Theorem rnglidl1 21337

Description: The base set of every non-unital ring is an ideal. For unital rings, such ideals are called "unit ideals", see lidl1 21338. (Contributed by AV, 19-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidl0.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
rnglidl1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rnglidl1	⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem rnglidl1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnglidl1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	eqimssi 3996	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅))
4		rnggrp 20235	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
5	1	grpbn0 19032	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 ≠ ∅)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
8	4	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
9		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Rng)
10	1	eqcomi 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = 𝐵
11	10	eleq2i 2853	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)
12	11	biimpi 219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13	12	3ad2ant1 1149	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
14	13	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15		simpr2 1212	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	1, 16	rngcl 20241	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
18	9, 14, 15, 17	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
19		simpr3 1213	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
20	1, 7, 8, 18, 19	grpcld 19013	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
21	20	ralrimivvva 3209	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
22		rnglidl0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
23		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	22, 23, 7, 16	islidl 21319	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑈 ↔ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵))
25	3, 6, 21, 24	syl3anbrc 1360	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1568   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956  ∀wral 3077   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  ._rcmulr 17310  Grpcgrp 18999  Rngcrng 20229  LIdealclidl 21309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11155  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175  ax-pre-mulgt0 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-nf 1812  df-sb 2095  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7862  df-2nd 7986  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-xr 11246  df-ltxr 11247  df-le 11248  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12233  df-2 12302  df-3 12303  df-4 12304  df-5 12305  df-6 12306  df-7 12307  df-8 12308  df-sets 17223  df-slot 17241  df-ndx 17253  df-base 17269  df-ress 17290  df-plusg 17322  df-sca 17325  df-vsca 17326  df-ip 17327  df-0g 17493  df-mgm 18697  df-sgrp 18776  df-mnd 18792  df-grp 19002  df-abl 19852  df-mgp 20216  df-rng 20230  df-lss 21032  df-sra 21273  df-rgmod 21274  df-lidl 21311

This theorem is referenced by:  lidl1  21338