Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  evladdval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem evladdval 41873
Description: Polynomial evaluation builder for addition. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
evladdval.q 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
evladdval.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
evladdval.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
evladdval.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
evladdval.g = (+g𝑃)
evladdval.f + = (+g𝑆)
evladdval.i (𝜑𝐼𝑍)
evladdval.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
evladdval.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
evladdval.m (𝜑 → (𝑀𝐵 ∧ ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
evladdval.n (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ ((𝑄𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
Assertion
Ref Expression
evladdval (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊)))

Proof of Theorem evladdval
StepHypRef Expression
1 evladdval.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑃)
2 evladdval.g . . 3 = (+g𝑃)
3 evladdval.i . . . . . 6 (𝜑𝐼𝑍)
4 evladdval.s . . . . . 6 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
5 evladdval.q . . . . . . 7 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
6 evladdval.k . . . . . . 7 𝐾 = (Base‘𝑆)
7 evladdval.p . . . . . . 7 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
8 eqid 2725 . . . . . . 7 (𝑆s (𝐾m 𝐼)) = (𝑆s (𝐾m 𝐼))
95, 6, 7, 8evlrhm 22049 . . . . . 6 ((𝐼𝑍𝑆 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
103, 4, 9syl2anc 582 . . . . 5 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
11 rhmghm 20427 . . . . 5 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) → 𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
1210, 11syl 17 . . . 4 (𝜑𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))))
13 ghmgrp1 19176 . . . 4 (𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) → 𝑃 ∈ Grp)
1412, 13syl 17 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
15 evladdval.m . . . 4 (𝜑 → (𝑀𝐵 ∧ ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
1615simpld 493 . . 3 (𝜑𝑀𝐵)
17 evladdval.n . . . 4 (𝜑 → (𝑁𝐵 ∧ ((𝑄𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
1817simpld 493 . . 3 (𝜑𝑁𝐵)
191, 2, 14, 16, 18grpcld 18908 . 2 (𝜑 → (𝑀 𝑁) ∈ 𝐵)
20 eqid 2725 . . . . . . 7 (+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
211, 2, 20ghmlin 19179 . . . . . 6 ((𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) ∧ 𝑀𝐵𝑁𝐵) → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑄𝑀)(+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑄𝑁)))
2212, 16, 18, 21syl3anc 1368 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑄𝑀)(+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑄𝑁)))
23 eqid 2725 . . . . . 6 (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))) = (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))
24 ovexd 7451 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐾m 𝐼) ∈ V)
251, 23rhmf 20428 . . . . . . . 8 (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆s (𝐾m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
2610, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
2726, 16ffvelcdmd 7090 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝑀) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
2826, 18ffvelcdmd 7090 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑄𝑁) ∈ (Base‘(𝑆s (𝐾m 𝐼))))
29 evladdval.f . . . . . 6 + = (+g𝑆)
308, 23, 4, 24, 27, 28, 29, 20pwsplusgval 17471 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑄𝑀)(+g‘(𝑆s (𝐾m 𝐼)))(𝑄𝑁)) = ((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁)))
3122, 30eqtrd 2765 . . . 4 (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 𝑁)) = ((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁)))
3231fveq1d 6894 . . 3 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁))‘𝐴))
338, 6, 23, 4, 24, 27pwselbas 17470 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑀):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
3433ffnd 6718 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑀) Fn (𝐾m 𝐼))
358, 6, 23, 4, 24, 28pwselbas 17470 . . . . 5 (𝜑 → (𝑄𝑁):(𝐾m 𝐼)⟶𝐾)
3635ffnd 6718 . . . 4 (𝜑 → (𝑄𝑁) Fn (𝐾m 𝐼))
37 evladdval.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
38 fnfvof 7699 . . . 4 ((((𝑄𝑀) Fn (𝐾m 𝐼) ∧ (𝑄𝑁) Fn (𝐾m 𝐼)) ∧ ((𝐾m 𝐼) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))) → (((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁))‘𝐴) = (((𝑄𝑀)‘𝐴) + ((𝑄𝑁)‘𝐴)))
3934, 36, 24, 37, 38syl22anc 837 . . 3 (𝜑 → (((𝑄𝑀) ∘f + (𝑄𝑁))‘𝐴) = (((𝑄𝑀)‘𝐴) + ((𝑄𝑁)‘𝐴)))
4015simprd 494 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄𝑀)‘𝐴) = 𝑉)
4117simprd 494 . . . 4 (𝜑 → ((𝑄𝑁)‘𝐴) = 𝑊)
4240, 41oveq12d 7434 . . 3 (𝜑 → (((𝑄𝑀)‘𝐴) + ((𝑄𝑁)‘𝐴)) = (𝑉 + 𝑊))
4332, 39, 423eqtrd 2769 . 2 (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊))
4419, 43jca 510 1 (𝜑 → ((𝑀 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3463   Fn wfn 6538  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7416  f cof 7680  m cmap 8843  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  s cpws 17427  Grpcgrp 18894   GrpHom cghm 19171  CRingccrg 20178   RingHom crh 20412   mPoly cmpl 21843   eval cevl 22024
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-srg 20131  df-ring 20179  df-cring 20180  df-rhm 20415  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860  df-assa 21791  df-asp 21792  df-ascl 21793  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-evls 22025  df-evl 22026
This theorem is referenced by:  selvadd  41886
  Copyright terms: Public domain W3C validator