Theorem xpsgrpsub 19297

Description: Value of the subtraction operation in a binary structure product of groups. (Contributed by AV, 24-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsinv.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsinv.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsinv.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsinv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
xpsinv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
xpsinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
xpsinv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
xpsgrpsub.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
xpsgrpsub.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
xpsgrpsub.m	⊢ · = (-g‘𝑅)
xpsgrpsub.n	⊢ × = (-g‘𝑆)
xpsgrpsub.o	⊢ − = (-g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
xpsgrpsub	⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ − ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩)

Proof of Theorem xpsgrpsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsinv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		xpsinv.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
3		xpsinv.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
4		xpsinv.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		xpsinv.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
6		xpsinv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		xpsgrpsub.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
8		xpsgrpsub.m	. . . . . 6 ⊢ · = (-g‘𝑅)
9	2, 8	grpsubcl 19256	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
10	4, 6, 7, 9	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
11		xpsinv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
12		xpsgrpsub.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
13		xpsgrpsub.n	. . . . . 6 ⊢ × = (-g‘𝑆)
14	3, 13	grpsubcl 19256	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → (𝐵 × 𝐷) ∈ 𝑌)
15	5, 11, 12, 14	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐷) ∈ 𝑌)
16		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
17	2, 16, 4, 10, 7	grpcld 19184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑋)
18		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
19	3, 18, 5, 15, 12	grpcld 19184	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷) ∈ 𝑌)
20		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
21	1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 7, 12, 17, 19, 16, 18, 20	xpsadd 17772	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶), ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷)⟩)
22	2, 16, 8	grpnpcan 19268	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶) = 𝐴)
23	4, 6, 7, 22	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶) = 𝐴)
24	3, 18, 13	grpnpcan 19268	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷) = 𝐵)
25	5, 11, 12, 24	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷) = 𝐵)
26	23, 25	opeq12d 4851	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶), ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷)⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
27	21, 26	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
28	1	xpsgrp 19295	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)
29	4, 5, 28	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
30	6, 11	opelxpd 5694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
31	1, 2, 3, 4, 5	xpsbas 17770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (Base‘𝑇))
32	30, 31	eleqtrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇))
33	7, 12	opelxpd 5694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
34	33, 31	eleqtrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (Base‘𝑇))
35	10, 15	opelxpd 5694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
36	35, 31	eleqtrd 2866	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ∈ (Base‘𝑇))
37		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
38		xpsgrpsub.o	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑇)
39	37, 20, 38	grpsubadd 19264	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇) ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (Base‘𝑇) ∧ ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ∈ (Base‘𝑇))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ − ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ↔ (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
40	29, 32, 34, 36, 39	syl13anc 1400	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ − ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ↔ (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
41	27, 40	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ − ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ⟨cop 4838   × cxp 5653  ‘cfv 6555  (class class class)co 7440  Basecbs 17413  +_gcplusg 17454   ×_s cxps 17704  Grpcgrp 19170  -_gcsg 19172

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-2o 8502  df-er 8742  df-map 8874  df-ixp 8951  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-inf 9459  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-4 12431  df-5 12432  df-6 12433  df-7 12434  df-8 12435  df-9 12436  df-n0 12631  df-z 12718  df-dec 12839  df-uz 12990  df-fz 13664  df-struct 17351  df-slot 17386  df-ndx 17398  df-base 17414  df-plusg 17467  df-mulr 17468  df-sca 17470  df-vsca 17471  df-ip 17472  df-tset 17473  df-ple 17474  df-ds 17476  df-hom 17478  df-cco 17479  df-0g 17638  df-prds 17644  df-imas 17706  df-xps 17708  df-mgm 18842  df-sgrp 18934  df-mnd 18950  df-grp 19173  df-minusg 19174  df-sbg 19175

This theorem is used by:  pzriprng1ALT  21829