Theorem xpsgrpsub 18974

Description: Value of the subtraction operation in a binary structure product of groups. (Contributed by AV, 24-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
xpsinv.t	⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
xpsinv.x	⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
xpsinv.y	⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
xpsinv.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
xpsinv.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
xpsinv.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
xpsinv.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
xpsgrpsub.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
xpsgrpsub.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
xpsgrpsub.m	⊢ · = (-g‘𝑅)
xpsgrpsub.n	⊢ × = (-g‘𝑆)
xpsgrpsub.o	⊢ − = (-g‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
xpsgrpsub	⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ − ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩)

Proof of Theorem xpsgrpsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsinv.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (𝑅 ×s 𝑆)
2		xpsinv.x	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝑅)
3		xpsinv.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (Base‘𝑆)
4		xpsinv.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		xpsinv.s	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ Grp)
6		xpsinv.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑋)
7		xpsgrpsub.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
8		xpsgrpsub.m	. . . . . 6 ⊢ · = (-g‘𝑅)
9	2, 8	grpsubcl 18933	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
10	4, 6, 7, 9	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ∈ 𝑋)
11		xpsinv.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑌)
12		xpsgrpsub.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
13		xpsgrpsub.n	. . . . . 6 ⊢ × = (-g‘𝑆)
14	3, 13	grpsubcl 18933	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → (𝐵 × 𝐷) ∈ 𝑌)
15	5, 11, 12, 14	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐵 × 𝐷) ∈ 𝑌)
16		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
17	2, 16, 4, 10, 7	grpcld 18860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶) ∈ 𝑋)
18		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑆) = (+g‘𝑆)
19	3, 18, 5, 15, 12	grpcld 18860	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷) ∈ 𝑌)
20		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑇) = (+g‘𝑇)
21	1, 2, 3, 4, 5, 10, 15, 7, 12, 17, 19, 16, 18, 20	xpsadd 17478	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶), ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷)⟩)
22	2, 16, 8	grpnpcan 18945	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐶 ∈ 𝑋) → ((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶) = 𝐴)
23	4, 6, 7, 22	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶) = 𝐴)
24	3, 18, 13	grpnpcan 18945	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ Grp ∧ 𝐵 ∈ 𝑌 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌) → ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷) = 𝐵)
25	5, 11, 12, 24	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷) = 𝐵)
26	23, 25	opeq12d 4830	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨((𝐴 · 𝐶)(+g‘𝑅)𝐶), ((𝐵 × 𝐷)(+g‘𝑆)𝐷)⟩ = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
27	21, 26	eqtrd 2766	. 2 ⊢ (𝜑 → (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨𝐴, 𝐵⟩)
28	1	xpsgrp 18972	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑆 ∈ Grp) → 𝑇 ∈ Grp)
29	4, 5, 28	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ Grp)
30	6, 11	opelxpd 5653	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
31	1, 2, 3, 4, 5	xpsbas 17476	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = (Base‘𝑇))
32	30, 31	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇))
33	7, 12	opelxpd 5653	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
34	33, 31	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (Base‘𝑇))
35	10, 15	opelxpd 5653	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
36	35, 31	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ∈ (Base‘𝑇))
37		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑇) = (Base‘𝑇)
38		xpsgrpsub.o	. . . 4 ⊢ − = (-g‘𝑇)
39	37, 20, 38	grpsubadd 18941	. . 3 ⊢ ((𝑇 ∈ Grp ∧ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (Base‘𝑇) ∧ ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (Base‘𝑇) ∧ ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ∈ (Base‘𝑇))) → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ − ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ↔ (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
40	29, 32, 34, 36, 39	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝐴, 𝐵⟩ − ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩ ↔ (⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩(+g‘𝑇)⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨𝐴, 𝐵⟩))
41	27, 40	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ − ⟨𝐶, 𝐷⟩) = ⟨(𝐴 · 𝐶), (𝐵 × 𝐷)⟩)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ⟨cop 4579   × cxp 5612  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161   ×_s cxps 17410  Grpcgrp 18846  -_gcsg 18848

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-prds 17351  df-imas 17412  df-xps 17414  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851

This theorem is referenced by:  pzriprng1ALT  21433