Theorem nvgcl 31043

Description: Closure law for the vector addition (group) operation of a normed complex vector space. (Contributed by NM, 23-Apr-2007.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
nvgcl.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
nvgcl.2	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)

Assertion

Ref	Expression
nvgcl	⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)

Proof of Theorem nvgcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nvgcl.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
2	1	nvgrp 31040	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ NrmCVec → 𝐺 ∈ GrpOp)
3		nvgcl.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
4	3, 1	bafval 31027	. . 3 ⊢ 𝑋 = ran 𝐺
5	4	grpocl 30923	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ GrpOp ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)
6	2, 5	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝐺𝐵) ∈ 𝑋)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  GrpOpcgr 30912  NrmCVeccnv 31007   +_𝑣 cpv 31008  BaseSetcba 31009

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-grpo 30916  df-ablo 30968  df-vc 30982  df-nv 31015  df-va 31018  df-ba 31019  df-sm 31020  df-0v 31021  df-nmcv 31023

This theorem is used by:  nvmf  31068  nvpncan2  31076  nvaddsub4  31080  nvdif  31089  nvpi  31090  nvabs  31095  imsmetlem  31113  vacn  31117  ipval2lem2  31127  4ipval2  31131  lnocoi  31180  0lno  31213  blocnilem  31227  ip0i  31248  ip1ilem  31249  ip2i  31251  ipdirilem  31252  ipasslem10  31262  dipdi  31266  ip2dii  31267  pythi  31273  ipblnfi  31278  ubthlem2  31294  minvecolem2  31298  hhshsslem2  31691