Theorem rngqiprngfulem3 21616

Description: Lemma 3 for rngqiprngfu 21620 (and lemma for rngqiprngu 21621). (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngqiprngfu.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngqiprngfu.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngqiprngfu.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngqiprngfu.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngqiprngfu.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngfu.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngfu.v	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
rngqiprngfu.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
rngqiprngfu.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
rngqiprngfu.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
rngqiprngfu.n	⊢ 𝑈 = ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngfulem3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem rngqiprngfulem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngfu.n	. 2 ⊢ 𝑈 = ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )
2		rngqiprngfu.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rngqiprngfu.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4		rngqiprngfu.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
5		rnggrp 20387	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7		rngqiprngfu.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
8		rngqiprngfu.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
9		rngqiprngfu.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
10		rngqiprngfu.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11		rngqiprngfu.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
12		rngqiprngfu.g	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
13		rngqiprngfu.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
14		rngqiprngfu.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
15		rngqiprngfu.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
16	4, 7, 8, 9, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15	rngqiprngfulem2 21615	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
17	4, 7, 8, 9, 2, 10, 11	rngqiprng1elbas 21589	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
18	2, 10	rngcl 20393	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
19	4, 17, 16, 18	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
20		rngqiprngfu.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
21	2, 20	grpsubcl 19237	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵) → (𝐸 − ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
22	6, 16, 19, 21	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
23	2, 3, 6, 22, 17	grpcld 19165	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 ) ∈ 𝐵)
24	1, 23	eqeltrid 2864	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  Basecbs 17394   ↾_s cress 17415  +_gcplusg 17435  ._rcmulr 17436   /_s cqus 17684  Grpcgrp 19151  -_gcsg 19153   ~_QG cqg 19339  Rngcrng 20381  1_rcur 20414  Ringcrg 20466  2Idealc2idl 21549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-er 8722  df-ec 8724  df-qs 8728  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-fz 13645  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-0g 17619  df-imas 17687  df-qus 17688  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-grp 19154  df-minusg 19155  df-sbg 19156  df-eqg 19342  df-cmn 20003  df-abl 20004  df-mgp 20368  df-rng 20382  df-ur 20415  df-ring 20468  df-lss 21214  df-sra 21455  df-rgmod 21456  df-lidl 21493  df-2idl 21550

This theorem is used by:  rngqiprngfulem4  21617  rngqiprngfu  21620  rngqiprngu  21621