Theorem xpsgrpsub 18984

Description: Value of the subtraction operation in a binary structure product of groups. (Contributed by AV, 24-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsinv.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsinv.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsinv.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsinv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
xpsinv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
xpsinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
xpsinv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
xpsgrpsub.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
xpsgrpsub.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
xpsgrpsub.m	⊢ · = (-g‘𝑅)
xpsgrpsub.n	⊢ × = (-g‘𝑆)
xpsgrpsub.o	⊢ − = (-g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
xpsgrpsub	⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ − ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩)

Proof of Theorem xpsgrpsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsinv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		xpsinv.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
3		xpsinv.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
4		xpsinv.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		xpsinv.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
6		xpsinv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		xpsgrpsub.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
8		xpsgrpsub.m	. . . . . 6 ⊢ · = (-g‘𝑅)
9	2, 8	grpsubcl 18943	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
10	4, 6, 7, 9	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
11		xpsinv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
12		xpsgrpsub.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
13		xpsgrpsub.n	. . . . . 6 ⊢ × = (-g‘𝑆)
14	3, 13	grpsubcl 18943	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → (𝐵 × 𝐷) ∈ 𝑌)
15	5, 11, 12, 14	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐷) ∈ 𝑌)
16		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
17	2, 16, 4, 10, 7	grpcld 18872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑋)
18		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
19	3, 18, 5, 15, 12	grpcld 18872	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷) ∈ 𝑌)
20		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
21	1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 7, 12, 17, 19, 16, 18, 20	xpsadd 17527	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶), ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷)⟩)
22	2, 16, 8	grpnpcan 18955	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶) = 𝐴)
23	4, 6, 7, 22	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶) = 𝐴)
24	3, 18, 13	grpnpcan 18955	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷) = 𝐵)
25	5, 11, 12, 24	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷) = 𝐵)
26	23, 25	opeq12d 4881	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶), ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷)⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
27	21, 26	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
28	1	xpsgrp 18982	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)
29	4, 5, 28	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
30	6, 11	opelxpd 5715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
31	1, 2, 3, 4, 5	xpsbas 17525	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (Base‘𝑇))
32	30, 31	eleqtrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇))
33	7, 12	opelxpd 5715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
34	33, 31	eleqtrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (Base‘𝑇))
35	10, 15	opelxpd 5715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
36	35, 31	eleqtrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ∈ (Base‘𝑇))
37		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
38		xpsgrpsub.o	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑇)
39	37, 20, 38	grpsubadd 18951	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇) ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (Base‘𝑇) ∧ ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ∈ (Base‘𝑇))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ − ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ↔ (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
40	29, 32, 34, 36, 39	syl13anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ − ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ↔ (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
41	27, 40	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ − ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ⟨cop 4634   × cxp 5674  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  +_gcplusg 17204   ×_s cxps 17459  Grpcgrp 18858  -_gcsg 18860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-fz 13492  df-struct 17087  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-prds 17400  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mgm 18568  df-sgrp 18647  df-mnd 18663  df-grp 18861  df-minusg 18862  df-sbg 18863

This theorem is referenced by:  pzriprng1ALT  21269