๐‘ค = โˆช [๐‘ค] โˆผ )
125120, 124eqtr4d 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โˆง (โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ โˆง [๐‘ค] โˆผ = {โˆช [๐‘ค] โˆผ })) โ†’ (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค)
126125expr 458 . . . . . . . . . . . 12 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โˆง โ„Ž โˆˆ ๐‘‹) โ†’ ([๐‘ค] โˆผ = {โˆช [๐‘ค] โˆผ } โ†’ (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค))
127126ralrimdva 3148 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ([๐‘ค] โˆผ = {โˆช [๐‘ค] โˆผ } โ†’ โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค))
128100, 127sylbid 239 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘ƒโ†‘(๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ))) = (๐‘ƒโ†‘0) โ†’ โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค))
12957, 128syl5 34 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ ((๐‘ƒ pCnt (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ )) = 0 โ†’ โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค))
13056, 129sylbird 260 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โ†’ โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค))
131 oveq2 7315 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ข = ๐‘ค โ†’ (โ„Ž โŠ• ๐‘ข) = (โ„Ž โŠ• ๐‘ค))
132 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ข = ๐‘ค โ†’ ๐‘ข = ๐‘ค)
133131, 132eqeq12d 2752 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ข = ๐‘ค โ†’ ((โ„Ž โŠ• ๐‘ข) = ๐‘ข โ†” (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค))
134133ralbidv 3171 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ข = ๐‘ค โ†’ (โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ (โ„Ž โŠ• ๐‘ข) = ๐‘ข โ†” โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค))
135 sylow2a.z . . . . . . . . . . 11 ๐‘ = {๐‘ข โˆˆ ๐‘Œ โˆฃ โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ (โ„Ž โŠ• ๐‘ข) = ๐‘ข}
136134, 135elrab2 3632 . . . . . . . . . 10 (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†” (๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ โˆง โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค))
137136baib 537 . . . . . . . . 9 (๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค))
138137adantl 483 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†” โˆ€โ„Ž โˆˆ ๐‘‹ (โ„Ž โŠ• ๐‘ค) = ๐‘ค))
139130, 138sylibrd 259 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘))
1406, 4, 13, 16, 1, 135, 5sylow2alem1 19271 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ [๐‘ค] โˆผ = {๐‘ค})
141 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ ๐‘ค โˆˆ ๐‘)
142141snssd 4748 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ {๐‘ค} โŠ† ๐‘)
143140, 142eqsstrd 3964 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘) โ†’ [๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘)
144143ex 414 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†’ [๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘))
145144adantr 482 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (๐‘ค โˆˆ ๐‘ โ†’ [๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘))
146139, 145syld 47 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (ยฌ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ ) โ†’ [๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘))
147146con1d 145 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ค โˆˆ ๐‘Œ) โ†’ (ยฌ [๐‘ค] โˆผ โŠ† ๐‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜[๐‘ค] โˆผ )))
14833, 40, 147ectocld 8604 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ )) โ†’ (ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘ง)))
149148impr 456 . . 3 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ง โˆˆ (๐‘Œ / โˆผ ) โˆง ยฌ ๐‘ง โˆˆ ๐’ซ ๐‘)) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘ง))
15032, 149sylan2b 595 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)) โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ (โ™ฏโ€˜๐‘ง))
15112, 22, 31, 150fsumdvds 16066 1 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆฅ ฮฃ๐‘ง โˆˆ ((๐‘Œ / โˆผ ) โˆ– ๐’ซ ๐‘)(โ™ฏโ€˜๐‘ง))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104   โ‰  wne 2941  โˆ€wral 3062  โˆƒwrex 3071  {crab 3303   โˆ– cdif 3889   โŠ† wss 3892  โˆ…c0 4262  ๐’ซ cpw 4539  {csn 4565  {cpr 4567  โˆช cuni 4844   class class class wbr 5081  {copab 5143   ร— cxp 5598  โŸถwf 6454  โ€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  1oc1o 8321   Er wer 8526  [cec 8527   / cqs 8528   โ‰ˆ cen 8761  Fincfn 8764  0cc0 10921  1c1 10922   ยท cmul 10926  โ„•cn 12023  โ„•0cn0 12283  โ„คcz 12369  โ†‘cexp 13832  โ™ฏchash 14094  ฮฃcsu 15446   โˆฅ cdvds 16012  โ„™cprime 16425   pCnt cpc 16586  Basecbs 16961  Grpcgrp 18626   ~QG cqg 18800   GrpAct cga 18944   pGrp cpgp 19183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-inf2 9447  ax-cnex 10977  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997  ax-pre-mulgt0 10998  ax-pre-sup 10999
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3304  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-disj 5047  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5500  df-eprel 5506  df-po 5514  df-so 5515  df-fr 5555  df-se 5556  df-we 5557  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-pred 6217  df-ord 6284  df-on 6285  df-lim 6286  df-suc 6287  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-isom 6467  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-om 7745  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-frecs 8128  df-wrecs 8159  df-recs 8233  df-rdg 8272  df-1o 8328  df-2o 8329  df-oadd 8332  df-omul 8333  df-er 8529  df-ec 8531  df-qs 8535  df-map 8648  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-fin 8768  df-sup 9249  df-inf 9250  df-oi 9317  df-dju 9707  df-card 9745  df-acn 9748  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-xr 11063  df-ltxr 11064  df-le 11065  df-sub 11257  df-neg 11258  df-div 11683  df-nn 12024  df-2 12086  df-3 12087  df-n0 12284  df-xnn0 12356  df-z 12370  df-uz 12633  df-q 12739  df-rp 12781  df-fz 13290  df-fzo 13433  df-fl 13562  df-mod 13640  df-seq 13772  df-exp 13833  df-fac 14038  df-bc 14067  df-hash 14095  df-cj 14859  df-re 14860  df-im 14861  df-sqrt 14995  df-abs 14996  df-clim 15246  df-sum 15447  df-dvds 16013  df-gcd 16251  df-prm 16426  df-pc 16587  df-sets 16914  df-slot 16932  df-ndx 16944  df-base 16962  df-ress 16991  df-plusg 17024  df-0g 17201  df-mgm 18375  df-sgrp 18424  df-mnd 18435  df-submnd 18480  df-grp 18629  df-minusg 18630  df-sbg 18631  df-mulg 18750  df-subg 18801  df-eqg 18803  df-ga 18945  df-od 19185  df-pgp 19187
This theorem is referenced by:  sylow2a  19273
  Copyright terms: Public domain W3C validator