MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xpsgrpsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xpsgrpsub 18984
Description: Value of the subtraction operation in a binary structure product of groups. (Contributed by AV, 24-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
xpsinv.t 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsinv.x 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsinv.y 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsinv.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
xpsinv.s (𝜑𝑆 ∈ Grp)
xpsinv.a (𝜑𝐴𝑋)
xpsinv.b (𝜑𝐵𝑌)
xpsgrpsub.c (𝜑𝐶𝑋)
xpsgrpsub.d (𝜑𝐷𝑌)
xpsgrpsub.m · = (-g𝑅)
xpsgrpsub.n × = (-g𝑆)
xpsgrpsub.o = (-g𝑇)
Assertion
Ref Expression
xpsgrpsub (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩)

Proof of Theorem xpsgrpsub
StepHypRef Expression
1 xpsinv.t . . . 4 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2 xpsinv.x . . . 4 𝑋 = (Base‘𝑅)
3 xpsinv.y . . . 4 𝑌 = (Base‘𝑆)
4 xpsinv.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
5 xpsinv.s . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
6 xpsinv.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝑋)
7 xpsgrpsub.c . . . . 5 (𝜑𝐶𝑋)
8 xpsgrpsub.m . . . . . 6 · = (-g𝑅)
92, 8grpsubcl 18943 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐶𝑋) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
104, 6, 7, 9syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
11 xpsinv.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑌)
12 xpsgrpsub.d . . . . 5 (𝜑𝐷𝑌)
13 xpsgrpsub.n . . . . . 6 × = (-g𝑆)
143, 13grpsubcl 18943 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑌𝐷𝑌) → (𝐵 × 𝐷) ∈ 𝑌)
155, 11, 12, 14syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → (𝐵 × 𝐷) ∈ 𝑌)
16 eqid 2731 . . . . 5 (+g𝑅) = (+g𝑅)
172, 16, 4, 10, 7grpcld 18872 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶)(+g𝑅)𝐶) ∈ 𝑋)
18 eqid 2731 . . . . 5 (+g𝑆) = (+g𝑆)
193, 18, 5, 15, 12grpcld 18872 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 × 𝐷)(+g𝑆)𝐷) ∈ 𝑌)
20 eqid 2731 . . . 4 (+g𝑇) = (+g𝑇)
211, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 7, 12, 17, 19, 16, 18, 20xpsadd 17527 . . 3 (𝜑 → (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨((𝐴 · 𝐶)(+g𝑅)𝐶), ((𝐵 × 𝐷)(+g𝑆)𝐷)⟩)
222, 16, 8grpnpcan 18955 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴𝑋𝐶𝑋) → ((𝐴 · 𝐶)(+g𝑅)𝐶) = 𝐴)
234, 6, 7, 22syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶)(+g𝑅)𝐶) = 𝐴)
243, 18, 13grpnpcan 18955 . . . . 5 ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐵𝑌𝐷𝑌) → ((𝐵 × 𝐷)(+g𝑆)𝐷) = 𝐵)
255, 11, 12, 24syl3anc 1370 . . . 4 (𝜑 → ((𝐵 × 𝐷)(+g𝑆)𝐷) = 𝐵)
2623, 25opeq12d 4881 . . 3 (𝜑 → ⟨((𝐴 · 𝐶)(+g𝑅)𝐶), ((𝐵 × 𝐷)(+g𝑆)𝐷)⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
2721, 26eqtrd 2771 . 2 (𝜑 → (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
281xpsgrp 18982 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)
294, 5, 28syl2anc 583 . . 3 (𝜑𝑇 ∈ Grp)
306, 11opelxpd 5715 . . . 4 (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
311, 2, 3, 4, 5xpsbas 17525 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (Base‘𝑇))
3230, 31eleqtrd 2834 . . 3 (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇))
337, 12opelxpd 5715 . . . 4 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
3433, 31eleqtrd 2834 . . 3 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (Base‘𝑇))
3510, 15opelxpd 5715 . . . 4 (𝜑 → ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
3635, 31eleqtrd 2834 . . 3 (𝜑 → ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ∈ (Base‘𝑇))
37 eqid 2731 . . . 4 (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
38 xpsgrpsub.o . . . 4 = (-g𝑇)
3937, 20, 38grpsubadd 18951 . . 3 ((𝑇 ∈ Grp ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇) ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (Base‘𝑇) ∧ ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ∈ (Base‘𝑇))) → ((⟨𝐴, 𝐵𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ↔ (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
4029, 32, 34, 36, 39syl13anc 1371 . 2 (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ↔ (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
4127, 40mpbird 257 1 (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1540  wcel 2105  cop 4634   × cxp 5674  cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  +gcplusg 17204   ×s cxps 17459  Grpcgrp 18858  -gcsg 18860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-prds 17400  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-sbg 18863
This theorem is referenced by:  pzriprng1ALT  21269
  Copyright terms: Public domain W3C validator