Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evladdval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evladdval 41149
Description: Polynomial evaluation builder for addition. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evladdval.q 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
evladdval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
evladdval.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
evladdval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evladdval.g = (+g𝑃)
evladdval.f + = (+g𝑆)
evladdval.i (𝜑𝐼𝑍)
evladdval.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evladdval.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
evladdval.m (𝜑 → (𝑀𝐵 ∧ ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
evladdval.n (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ ((𝑄𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
Assertion
Ref Expression
evladdval (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊)))

Proof of Theorem evladdval
StepHypRef Expression
1 evladdval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
2 evladdval.g . . 3 = (+g𝑃)
3 evladdval.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑍)
4 evladdval.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
5 evladdval.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
6 evladdval.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑆)
7 evladdval.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
8 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑆s (𝐾m 𝐼)) = (𝑆s (𝐾m 𝐼))
95, 6, 7, 8evlrhm 21658 . . . . . 6 ((𝐼𝑍𝑆 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
103, 4, 9syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
11 rhmghm 20261 . . . . 5 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) → 𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
13 ghmgrp1 19093 . . . 4 (𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) → 𝑃 ∈ Grp)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
15 evladdval.m . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵 ∧ ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
1615simpld 495 . . 3 (𝜑𝑀𝐵)
17 evladdval.n . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ ((𝑄𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
1817simpld 495 . . 3 (𝜑𝑁𝐵)
191, 2, 14, 16, 18grpcld 18832 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑁) ∈ 𝐵)
20 eqid 2732 . . . . . . 7 (+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
211, 2, 20ghmlin 19096 . . . . . 6 ((𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) ∧ 𝑀𝐵𝑁𝐵) → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑄𝑀)(+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑄𝑁)))
2212, 16, 18, 21syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑄𝑀)(+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑄𝑁)))
23 eqid 2732 . . . . . 6 (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
24 ovexd 7443 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾m 𝐼) ∈ V)
251, 23rhmf 20262 . . . . . . . 8 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
2610, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
2726, 16ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
2826, 18ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝑁) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
29 evladdval.f . . . . . 6 + = (+g𝑆)
308, 23, 4, 24, 27, 28, 29, 20pwsplusgval 17435 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄𝑀)(+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑄𝑁)) = ((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁)))
3122, 30eqtrd 2772 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁)))
3231fveq1d 6893 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁))‘𝐴))
338, 6, 23, 4, 24, 27pwselbas 17434 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑀):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
3433ffnd 6718 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑀) Fn (𝐾m 𝐼))
358, 6, 23, 4, 24, 28pwselbas 17434 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑁):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
3635ffnd 6718 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑁) Fn (𝐾m 𝐼))
37 evladdval.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
38 fnfvof 7686 . . . 4 ((((𝑄𝑀) Fn (𝐾m 𝐼) ∧ (𝑄𝑁) Fn (𝐾m 𝐼)) ∧ ((𝐾m 𝐼) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))) → (((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁))‘𝐴) = (((𝑄𝑀)‘𝐴) + ((𝑄𝑁)‘𝐴)))
3934, 36, 24, 37, 38syl22anc 837 . . 3 (𝜑 → (((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁))‘𝐴) = (((𝑄𝑀)‘𝐴) + ((𝑄𝑁)‘𝐴)))
4015simprd 496 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉)
4117simprd 496 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄𝑁)‘𝐴) = 𝑊)
4240, 41oveq12d 7426 . . 3 (𝜑 → (((𝑄𝑀)‘𝐴) + ((𝑄𝑁)‘𝐴)) = (𝑉 + 𝑊))
4332, 39, 423eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊))
4419, 43jca 512 1 (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3474   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7408  f cof 7667  m cmap 8819  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  s cpws 17391  Grpcgrp 18818   GrpHom cghm 19088  CRingccrg 20056   RingHom crh 20247   mPoly cmpl 21458   eval cevl 21633
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-of 7669  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8146  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-seq 13966  df-hash 14290  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-mhm 18670  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-mulg 18950  df-subg 19002  df-ghm 19089  df-cntz 19180  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-srg 20009  df-ring 20057  df-cring 20058  df-rnghom 20250  df-subrg 20316  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-assa 21407  df-asp 21408  df-ascl 21409  df-psr 21461  df-mvr 21462  df-mpl 21463  df-evls 21634  df-evl 21635
This theorem is referenced by:  selvadd  41162
  Copyright terms: Public domain W3C validator