Theorem mplmapghm 42543

Description: The function 𝐻 mapping polynomials 𝑝 to their coefficient given a bag of variables 𝐹 is a group homomorphism. (Contributed by SN, 15-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmapghm.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmapghm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplmapghm.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplmapghm.h	⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑝‘𝐹))
mplmapghm.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplmapghm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mplmapghm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mplmapghm	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑓,𝐼   𝑅,𝑝   𝜑,𝑝   𝑃,𝑝   𝐹,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓,𝑝)   𝑃(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑝)   𝐼(𝑝)   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem mplmapghm

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplmapghm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2735	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2735	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
4		eqid 2735	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		mplmapghm.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		mplmapghm.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7		mplmapghm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
8	7	mplgrp 22055	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
9	5, 6, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
10		mplmapghm.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
11		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
12	7, 2, 1, 10, 11	mplelf 22036	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝:𝐷⟶(Base‘𝑅))
13		mplmapghm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐷)
15	12, 14	ffvelcdmd 7105	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝‘𝐹) ∈ (Base‘𝑅))
16		mplmapghm.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑝‘𝐹))
17	15, 16	fmptd 7134	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑅))
18		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
19		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟 ∈ 𝐵)
20	7, 1, 4, 3, 18, 19	mpladd 22047	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) = (𝑞 ∘f (+g‘𝑅)𝑟))
21	20	fveq1d 6909	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞 ∘f (+g‘𝑅)𝑟)‘𝐹))
22	7, 2, 1, 10, 18	mplelf 22036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞:𝐷⟶(Base‘𝑅))
23	22	ffnd 6738	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞 Fn 𝐷)
24	7, 2, 1, 10, 19	mplelf 22036	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟:𝐷⟶(Base‘𝑅))
25	24	ffnd 6738	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟 Fn 𝐷)
26		ovex 7464	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
27	10, 26	rabex2 5347	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐷 ∈ V)
29		inidm 4235	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐷) = 𝐷
30		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (𝑞‘𝐹) = (𝑞‘𝐹))
31		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (𝑟‘𝐹) = (𝑟‘𝐹))
32	23, 25, 28, 28, 29, 30, 31	ofval 7708	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → ((𝑞 ∘f (+g‘𝑅)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞‘𝐹)(+g‘𝑅)(𝑟‘𝐹)))
33	13, 32	mpidan 689	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞 ∘f (+g‘𝑅)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞‘𝐹)(+g‘𝑅)(𝑟‘𝐹)))
34	21, 33	eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞‘𝐹)(+g‘𝑅)(𝑟‘𝐹)))
35		fveq1 6906	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → (𝑝‘𝐹) = ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟)‘𝐹))
36	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
37	1, 3, 36, 18, 19	grpcld 18978	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵)
38		fvexd 6922	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟)‘𝐹) ∈ V)
39	16, 35, 37, 38	fvmptd3 7039	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟)‘𝐹))
40		fveq1 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘𝐹) = (𝑞‘𝐹))
41		fvexd 6922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞‘𝐹) ∈ V)
42	16, 40, 18, 41	fvmptd3 7039	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘𝑞) = (𝑞‘𝐹))
43		fveq1 6906	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑝‘𝐹) = (𝑟‘𝐹))
44		fvexd 6922	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑟‘𝐹) ∈ V)
45	16, 43, 19, 44	fvmptd3 7039	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘𝑟) = (𝑟‘𝐹))
46	42, 45	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐻‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐻‘𝑟)) = ((𝑞‘𝐹)(+g‘𝑅)(𝑟‘𝐹)))
47	34, 39, 46	3eqtr4d 2785	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝐻‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐻‘𝑟)))
48	1, 2, 3, 4, 9, 6, 17, 47	isghmd 19256	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478   ↦ cmpt 5231  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695   ↑_m cmap 8865  Fincfn 8984  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17245  +_gcplusg 17298  Grpcgrp 18964   GrpHom cghm 19243   mPoly cmpl 21944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-psr 21947  df-mpl 21949

This theorem is referenced by:  selvvvval  42572  evlselv  42574