Theorem xpsgrpsub 18991

Description: Value of the subtraction operation in a binary structure product of groups. (Contributed by AV, 24-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsinv.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsinv.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsinv.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsinv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
xpsinv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
xpsinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
xpsinv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
xpsgrpsub.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
xpsgrpsub.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
xpsgrpsub.m	⊢ · = (-g‘𝑅)
xpsgrpsub.n	⊢ × = (-g‘𝑆)
xpsgrpsub.o	⊢ − = (-g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
xpsgrpsub	⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ − ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩)

Proof of Theorem xpsgrpsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsinv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		xpsinv.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
3		xpsinv.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
4		xpsinv.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		xpsinv.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
6		xpsinv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		xpsgrpsub.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
8		xpsgrpsub.m	. . . . . 6 ⊢ · = (-g‘𝑅)
9	2, 8	grpsubcl 18950	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
10	4, 6, 7, 9	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
11		xpsinv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
12		xpsgrpsub.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
13		xpsgrpsub.n	. . . . . 6 ⊢ × = (-g‘𝑆)
14	3, 13	grpsubcl 18950	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → (𝐵 × 𝐷) ∈ 𝑌)
15	5, 11, 12, 14	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐷) ∈ 𝑌)
16		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
17	2, 16, 4, 10, 7	grpcld 18877	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑋)
18		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
19	3, 18, 5, 15, 12	grpcld 18877	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷) ∈ 𝑌)
20		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
21	1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 7, 12, 17, 19, 16, 18, 20	xpsadd 17495	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶), ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷)⟩)
22	2, 16, 8	grpnpcan 18962	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶) = 𝐴)
23	4, 6, 7, 22	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶) = 𝐴)
24	3, 18, 13	grpnpcan 18962	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷) = 𝐵)
25	5, 11, 12, 24	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷) = 𝐵)
26	23, 25	opeq12d 4837	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶), ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷)⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
27	21, 26	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
28	1	xpsgrp 18989	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)
29	4, 5, 28	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
30	6, 11	opelxpd 5663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
31	1, 2, 3, 4, 5	xpsbas 17493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (Base‘𝑇))
32	30, 31	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇))
33	7, 12	opelxpd 5663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
34	33, 31	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (Base‘𝑇))
35	10, 15	opelxpd 5663	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
36	35, 31	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ∈ (Base‘𝑇))
37		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
38		xpsgrpsub.o	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑇)
39	37, 20, 38	grpsubadd 18958	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇) ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (Base‘𝑇) ∧ ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ∈ (Base‘𝑇))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ − ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ↔ (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
40	29, 32, 34, 36, 39	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ − ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ↔ (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
41	27, 40	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ − ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ⟨cop 4586   × cxp 5622  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177   ×_s cxps 17427  Grpcgrp 18863  -_gcsg 18865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-prds 17367  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868

This theorem is referenced by:  pzriprng1ALT  21451