Theorem mplmapghm 42674

Description: The function 𝐻 mapping polynomials 𝑝 to their coefficient given a bag of variables 𝐹 is a group homomorphism. (Contributed by SN, 15-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmapghm.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmapghm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplmapghm.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplmapghm.h	⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑝‘𝐹))
mplmapghm.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplmapghm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mplmapghm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mplmapghm	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑓,𝐼   𝑅,𝑝   𝜑,𝑝   𝑃,𝑝   𝐹,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓,𝑝)   𝑃(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑝)   𝐼(𝑝)   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem mplmapghm

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplmapghm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2733	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2733	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
4		eqid 2733	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		mplmapghm.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		mplmapghm.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7		mplmapghm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
8	7	mplgrp 21955	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
9	5, 6, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
10		mplmapghm.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
11		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
12	7, 2, 1, 10, 11	mplelf 21936	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝:𝐷⟶(Base‘𝑅))
13		mplmapghm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐷)
15	12, 14	ffvelcdmd 7024	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝‘𝐹) ∈ (Base‘𝑅))
16		mplmapghm.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑝‘𝐹))
17	15, 16	fmptd 7053	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑅))
18		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
19		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟 ∈ 𝐵)
20	7, 1, 4, 3, 18, 19	mpladd 21947	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) = (𝑞 ∘f (+g‘𝑅)𝑟))
21	20	fveq1d 6830	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞 ∘f (+g‘𝑅)𝑟)‘𝐹))
22	7, 2, 1, 10, 18	mplelf 21936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞:𝐷⟶(Base‘𝑅))
23	22	ffnd 6657	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞 Fn 𝐷)
24	7, 2, 1, 10, 19	mplelf 21936	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟:𝐷⟶(Base‘𝑅))
25	24	ffnd 6657	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟 Fn 𝐷)
26		ovex 7385	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
27	10, 26	rabex2 5281	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐷 ∈ V)
29		inidm 4176	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐷) = 𝐷
30		eqidd 2734	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (𝑞‘𝐹) = (𝑞‘𝐹))
31		eqidd 2734	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (𝑟‘𝐹) = (𝑟‘𝐹))
32	23, 25, 28, 28, 29, 30, 31	ofval 7627	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → ((𝑞 ∘f (+g‘𝑅)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞‘𝐹)(+g‘𝑅)(𝑟‘𝐹)))
33	13, 32	mpidan 689	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞 ∘f (+g‘𝑅)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞‘𝐹)(+g‘𝑅)(𝑟‘𝐹)))
34	21, 33	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞‘𝐹)(+g‘𝑅)(𝑟‘𝐹)))
35		fveq1 6827	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → (𝑝‘𝐹) = ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟)‘𝐹))
36	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
37	1, 3, 36, 18, 19	grpcld 18862	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵)
38		fvexd 6843	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟)‘𝐹) ∈ V)
39	16, 35, 37, 38	fvmptd3 6958	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟)‘𝐹))
40		fveq1 6827	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘𝐹) = (𝑞‘𝐹))
41		fvexd 6843	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞‘𝐹) ∈ V)
42	16, 40, 18, 41	fvmptd3 6958	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘𝑞) = (𝑞‘𝐹))
43		fveq1 6827	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑝‘𝐹) = (𝑟‘𝐹))
44		fvexd 6843	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑟‘𝐹) ∈ V)
45	16, 43, 19, 44	fvmptd3 6958	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘𝑟) = (𝑟‘𝐹))
46	42, 45	oveq12d 7370	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐻‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐻‘𝑟)) = ((𝑞‘𝐹)(+g‘𝑅)(𝑟‘𝐹)))
47	34, 39, 46	3eqtr4d 2778	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝐻‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐻‘𝑟)))
48	1, 2, 3, 4, 9, 6, 17, 47	isghmd 19139	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3396  Vcvv 3437   ↦ cmpt 5174  ^◡ccnv 5618   “ cima 5622  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352   ∘_f cof 7614   ↑_m cmap 8756  Fincfn 8875  ℕcn 12132  ℕ₀cn0 12388  Basecbs 17122  +_gcplusg 17163  Grpcgrp 18848   GrpHom cghm 19126   mPoly cmpl 21845

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-supp 8097  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-er 8628  df-map 8758  df-ixp 8828  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-fsupp 9253  df-sup 9333  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-7 12200  df-8 12201  df-9 12202  df-n0 12389  df-z 12476  df-dec 12595  df-uz 12739  df-fz 13410  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-ip 17181  df-tset 17182  df-ple 17183  df-ds 17185  df-hom 17187  df-cco 17188  df-0g 17347  df-prds 17353  df-pws 17355  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-subg 19038  df-ghm 19127  df-psr 21848  df-mpl 21850

This theorem is referenced by:  selvvvval  42703  evlselv  42705