Theorem evladdval 41704

Description: Polynomial evaluation builder for addition. (Contributed by SN, 9-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
evladdval.q	⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
evladdval.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
evladdval.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
evladdval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
evladdval.g	⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
evladdval.f	⊢ + = (+g‘𝑆)
evladdval.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
evladdval.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
evladdval.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
evladdval.m	⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
evladdval.n	⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊))

Assertion

Ref	Expression
evladdval	⊢ (𝜑 → ((𝑀 ✚ 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊)))

Proof of Theorem evladdval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		evladdval.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		evladdval.g	. . 3 ⊢ ✚ = (+g‘𝑃)
3		evladdval.i	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑍)
4		evladdval.s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
5		evladdval.q	. . . . . . 7 ⊢ 𝑄 = (𝐼 eval 𝑆)
6		evladdval.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
7		evladdval.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑆)
8		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)) = (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))
9	5, 6, 7, 8	evlrhm 22001	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑍 ∧ 𝑆 ∈ CRing) → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
10	3, 4, 9	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
11		rhmghm 20386	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
12	10, 11	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
13		ghmgrp1 19143	. . . 4 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑃 ∈ Grp)
14	12, 13	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
15		evladdval.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉))
16	15	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ 𝐵)
17		evladdval.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊))
18	17	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ 𝐵)
19	1, 2, 14, 16, 18	grpcld 18877	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀 ✚ 𝑁) ∈ 𝐵)
20		eqid 2726	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
21	1, 2, 20	ghmlin 19146	. . . . . 6 ⊢ ((𝑄 ∈ (𝑃 GrpHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑁 ∈ 𝐵) → (𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀)(+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)))
22	12, 16, 18, 21	syl3anc 1368	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀)(+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)))
23		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) = (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))
24		ovexd 7440	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V)
25	1, 23	rhmf 20387	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑄 ∈ (𝑃 RingHom (𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))) → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
26	10, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑄:𝐵⟶(Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
27	26, 16	ffvelcdmd 7081	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
28	26, 18	ffvelcdmd 7081	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) ∈ (Base‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼))))
29		evladdval.f	. . . . . 6 ⊢ + = (+g‘𝑆)
30	8, 23, 4, 24, 27, 28, 29, 20	pwsplusgval 17445	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑀)(+g‘(𝑆 ↑s (𝐾 ↑m 𝐼)))(𝑄‘𝑁)) = ((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁)))
31	22, 30	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁)) = ((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁)))
32	31	fveq1d 6887	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁))‘𝐴))
33	8, 6, 23, 4, 24, 27	pwselbas 17444	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
34	33	ffnd 6712	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑀) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
35	8, 6, 23, 4, 24, 28	pwselbas 17444	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁):(𝐾 ↑m 𝐼)⟶𝐾)
36	35	ffnd 6712	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑄‘𝑁) Fn (𝐾 ↑m 𝐼))
37		evladdval.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
38		fnfvof 7684	. . . 4 ⊢ ((((𝑄‘𝑀) Fn (𝐾 ↑m 𝐼) ∧ (𝑄‘𝑁) Fn (𝐾 ↑m 𝐼)) ∧ ((𝐾 ↑m 𝐼) ∈ V ∧ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))) → (((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)))
39	34, 36, 24, 37, 38	syl22anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘𝑀) ∘f + (𝑄‘𝑁))‘𝐴) = (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)))
40	15	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑀)‘𝐴) = 𝑉)
41	17	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑁)‘𝐴) = 𝑊)
42	40, 41	oveq12d 7423	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝑄‘𝑀)‘𝐴) + ((𝑄‘𝑁)‘𝐴)) = (𝑉 + 𝑊))
43	32, 39, 42	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊))
44	19, 43	jca 511	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑀 ✚ 𝑁) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑄‘(𝑀 ✚ 𝑁))‘𝐴) = (𝑉 + 𝑊)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   Fn wfn 6532  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7665   ↑_m cmap 8822  Basecbs 17153  +_gcplusg 17206   ↑_s cpws 17401  Grpcgrp 18863   GrpHom cghm 19138  CRingccrg 20139   RingHom crh 20371   mPoly cmpl 21800   eval cevl 21976

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-srg 20092  df-ring 20140  df-cring 20141  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-assa 21748  df-asp 21749  df-ascl 21750  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-evls 21977  df-evl 21978

This theorem is referenced by:  selvadd  41717