MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gastacos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gastacos 17950
Description: Write the coset relation for the stabilizer subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
orbsta.r = (𝐺 ~QG 𝐻)
Assertion
Ref Expression
gastacos ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵 𝐶 ↔ (𝐵 𝐴) = (𝐶 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑢,   𝑢,𝐴   𝑢,𝐺   𝑢,𝐵   𝑢,𝑋   𝑢,𝐶
Allowed substitution hints:   (𝑢)   𝐻(𝑢)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem gastacos
StepHypRef Expression
1 gasta.1 . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 gasta.2 . . . . . . 7 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
31, 2gastacl 17949 . . . . . 6 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
43adantr 466 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 subgrcl 17807 . . . . 5 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
71subgss 17803 . . . . 5 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻𝑋)
84, 7syl 17 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐻𝑋)
9 eqid 2771 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
10 eqid 2771 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
11 orbsta.r . . . . 5 = (𝐺 ~QG 𝐻)
121, 9, 10, 11eqgval 17851 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻𝑋) → (𝐵 𝐶 ↔ (𝐵𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
136, 8, 12syl2anc 573 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵 𝐶 ↔ (𝐵𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
14 df-3an 1073 . . 3 ((𝐵𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻) ↔ ((𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻))
1513, 14syl6bb 276 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵 𝐶 ↔ ((𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
16 simpr 471 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵𝑋𝐶𝑋))
1716biantrurd 522 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
18 simpll 750 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
19 simprl 754 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐵𝑋)
201, 9grpinvcl 17675 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋) → ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
216, 19, 20syl2anc 573 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
22 simprr 756 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐶𝑋)
23 simplr 752 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐴𝑌)
241, 10gaass 17937 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋𝐶𝑋𝐴𝑌)) → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = (((invg𝐺)‘𝐵) (𝐶 𝐴)))
2518, 21, 22, 23, 24syl13anc 1478 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = (((invg𝐺)‘𝐵) (𝐶 𝐴)))
2625eqeq1d 2773 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = 𝐴 ↔ (((invg𝐺)‘𝐵) (𝐶 𝐴)) = 𝐴))
271, 10grpcl 17638 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋𝐶𝑋) → (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝑋)
286, 21, 22, 27syl3anc 1476 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝑋)
29 oveq1 6800 . . . . . . 7 (𝑢 = (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) → (𝑢 𝐴) = ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴))
3029eqeq1d 2773 . . . . . 6 (𝑢 = (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) → ((𝑢 𝐴) = 𝐴 ↔ ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = 𝐴))
3130, 2elrab2 3518 . . . . 5 ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝑋 ∧ ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = 𝐴))
3231baib 525 . . . 4 ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝑋 → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = 𝐴))
3328, 32syl 17 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = 𝐴))
341gaf 17935 . . . . . 6 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
3518, 34syl 17 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
3635, 22, 23fovrnd 6953 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐶 𝐴) ∈ 𝑌)
371, 9gacan 17945 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐴𝑌 ∧ (𝐶 𝐴) ∈ 𝑌)) → ((𝐵 𝐴) = (𝐶 𝐴) ↔ (((invg𝐺)‘𝐵) (𝐶 𝐴)) = 𝐴))
3818, 19, 23, 36, 37syl13anc 1478 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐵 𝐴) = (𝐶 𝐴) ↔ (((invg𝐺)‘𝐵) (𝐶 𝐴)) = 𝐴))
3926, 33, 383bitr4d 300 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ (𝐵 𝐴) = (𝐶 𝐴)))
4015, 17, 393bitr2d 296 1 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵 𝐶 ↔ (𝐵 𝐴) = (𝐶 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  {crab 3065  wss 3723   class class class wbr 4786   × cxp 5247  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6793  Basecbs 16064  +gcplusg 16149  Grpcgrp 17630  invgcminusg 17631  SubGrpcsubg 17796   ~QG cqg 17798   GrpAct cga 17929
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-er 7896  df-map 8011  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-nn 11223  df-2 11281  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-0g 16310  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-subg 17799  df-eqg 17801  df-ga 17930
This theorem is referenced by:  orbstafun  17951  orbsta  17953
  Copyright terms: Public domain W3C validator