Theorem rnglidl1 21162

Description: The base set of every non-unital ring is an ideal. For unital rings, such ideals are called "unit ideals", see lidl1 21163. (Contributed by AV, 19-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidl0.u	⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
rnglidl1.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rnglidl1	⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem rnglidl1

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnglidl1.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2	1	eqimssi 3993	. . 3 ⊢ 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 ⊆ (Base‘𝑅))
4		rnggrp 20069	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
5	1	grpbn0 18871	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 𝐵 ≠ ∅)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 ≠ ∅)
7		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
8	4	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
9		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Rng)
10	1	eqcomi 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) = 𝐵
11	10	eleq2i 2821	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ↔ 𝑥 ∈ 𝐵)
12	11	biimpi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) → 𝑥 ∈ 𝐵)
13	12	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
15		simpr2 1196	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
16		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
17	1, 16	rngcl 20075	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
18	9, 14, 15, 17	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝐵)
19		simpr3 1197	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → 𝑧 ∈ 𝐵)
20	1, 7, 8, 18, 19	grpcld 18852	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ (𝑥 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
21	20	ralrimivvva 3176	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵)
22		rnglidl0.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (LIdeal‘𝑅)
23		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
24	22, 23, 7, 16	islidl 21145	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑈 ↔ (𝐵 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ 𝐵 ≠ ∅ ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑅)∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝐵 ((𝑥(.r‘𝑅)𝑦)(+g‘𝑅)𝑧) ∈ 𝐵))
25	3, 6, 21, 24	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝐵 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2926  ∀wral 3045   ⊆ wss 3900  ∅c0 4281  ‘cfv 6477  (class class class)co 7341  Basecbs 17112  +_gcplusg 17153  ._rcmulr 17154  Grpcgrp 18838  Rngcrng 20063  LIdealclidl 21136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2179  ax-ext 2702  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7663  ax-cnex 11054  ax-resscn 11055  ax-1cn 11056  ax-icn 11057  ax-addcl 11058  ax-addrcl 11059  ax-mulcl 11060  ax-mulrcl 11061  ax-mulcom 11062  ax-addass 11063  ax-mulass 11064  ax-distr 11065  ax-i2m1 11066  ax-1ne0 11067  ax-1rid 11068  ax-rnegex 11069  ax-rrecex 11070  ax-cnre 11071  ax-pre-lttri 11072  ax-pre-lttrn 11073  ax-pre-ltadd 11074  ax-pre-mulgt0 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3394  df-v 3436  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6244  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6433  df-fun 6479  df-fn 6480  df-f 6481  df-f1 6482  df-fo 6483  df-f1o 6484  df-fv 6485  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11140  df-mnf 11141  df-xr 11142  df-ltxr 11143  df-le 11144  df-sub 11338  df-neg 11339  df-nn 12118  df-2 12180  df-3 12181  df-4 12182  df-5 12183  df-6 12184  df-7 12185  df-8 12186  df-sets 17067  df-slot 17085  df-ndx 17097  df-base 17113  df-ress 17134  df-plusg 17166  df-sca 17169  df-vsca 17170  df-ip 17171  df-0g 17337  df-mgm 18540  df-sgrp 18619  df-mnd 18635  df-grp 18841  df-abl 19688  df-mgp 20052  df-rng 20064  df-lss 20858  df-sra 21100  df-rgmod 21101  df-lidl 21138

This theorem is referenced by:  lidl1  21163