Theorem rngqiprngfulem3 21371

Description: Lemma 3 for rngqiprngfu 21375 (and lemma for rngqiprngu 21376). (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngqiprngfu.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngqiprngfu.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngqiprngfu.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngqiprngfu.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngqiprngfu.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngfu.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngfu.v	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
rngqiprngfu.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
rngqiprngfu.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
rngqiprngfu.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
rngqiprngfu.n	⊢ 𝑈 = ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngfulem3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem rngqiprngfulem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngfu.n	. 2 ⊢ 𝑈 = ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )
2		rngqiprngfu.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rngqiprngfu.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4		rngqiprngfu.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
5		rnggrp 20195	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7		rngqiprngfu.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
8		rngqiprngfu.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
9		rngqiprngfu.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
10		rngqiprngfu.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11		rngqiprngfu.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
12		rngqiprngfu.g	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
13		rngqiprngfu.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
14		rngqiprngfu.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
15		rngqiprngfu.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
16	4, 7, 8, 9, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15	rngqiprngfulem2 21370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
17	4, 7, 8, 9, 2, 10, 11	rngqiprng1elbas 21344	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
18	2, 10	rngcl 20201	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
19	4, 17, 16, 18	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
20		rngqiprngfu.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
21	2, 20	grpsubcl 19053	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵) → (𝐸 − ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
22	6, 16, 19, 21	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
23	2, 3, 6, 22, 17	grpcld 18980	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 ) ∈ 𝐵)
24	1, 23	eqeltrid 2865	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  Basecbs 17236   ↾_s cress 17257  +_gcplusg 17277  ._rcmulr 17278   /_s cqus 17526  Grpcgrp 18966  -_gcsg 18968   ~_QG cqg 19155  Rngcrng 20189  1_rcur 20218  Ringcrg 20270  2Idealc2idl 21307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-ec 8674  df-qs 8678  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-0g 17461  df-imas 17529  df-qus 17530  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-eqg 19158  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-ring 20272  df-lss 20987  df-sra 21228  df-rgmod 21229  df-lidl 21266  df-2idl 21308

This theorem is referenced by:  rngqiprngfulem4  21372  rngqiprngfu  21375  rngqiprngu  21376