Theorem gastacos 19215

Description: Write the coset relation for the stabilizer subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gasta.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
orbsta.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
gastacos	⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ (𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑢, ⊕   𝑢,𝐴   𝑢,𝐺   𝑢,𝐵   𝑢,𝑋   𝑢,𝐶

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢)   𝐻(𝑢)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem gastacos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gasta.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		gasta.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
3	1, 2	gastacl 19214	. . . . . 6 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4	3	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		subgrcl 19047	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
7	1	subgss 19043	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ⊆ 𝑋)
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐻 ⊆ 𝑋)
9		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
11		orbsta.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)
12	1, 9, 10, 11	eqgval 19093	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ⊆ 𝑋) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
13	6, 8, 12	syl2anc 582	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
14		df-3an 1087	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻) ↔ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻))
15	13, 14	bitrdi 286	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
16		simpr 483	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
17	16	biantrurd 531	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
18		simpll 763	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
19		simprl 767	. . . . . 6 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
20	1, 9	grpinvcl 18908	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
21	6, 19, 20	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
22		simprr 769	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
23		simplr 765	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑌)
24	1, 10	gaass 19202	. . . . 5 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)))
25	18, 21, 22, 23, 24	syl13anc 1370	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)))
26	25	eqeq1d 2732	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)) = 𝐴))
27	1, 10	grpcl 18863	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑋)
28	6, 21, 22, 27	syl3anc 1369	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑋)
29		oveq1 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) → (𝑢 ⊕ 𝐴) = ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴))
30	29	eqeq1d 2732	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) → ((𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
31	30, 2	elrab2 3685	. . . . 5 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑋 ∧ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
32	31	baib 534	. . . 4 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑋 → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
33	28, 32	syl 17	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
34	1	gaf 19200	. . . . . 6 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → ⊕ :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
35	18, 34	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ⊕ :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
36	35, 22, 23	fovcdmd 7581	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐶 ⊕ 𝐴) ∈ 𝑌)
37	1, 9	gacan 19210	. . . 4 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ (𝐶 ⊕ 𝐴) ∈ 𝑌)) → ((𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴) ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)) = 𝐴))
38	18, 19, 23, 36, 37	syl13anc 1370	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴) ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)) = 𝐴))
39	26, 33, 38	3bitr4d 310	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ (𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴)))
40	15, 17, 39	3bitr2d 306	1 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ (𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430   ⊆ wss 3947   class class class wbr 5147   × cxp 5673  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  +_gcplusg 17201  Grpcgrp 18855  inv_gcminusg 18856  SubGrpcsubg 19036   ~_QG cqg 19038   GrpAct cga 19194

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-eqg 19041  df-ga 19195

This theorem is referenced by:  orbstafun  19216  orbsta  19218