Theorem gastacos 19380

Description: Write the coset relation for the stabilizer subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
gasta.1	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
gasta.2	⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
orbsta.r	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)

Assertion

Ref	Expression
gastacos	⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ (𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴)))

Distinct variable groups:   𝑢, ⊕   𝑢,𝐴   𝑢,𝐺   𝑢,𝐵   𝑢,𝑋   𝑢,𝐶

Allowed substitution hints:   ∼ (𝑢)   𝐻(𝑢)   𝑌(𝑢)

Proof of Theorem gastacos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gasta.1	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
2		gasta.2	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = {𝑢 ∈ 𝑋 ∣ (𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴}
3	1, 2	gastacl 19379	. . . . . 6 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
4	3	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺))
5		subgrcl 19197	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐺 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐺 ∈ Grp)
7	1	subgss 19193	. . . . 5 ⊢ (𝐻 ∈ (SubGrp‘𝐺) → 𝐻 ⊆ 𝑋)
8	4, 7	syl 18	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐻 ⊆ 𝑋)
9		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
10		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
11		orbsta.r	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝐻)
12	1, 9, 10, 11	eqgval 19245	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐻 ⊆ 𝑋) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
13	6, 8, 12	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
14		df-3an 1103	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻) ↔ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻))
15	13, 14	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
16		simpr 489	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋))
17	16	biantrurd 541	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻)))
18		simpll 778	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌))
19		simprl 782	. . . . . 6 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐵 ∈ 𝑋)
20	1, 9	grpinvcl 19054	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
21	6, 19, 20	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋)
22		simprr 784	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐶 ∈ 𝑋)
23		simplr 780	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → 𝐴 ∈ 𝑌)
24	1, 10	gaass 19367	. . . . 5 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)))
25	18, 21, 22, 23, 24	syl13anc 1397	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)))
26	25	eqeq1d 2771	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)) = 𝐴))
27	1, 10	grpcl 19008	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ ((invg‘𝐺)‘𝐵) ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑋)
28	6, 21, 22, 27	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑋)
29		oveq1 7418	. . . . . . 7 ⊢ (𝑢 = (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) → (𝑢 ⊕ 𝐴) = ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴))
30	29	eqeq1d 2771	. . . . . 6 ⊢ (𝑢 = (((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) → ((𝑢 ⊕ 𝐴) = 𝐴 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
31	30, 2	elrab2 3661	. . . . 5 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑋 ∧ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
32	31	baib 544	. . . 4 ⊢ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝑋 → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
33	28, 32	syl 18	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ⊕ 𝐴) = 𝐴))
34	1	gaf 19365	. . . . . 6 ⊢ ( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) → ⊕ :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
35	18, 34	syl 18	. . . . 5 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ⊕ :(𝑋 × 𝑌)⟶𝑌)
36	35, 22, 23	fovcdmd 7583	. . . 4 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐶 ⊕ 𝐴) ∈ 𝑌)
37	1, 9	gacan 19375	. . . 4 ⊢ (( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌 ∧ (𝐶 ⊕ 𝐴) ∈ 𝑌)) → ((𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴) ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)) = 𝐴))
38	18, 19, 23, 36, 37	syl13anc 1397	. . 3 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴) ↔ (((invg‘𝐺)‘𝐵) ⊕ (𝐶 ⊕ 𝐴)) = 𝐴))
39	26, 33, 38	3bitr4d 314	. 2 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝐵)(+g‘𝐺)𝐶) ∈ 𝐻 ↔ (𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴)))
40	15, 17, 39	3bitr2d 310	1 ⊢ ((( ⊕ ∈ (𝐺 GrpAct 𝑌) ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋)) → (𝐵 ∼ 𝐶 ↔ (𝐵 ⊕ 𝐴) = (𝐶 ⊕ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {crab 3422   ⊆ wss 3911   class class class wbr 5111   × cxp 5660  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  Grpcgrp 19000  inv_gcminusg 19001  SubGrpcsubg 19186   ~_QG cqg 19188   GrpAct cga 19359

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-subg 19189  df-eqg 19191  df-ga 19360

This theorem is referenced by:  orbstafun  19381  orbsta  19383