Theorem evladdval 22412

Description: Polynomial evaluation builder for addition. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evladdval.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
evladdval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
evladdval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evladdval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evladdval.g	⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
evladdval.f	⊢ + = (+g‘𝑆)
evladdval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
evladdval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evladdval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evladdval.m	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
evladdval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
evladdval	⊢ (𝜑 → ((𝑀 ✚ 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊)))

Proof of Theorem evladdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evladdval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		evladdval.g	. . 3 ⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
3		evladdval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
4		evladdval.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
5		evladdval.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
6		evladdval.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
7		evladdval.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
8		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
9	5, 6, 7, 8	evlrhm 22410	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
10	3, 4, 9	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
11		rhmghm 20714	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
12	10, 11	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
13		ghmgrp1 19432	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑃 ∈ Grp)
14	12, 13	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
15		evladdval.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
16	15	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
17		evladdval.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
18	17	simpld 500	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
19	1, 2, 14, 16, 18	grpcld 19158	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ✚ 𝑁) ∈ 𝐵)
20		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
21	1, 2, 20	ghmlin 19435	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀)(+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)))
22	12, 16, 18, 21	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀)(+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)))
23		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
24		ovexd 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
25	1, 23	rhmf 20715	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
26	10, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
27	26, 16	ffvelcdmd 7085	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
28	26, 18	ffvelcdmd 7085	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
29		evladdval.f	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑆)
30	8, 23, 4, 24, 27, 28, 29, 20	pwsplusgval 17662	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑀)(+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)) = ((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁)))
31	22, 30	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁)))
32	31	fveq1d 6887	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁))‘𝐴))
33	8, 6, 23, 4, 24, 27	pwselbas 17660	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
34	33	ffnd 6710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
35	8, 6, 23, 4, 24, 28	pwselbas 17660	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
36	35	ffnd 6710	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
37		evladdval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
38		fnfvof 7710	. . . 4 ⊢ ((((𝑄‘𝑀) Fn (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ (𝑄‘𝑁) Fn (𝐾 ↑m 𝐼)) ∧ ((𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))) → (((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)))
39	34, 36, 24, 37, 38	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)))
40	15	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉)
41	17	simprd 501	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊)
42	40, 41	oveq12d 7438	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)) = (𝑉 + 𝑊))
43	32, 39, 42	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊))
44	19, 43	jca 521	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ✚ 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   Fn wfn 6533  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7691   ↑_m cmap 8847  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428   ↑_s cpws 17617  Grpcgrp 19144   GrpHom cghm 19427  CRingccrg 20460   RingHom crh 20699   mPoly cmpl 22214   eval cevl 22382

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-ofr 7694  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8178  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-pm 8850  df-ixp 8926  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-fsupp 9354  df-sup 9434  df-oi 9504  df-card 10020  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-7 12410  df-8 12411  df-9 12412  df-n0 12607  df-z 12694  df-dec 12815  df-uz 12966  df-fz 13640  df-fzo 13789  df-seq 14145  df-hash 14475  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-ip 17446  df-tset 17447  df-ple 17448  df-ds 17450  df-hom 17452  df-cco 17453  df-0g 17612  df-gsum 17613  df-prds 17618  df-pws 17620  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-mhm 18978  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-mulg 19278  df-subg 19333  df-ghm 19428  df-cntz 19531  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-srg 20413  df-ring 20461  df-cring 20462  df-rhm 20702  df-subrng 20798  df-subrg 20822  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-assa 22161  df-asp 22162  df-ascl 22163  df-psr 22217  df-mvr 22218  df-mpl 22219  df-evls 22383  df-evl 22384

This theorem is used by:  selvadd  22452  esplyindfv  34208