Theorem rngqiprngfulem3 21483

Description: Lemma 3 for rngqiprngfu 21487 (and lemma for rngqiprngu 21488). (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngqiprngfu.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngqiprngfu.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngqiprngfu.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngqiprngfu.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngqiprngfu.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngfu.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngfu.v	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
rngqiprngfu.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
rngqiprngfu.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
rngqiprngfu.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
rngqiprngfu.n	⊢ 𝑈 = ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngfulem3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem rngqiprngfulem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngfu.n	. 2 ⊢ 𝑈 = ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )
2		rngqiprngfu.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rngqiprngfu.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4		rngqiprngfu.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
5		rnggrp 20260	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7		rngqiprngfu.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
8		rngqiprngfu.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
9		rngqiprngfu.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
10		rngqiprngfu.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11		rngqiprngfu.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
12		rngqiprngfu.g	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
13		rngqiprngfu.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
14		rngqiprngfu.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
15		rngqiprngfu.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
16	4, 7, 8, 9, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15	rngqiprngfulem2 21482	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
17	4, 7, 8, 9, 2, 10, 11	rngqiprng1elbas 21456	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
18	2, 10	rngcl 20266	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
19	4, 17, 16, 18	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
20		rngqiprngfu.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
21	2, 20	grpsubcl 19110	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵) → (𝐸 − ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
22	6, 16, 19, 21	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
23	2, 3, 6, 22, 17	grpcld 19038	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 ) ∈ 𝐵)
24	1, 23	eqeltrid 2869	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416  Basecbs 17287   ↾_s cress 17308  +_gcplusg 17328  ._rcmulr 17329   /_s cqus 17577  Grpcgrp 19024  -_gcsg 19026   ~_QG cqg 19212  Rngcrng 20254  1_rcur 20287  Ringcrg 20339  2Idealc2idl 21418

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-er 8696  df-ec 8698  df-qs 8702  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9405  df-inf 9406  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12724  df-uz 12875  df-fz 13548  df-struct 17225  df-sets 17242  df-slot 17260  df-ndx 17272  df-base 17288  df-ress 17309  df-plusg 17341  df-mulr 17342  df-sca 17344  df-vsca 17345  df-ip 17346  df-tset 17347  df-ple 17348  df-ds 17350  df-0g 17512  df-imas 17580  df-qus 17581  df-mgm 18716  df-sgrp 18799  df-mnd 18815  df-grp 19027  df-minusg 19028  df-sbg 19029  df-eqg 19215  df-cmn 19876  df-abl 19877  df-mgp 20241  df-rng 20255  df-ur 20288  df-ring 20341  df-lss 21083  df-sra 21324  df-rgmod 21325  df-lidl 21362  df-2idl 21419

This theorem is used by:  rngqiprngfulem4  21484  rngqiprngfu  21487  rngqiprngu  21488