Theorem grpocl 30462

Description: Closure law for a group operation. (Contributed by NM, 10-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
grpfo.1	⊢ 𝑋 = ran 𝐺

Assertion

Ref	Expression
grpocl	⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem grpocl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpfo.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
2	1	grpofo 30461	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ GrpOp → 𝐺:(𝑋 × 𝑋)–onto→𝑋)
3		fof 6740	. . 3 ⊢ (𝐺:(𝑋 × 𝑋)–onto→𝑋 → 𝐺:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
4	2, 3	syl 17	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ GrpOp → 𝐺:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋)
5		fovcdm 7523	. 2 ⊢ ((𝐺:(𝑋 × 𝑋)⟶𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
6	4, 5	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   × cxp 5621  ran crn 5624  ⟶wf 6482  –onto→wfo 6484  (class class class)co 7353  GrpOpcgr 30451

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fo 6492  df-fv 6494  df-ov 7356  df-grpo 30455

This theorem is referenced by:  grpoidinvlem2  30467  grpoidinvlem3  30468  grpoinvop  30495  grpodivf  30500  grpomuldivass  30503  ablo4  30512  nvgcl  30582  ablo4pnp  37862  ghomco  37873  rngogcl  37894  divrngcl  37939  iscringd  37980