Theorem evladdval 22320

Description: Polynomial evaluation builder for addition. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evladdval.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
evladdval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
evladdval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evladdval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evladdval.g	⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
evladdval.f	⊢ + = (+g‘𝑆)
evladdval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
evladdval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evladdval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evladdval.m	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
evladdval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
evladdval	⊢ (𝜑 → ((𝑀 ✚ 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊)))

Proof of Theorem evladdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evladdval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		evladdval.g	. . 3 ⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
3		evladdval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
4		evladdval.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
5		evladdval.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
6		evladdval.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
7		evladdval.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
8		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
9	5, 6, 7, 8	evlrhm 22318	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
10	3, 4, 9	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
11		rhmghm 20626	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
13		ghmgrp1 19346	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑃 ∈ Grp)
14	12, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
15		evladdval.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
16	15	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
17		evladdval.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
18	17	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
19	1, 2, 14, 16, 18	grpcld 19072	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ✚ 𝑁) ∈ 𝐵)
20		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
21	1, 2, 20	ghmlin 19349	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀)(+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)))
22	12, 16, 18, 21	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀)(+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)))
23		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
24		ovexd 7449	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
25	1, 23	rhmf 20627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
26	10, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
27	26, 16	ffvelcdmd 7079	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
28	26, 18	ffvelcdmd 7079	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
29		evladdval.f	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑆)
30	8, 23, 4, 24, 27, 28, 29, 20	pwsplusgval 17577	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑀)(+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)) = ((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁)))
31	22, 30	eqtrd 2795	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁)))
32	31	fveq1d 6881	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁))‘𝐴))
33	8, 6, 23, 4, 24, 27	pwselbas 17575	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
34	33	ffnd 6704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
35	8, 6, 23, 4, 24, 28	pwselbas 17575	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
36	35	ffnd 6704	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
37		evladdval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
38		fnfvof 7696	. . . 4 ⊢ ((((𝑄‘𝑀) Fn (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ (𝑄‘𝑁) Fn (𝐾 ↑m 𝐼)) ∧ ((𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))) → (((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)))
39	34, 36, 24, 37, 38	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)))
40	15	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉)
41	17	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊)
42	40, 41	oveq12d 7432	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)) = (𝑉 + 𝑊))
43	32, 39, 42	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊))
44	19, 43	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ✚ 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3450   Fn wfn 6528  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414   ∘_f cof 7677   ↑_m cmap 8827  Basecbs 17302  +_gcplusg 17343   ↑_s cpws 17532  Grpcgrp 19058   GrpHom cghm 19341  CRingccrg 20374   RingHom crh 20611   mPoly cmpl 22122   eval cevl 22290

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8456  df-2o 8457  df-er 8697  df-map 8829  df-pm 8830  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9333  df-sup 9413  df-oi 9483  df-card 9945  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13563  df-fzo 13711  df-seq 14067  df-hash 14396  df-struct 17240  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-sca 17359  df-vsca 17360  df-ip 17361  df-tset 17362  df-ple 17363  df-ds 17365  df-hom 17367  df-cco 17368  df-0g 17527  df-gsum 17528  df-prds 17533  df-pws 17535  df-mre 17671  df-mrc 17672  df-acs 17674  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-mhm 18892  df-submnd 18893  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-sbg 19063  df-mulg 19192  df-subg 19247  df-ghm 19342  df-cntz 19445  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-srg 20327  df-ring 20375  df-cring 20376  df-rhm 20614  df-subrng 20709  df-subrg 20733  df-lmod 21047  df-lss 21117  df-lsp 21157  df-assa 22069  df-asp 22070  df-ascl 22071  df-psr 22125  df-mvr 22126  df-mpl 22127  df-evls 22291  df-evl 22292

This theorem is used by:  selvadd  22360  esplyindfv  34087