Theorem xpsgrpsub 19028

Description: Value of the subtraction operation in a binary structure product of groups. (Contributed by AV, 24-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsinv.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsinv.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsinv.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsinv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
xpsinv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
xpsinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
xpsinv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
xpsgrpsub.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
xpsgrpsub.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
xpsgrpsub.m	⊢ · = (-g‘𝑅)
xpsgrpsub.n	⊢ × = (-g‘𝑆)
xpsgrpsub.o	⊢ − = (-g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
xpsgrpsub	⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ − ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩)

Proof of Theorem xpsgrpsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsinv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		xpsinv.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
3		xpsinv.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
4		xpsinv.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		xpsinv.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
6		xpsinv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		xpsgrpsub.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
8		xpsgrpsub.m	. . . . . 6 ⊢ · = (-g‘𝑅)
9	2, 8	grpsubcl 18987	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
10	4, 6, 7, 9	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
11		xpsinv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
12		xpsgrpsub.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
13		xpsgrpsub.n	. . . . . 6 ⊢ × = (-g‘𝑆)
14	3, 13	grpsubcl 18987	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → (𝐵 × 𝐷) ∈ 𝑌)
15	5, 11, 12, 14	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐷) ∈ 𝑌)
16		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
17	2, 16, 4, 10, 7	grpcld 18914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑋)
18		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
19	3, 18, 5, 15, 12	grpcld 18914	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷) ∈ 𝑌)
20		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
21	1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 7, 12, 17, 19, 16, 18, 20	xpsadd 17529	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶), ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷)⟩)
22	2, 16, 8	grpnpcan 18999	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶) = 𝐴)
23	4, 6, 7, 22	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶) = 𝐴)
24	3, 18, 13	grpnpcan 18999	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷) = 𝐵)
25	5, 11, 12, 24	syl3anc 1379	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷) = 𝐵)
26	23, 25	opeq12d 4812	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶), ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷)⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
27	21, 26	eqtrd 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
28	1	xpsgrp 19026	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)
29	4, 5, 28	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
30	6, 11	opelxpd 5657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
31	1, 2, 3, 4, 5	xpsbas 17527	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (Base‘𝑇))
32	30, 31	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇))
33	7, 12	opelxpd 5657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
34	33, 31	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (Base‘𝑇))
35	10, 15	opelxpd 5657	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
36	35, 31	eleqtrd 2841	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ∈ (Base‘𝑇))
37		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
38		xpsgrpsub.o	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑇)
39	37, 20, 38	grpsubadd 18995	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇) ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (Base‘𝑇) ∧ ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ∈ (Base‘𝑇))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ − ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ↔ (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
40	29, 32, 34, 36, 39	syl13anc 1380	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ − ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ↔ (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
41	27, 40	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ − ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ⟨cop 4561   × cxp 5616  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211   ×_s cxps 17461  Grpcgrp 18900  -_gcsg 18902

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-tp 4560  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-prds 17401  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905

This theorem is referenced by:  pzriprng1ALT  21471