Theorem gastacos 18432

Description: Write the coset relation for the stabilizer subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gasta.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
orbsta.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
gastacos	⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ (𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑢, ⊕   𝑢,𝐴   𝑢,𝐺   𝑢,𝐵   𝑢,𝑋   𝑢,𝐶

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢)   𝐻(𝑢)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem gastacos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gasta.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		gasta.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
3	1, 2	gastacl 18431	. . . . . 6 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4	3	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		subgrcl 18276	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
7	1	subgss 18272	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ⊆ 𝑋)
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐻 ⊆ 𝑋)
9		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10		eqid 2798	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
11		orbsta.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)
12	1, 9, 10, 11	eqgval 18321	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ⊆ 𝑋) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
13	6, 8, 12	syl2anc 587	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
14		df-3an 1086	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻) ↔ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻))
15	13, 14	syl6bb 290	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
16		simpr 488	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
17	16	biantrurd 536	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
18		simpll 766	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
19		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
20	1, 9	grpinvcl 18143	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
21	6, 19, 20	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
22		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
23		simplr 768	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑌)
24	1, 10	gaass 18419	. . . . 5 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)))
25	18, 21, 22, 23, 24	syl13anc 1369	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)))
26	25	eqeq1d 2800	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)) = 𝐴))
27	1, 10	grpcl 18103	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑋)
28	6, 21, 22, 27	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑋)
29		oveq1 7142	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) → (𝑢 ⊕ 𝐴) = ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴))
30	29	eqeq1d 2800	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) → ((𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
31	30, 2	elrab2 3631	. . . . 5 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑋 ∧ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
32	31	baib 539	. . . 4 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑋 → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
33	28, 32	syl 17	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
34	1	gaf 18417	. . . . . 6 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → ⊕ :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
35	18, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ⊕ :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
36	35, 22, 23	fovrnd 7300	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐶 ⊕ 𝐴) ∈ 𝑌)
37	1, 9	gacan 18427	. . . 4 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ (𝐶 ⊕ 𝐴) ∈ 𝑌)) → ((𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴) ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)) = 𝐴))
38	18, 19, 23, 36, 37	syl13anc 1369	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴) ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)) = 𝐴))
39	26, 33, 38	3bitr4d 314	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ (𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴)))
40	15, 17, 39	3bitr2d 310	1 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ (𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {crab 3110   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5030   × cxp 5517  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  Grpcgrp 18095  inv_gcminusg 18096  SubGrpcsubg 18265   ~_QG cqg 18267   GrpAct cga 18411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-map 8391  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-subg 18268  df-eqg 18270  df-ga 18412

This theorem is referenced by:  orbstafun  18433  orbsta  18435