Theorem selvadd 22251

Description: The "variable selection" function is additive. (Contributed by SN, 7-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvadd.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvadd.1	⊢ + = (+g‘𝑃)
selvadd.u	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
selvadd.t	⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvadd.2	⊢ ✚ = (+g‘𝑇)
selvadd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvadd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvadd.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
selvadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvadd	⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘(𝐹 + 𝐺)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) ✚ (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐺)))

Proof of Theorem selvadd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvadd.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑇) = (𝐼 mPoly 𝑇)
3		selvadd.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑇)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑇))
5		selvadd.1	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑃)
6		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(𝐼 mPoly 𝑇)) = (+g‘(𝐼 mPoly 𝑇))
7		selvadd.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
8		selvadd.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
9		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑇) = (algSc‘𝑇)
10		eqid 2765	. . . . . . . 8 ⊢ ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) = ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))
11		selvadd.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
12	11	difexd 5291	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
13		selvadd.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
14	11, 13	ssexd 5284	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
15		selvadd.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
16	7, 8, 9, 10, 12, 14, 15	selvcllem2 22243	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))
17		rhmghm 20553	. . . . . . 7 ⊢ (((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) → ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑇))
18		ghmmhm 19284	. . . . . . 7 ⊢ (((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑇) → ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑇))
19	16, 17, 18	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑇))
20		selvadd.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
21		selvadd.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 20, 21	mhmcoaddmpl 22231	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)(+g‘(𝐼 mPoly 𝑇))(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺)))
23	22	fveq2d 6875	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ (𝐹 + 𝐺))) = ((𝐼 eval 𝑇)‘((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)(+g‘(𝐼 mPoly 𝑇))(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))))
24	23	fveq1d 6873	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ (𝐹 + 𝐺)))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = (((𝐼 eval 𝑇)‘((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)(+g‘(𝐼 mPoly 𝑇))(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺)))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
25		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (𝐼 eval 𝑇) = (𝐼 eval 𝑇)
26		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
27		selvadd.2	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘𝑇)
28	7, 12, 15	mplcrngd 22130	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
29	8, 14, 28	mplcrngd 22130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CRing)
30		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))
31	7, 8, 9, 26, 30, 11, 15, 13	selvcllem5 22247	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))) ∈ ((Base‘𝑇) ↑m 𝐼))
32	1, 2, 3, 4, 19, 20	mhmcompl 22229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑇)))
33		eqidd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
34	32, 33	jca 520	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑇)) ∧ (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))))))
35	1, 2, 3, 4, 19, 21	mhmcompl 22229	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑇)))
36		eqidd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
37	35, 36	jca 520	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑇)) ∧ (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))))))
38	25, 2, 26, 4, 6, 27, 11, 29, 31, 34, 37	evladdval 22211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)(+g‘(𝐼 mPoly 𝑇))(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺)) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑇)) ∧ (((𝐼 eval 𝑇)‘((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)(+g‘(𝐼 mPoly 𝑇))(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺)))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = ((((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) ✚ (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))))
39	38	simprd 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 eval 𝑇)‘((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)(+g‘(𝐼 mPoly 𝑇))(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺)))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = ((((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) ✚ (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))))))
40	24, 39	eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ (𝐹 + 𝐺)))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = ((((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) ✚ (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))))))
41	1, 11, 15	mplcrngd 22130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
42	41	crnggrpd 20317	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
43	3, 5, 42, 20, 21	grpcld 19002	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
44	1, 3, 7, 8, 9, 10, 15, 13, 43	selvval2 22249	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘(𝐹 + 𝐺)) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ (𝐹 + 𝐺)))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
45	1, 3, 7, 8, 9, 10, 15, 13, 20	selvval2 22249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
46	1, 3, 7, 8, 9, 10, 15, 13, 21	selvval2 22249	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐺) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
47	45, 46	oveq12d 7418	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) ✚ (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐺)) = ((((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) ✚ (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))))))
48	40, 44, 47	3eqtr4d 2810	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘(𝐹 + 𝐺)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) ✚ (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  Vcvv 3457   ∖ cdif 3904   ⊆ wss 3907  ifcif 4483   ↦ cmpt 5185   ∘ ccom 5655  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17257  +_gcplusg 17298   MndHom cmhm 18827   GrpHom cghm 19271  CRingccrg 20304   RingHom crh 20539  algSccascl 21959   mVar cmvr 22012   mPoly cmpl 22013   eval cevl 22181   selectVars cslv 22224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-ofr 7665  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-sup 9390  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-seq 14026  df-hash 14355  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-prds 17488  df-pws 17490  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-mhm 18829  df-submnd 18830  df-grp 18991  df-minusg 18992  df-sbg 18993  df-mulg 19122  df-subg 19177  df-ghm 19272  df-cntz 19375  df-cmn 19840  df-abl 19841  df-mgp 20205  df-rng 20219  df-ur 20252  df-srg 20257  df-ring 20305  df-cring 20306  df-rhm 20542  df-subrng 20619  df-subrg 20643  df-lmod 20949  df-lss 21019  df-lsp 21059  df-assa 21960  df-asp 21961  df-ascl 21962  df-psr 22016  df-mvr 22017  df-mpl 22018  df-evls 22182  df-evl 22183  df-selv 22225

This theorem is referenced by:  selvply1rhmlem4  33825