Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mplmapghm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mplmapghm 41583
Description: The function 𝐻 mapping polynomials 𝑝 to their coefficient given a bag of variables 𝐹 is a group homomorphism. (Contributed by SN, 15-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mplmapghm.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmapghm.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplmapghm.d 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplmapghm.h 𝐻 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑝𝐹))
mplmapghm.i (𝜑𝐼𝑉)
mplmapghm.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
mplmapghm.f (𝜑𝐹𝐷)
Assertion
Ref Expression
mplmapghm (𝜑𝐻 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑓,𝐼   𝑅,𝑝   𝜑,𝑝   𝑃,𝑝   𝐹,𝑝
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓,𝑝)   𝑃(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑝)   𝐼(𝑝)   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem mplmapghm
Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mplmapghm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝑃)
2 eqid 2724 . 2 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3 eqid 2724 . 2 (+g𝑃) = (+g𝑃)
4 eqid 2724 . 2 (+g𝑅) = (+g𝑅)
5 mplmapghm.i . . 3 (𝜑𝐼𝑉)
6 mplmapghm.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
7 mplmapghm.p . . . 4 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
87mplgrp 21877 . . 3 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
95, 6, 8syl2anc 583 . 2 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
10 mplmapghm.d . . . . 5 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
11 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑝𝐵)
127, 2, 1, 10, 11mplelf 21858 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝑝:𝐷⟶(Base‘𝑅))
13 mplmapghm.f . . . . 5 (𝜑𝐹𝐷)
1413adantr 480 . . . 4 ((𝜑𝑝𝐵) → 𝐹𝐷)
1512, 14ffvelcdmd 7077 . . 3 ((𝜑𝑝𝐵) → (𝑝𝐹) ∈ (Base‘𝑅))
16 mplmapghm.h . . 3 𝐻 = (𝑝𝐵 ↦ (𝑝𝐹))
1715, 16fmptd 7105 . 2 (𝜑𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑅))
18 simprl 768 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑞𝐵)
19 simprr 770 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑟𝐵)
207, 1, 4, 3, 18, 19mpladd 21869 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑞(+g𝑃)𝑟) = (𝑞f (+g𝑅)𝑟))
2120fveq1d 6883 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑞(+g𝑃)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞f (+g𝑅)𝑟)‘𝐹))
227, 2, 1, 10, 18mplelf 21858 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑞:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2322ffnd 6708 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑞 Fn 𝐷)
247, 2, 1, 10, 19mplelf 21858 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑟:𝐷⟶(Base‘𝑅))
2524ffnd 6708 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑟 Fn 𝐷)
26 ovex 7434 . . . . . . . 8 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
2710, 26rabex2 5324 . . . . . . 7 𝐷 ∈ V
2827a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝐷 ∈ V)
29 inidm 4210 . . . . . 6 (𝐷𝐷) = 𝐷
30 eqidd 2725 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝐹𝐷) → (𝑞𝐹) = (𝑞𝐹))
31 eqidd 2725 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝐹𝐷) → (𝑟𝐹) = (𝑟𝐹))
3223, 25, 28, 28, 29, 30, 31ofval 7674 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) ∧ 𝐹𝐷) → ((𝑞f (+g𝑅)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞𝐹)(+g𝑅)(𝑟𝐹)))
3313, 32mpidan 686 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑞f (+g𝑅)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞𝐹)(+g𝑅)(𝑟𝐹)))
3421, 33eqtrd 2764 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑞(+g𝑃)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞𝐹)(+g𝑅)(𝑟𝐹)))
35 fveq1 6880 . . . 4 (𝑝 = (𝑞(+g𝑃)𝑟) → (𝑝𝐹) = ((𝑞(+g𝑃)𝑟)‘𝐹))
369adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
371, 3, 36, 18, 19grpcld 18864 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑞(+g𝑃)𝑟) ∈ 𝐵)
38 fvexd 6896 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝑞(+g𝑃)𝑟)‘𝐹) ∈ V)
3916, 35, 37, 38fvmptd3 7011 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐻‘(𝑞(+g𝑃)𝑟)) = ((𝑞(+g𝑃)𝑟)‘𝐹))
40 fveq1 6880 . . . . 5 (𝑝 = 𝑞 → (𝑝𝐹) = (𝑞𝐹))
41 fvexd 6896 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑞𝐹) ∈ V)
4216, 40, 18, 41fvmptd3 7011 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐻𝑞) = (𝑞𝐹))
43 fveq1 6880 . . . . 5 (𝑝 = 𝑟 → (𝑝𝐹) = (𝑟𝐹))
44 fvexd 6896 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝑟𝐹) ∈ V)
4516, 43, 19, 44fvmptd3 7011 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐻𝑟) = (𝑟𝐹))
4642, 45oveq12d 7419 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → ((𝐻𝑞)(+g𝑅)(𝐻𝑟)) = ((𝑞𝐹)(+g𝑅)(𝑟𝐹)))
4734, 39, 463eqtr4d 2774 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑞𝐵𝑟𝐵)) → (𝐻‘(𝑞(+g𝑃)𝑟)) = ((𝐻𝑞)(+g𝑅)(𝐻𝑟)))
481, 2, 3, 4, 9, 6, 17, 47isghmd 19135 1 (𝜑𝐻 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466  cmpt 5221  ccnv 5665  cima 5669  cfv 6533  (class class class)co 7401  f cof 7661  m cmap 8815  Fincfn 8934  cn 12208  0cn0 12468  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  Grpcgrp 18850   GrpHom cghm 19123   mPoly cmpl 21759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8698  df-map 8817  df-ixp 8887  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-fsupp 9357  df-sup 9432  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mgm 18560  df-sgrp 18639  df-mnd 18655  df-grp 18853  df-minusg 18854  df-subg 19035  df-ghm 19124  df-psr 21762  df-mpl 21764
This theorem is referenced by:  selvvvval  41612  evlselv  41614
  Copyright terms: Public domain W3C validator