MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gastacos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gastacos 19090
Description: Write the coset relation for the stabilizer subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
orbsta.r = (𝐺 ~QG 𝐻)
Assertion
Ref Expression
gastacos ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵 𝐶 ↔ (𝐵 𝐴) = (𝐶 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑢,   𝑢,𝐴   𝑢,𝐺   𝑢,𝐵   𝑢,𝑋   𝑢,𝐶
Allowed substitution hints:   (𝑢)   𝐻(𝑢)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem gastacos
StepHypRef Expression
1 gasta.1 . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 gasta.2 . . . . . . 7 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
31, 2gastacl 19089 . . . . . 6 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
43adantr 481 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 subgrcl 18933 . . . . 5 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
71subgss 18929 . . . . 5 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻𝑋)
84, 7syl 17 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐻𝑋)
9 eqid 2736 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
10 eqid 2736 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
11 orbsta.r . . . . 5 = (𝐺 ~QG 𝐻)
121, 9, 10, 11eqgval 18979 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻𝑋) → (𝐵 𝐶 ↔ (𝐵𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
136, 8, 12syl2anc 584 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵 𝐶 ↔ (𝐵𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
14 df-3an 1089 . . 3 ((𝐵𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻) ↔ ((𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻))
1513, 14bitrdi 286 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵 𝐶 ↔ ((𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
16 simpr 485 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵𝑋𝐶𝑋))
1716biantrurd 533 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
18 simpll 765 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
19 simprl 769 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐵𝑋)
201, 9grpinvcl 18798 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋) → ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
216, 19, 20syl2anc 584 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
22 simprr 771 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐶𝑋)
23 simplr 767 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐴𝑌)
241, 10gaass 19077 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋𝐶𝑋𝐴𝑌)) → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = (((invg𝐺)‘𝐵) (𝐶 𝐴)))
2518, 21, 22, 23, 24syl13anc 1372 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = (((invg𝐺)‘𝐵) (𝐶 𝐴)))
2625eqeq1d 2738 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = 𝐴 ↔ (((invg𝐺)‘𝐵) (𝐶 𝐴)) = 𝐴))
271, 10grpcl 18756 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋𝐶𝑋) → (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝑋)
286, 21, 22, 27syl3anc 1371 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝑋)
29 oveq1 7364 . . . . . . 7 (𝑢 = (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) → (𝑢 𝐴) = ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴))
3029eqeq1d 2738 . . . . . 6 (𝑢 = (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) → ((𝑢 𝐴) = 𝐴 ↔ ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = 𝐴))
3130, 2elrab2 3648 . . . . 5 ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝑋 ∧ ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = 𝐴))
3231baib 536 . . . 4 ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝑋 → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = 𝐴))
3328, 32syl 17 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = 𝐴))
341gaf 19075 . . . . . 6 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
3518, 34syl 17 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
3635, 22, 23fovcdmd 7526 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐶 𝐴) ∈ 𝑌)
371, 9gacan 19085 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐴𝑌 ∧ (𝐶 𝐴) ∈ 𝑌)) → ((𝐵 𝐴) = (𝐶 𝐴) ↔ (((invg𝐺)‘𝐵) (𝐶 𝐴)) = 𝐴))
3818, 19, 23, 36, 37syl13anc 1372 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐵 𝐴) = (𝐶 𝐴) ↔ (((invg𝐺)‘𝐵) (𝐶 𝐴)) = 𝐴))
3926, 33, 383bitr4d 310 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ (𝐵 𝐴) = (𝐶 𝐴)))
4015, 17, 393bitr2d 306 1 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵 𝐶 ↔ (𝐵 𝐴) = (𝐶 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  {crab 3407  wss 3910   class class class wbr 5105   × cxp 5631  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  SubGrpcsubg 18922   ~QG cqg 18924   GrpAct cga 19069
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-subg 18925  df-eqg 18927  df-ga 19070
This theorem is referenced by:  orbstafun  19091  orbsta  19093
  Copyright terms: Public domain W3C validator