Theorem rnglidl1 21149

Description: The base set of every non-unital ring is an ideal. For unital rings, such ideals are called "unit ideals", see lidl1 21150. (Contributed by AV, 19-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidl0.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
rnglidl1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rnglidl1	⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem rnglidl1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnglidl1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	eqimssi 4010	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅))
4		rnggrp 20074	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
5	1	grpbn0 18905	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 ≠ ∅)
7		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
8	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
9		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Rng)
10	1	eqcomi 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = 𝐵
11	10	eleq2i 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)
12	11	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13	12	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	1, 16	rngcl 20080	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
18	9, 14, 15, 17	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
19		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
20	1, 7, 8, 18, 19	grpcld 18886	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
21	20	ralrimivvva 3184	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
22		rnglidl0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
23		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	22, 23, 7, 16	islidl 21132	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑈 ↔ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵))
25	3, 6, 21, 24	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  ._rcmulr 17228  Grpcgrp 18872  Rngcrng 20068  LIdealclidl 21123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-lss 20845  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-lidl 21125

This theorem is referenced by:  lidl1  21150