Theorem selvadd 42709

Description: The "variable selection" function is additive. (Contributed by SN, 7-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
selvadd.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
selvadd.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
selvadd.1	⊢ + = (+g‘𝑃)
selvadd.u	⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
selvadd.t	⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
selvadd.2	⊢ ✚ = (+g‘𝑇)
selvadd.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
selvadd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
selvadd.j	⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
selvadd.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
selvadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
selvadd	⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘(𝐹 + 𝐺)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) ✚ (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐺)))

Proof of Theorem selvadd

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		selvadd.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
2		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑇) = (𝐼 mPoly 𝑇)
3		selvadd.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
4		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑇)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑇))
5		selvadd.1	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑃)
6		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(𝐼 mPoly 𝑇)) = (+g‘(𝐼 mPoly 𝑇))
7		selvadd.u	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑈 = ((𝐼 ∖ 𝐽) mPoly 𝑅)
8		selvadd.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = (𝐽 mPoly 𝑈)
9		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (algSc‘𝑇) = (algSc‘𝑇)
10		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) = ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈))
11		selvadd.i	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
12	11	difexd 5273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐼 ∖ 𝐽) ∈ V)
13		selvadd.j	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ⊆ 𝐼)
14	11, 13	ssexd 5266	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ V)
15		selvadd.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CRing)
16	7, 8, 9, 10, 12, 14, 15	selvcllem2 42699	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇))
17		rhmghm 20405	. . . . . . 7 ⊢ (((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ (𝑅 RingHom 𝑇) → ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑇))
18		ghmmhm 19142	. . . . . . 7 ⊢ (((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ (𝑅 GrpHom 𝑇) → ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑇))
19	16, 17, 18	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∈ (𝑅 MndHom 𝑇))
20		selvadd.f	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐵)
21		selvadd.g	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
22	1, 2, 3, 4, 5, 6, 19, 20, 21	mhmcoaddmpl 22299	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ (𝐹 + 𝐺)) = ((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)(+g‘(𝐼 mPoly 𝑇))(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺)))
23	22	fveq2d 6834	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ (𝐹 + 𝐺))) = ((𝐼 eval 𝑇)‘((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)(+g‘(𝐼 mPoly 𝑇))(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))))
24	23	fveq1d 6832	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ (𝐹 + 𝐺)))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = (((𝐼 eval 𝑇)‘((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)(+g‘(𝐼 mPoly 𝑇))(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺)))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
25		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (𝐼 eval 𝑇) = (𝐼 eval 𝑇)
26		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
27		selvadd.2	. . . . 5 ⊢ ✚ = (+g‘𝑇)
28	7, 12, 15	mplcrngd 42668	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ CRing)
29	8, 14, 28	mplcrngd 42668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ CRing)
30		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))
31	7, 8, 9, 26, 30, 11, 15, 13	selvcllem5 42703	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))) ∈ ((Base‘𝑇) ↑m 𝐼))
32	1, 2, 3, 4, 19, 20	mhmcompl 22298	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑇)))
33		eqidd 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
34	32, 33	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑇)) ∧ (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))))))
35	1, 2, 3, 4, 19, 21	mhmcompl 22298	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑇)))
36		eqidd 2734	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
37	35, 36	jca 511	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑇)) ∧ (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))))))
38	25, 2, 26, 4, 6, 27, 11, 29, 31, 34, 37	evladdval 42696	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)(+g‘(𝐼 mPoly 𝑇))(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺)) ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑇)) ∧ (((𝐼 eval 𝑇)‘((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)(+g‘(𝐼 mPoly 𝑇))(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺)))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = ((((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) ✚ (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))))
39	38	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 eval 𝑇)‘((((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹)(+g‘(𝐼 mPoly 𝑇))(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺)))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = ((((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) ✚ (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))))))
40	24, 39	eqtrd 2768	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ (𝐹 + 𝐺)))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) = ((((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) ✚ (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))))))
41	1, 11, 15	mplcrngd 42668	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ CRing)
42	41	crnggrpd 20169	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
43	3, 5, 42, 20, 21	grpcld 18864	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 + 𝐺) ∈ 𝐵)
44	1, 3, 7, 8, 9, 10, 15, 13, 43	selvval2 42705	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘(𝐹 + 𝐺)) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ (𝐹 + 𝐺)))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
45	1, 3, 7, 8, 9, 10, 15, 13, 20	selvval2 42705	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
46	1, 3, 7, 8, 9, 10, 15, 13, 21	selvval2 42705	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐺) = (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))))
47	45, 46	oveq12d 7372	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) ✚ (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐺)) = ((((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐹))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥))))) ✚ (((𝐼 eval 𝑇)‘(((algSc‘𝑇) ∘ (algSc‘𝑈)) ∘ 𝐺))‘(𝑥 ∈ 𝐼 ↦ if(𝑥 ∈ 𝐽, ((𝐽 mVar 𝑈)‘𝑥), ((algSc‘𝑇)‘(((𝐼 ∖ 𝐽) mVar 𝑅)‘𝑥)))))))
48	40, 44, 47	3eqtr4d 2778	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘(𝐹 + 𝐺)) = ((((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐹) ✚ (((𝐼 selectVars 𝑅)‘𝐽)‘𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437   ∖ cdif 3895   ⊆ wss 3898  ifcif 4476   ↦ cmpt 5176   ∘ ccom 5625  ‘cfv 6488  (class class class)co 7354  Basecbs 17124  +_gcplusg 17165   MndHom cmhm 18693   GrpHom cghm 19128  CRingccrg 20156   RingHom crh 20391  algSccascl 21793   mVar cmvr 21846   mPoly cmpl 21847   eval cevl 22011   selectVars cslv 22046

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-se 5575  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7805  df-1st 7929  df-2nd 7930  df-supp 8099  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-1o 8393  df-2o 8394  df-er 8630  df-map 8760  df-pm 8761  df-ixp 8830  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-fin 8881  df-fsupp 9255  df-sup 9335  df-oi 9405  df-card 9841  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-3 12198  df-4 12199  df-5 12200  df-6 12201  df-7 12202  df-8 12203  df-9 12204  df-n0 12391  df-z 12478  df-dec 12597  df-uz 12741  df-fz 13412  df-fzo 13559  df-seq 13913  df-hash 14242  df-struct 17062  df-sets 17079  df-slot 17097  df-ndx 17109  df-base 17125  df-ress 17146  df-plusg 17178  df-mulr 17179  df-sca 17181  df-vsca 17182  df-ip 17183  df-tset 17184  df-ple 17185  df-ds 17187  df-hom 17189  df-cco 17190  df-0g 17349  df-gsum 17350  df-prds 17355  df-pws 17357  df-mre 17492  df-mrc 17493  df-acs 17495  df-mgm 18552  df-sgrp 18631  df-mnd 18647  df-mhm 18695  df-submnd 18696  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-sbg 18855  df-mulg 18985  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-cntz 19233  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20063  df-rng 20075  df-ur 20104  df-srg 20109  df-ring 20157  df-cring 20158  df-rhm 20394  df-subrng 20465  df-subrg 20489  df-lmod 20799  df-lss 20869  df-lsp 20909  df-assa 21794  df-asp 21795  df-ascl 21796  df-psr 21850  df-mvr 21851  df-mpl 21852  df-evls 22012  df-evl 22013  df-selv 22050

This theorem is referenced by: (None)