Theorem gastacos 18916

Description: Write the coset relation for the stabilizer subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gasta.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
orbsta.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
gastacos	⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ (𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑢, ⊕   𝑢,𝐴   𝑢,𝐺   𝑢,𝐵   𝑢,𝑋   𝑢,𝐶

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢)   𝐻(𝑢)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem gastacos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gasta.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		gasta.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
3	1, 2	gastacl 18915	. . . . . 6 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4	3	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		subgrcl 18760	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
7	1	subgss 18756	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ⊆ 𝑋)
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐻 ⊆ 𝑋)
9		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
11		orbsta.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)
12	1, 9, 10, 11	eqgval 18805	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ⊆ 𝑋) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
13	6, 8, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
14		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻) ↔ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻))
15	13, 14	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
16		simpr 485	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
17	16	biantrurd 533	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
18		simpll 764	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
19		simprl 768	. . . . . 6 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
20	1, 9	grpinvcl 18627	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
21	6, 19, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
22		simprr 770	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
23		simplr 766	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑌)
24	1, 10	gaass 18903	. . . . 5 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)))
25	18, 21, 22, 23, 24	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)))
26	25	eqeq1d 2740	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)) = 𝐴))
27	1, 10	grpcl 18585	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑋)
28	6, 21, 22, 27	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑋)
29		oveq1 7282	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) → (𝑢 ⊕ 𝐴) = ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴))
30	29	eqeq1d 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) → ((𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
31	30, 2	elrab2 3627	. . . . 5 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑋 ∧ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
32	31	baib 536	. . . 4 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑋 → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
33	28, 32	syl 17	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
34	1	gaf 18901	. . . . . 6 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → ⊕ :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
35	18, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ⊕ :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
36	35, 22, 23	fovrnd 7444	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐶 ⊕ 𝐴) ∈ 𝑌)
37	1, 9	gacan 18911	. . . 4 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ (𝐶 ⊕ 𝐴) ∈ 𝑌)) → ((𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴) ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)) = 𝐴))
38	18, 19, 23, 36, 37	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴) ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)) = 𝐴))
39	26, 33, 38	3bitr4d 311	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ (𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴)))
40	15, 17, 39	3bitr2d 307	1 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ (𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  {crab 3068   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074   × cxp 5587  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Grpcgrp 18577  inv_gcminusg 18578  SubGrpcsubg 18749   ~_QG cqg 18751   GrpAct cga 18895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-subg 18752  df-eqg 18754  df-ga 18896

This theorem is referenced by:  orbstafun  18917  orbsta  18919