Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mplmapghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplmapghm 41685
Description: The function 𝐻 mapping polynomials 𝑝 to their coefficient given a bag of variables 𝐹 is a group homomorphism. (Contributed by SN, 15-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmapghm.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmapghm.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplmapghm.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplmapghm.h 𝐻 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑝𝐹))
mplmapghm.i (𝜑𝐼𝑉)
mplmapghm.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
mplmapghm.f (𝜑𝐹𝐷)
Assertion
Ref Expression
mplmapghm (𝜑𝐻 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑓,𝐼   𝑅,𝑝   𝜑,𝑝   𝑃,𝑝   𝐹,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓,𝑝)   𝑃(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑝)   𝐼(𝑝)   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem mplmapghm
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplmapghm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑃)
2 eqid 2726 . 2 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2726 . 2 (+g𝑃) = (+g𝑃)
4 eqid 2726 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
5 mplmapghm.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
6 mplmapghm.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
7 mplmapghm.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
87mplgrp 21918 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
95, 6, 8syl2anc 583 . 2 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
10 mplmapghm.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
11 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑝𝐵)
127, 2, 1, 10, 11mplelf 21899 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑝:𝐷⟶(Base‘𝑅))
13 mplmapghm.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐷)
1413adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐹𝐷)
1512, 14ffvelcdmd 7081 . . 3 ((𝜑𝑝𝐵) → (𝑝𝐹) ∈ (Base‘𝑅))
16 mplmapghm.h . . 3 𝐻 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑝𝐹))
1715, 16fmptd 7109 . 2 (𝜑𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑅))
18 simprl 768 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑞𝐵)
19 simprr 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑟𝐵)
207, 1, 4, 3, 18, 19mpladd 21910 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑞(+g𝑃)𝑟) = (𝑞f (+g𝑅)𝑟))
2120fveq1d 6887 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑞(+g𝑃)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞f (+g𝑅)𝑟)‘𝐹))
227, 2, 1, 10, 18mplelf 21899 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑞:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2322ffnd 6712 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑞 Fn 𝐷)
247, 2, 1, 10, 19mplelf 21899 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑟:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2524ffnd 6712 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑟 Fn 𝐷)
26 ovex 7438 . . . . . . . 8 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
2710, 26rabex2 5327 . . . . . . 7 𝐷 ∈ V
2827a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝐷 ∈ V)
29 inidm 4213 . . . . . 6 (𝐷𝐷) = 𝐷
30 eqidd 2727 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝐹𝐷) → (𝑞𝐹) = (𝑞𝐹))
31 eqidd 2727 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝐹𝐷) → (𝑟𝐹) = (𝑟𝐹))
3223, 25, 28, 28, 29, 30, 31ofval 7678 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝐹𝐷) → ((𝑞f (+g𝑅)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞𝐹)(+g𝑅)(𝑟𝐹)))
3313, 32mpidan 686 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑞f (+g𝑅)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞𝐹)(+g𝑅)(𝑟𝐹)))
3421, 33eqtrd 2766 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑞(+g𝑃)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞𝐹)(+g𝑅)(𝑟𝐹)))
35 fveq1 6884 . . . 4 (𝑝 = (𝑞(+g𝑃)𝑟) → (𝑝𝐹) = ((𝑞(+g𝑃)𝑟)‘𝐹))
369adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
371, 3, 36, 18, 19grpcld 18877 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑞(+g𝑃)𝑟) ∈ 𝐵)
38 fvexd 6900 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑞(+g𝑃)𝑟)‘𝐹) ∈ V)
3916, 35, 37, 38fvmptd3 7015 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐻‘(𝑞(+g𝑃)𝑟)) = ((𝑞(+g𝑃)𝑟)‘𝐹))
40 fveq1 6884 . . . . 5 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝐹) = (𝑞𝐹))
41 fvexd 6900 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑞𝐹) ∈ V)
4216, 40, 18, 41fvmptd3 7015 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐻𝑞) = (𝑞𝐹))
43 fveq1 6884 . . . . 5 (𝑝 = 𝑟 → (𝑝𝐹) = (𝑟𝐹))
44 fvexd 6900 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑟𝐹) ∈ V)
4516, 43, 19, 44fvmptd3 7015 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐻𝑟) = (𝑟𝐹))
4642, 45oveq12d 7423 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐻𝑞)(+g𝑅)(𝐻𝑟)) = ((𝑞𝐹)(+g𝑅)(𝑟𝐹)))
4734, 39, 463eqtr4d 2776 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐻‘(𝑞(+g𝑃)𝑟)) = ((𝐻𝑞)(+g𝑅)(𝐻𝑟)))
481, 2, 3, 4, 9, 6, 17, 47isghmd 19150 1 (𝜑𝐻 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3426  Vcvv 3468  cmpt 5224  ccnv 5668  cima 5672  cfv 6537  (class class class)co 7405  f cof 7665  m cmap 8822  Fincfn 8941  cn 12216  0cn0 12476  Basecbs 17153  +gcplusg 17206  Grpcgrp 18863   GrpHom cghm 19138   mPoly cmpl 21800
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-psr 21803  df-mpl 21805
This theorem is referenced by:  selvvvval  41714  evlselv  41716
  Copyright terms: Public domain W3C validator