Theorem mplmapghm 22344

Description: The function 𝐻 mapping polynomials 𝑝 to their coefficient given a bag of variables 𝐹 is a group homomorphism. (Contributed by SN, 15-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmapghm.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmapghm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplmapghm.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplmapghm.h	⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑝‘𝐹))
mplmapghm.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplmapghm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mplmapghm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mplmapghm	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑓,𝐼   𝑅,𝑝   𝜑,𝑝   𝑃,𝑝   𝐹,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓, 𝑝)   𝑃(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓, 𝑝)   𝐼(𝑝)   𝑉(𝑓, 𝑝)

Proof of Theorem mplmapghm

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplmapghm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2762	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2762	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
4		eqid 2762	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		mplmapghm.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		mplmapghm.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7		mplmapghm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
8	7	mplgrp 22237	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
9	5, 6, 8	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
10		mplmapghm.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
11		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
12	7, 2, 1, 10, 11	mplelf 22218	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝:𝐷⟶(Base‘𝑅))
13		mplmapghm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
14	13	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐷)
15	12, 14	ffvelcdmd 7082	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝‘𝐹) ∈ (Base‘𝑅))
16		mplmapghm.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑝‘𝐹))
17	15, 16	fmptd 7111	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑅))
18		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
19		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟 ∈ 𝐵)
20	7, 1, 4, 3, 18, 19	mpladd 22229	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) = (𝑞 ∘f (+g‘𝑅)𝑟))
21	20	fveq1d 6884	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞 ∘f (+g‘𝑅)𝑟)‘𝐹))
22	7, 2, 1, 10, 18	mplelf 22218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞:𝐷⟶(Base‘𝑅))
23	22	ffnd 6707	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞 Fn 𝐷)
24	7, 2, 1, 10, 19	mplelf 22218	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟:𝐷⟶(Base‘𝑅))
25	24	ffnd 6707	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟 Fn 𝐷)
26		ovex 7450	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
27	10, 26	rabex2 5309	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐷 ∈ V)
29		inidm 4175	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐷) = 𝐷
30		eqidd 2763	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (𝑞‘𝐹) = (𝑞‘𝐹))
31		eqidd 2763	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (𝑟‘𝐹) = (𝑟‘𝐹))
32	23, 25, 28, 28, 29, 30, 31	ofval 7693	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → ((𝑞 ∘f (+g‘𝑅)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞‘𝐹)(+g‘𝑅)(𝑟‘𝐹)))
33	13, 32	mpidan 702	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞 ∘f (+g‘𝑅)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞‘𝐹)(+g‘𝑅)(𝑟‘𝐹)))
34	21, 33	eqtrd 2797	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞‘𝐹)(+g‘𝑅)(𝑟‘𝐹)))
35		fveq1 6881	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → (𝑝‘𝐹) = ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟)‘𝐹))
36	9	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
37	1, 3, 36, 18, 19	grpcld 19077	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵)
38		fvexd 6897	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟)‘𝐹) ∈ V)
39	16, 35, 37, 38	fvmptd3 7014	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟)‘𝐹))
40		fveq1 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘𝐹) = (𝑞‘𝐹))
41		fvexd 6897	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞‘𝐹) ∈ V)
42	16, 40, 18, 41	fvmptd3 7014	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘𝑞) = (𝑞‘𝐹))
43		fveq1 6881	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑝‘𝐹) = (𝑟‘𝐹))
44		fvexd 6897	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑟‘𝐹) ∈ V)
45	16, 43, 19, 44	fvmptd3 7014	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘𝑟) = (𝑟‘𝐹))
46	42, 45	oveq12d 7435	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐻‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐻‘𝑟)) = ((𝑞‘𝐹)(+g‘𝑅)(𝑟‘𝐹)))
47	34, 39, 46	3eqtr4d 2807	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝐻‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐻‘𝑟)))
48	1, 2, 3, 4, 9, 6, 17, 47	isghmd 19358	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3414  Vcvv 3453   ↦ cmpt 5190  ^◡ccnv 5658   “ cima 5662  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∘_f cof 7680   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8956  ℕcn 12261  ℕ₀cn0 12532  Basecbs 17307  +_gcplusg 17348  Grpcgrp 19063   GrpHom cghm 19346   mPoly cmpl 22127

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-prds 17538  df-pws 17540  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-subg 19252  df-ghm 19347  df-psr 22130  df-mpl 22132

This theorem is used by:  selvvvval  22364  evlselv  43443