Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evladdval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evladdval 41003
Description: Polynomial evaluation builder for addition. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evladdval.q 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
evladdval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
evladdval.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
evladdval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evladdval.g = (+g𝑃)
evladdval.f + = (+g𝑆)
evladdval.i (𝜑𝐼𝑍)
evladdval.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evladdval.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
evladdval.m (𝜑 → (𝑀𝐵 ∧ ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
evladdval.n (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ ((𝑄𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
Assertion
Ref Expression
evladdval (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊)))

Proof of Theorem evladdval
StepHypRef Expression
1 evladdval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
2 evladdval.g . . 3 = (+g𝑃)
3 evladdval.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑍)
4 evladdval.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
5 evladdval.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
6 evladdval.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑆)
7 evladdval.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
8 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑆s (𝐾m 𝐼)) = (𝑆s (𝐾m 𝐼))
95, 6, 7, 8evlrhm 21590 . . . . . 6 ((𝐼𝑍𝑆 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
103, 4, 9syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
11 rhmghm 20214 . . . . 5 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) → 𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
13 ghmgrp1 19062 . . . 4 (𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) → 𝑃 ∈ Grp)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
15 evladdval.m . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵 ∧ ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
1615simpld 495 . . 3 (𝜑𝑀𝐵)
17 evladdval.n . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ ((𝑄𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
1817simpld 495 . . 3 (𝜑𝑁𝐵)
191, 2, 14, 16, 18grpcld 18810 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑁) ∈ 𝐵)
20 eqid 2732 . . . . . . 7 (+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
211, 2, 20ghmlin 19065 . . . . . 6 ((𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) ∧ 𝑀𝐵𝑁𝐵) → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑄𝑀)(+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑄𝑁)))
2212, 16, 18, 21syl3anc 1371 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑄𝑀)(+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑄𝑁)))
23 eqid 2732 . . . . . 6 (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
24 ovexd 7429 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾m 𝐼) ∈ V)
251, 23rhmf 20215 . . . . . . . 8 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
2610, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
2726, 16ffvelcdmd 7073 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
2826, 18ffvelcdmd 7073 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝑁) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
29 evladdval.f . . . . . 6 + = (+g𝑆)
308, 23, 4, 24, 27, 28, 29, 20pwsplusgval 17420 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄𝑀)(+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑄𝑁)) = ((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁)))
3122, 30eqtrd 2772 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁)))
3231fveq1d 6881 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁))‘𝐴))
338, 6, 23, 4, 24, 27pwselbas 17419 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑀):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
3433ffnd 6706 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑀) Fn (𝐾m 𝐼))
358, 6, 23, 4, 24, 28pwselbas 17419 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑁):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
3635ffnd 6706 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑁) Fn (𝐾m 𝐼))
37 evladdval.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
38 fnfvof 7671 . . . 4 ((((𝑄𝑀) Fn (𝐾m 𝐼) ∧ (𝑄𝑁) Fn (𝐾m 𝐼)) ∧ ((𝐾m 𝐼) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))) → (((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁))‘𝐴) = (((𝑄𝑀)‘𝐴) + ((𝑄𝑁)‘𝐴)))
3934, 36, 24, 37, 38syl22anc 837 . . 3 (𝜑 → (((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁))‘𝐴) = (((𝑄𝑀)‘𝐴) + ((𝑄𝑁)‘𝐴)))
4015simprd 496 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉)
4117simprd 496 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄𝑁)‘𝐴) = 𝑊)
4240, 41oveq12d 7412 . . 3 (𝜑 → (((𝑄𝑀)‘𝐴) + ((𝑄𝑁)‘𝐴)) = (𝑉 + 𝑊))
4332, 39, 423eqtrd 2776 . 2 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊))
4419, 43jca 512 1 (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3474   Fn wfn 6528  wf 6529  cfv 6533  (class class class)co 7394  f cof 7652  m cmap 8805  Basecbs 17128  +gcplusg 17181  s cpws 17376  Grpcgrp 18796   GrpHom cghm 19057  CRingccrg 20017   RingHom crh 20200   mPoly cmpl 21392   eval cevl 21565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-se 5626  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-of 7654  df-ofr 7655  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-supp 8131  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-1o 8450  df-er 8688  df-map 8807  df-pm 8808  df-ixp 8877  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-fin 8928  df-fsupp 9347  df-sup 9421  df-oi 9489  df-card 9918  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-2 12259  df-3 12260  df-4 12261  df-5 12262  df-6 12263  df-7 12264  df-8 12265  df-9 12266  df-n0 12457  df-z 12543  df-dec 12662  df-uz 12807  df-fz 13469  df-fzo 13612  df-seq 13951  df-hash 14275  df-struct 17064  df-sets 17081  df-slot 17099  df-ndx 17111  df-base 17129  df-ress 17158  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17371  df-gsum 17372  df-prds 17377  df-pws 17379  df-mre 17514  df-mrc 17515  df-acs 17517  df-mgm 18545  df-sgrp 18594  df-mnd 18605  df-mhm 18649  df-submnd 18650  df-grp 18799  df-minusg 18800  df-sbg 18801  df-mulg 18925  df-subg 18977  df-ghm 19058  df-cntz 19149  df-cmn 19616  df-abl 19617  df-mgp 19949  df-ur 19966  df-srg 19970  df-ring 20018  df-cring 20019  df-rnghom 20203  df-subrg 20312  df-lmod 20424  df-lss 20494  df-lsp 20534  df-assa 21343  df-asp 21344  df-ascl 21345  df-psr 21395  df-mvr 21396  df-mpl 21397  df-evls 21566  df-evl 21567
This theorem is referenced by:  selvadd  41013
  Copyright terms: Public domain W3C validator