Theorem rnglidl1 21271

Description: The base set of every non-unital ring is an ideal. For unital rings, such ideals are called "unit ideals", see lidl1 21272. (Contributed by AV, 19-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidl0.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
rnglidl1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rnglidl1	⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem rnglidl1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnglidl1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	eqimssi 3987	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅))
4		rnggrp 20176	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
5	1	grpbn0 18980	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 ≠ ∅)
7		eqid 2752	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
8	4	adantr 483	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
9		simpl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Rng)
10	1	eqcomi 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = 𝐵
11	10	eleq2i 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)
12	11	biimpi 218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13	12	3ad2ant1 1142	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
14	13	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15		simpr2 1205	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		eqid 2752	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	1, 16	rngcl 20182	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
18	9, 14, 15, 17	syl3anc 1382	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
19		simpr3 1206	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
20	1, 7, 8, 18, 19	grpcld 18961	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
21	20	ralrimivvva 3198	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
22		rnglidl0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
23		eqid 2752	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	22, 23, 7, 16	islidl 21254	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑈 ↔ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵))
25	3, 6, 21, 24	syl3anbrc 1353	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1095   = wceq 1550   ∈ wcel 2132   ≠ wne 2947  ∀wral 3066   ⊆ wss 3895  ∅c0 4276  ‘cfv 6506  (class class class)co 7381  Basecbs 17217  +_gcplusg 17258  ._rcmulr 17259  Grpcgrp 18947  Rngcrng 20170  LIdealclidl 21245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1805  ax-4 1819  ax-5 1920  ax-6 1977  ax-7 2018  ax-8 2134  ax-9 2142  ax-10 2165  ax-11 2181  ax-12 2202  ax-ext 2724  ax-rep 5217  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5312  ax-pr 5380  ax-un 7703  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1553  df-fal 1563  df-ex 1790  df-nf 1794  df-sb 2081  df-mo 2556  df-eu 2586  df-clab 2731  df-cleq 2744  df-clel 2827  df-nfc 2901  df-ne 2948  df-nel 3052  df-ral 3067  df-rex 3077  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3405  df-v 3446  df-sbc 3736  df-csb 3844  df-dif 3898  df-un 3900  df-in 3902  df-ss 3912  df-pss 3915  df-nul 4277  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4573  df-pr 4575  df-op 4579  df-uni 4856  df-iun 4941  df-br 5091  df-opab 5153  df-mpt 5172  df-tr 5198  df-id 5531  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5642  df-rel 5643  df-cnv 5644  df-co 5645  df-dm 5646  df-rn 5647  df-res 5648  df-ima 5649  df-pred 6273  df-ord 6334  df-on 6335  df-lim 6336  df-suc 6337  df-iota 6462  df-fun 6508  df-fn 6509  df-f 6510  df-f1 6511  df-fo 6512  df-f1o 6513  df-fv 6514  df-riota 7338  df-ov 7384  df-oprab 7385  df-mpo 7386  df-om 7832  df-2nd 7956  df-frecs 8246  df-wrecs 8277  df-recs 8326  df-rdg 8365  df-er 8662  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-pnf 11204  df-mnf 11205  df-xr 11206  df-ltxr 11207  df-le 11208  df-sub 11402  df-neg 11403  df-nn 12197  df-2 12266  df-3 12267  df-4 12268  df-5 12269  df-6 12270  df-7 12271  df-8 12272  df-sets 17172  df-slot 17190  df-ndx 17202  df-base 17218  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-0g 17442  df-mgm 18646  df-sgrp 18725  df-mnd 18741  df-grp 18950  df-abl 19795  df-mgp 20159  df-rng 20171  df-lss 20968  df-sra 21209  df-rgmod 21210  df-lidl 21247

This theorem is referenced by:  lidl1  21272