Theorem nmzsubg 19183

Description: The normalizer N_G(S) of a subset 𝑆 of the group is a subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
elnmz.1	⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
nmzsubg.2	⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
nmzsubg.3	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
nmzsubg	⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐺   𝑥,𝑆,𝑦   𝑥, + ,𝑦   𝑥,𝑋,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem nmzsubg

Dummy variables 𝑧 𝑤 𝑢 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnmz.1	. . . 4 ⊢ 𝑁 = {𝑥 ∈ 𝑋 ∣ ∀𝑦 ∈ 𝑋 ((𝑥 + 𝑦) ∈ 𝑆 ↔ (𝑦 + 𝑥) ∈ 𝑆)}
2	1	ssrab3 4082	. . 3 ⊢ 𝑁 ⊆ 𝑋
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ⊆ 𝑋)
4		nmzsubg.2	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (Base‘𝐺)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
6	4, 5	grpidcl 18983	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑋)
7		nmzsubg.3	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘𝐺)
8	4, 7, 5	grplid 18985	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((0g‘𝐺) + 𝑧) = 𝑧)
9	4, 7, 5	grprid 18986	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧 + (0g‘𝐺)) = 𝑧)
10	8, 9	eqtr4d 2780	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((0g‘𝐺) + 𝑧) = (𝑧 + (0g‘𝐺)))
11	10	eleq1d 2826	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((0g‘𝐺) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (0g‘𝐺)) ∈ 𝑆))
12	11	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑧 ∈ 𝑋 (((0g‘𝐺) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (0g‘𝐺)) ∈ 𝑆))
13	1	elnmz 19181	. . . 4 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑁 ↔ ((0g‘𝐺) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑋 (((0g‘𝐺) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (0g‘𝐺)) ∈ 𝑆)))
14	6, 12, 13	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (0g‘𝐺) ∈ 𝑁)
15	14	ne0d 4342	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ≠ ∅)
16		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
17	2	sseli 3979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑁 → 𝑧 ∈ 𝑋)
18	2	sseli 3979	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝑁 → 𝑤 ∈ 𝑋)
19	4, 7	grpcl 18959	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑋)
20	16, 17, 18, 19	syl3an 1161	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑋)
21		simpl1 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
22		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑁)
23	2, 22	sselid 3981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
24		simpl3 1194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝑁)
25	2, 24	sselid 3981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝑤 ∈ 𝑋)
26		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝑢 ∈ 𝑋)
27	4, 7	grpass 18960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋)) → ((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) = (𝑧 + (𝑤 + 𝑢)))
28	21, 23, 25, 26, 27	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) = (𝑧 + (𝑤 + 𝑢)))
29	28	eleq1d 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆))
30	4, 7, 21, 25, 26	grpcld 18965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝑋)
31	1	nmzbi 19182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ (𝑤 + 𝑢) ∈ 𝑋) → ((𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) ∈ 𝑆))
32	22, 30, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) ∈ 𝑆))
33	4, 7	grpass 18960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑤 ∈ 𝑋 ∧ 𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) = (𝑤 + (𝑢 + 𝑧)))
34	21, 25, 26, 23, 33	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) = (𝑤 + (𝑢 + 𝑧)))
35	34	eleq1d 2826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (((𝑤 + 𝑢) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (𝑤 + (𝑢 + 𝑧)) ∈ 𝑆))
36	4, 7, 21, 26, 23	grpcld 18965	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝑢 + 𝑧) ∈ 𝑋)
37	1	nmzbi 19182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝑁 ∧ (𝑢 + 𝑧) ∈ 𝑋) → ((𝑤 + (𝑢 + 𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆))
38	24, 36, 37	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑤 + (𝑢 + 𝑧)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆))
39	32, 35, 38	3bitrd 305	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑧 + (𝑤 + 𝑢)) ∈ 𝑆 ↔ ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆))
40	4, 7	grpass 18960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋 ∧ 𝑤 ∈ 𝑋)) → ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)))
41	21, 26, 23, 25, 40	syl13anc 1374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) = (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)))
42	41	eleq1d 2826	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (((𝑢 + 𝑧) + 𝑤) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆))
43	29, 39, 42	3bitrd 305	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆))
44	43	ralrimiva 3146	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) → ∀𝑢 ∈ 𝑋 (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆))
45	1	elnmz 19181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ↔ ((𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 (((𝑧 + 𝑤) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + (𝑧 + 𝑤)) ∈ 𝑆)))
46	20, 44, 45	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁 ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁)
47	46	3expa 1119	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑤 ∈ 𝑁) → (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁)
48	47	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → ∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁)
49		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝐺) = (invg‘𝐺)
50	4, 49	grpinvcl 19005	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
51	17, 50	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
52		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑁)
53		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝐺 ∈ Grp)
54	51	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋)
55		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝑢 ∈ 𝑋)
56	4, 7, 53, 55, 54	grpcld 18965	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋)
57	4, 7, 53, 54, 56	grpcld 18965	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) ∈ 𝑋)
58	1	nmzbi 19182	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑁 ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) ∈ 𝑋) → ((𝑧 + (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)))) ∈ 𝑆 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) ∈ 𝑆))
59	52, 57, 58	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑧 + (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)))) ∈ 𝑆 ↔ ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) ∈ 𝑆))
60	2, 52	sselid 3981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → 𝑧 ∈ 𝑋)
61	4, 7, 5, 49	grprinv 19008	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (𝑧 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) = (0g‘𝐺))
62	53, 60, 61	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝑧 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) = (0g‘𝐺))
63	62	oveq1d 7446	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑧 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) = ((0g‘𝐺) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))))
64	4, 7	grpass 18960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑧 ∈ 𝑋 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋)) → ((𝑧 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) = (𝑧 + (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)))))
65	53, 60, 54, 56, 64	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑧 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) = (𝑧 + (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)))))
66	4, 7, 5	grplid 18985	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋) → ((0g‘𝐺) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) = (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)))
67	53, 56, 66	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((0g‘𝐺) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) = (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)))
68	63, 65, 67	3eqtr3d 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝑧 + (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)))) = (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)))
69	68	eleq1d 2826	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑧 + (((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)))) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
70	4, 7	grpass 18960	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) = (((invg‘𝐺)‘𝑧) + ((𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) + 𝑧)))
71	53, 54, 56, 60, 70	syl13anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) = (((invg‘𝐺)‘𝑧) + ((𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) + 𝑧)))
72	4, 7	grpass 18960	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑢 ∈ 𝑋 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ 𝑧 ∈ 𝑋)) → ((𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) + 𝑧) = (𝑢 + (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧)))
73	53, 55, 54, 60, 72	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) + 𝑧) = (𝑢 + (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧)))
74	4, 7, 5, 49	grplinv 19007	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g‘𝐺))
75	53, 60, 74	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧) = (0g‘𝐺))
76	75	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝑢 + (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑧)) = (𝑢 + (0g‘𝐺)))
77	4, 7, 5	grprid 18986	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝑢 + (0g‘𝐺)) = 𝑢)
78	53, 55, 77	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (𝑢 + (0g‘𝐺)) = 𝑢)
79	73, 76, 78	3eqtrd 2781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) + 𝑧) = 𝑢)
80	79	oveq2d 7447	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (((invg‘𝐺)‘𝑧) + ((𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) + 𝑧)) = (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑢))
81	71, 80	eqtrd 2777	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) = (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑢))
82	81	eleq1d 2826	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → (((((invg‘𝐺)‘𝑧) + (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧))) + 𝑧) ∈ 𝑆 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆))
83	59, 69, 82	3bitr3rd 310	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) ∧ 𝑢 ∈ 𝑋) → ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
84	83	ralrimiva 3146	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆))
85	1	elnmz 19181	. . . . 5 ⊢ (((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁 ↔ (((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑢 ∈ 𝑋 ((((invg‘𝐺)‘𝑧) + 𝑢) ∈ 𝑆 ↔ (𝑢 + ((invg‘𝐺)‘𝑧)) ∈ 𝑆)))
86	51, 84, 85	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁)
87	48, 86	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑧 ∈ 𝑁) → (∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁))
88	87	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑧 ∈ 𝑁 (∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁))
89	4, 7, 49	issubg2 19159	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → (𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺) ↔ (𝑁 ⊆ 𝑋 ∧ 𝑁 ≠ ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑁 (∀𝑤 ∈ 𝑁 (𝑧 + 𝑤) ∈ 𝑁 ∧ ((invg‘𝐺)‘𝑧) ∈ 𝑁))))
90	3, 15, 88, 89	mpbir3and 1343	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑁 ∈ (SubGrp‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  {crab 3436   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17484  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952  SubGrpcsubg 19138

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141

This theorem is referenced by:  nmznsg  19186  sylow3lem3  19647  sylow3lem4  19648  sylow3lem6  19650