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Theorem grpoidinvlem3 27700
Description: Lemma for grpoidinv 27702. (Contributed by NM, 11-Oct-2006.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
grpfo.1 𝑋 = ran 𝐺
grpidinvlem3.2 (𝜑 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑈𝐺𝑥) = 𝑥)
grpidinvlem3.3 (𝜓 ↔ ∀𝑥𝑋𝑧𝑋 (𝑧𝐺𝑥) = 𝑈)
Assertion
Ref Expression
grpoidinvlem3 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝐴𝑋) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝐴) = 𝑈 ∧ (𝐴𝐺𝑦) = 𝑈))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴   𝑥,𝐺,𝑦,𝑧   𝑥,𝑋,𝑦,𝑧   𝑦,𝑈,𝑥,𝑧   𝜑,𝑦   𝜓,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑧)   𝜓(𝑥,𝑧)

Proof of Theorem grpoidinvlem3
Dummy variable 𝑤 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grpidinvlem3.3 . . . . . 6 (𝜓 ↔ ∀𝑥𝑋𝑧𝑋 (𝑧𝐺𝑥) = 𝑈)
2 oveq1 6800 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑦 → (𝑧𝐺𝑥) = (𝑦𝐺𝑥))
32eqeq1d 2773 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑦 → ((𝑧𝐺𝑥) = 𝑈 ↔ (𝑦𝐺𝑥) = 𝑈))
43cbvrexv 3321 . . . . . . 7 (∃𝑧𝑋 (𝑧𝐺𝑥) = 𝑈 ↔ ∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝑥) = 𝑈)
54ralbii 3129 . . . . . 6 (∀𝑥𝑋𝑧𝑋 (𝑧𝐺𝑥) = 𝑈 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝑥) = 𝑈)
61, 5bitri 264 . . . . 5 (𝜓 ↔ ∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝑥) = 𝑈)
7 oveq2 6801 . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝐴 → (𝑦𝐺𝑥) = (𝑦𝐺𝐴))
87eqeq1d 2773 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑦𝐺𝑥) = 𝑈 ↔ (𝑦𝐺𝐴) = 𝑈))
98rexbidv 3200 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝑥) = 𝑈 ↔ ∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝐴) = 𝑈))
109rspccva 3459 . . . . 5 ((∀𝑥𝑋𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝑥) = 𝑈𝐴𝑋) → ∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝐴) = 𝑈)
116, 10sylanb 570 . . . 4 ((𝜓𝐴𝑋) → ∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝐴) = 𝑈)
1211adantll 693 . . 3 (((𝜑𝜓) ∧ 𝐴𝑋) → ∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝐴) = 𝑈)
1312adantll 693 . 2 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝐴𝑋) → ∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝐴) = 𝑈)
14 grpfo.1 . . . . . . . . . . . 12 𝑋 = ran 𝐺
1514grpocl 27694 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋)
16153expa 1111 . . . . . . . . . 10 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋)
1716adantllr 698 . . . . . . . . 9 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋)
1817adantllr 698 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋)
19 grpidinvlem3.2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 ↔ ∀𝑥𝑋 (𝑈𝐺𝑥) = 𝑥)
2019biimpi 206 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (𝑈𝐺𝑥) = 𝑥)
2120ad2antrl 707 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑𝜓)) → ∀𝑥𝑋 (𝑈𝐺𝑥) = 𝑥)
2221ad2antrr 705 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ∀𝑥𝑋 (𝑈𝐺𝑥) = 𝑥)
23 oveq2 6801 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐴𝐺𝑦) → (𝑈𝐺𝑥) = (𝑈𝐺(𝐴𝐺𝑦)))
24 id 22 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (𝐴𝐺𝑦) → 𝑥 = (𝐴𝐺𝑦))
2523, 24eqeq12d 2786 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝐴𝐺𝑦) → ((𝑈𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑈𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = (𝐴𝐺𝑦)))
2625rspcva 3458 . . . . . . . 8 (((𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋 (𝑈𝐺𝑥) = 𝑥) → (𝑈𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = (𝐴𝐺𝑦))
2718, 22, 26syl2anc 573 . . . . . . 7 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑈𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = (𝐴𝐺𝑦))
2827adantr 466 . . . . . 6 ((((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝑦𝐺𝐴) = 𝑈) → (𝑈𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = (𝐴𝐺𝑦))
29 pm3.22 449 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦𝑋𝐴𝑋) ∧ 𝐺 ∈ GrpOp) → (𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝑦𝑋𝐴𝑋)))
3029an31s 633 . . . . . . . . . . 11 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝑦𝑋𝐴𝑋)))
3130adantllr 698 . . . . . . . . . 10 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝑦𝑋𝐴𝑋)))
3231adantllr 698 . . . . . . . . 9 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝑦𝑋𝐴𝑋)))
3332adantr 466 . . . . . . . 8 ((((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝑦𝐺𝐴) = 𝑈) → (𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝑦𝑋𝐴𝑋)))
34 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (𝑈𝐺𝑥) = (𝑈𝐺𝑦))
35 id 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦𝑥 = 𝑦)
3634, 35eqeq12d 2786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑈𝐺𝑥) = 𝑥 ↔ (𝑈𝐺𝑦) = 𝑦))
3736rspccva 3459 . . . . . . . . . . . . 13 ((∀𝑥𝑋 (𝑈𝐺𝑥) = 𝑥𝑦𝑋) → (𝑈𝐺𝑦) = 𝑦)
3819, 37sylanb 570 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑋) → (𝑈𝐺𝑦) = 𝑦)
3938adantlr 694 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝜓) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑈𝐺𝑦) = 𝑦)
4039adantlr 694 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝜓) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑈𝐺𝑦) = 𝑦)
4140adantlll 697 . . . . . . . . 9 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (𝑈𝐺𝑦) = 𝑦)
4241anim1i 602 . . . . . . . 8 ((((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝑦𝐺𝐴) = 𝑈) → ((𝑈𝐺𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦𝐺𝐴) = 𝑈))
4314grpoidinvlem2 27699 . . . . . . . 8 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝑦𝑋𝐴𝑋)) ∧ ((𝑈𝐺𝑦) = 𝑦 ∧ (𝑦𝐺𝐴) = 𝑈)) → ((𝐴𝐺𝑦)𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = (𝐴𝐺𝑦))
4433, 42, 43syl2anc 573 . . . . . . 7 ((((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝑦𝐺𝐴) = 𝑈) → ((𝐴𝐺𝑦)𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = (𝐴𝐺𝑦))
45153expb 1113 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝐴𝑋𝑦𝑋)) → (𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋)
4645ad2ant2rl 743 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑 ∧ (𝐴𝑋𝑦𝑋))) → (𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋)
47 oveq1 6800 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 = 𝑤 → (𝑧𝐺𝑥) = (𝑤𝐺𝑥))
4847eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑧 = 𝑤 → ((𝑧𝐺𝑥) = 𝑈 ↔ (𝑤𝐺𝑥) = 𝑈))
4948cbvrexv 3321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∃𝑧𝑋 (𝑧𝐺𝑥) = 𝑈 ↔ ∃𝑤𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑈)
5049ralbii 3129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (∀𝑥𝑋𝑧𝑋 (𝑧𝐺𝑥) = 𝑈 ↔ ∀𝑥𝑋𝑤𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑈)
511, 50bitri 264 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜓 ↔ ∀𝑥𝑋𝑤𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑈)
52 oveq2 6801 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = (𝐴𝐺𝑦) → (𝑤𝐺𝑥) = (𝑤𝐺(𝐴𝐺𝑦)))
5352eqeq1d 2773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = (𝐴𝐺𝑦) → ((𝑤𝐺𝑥) = 𝑈 ↔ (𝑤𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = 𝑈))
5453rexbidv 3200 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐴𝐺𝑦) → (∃𝑤𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑈 ↔ ∃𝑤𝑋 (𝑤𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = 𝑈))
5554rspcva 3458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋 ∧ ∀𝑥𝑋𝑤𝑋 (𝑤𝐺𝑥) = 𝑈) → ∃𝑤𝑋 (𝑤𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = 𝑈)
5651, 55sylan2b 581 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋𝜓) → ∃𝑤𝑋 (𝑤𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = 𝑈)
57 anass 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ (𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋) ↔ (𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋)))
5857biimpi 206 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑤𝑋) ∧ (𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋) → (𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋)))
5958an32s 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋) ∧ 𝑤𝑋) → (𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋)))
6059ex 397 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋) → (𝑤𝑋 → (𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋))))
6145, 60syldan 579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝐴𝑋𝑦𝑋)) → (𝑤𝑋 → (𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋))))
6261ad2ant2rl 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑 ∧ (𝐴𝑋𝑦𝑋))) → (𝑤𝑋 → (𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋))))
6362imp 393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑 ∧ (𝐴𝑋𝑦𝑋))) ∧ 𝑤𝑋) → (𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋)))
6414grpoidinvlem1 27698 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ (𝑤𝑋 ∧ (𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋)) ∧ ((𝑤𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = 𝑈 ∧ ((𝐴𝐺𝑦)𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = (𝐴𝐺𝑦))) → (𝑈𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = 𝑈)
6563, 64sylan 569 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑 ∧ (𝐴𝑋𝑦𝑋))) ∧ 𝑤𝑋) ∧ ((𝑤𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = 𝑈 ∧ ((𝐴𝐺𝑦)𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = (𝐴𝐺𝑦))) → (𝑈𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = 𝑈)
6665exp43 423 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑 ∧ (𝐴𝑋𝑦𝑋))) → (𝑤𝑋 → ((𝑤𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = 𝑈 → (((𝐴𝐺𝑦)𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = (𝐴𝐺𝑦) → (𝑈𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = 𝑈))))
6766rexlimdv 3178 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑 ∧ (𝐴𝑋𝑦𝑋))) → (∃𝑤𝑋 (𝑤𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = 𝑈 → (((𝐴𝐺𝑦)𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = (𝐴𝐺𝑦) → (𝑈𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = 𝑈)))
6856, 67syl5 34 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑 ∧ (𝐴𝑋𝑦𝑋))) → (((𝐴𝐺𝑦) ∈ 𝑋𝜓) → (((𝐴𝐺𝑦)𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = (𝐴𝐺𝑦) → (𝑈𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = 𝑈)))
6946, 68mpand 675 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑 ∧ (𝐴𝑋𝑦𝑋))) → (𝜓 → (((𝐴𝐺𝑦)𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = (𝐴𝐺𝑦) → (𝑈𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = 𝑈)))
7069exp32 407 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) → (𝜑 → ((𝐴𝑋𝑦𝑋) → (𝜓 → (((𝐴𝐺𝑦)𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = (𝐴𝐺𝑦) → (𝑈𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = 𝑈)))))
7170com34 91 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) → (𝜑 → (𝜓 → ((𝐴𝑋𝑦𝑋) → (((𝐴𝐺𝑦)𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = (𝐴𝐺𝑦) → (𝑈𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = 𝑈)))))
7271imp32 405 . . . . . . . . 9 (((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑𝜓)) → ((𝐴𝑋𝑦𝑋) → (((𝐴𝐺𝑦)𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = (𝐴𝐺𝑦) → (𝑈𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = 𝑈)))
7372impl 443 . . . . . . . 8 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → (((𝐴𝐺𝑦)𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = (𝐴𝐺𝑦) → (𝑈𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = 𝑈))
7473adantr 466 . . . . . . 7 ((((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝑦𝐺𝐴) = 𝑈) → (((𝐴𝐺𝑦)𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = (𝐴𝐺𝑦) → (𝑈𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = 𝑈))
7544, 74mpd 15 . . . . . 6 ((((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝑦𝐺𝐴) = 𝑈) → (𝑈𝐺(𝐴𝐺𝑦)) = 𝑈)
7628, 75eqtr3d 2807 . . . . 5 ((((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑋) ∧ (𝑦𝐺𝐴) = 𝑈) → (𝐴𝐺𝑦) = 𝑈)
7776ex 397 . . . 4 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑦𝐺𝐴) = 𝑈 → (𝐴𝐺𝑦) = 𝑈))
7877ancld 540 . . 3 (((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝐴𝑋) ∧ 𝑦𝑋) → ((𝑦𝐺𝐴) = 𝑈 → ((𝑦𝐺𝐴) = 𝑈 ∧ (𝐴𝐺𝑦) = 𝑈)))
7978reximdva 3165 . 2 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝐴𝑋) → (∃𝑦𝑋 (𝑦𝐺𝐴) = 𝑈 → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝐴) = 𝑈 ∧ (𝐴𝐺𝑦) = 𝑈)))
8013, 79mpd 15 1 ((((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝑈𝑋) ∧ (𝜑𝜓)) ∧ 𝐴𝑋) → ∃𝑦𝑋 ((𝑦𝐺𝐴) = 𝑈 ∧ (𝐴𝐺𝑦) = 𝑈))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  wrex 3062  ran crn 5250  (class class class)co 6793  GrpOpcgr 27683
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-fo 6037  df-fv 6039  df-ov 6796  df-grpo 27687
This theorem is referenced by:  grpoidinv  27702
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