Theorem rngqiprngfulem3 21261

Description: Lemma 3 for rngqiprngfu 21265 (and lemma for rngqiprngu 21266). (Contributed by AV, 16-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rngqiprngfu.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
rngqiprngfu.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
rngqiprngfu.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
rngqiprngfu.u	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
rngqiprngfu.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
rngqiprngfu.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
rngqiprngfu.1	⊢ 1 = (1r‘𝐽)
rngqiprngfu.g	⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
rngqiprngfu.q	⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
rngqiprngfu.v	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
rngqiprngfu.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
rngqiprngfu.m	⊢ − = (-g‘𝑅)
rngqiprngfu.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
rngqiprngfu.n	⊢ 𝑈 = ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )

Assertion

Ref	Expression
rngqiprngfulem3	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

Proof of Theorem rngqiprngfulem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rngqiprngfu.n	. 2 ⊢ 𝑈 = ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 )
2		rngqiprngfu.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		rngqiprngfu.a	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4		rngqiprngfu.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Rng)
5		rnggrp 20105	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → 𝑅 ∈ Grp)
6	4, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
7		rngqiprngfu.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
8		rngqiprngfu.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
9		rngqiprngfu.u	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Ring)
10		rngqiprngfu.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
11		rngqiprngfu.1	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝐽)
12		rngqiprngfu.g	. . . . 5 ⊢ ∼ = (𝑅 ~QG 𝐼)
13		rngqiprngfu.q	. . . . 5 ⊢ 𝑄 = (𝑅 /s ∼ )
14		rngqiprngfu.v	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ Ring)
15		rngqiprngfu.e	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (1r‘𝑄))
16	4, 7, 8, 9, 2, 10, 11, 12, 13, 14, 15	rngqiprngfulem2 21260	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐵)
17	4, 7, 8, 9, 2, 10, 11	rngqiprng1elbas 21234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ 𝐵)
18	2, 10	rngcl 20111	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 1 ∈ 𝐵 ∧ 𝐸 ∈ 𝐵) → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
19	4, 17, 16, 18	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵)
20		rngqiprngfu.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝑅)
21	2, 20	grpsubcl 18990	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐸 ∈ 𝐵 ∧ ( 1 · 𝐸) ∈ 𝐵) → (𝐸 − ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
22	6, 16, 19, 21	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 − ( 1 · 𝐸)) ∈ 𝐵)
23	2, 3, 6, 22, 17	grpcld 18917	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 − ( 1 · 𝐸)) + 1 ) ∈ 𝐵)
24	1, 23	eqeltrid 2837	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6528  (class class class)co 7400  Basecbs 17215   ↾_s cress 17238  +_gcplusg 17258  ._rcmulr 17259   /_s cqus 17506  Grpcgrp 18903  -_gcsg 18905   ~_QG cqg 19092  Rngcrng 20099  1_rcur 20128  Ringcrg 20180  2Idealc2idl 21197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5247  ax-sep 5264  ax-nul 5274  ax-pow 5333  ax-pr 5400  ax-un 7724  ax-cnex 11178  ax-resscn 11179  ax-1cn 11180  ax-icn 11181  ax-addcl 11182  ax-addrcl 11183  ax-mulcl 11184  ax-mulrcl 11185  ax-mulcom 11186  ax-addass 11187  ax-mulass 11188  ax-distr 11189  ax-i2m1 11190  ax-1ne0 11191  ax-1rid 11192  ax-rnegex 11193  ax-rrecex 11194  ax-cnre 11195  ax-pre-lttri 11196  ax-pre-lttrn 11197  ax-pre-ltadd 11198  ax-pre-mulgt0 11199

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3357  df-reu 3358  df-rab 3414  df-v 3459  df-sbc 3764  df-csb 3873  df-dif 3927  df-un 3929  df-in 3931  df-ss 3941  df-pss 3944  df-nul 4307  df-if 4499  df-pw 4575  df-sn 4600  df-pr 4602  df-tp 4604  df-op 4606  df-uni 4882  df-iun 4967  df-br 5118  df-opab 5180  df-mpt 5200  df-tr 5228  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6288  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7857  df-1st 7983  df-2nd 7984  df-frecs 8275  df-wrecs 8306  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-1o 8475  df-er 8714  df-ec 8716  df-qs 8720  df-en 8955  df-dom 8956  df-sdom 8957  df-fin 8958  df-sup 9449  df-inf 9450  df-pnf 11264  df-mnf 11265  df-xr 11266  df-ltxr 11267  df-le 11268  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12234  df-2 12296  df-3 12297  df-4 12298  df-5 12299  df-6 12300  df-7 12301  df-8 12302  df-9 12303  df-n0 12495  df-z 12582  df-dec 12702  df-uz 12846  df-fz 13515  df-struct 17153  df-sets 17170  df-slot 17188  df-ndx 17200  df-base 17216  df-ress 17239  df-plusg 17271  df-mulr 17272  df-sca 17274  df-vsca 17275  df-ip 17276  df-tset 17277  df-ple 17278  df-ds 17280  df-0g 17442  df-imas 17509  df-qus 17510  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-eqg 19095  df-cmn 19750  df-abl 19751  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-lss 20876  df-sra 21118  df-rgmod 21119  df-lidl 21156  df-2idl 21198

This theorem is referenced by:  rngqiprngfulem4  21262  rngqiprngfu  21265  rngqiprngu  21266