MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gastacos Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gastacos 19174
Description: Write the coset relation for the stabilizer subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
gasta.1 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
orbsta.r = (𝐺 ~QG 𝐻)
Assertion
Ref Expression
gastacos ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵 𝐶 ↔ (𝐵 𝐴) = (𝐶 𝐴)))
Distinct variable groups:   𝑢,   𝑢,𝐴   𝑢,𝐺   𝑢,𝐵   𝑢,𝑋   𝑢,𝐶
Allowed substitution hints:   (𝑢)   𝐻(𝑢)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem gastacos
StepHypRef Expression
1 gasta.1 . . . . . . 7 𝑋 = (Base‘𝐺)
2 gasta.2 . . . . . . 7 𝐻 = {𝑢𝑋 ∣ (𝑢 𝐴) = 𝐴}
31, 2gastacl 19173 . . . . . 6 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
43adantr 482 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5 subgrcl 19011 . . . . 5 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
64, 5syl 17 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
71subgss 19007 . . . . 5 (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻𝑋)
84, 7syl 17 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐻𝑋)
9 eqid 2733 . . . . 5 (invg𝐺) = (invg𝐺)
10 eqid 2733 . . . . 5 (+g𝐺) = (+g𝐺)
11 orbsta.r . . . . 5 = (𝐺 ~QG 𝐻)
121, 9, 10, 11eqgval 19057 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻𝑋) → (𝐵 𝐶 ↔ (𝐵𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
136, 8, 12syl2anc 585 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵 𝐶 ↔ (𝐵𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
14 df-3an 1090 . . 3 ((𝐵𝑋𝐶𝑋 ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻) ↔ ((𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻))
1513, 14bitrdi 287 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵 𝐶 ↔ ((𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
16 simpr 486 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵𝑋𝐶𝑋))
1716biantrurd 534 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐵𝑋𝐶𝑋) ∧ (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
18 simpll 766 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
19 simprl 770 . . . . . 6 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐵𝑋)
201, 9grpinvcl 18872 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑋) → ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
216, 19, 20syl2anc 585 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
22 simprr 772 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐶𝑋)
23 simplr 768 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → 𝐴𝑌)
241, 10gaass 19161 . . . . 5 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋𝐶𝑋𝐴𝑌)) → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = (((invg𝐺)‘𝐵) (𝐶 𝐴)))
2518, 21, 22, 23, 24syl13anc 1373 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = (((invg𝐺)‘𝐵) (𝐶 𝐴)))
2625eqeq1d 2735 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = 𝐴 ↔ (((invg𝐺)‘𝐵) (𝐶 𝐴)) = 𝐴))
271, 10grpcl 18827 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋𝐶𝑋) → (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝑋)
286, 21, 22, 27syl3anc 1372 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝑋)
29 oveq1 7416 . . . . . . 7 (𝑢 = (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) → (𝑢 𝐴) = ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴))
3029eqeq1d 2735 . . . . . 6 (𝑢 = (((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) → ((𝑢 𝐴) = 𝐴 ↔ ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = 𝐴))
3130, 2elrab2 3687 . . . . 5 ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝑋 ∧ ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = 𝐴))
3231baib 537 . . . 4 ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝑋 → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = 𝐴))
3328, 32syl 17 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) 𝐴) = 𝐴))
341gaf 19159 . . . . . 6 ( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
3518, 34syl 17 . . . . 5 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
3635, 22, 23fovcdmd 7579 . . . 4 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐶 𝐴) ∈ 𝑌)
371, 9gacan 19169 . . . 4 (( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐴𝑌 ∧ (𝐶 𝐴) ∈ 𝑌)) → ((𝐵 𝐴) = (𝐶 𝐴) ↔ (((invg𝐺)‘𝐵) (𝐶 𝐴)) = 𝐴))
3818, 19, 23, 36, 37syl13anc 1373 . . 3 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((𝐵 𝐴) = (𝐶 𝐴) ↔ (((invg𝐺)‘𝐵) (𝐶 𝐴)) = 𝐴))
3926, 33, 383bitr4d 311 . 2 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝐵)(+g𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ (𝐵 𝐴) = (𝐶 𝐴)))
4015, 17, 393bitr2d 307 1 ((( ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴𝑌) ∧ (𝐵𝑋𝐶𝑋)) → (𝐵 𝐶 ↔ (𝐵 𝐴) = (𝐶 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  {crab 3433  wss 3949   class class class wbr 5149   × cxp 5675  wf 6540  cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Grpcgrp 18819  invgcminusg 18820  SubGrpcsubg 19000   ~QG cqg 19002   GrpAct cga 19153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-subg 19003  df-eqg 19005  df-ga 19154
This theorem is referenced by:  orbstafun  19175  orbsta  19177
  Copyright terms: Public domain W3C validator