Theorem nmzsubg 19092

Description: The normalizer N_G(S) of a subset 𝑆 of the group is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elnmz.1	⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
nmzsubg.2	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmzsubg.3	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmzsubg	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmzsubg

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnmz.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
2	1	ssrab3 4032	. . 3 ⊢ 𝑁 ⊆ 𝑋
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ⊆ 𝑋)
4		nmzsubg.2	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	4, 5	grpidcl 18893	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
7		nmzsubg.3	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8	4, 7, 5	grplid 18895	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((0g‘𝐺) + 𝑧) = 𝑧)
9	4, 7, 5	grprid 18896	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧 + (0g‘𝐺)) = 𝑧)
10	8, 9	eqtr4d 2772	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((0g‘𝐺) + 𝑧) = (𝑧 + (0g‘𝐺)))
11	10	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((0g‘𝐺) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (0g‘𝐺)) ∈ 𝑆))
12	11	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (((0g‘𝐺) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (0g‘𝐺)) ∈ 𝑆))
13	1	elnmz 19090	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑁 ↔ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (((0g‘𝐺) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (0g‘𝐺)) ∈ 𝑆)))
14	6, 12, 13	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑁)
15	14	ne0d 4292	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ≠ ∅)
16		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
17	2	sseli 3927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑁 → 𝑧 ∈ 𝑋)
18	2	sseli 3927	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑁 → 𝑤 ∈ 𝑋)
19	4, 7	grpcl 18869	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑋)
20	16, 17, 18, 19	syl3an 1160	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑋)
21		simpl1 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
22		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑁)
23	2, 22	sselid 3929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
24		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝑁)
25	2, 24	sselid 3929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝑋)
26		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝑢 ∈ 𝑋)
27	4, 7	grpass 18870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋)) → ((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) = (𝑧 + (𝑤 + 𝑢)))
28	21, 23, 25, 26, 27	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) = (𝑧 + (𝑤 + 𝑢)))
29	28	eleq1d 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆))
30	4, 7, 21, 25, 26	grpcld 18875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝑋)
31	1	nmzbi 19091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝑋) → ((𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) ∈ 𝑆))
32	22, 30, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) ∈ 𝑆))
33	4, 7	grpass 18870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) = (𝑤 + (𝑢 + 𝑧)))
34	21, 25, 26, 23, 33	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) = (𝑤 + (𝑢 + 𝑧)))
35	34	eleq1d 2819	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + (𝑢 + 𝑧)) ∈ 𝑆))
36	4, 7, 21, 26, 23	grpcld 18875	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝑢 + 𝑧) ∈ 𝑋)
37	1	nmzbi 19091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑁 ∧ (𝑢 + 𝑧) ∈ 𝑋) → ((𝑤 + (𝑢 + 𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆))
38	24, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑤 + (𝑢 + 𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆))
39	32, 35, 38	3bitrd 305	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆))
40	4, 7	grpass 18870	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)))
41	21, 26, 23, 25, 40	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)))
42	41	eleq1d 2819	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆))
43	29, 39, 42	3bitrd 305	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆))
44	43	ralrimiva 3126	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) → ∀𝑢 ∈ 𝑋 (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆))
45	1	elnmz 19090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ↔ ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆)))
46	20, 44, 45	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁)
47	46	3expa 1118	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁)
48	47	ralrimiva 3126	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁)
49		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
50	4, 49	grpinvcl 18915	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
51	17, 50	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
52		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑁)
53		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
54	51	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
55		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝑢 ∈ 𝑋)
56	4, 7, 53, 55, 54	grpcld 18875	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋)
57	4, 7, 53, 54, 56	grpcld 18875	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) ∈ 𝑋)
58	1	nmzbi 19091	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) ∈ 𝑋) → ((𝑧 + (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)))) ∈ 𝑆 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) ∈ 𝑆))
59	52, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑧 + (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)))) ∈ 𝑆 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) ∈ 𝑆))
60	2, 52	sselid 3929	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
61	4, 7, 5, 49	grprinv 18918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) = (0g‘𝐺))
62	53, 60, 61	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝑧 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) = (0g‘𝐺))
63	62	oveq1d 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑧 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) = ((0g‘𝐺) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))))
64	4, 7	grpass 18870	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋)) → ((𝑧 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) = (𝑧 + (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)))))
65	53, 60, 54, 56, 64	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑧 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) = (𝑧 + (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)))))
66	4, 7, 5	grplid 18895	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋) → ((0g‘𝐺) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) = (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)))
67	53, 56, 66	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((0g‘𝐺) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) = (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)))
68	63, 65, 67	3eqtr3d 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝑧 + (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)))) = (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)))
69	68	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑧 + (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)))) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
70	4, 7	grpass 18870	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) = (((invg‘𝐺)‘𝑧) + ((𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) + 𝑧)))
71	53, 54, 56, 60, 70	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) = (((invg‘𝐺)‘𝑧) + ((𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) + 𝑧)))
72	4, 7	grpass 18870	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) + 𝑧) = (𝑢 + (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧)))
73	53, 55, 54, 60, 72	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) + 𝑧) = (𝑢 + (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧)))
74	4, 7, 5, 49	grplinv 18917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g‘𝐺))
75	53, 60, 74	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g‘𝐺))
76	75	oveq2d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝑢 + (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧)) = (𝑢 + (0g‘𝐺)))
77	4, 7, 5	grprid 18896	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝑢 + (0g‘𝐺)) = 𝑢)
78	53, 55, 77	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝑢 + (0g‘𝐺)) = 𝑢)
79	73, 76, 78	3eqtrd 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) + 𝑧) = 𝑢)
80	79	oveq2d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + ((𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) + 𝑧)) = (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑢))
81	71, 80	eqtrd 2769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) = (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑢))
82	81	eleq1d 2819	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (((((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆))
83	59, 69, 82	3bitr3rd 310	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
84	83	ralrimiva 3126	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
85	1	elnmz 19090	. . . . 5 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆)))
86	51, 84, 85	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁)
87	48, 86	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → (∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁))
88	87	ralrimiva 3126	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑧 ∈ 𝑁 (∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁))
89	4, 7, 49	issubg2 19069	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑁 (∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁))))
90	3, 15, 88, 89	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930  ∀wral 3049  {crab 3397   ⊆ wss 3899  ∅c0 4283  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  Basecbs 17134  +_gcplusg 17175  0_gc0g 17357  Grpcgrp 18861  inv_gcminusg 18862  SubGrpcsubg 19048

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19051

This theorem is referenced by:  nmznsg  19095  sylow3lem3  19556  sylow3lem4  19557  sylow3lem6  19559