MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nmzsubg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nmzsubg 19183
Description: The normalizer NG(S) of a subset 𝑆 of the group is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
elnmz.1 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
nmzsubg.2 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmzsubg.3 + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
nmzsubg (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmzsubg
Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnmz.1 . . . 4 𝑁 = {𝑥𝑋 ∣ ∀𝑦𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
21ssrab3 4082 . . 3 𝑁𝑋
32a1i 11 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁𝑋)
4 nmzsubg.2 . . . . 5 𝑋 = (Base‘𝐺)
5 eqid 2737 . . . . 5 (0g𝐺) = (0g𝐺)
64, 5grpidcl 18983 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑋)
7 nmzsubg.3 . . . . . . . 8 + = (+g𝐺)
84, 7, 5grplid 18985 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → ((0g𝐺) + 𝑧) = 𝑧)
94, 7, 5grprid 18986 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 + (0g𝐺)) = 𝑧)
108, 9eqtr4d 2780 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → ((0g𝐺) + 𝑧) = (𝑧 + (0g𝐺)))
1110eleq1d 2826 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → (((0g𝐺) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (0g𝐺)) ∈ 𝑆))
1211ralrimiva 3146 . . . 4 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑧𝑋 (((0g𝐺) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (0g𝐺)) ∈ 𝑆))
131elnmz 19181 . . . 4 ((0g𝐺) ∈ 𝑁 ↔ ((0g𝐺) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑧𝑋 (((0g𝐺) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (0g𝐺)) ∈ 𝑆)))
146, 12, 13sylanbrc 583 . . 3 (𝐺 ∈ Grp → (0g𝐺) ∈ 𝑁)
1514ne0d 4342 . 2 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ≠ ∅)
16 id 22 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
172sseli 3979 . . . . . . . 8 (𝑧𝑁𝑧𝑋)
182sseli 3979 . . . . . . . 8 (𝑤𝑁𝑤𝑋)
194, 7grpcl 18959 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋𝑤𝑋) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑋)
2016, 17, 18, 19syl3an 1161 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑋)
21 simpl1 1192 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
22 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑧𝑁)
232, 22sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑧𝑋)
24 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑤𝑁)
252, 24sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑤𝑋)
26 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑢𝑋)
274, 7grpass 18960 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑧𝑋𝑤𝑋𝑢𝑋)) → ((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) = (𝑧 + (𝑤 + 𝑢)))
2821, 23, 25, 26, 27syl13anc 1374 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) = (𝑧 + (𝑤 + 𝑢)))
2928eleq1d 2826 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆))
304, 7, 21, 25, 26grpcld 18965 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝑋)
311nmzbi 19182 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑁 ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝑋) → ((𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) ∈ 𝑆))
3222, 30, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) ∈ 𝑆))
334, 7grpass 18960 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑤𝑋𝑢𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) = (𝑤 + (𝑢 + 𝑧)))
3421, 25, 26, 23, 33syl13anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) = (𝑤 + (𝑢 + 𝑧)))
3534eleq1d 2826 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + (𝑢 + 𝑧)) ∈ 𝑆))
364, 7, 21, 26, 23grpcld 18965 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 + 𝑧) ∈ 𝑋)
371nmzbi 19182 . . . . . . . . . . 11 ((𝑤𝑁 ∧ (𝑢 + 𝑧) ∈ 𝑋) → ((𝑤 + (𝑢 + 𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆))
3824, 36, 37syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑤 + (𝑢 + 𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆))
3932, 35, 383bitrd 305 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆))
404, 7grpass 18960 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢𝑋𝑧𝑋𝑤𝑋)) → ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)))
4121, 26, 23, 25, 40syl13anc 1374 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)))
4241eleq1d 2826 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆))
4329, 39, 423bitrd 305 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆))
4443ralrimiva 3146 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) → ∀𝑢𝑋 (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆))
451elnmz 19181 . . . . . . 7 ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ↔ ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢𝑋 (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆)))
4620, 44, 45sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁𝑤𝑁) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁)
47463expa 1119 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑤𝑁) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁)
4847ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) → ∀𝑤𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁)
49 eqid 2737 . . . . . . 7 (invg𝐺) = (invg𝐺)
504, 49grpinvcl 19005 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
5117, 50sylan2 593 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
52 simplr 769 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑧𝑁)
53 simpll 767 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
5451adantr 480 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
55 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑢𝑋)
564, 7, 53, 55, 54grpcld 18965 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋)
574, 7, 53, 54, 56grpcld 18965 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) ∈ 𝑋)
581nmzbi 19182 . . . . . . . 8 ((𝑧𝑁 ∧ (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) ∈ 𝑋) → ((𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))) ∈ 𝑆 ↔ ((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) ∈ 𝑆))
5952, 57, 58syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))) ∈ 𝑆 ↔ ((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) ∈ 𝑆))
602, 52sselid 3981 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → 𝑧𝑋)
614, 7, 5, 49grprinv 19008 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → (𝑧 + ((invg𝐺)‘𝑧)) = (0g𝐺))
6253, 60, 61syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑧 + ((invg𝐺)‘𝑧)) = (0g𝐺))
6362oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) = ((0g𝐺) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))))
644, 7grpass 18960 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑧𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋)) → ((𝑧 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) = (𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))))
6553, 60, 54, 56, 64syl13anc 1374 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) = (𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))))
664, 7, 5grplid 18985 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋) → ((0g𝐺) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) = (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))
6753, 56, 66syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((0g𝐺) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) = (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))
6863, 65, 673eqtr3d 2785 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))) = (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))
6968eleq1d 2826 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑧 + (((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)))) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
704, 7grpass 18960 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋𝑧𝑋)) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) = (((invg𝐺)‘𝑧) + ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧)))
7153, 54, 56, 60, 70syl13anc 1374 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) = (((invg𝐺)‘𝑧) + ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧)))
724, 7grpass 18960 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢𝑋 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋𝑧𝑋)) → ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧) = (𝑢 + (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧)))
7353, 55, 54, 60, 72syl13anc 1374 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧) = (𝑢 + (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧)))
744, 7, 5, 49grplinv 19007 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g𝐺))
7553, 60, 74syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g𝐺))
7675oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 + (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑧)) = (𝑢 + (0g𝐺)))
774, 7, 5grprid 18986 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 + (0g𝐺)) = 𝑢)
7853, 55, 77syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (𝑢 + (0g𝐺)) = 𝑢)
7973, 76, 783eqtrd 2781 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧) = 𝑢)
8079oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((invg𝐺)‘𝑧) + ((𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) + 𝑧)) = (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢))
8171, 80eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) = (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢))
8281eleq1d 2826 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → (((((invg𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆))
8359, 69, 823bitr3rd 310 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) ∧ 𝑢𝑋) → ((((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
8483ralrimiva 3146 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) → ∀𝑢𝑋 ((((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
851elnmz 19181 . . . . 5 (((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁 ↔ (((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢𝑋 ((((invg𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆)))
8651, 84, 85sylanbrc 583 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) → ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁)
8748, 86jca 511 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧𝑁) → (∀𝑤𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁))
8887ralrimiva 3146 . 2 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑧𝑁 (∀𝑤𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁))
894, 7, 49issubg2 19159 . 2 (𝐺 ∈ Grp → (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑁𝑋𝑁 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧𝑁 (∀𝑤𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ∧ ((invg𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁))))
903, 15, 88, 89mpbir3and 1343 1 (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  {crab 3436  wss 3951  c0 4333  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  Grpcgrp 18951  invgcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141
This theorem is referenced by:  nmznsg  19186  sylow3lem3  19647  sylow3lem4  19648  sylow3lem6  19650
  Copyright terms: Public domain W3C validator