Theorem gastacos 19340

Description: Write the coset relation for the stabilizer subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gasta.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
orbsta.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
gastacos	⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ (𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑢, ⊕   𝑢,𝐴   𝑢,𝐺   𝑢,𝐵   𝑢,𝑋   𝑢,𝐶

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢)   𝐻(𝑢)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem gastacos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gasta.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		gasta.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
3	1, 2	gastacl 19339	. . . . . 6 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		subgrcl 19161	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
7	1	subgss 19157	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ⊆ 𝑋)
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐻 ⊆ 𝑋)
9		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
11		orbsta.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)
12	1, 9, 10, 11	eqgval 19207	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ⊆ 𝑋) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
13	6, 8, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
14		df-3an 1088	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻) ↔ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻))
15	13, 14	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
16		simpr 484	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
17	16	biantrurd 532	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
18		simpll 767	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
19		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
20	1, 9	grpinvcl 19017	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
21	6, 19, 20	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
22		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
23		simplr 769	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑌)
24	1, 10	gaass 19327	. . . . 5 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)))
25	18, 21, 22, 23, 24	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)))
26	25	eqeq1d 2736	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)) = 𝐴))
27	1, 10	grpcl 18971	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑋)
28	6, 21, 22, 27	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑋)
29		oveq1 7437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) → (𝑢 ⊕ 𝐴) = ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴))
30	29	eqeq1d 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) → ((𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
31	30, 2	elrab2 3697	. . . . 5 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑋 ∧ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
32	31	baib 535	. . . 4 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑋 → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
33	28, 32	syl 17	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
34	1	gaf 19325	. . . . . 6 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → ⊕ :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
35	18, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ⊕ :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
36	35, 22, 23	fovcdmd 7604	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐶 ⊕ 𝐴) ∈ 𝑌)
37	1, 9	gacan 19335	. . . 4 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ (𝐶 ⊕ 𝐴) ∈ 𝑌)) → ((𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴) ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)) = 𝐴))
38	18, 19, 23, 36, 37	syl13anc 1371	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴) ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)) = 𝐴))
39	26, 33, 38	3bitr4d 311	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ (𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴)))
40	15, 17, 39	3bitr2d 307	1 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ (𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  {crab 3432   ⊆ wss 3962   class class class wbr 5147   × cxp 5686  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  Basecbs 17244  +_gcplusg 17297  Grpcgrp 18963  inv_gcminusg 18964  SubGrpcsubg 19150   ~_QG cqg 19152   GrpAct cga 19319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-subg 19153  df-eqg 19155  df-ga 19320

This theorem is referenced by:  orbstafun  19341  orbsta  19343