Theorem mplmapghm 42551

Description: The function 𝐻 mapping polynomials 𝑝 to their coefficient given a bag of variables 𝐹 is a group homomorphism. (Contributed by SN, 15-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mplmapghm.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mplmapghm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
mplmapghm.d	⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
mplmapghm.h	⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑝‘𝐹))
mplmapghm.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mplmapghm.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mplmapghm.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mplmapghm	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑝   𝑓,𝐼   𝑅,𝑝   𝜑,𝑝   𝑃,𝑝   𝐹,𝑝

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑓)   𝐵(𝑓)   𝐷(𝑓,𝑝)   𝑃(𝑓)   𝑅(𝑓)   𝐹(𝑓)   𝐻(𝑓,𝑝)   𝐼(𝑝)   𝑉(𝑓,𝑝)

Proof of Theorem mplmapghm

Dummy variables 𝑞 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mplmapghm.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
2		eqid 2730	. 2 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3		eqid 2730	. 2 ⊢ (+g‘𝑃) = (+g‘𝑃)
4		eqid 2730	. 2 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
5		mplmapghm.i	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
6		mplmapghm.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7		mplmapghm.p	. . . 4 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
8	7	mplgrp 21933	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
9	5, 6, 8	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
10		mplmapghm.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
11		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
12	7, 2, 1, 10, 11	mplelf 21914	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝:𝐷⟶(Base‘𝑅))
13		mplmapghm.f	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
14	13	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐹 ∈ 𝐷)
15	12, 14	ffvelcdmd 7060	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝‘𝐹) ∈ (Base‘𝑅))
16		mplmapghm.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝑝 ∈ 𝐵 ↦ (𝑝‘𝐹))
17	15, 16	fmptd 7089	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐵⟶(Base‘𝑅))
18		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
19		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟 ∈ 𝐵)
20	7, 1, 4, 3, 18, 19	mpladd 21925	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) = (𝑞 ∘f (+g‘𝑅)𝑟))
21	20	fveq1d 6863	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞 ∘f (+g‘𝑅)𝑟)‘𝐹))
22	7, 2, 1, 10, 18	mplelf 21914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞:𝐷⟶(Base‘𝑅))
23	22	ffnd 6692	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑞 Fn 𝐷)
24	7, 2, 1, 10, 19	mplelf 21914	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟:𝐷⟶(Base‘𝑅))
25	24	ffnd 6692	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑟 Fn 𝐷)
26		ovex 7423	. . . . . . . 8 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
27	10, 26	rabex2 5299	. . . . . . 7 ⊢ 𝐷 ∈ V
28	27	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝐷 ∈ V)
29		inidm 4193	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∩ 𝐷) = 𝐷
30		eqidd 2731	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (𝑞‘𝐹) = (𝑞‘𝐹))
31		eqidd 2731	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → (𝑟‘𝐹) = (𝑟‘𝐹))
32	23, 25, 28, 28, 29, 30, 31	ofval 7667	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) ∧ 𝐹 ∈ 𝐷) → ((𝑞 ∘f (+g‘𝑅)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞‘𝐹)(+g‘𝑅)(𝑟‘𝐹)))
33	13, 32	mpidan 689	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞 ∘f (+g‘𝑅)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞‘𝐹)(+g‘𝑅)(𝑟‘𝐹)))
34	21, 33	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟)‘𝐹) = ((𝑞‘𝐹)(+g‘𝑅)(𝑟‘𝐹)))
35		fveq1 6860	. . . 4 ⊢ (𝑝 = (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) → (𝑝‘𝐹) = ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟)‘𝐹))
36	9	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → 𝑃 ∈ Grp)
37	1, 3, 36, 18, 19	grpcld 18886	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞(+g‘𝑃)𝑟) ∈ 𝐵)
38		fvexd 6876	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟)‘𝐹) ∈ V)
39	16, 35, 37, 38	fvmptd3 6994	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝑞(+g‘𝑃)𝑟)‘𝐹))
40		fveq1 6860	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑞 → (𝑝‘𝐹) = (𝑞‘𝐹))
41		fvexd 6876	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑞‘𝐹) ∈ V)
42	16, 40, 18, 41	fvmptd3 6994	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘𝑞) = (𝑞‘𝐹))
43		fveq1 6860	. . . . 5 ⊢ (𝑝 = 𝑟 → (𝑝‘𝐹) = (𝑟‘𝐹))
44		fvexd 6876	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝑟‘𝐹) ∈ V)
45	16, 43, 19, 44	fvmptd3 6994	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘𝑟) = (𝑟‘𝐹))
46	42, 45	oveq12d 7408	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → ((𝐻‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐻‘𝑟)) = ((𝑞‘𝐹)(+g‘𝑅)(𝑟‘𝐹)))
47	34, 39, 46	3eqtr4d 2775	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑞 ∈ 𝐵 ∧ 𝑟 ∈ 𝐵)) → (𝐻‘(𝑞(+g‘𝑃)𝑟)) = ((𝐻‘𝑞)(+g‘𝑅)(𝐻‘𝑟)))
48	1, 2, 3, 4, 9, 6, 17, 47	isghmd 19164	1 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (𝑃 GrpHom 𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408  Vcvv 3450   ↦ cmpt 5191  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654   ↑_m cmap 8802  Fincfn 8921  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  Grpcgrp 18872   GrpHom cghm 19151   mPoly cmpl 21822

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-psr 21825  df-mpl 21827

This theorem is referenced by:  selvvvval  42580  evlselv  42582