MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resgrpplusfrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resgrpplusfrn 18981
Description: The underlying set of a group operation which is a restriction of a structure. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resgrpplusfrn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
resgrpplusfrn.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
resgrpplusfrn.o 𝐹 = (+𝑓𝐻)
Assertion
Ref Expression
resgrpplusfrn ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 = ran 𝐹)

Proof of Theorem resgrpplusfrn
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2 resgrpplusfrn.o . . . . 5 𝐹 = (+𝑓𝐻)
31, 2grpplusfo 18980 . . . 4 (𝐻 ∈ Grp → 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻))
43adantr 480 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻))
5 eqidd 2736 . . . 4 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝐹 = 𝐹)
6 resgrpplusfrn.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
7 resgrpplusfrn.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
86, 7ressbas2 17283 . . . . . 6 (𝑆𝐵𝑆 = (Base‘𝐻))
98adantl 481 . . . . 5 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
109sqxpeqd 5721 . . . 4 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → (𝑆 × 𝑆) = ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
115, 10, 9foeq123d 6842 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto𝑆𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻)))
124, 11mpbird 257 . 2 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto𝑆)
13 forn 6824 . . 3 (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto𝑆 → ran 𝐹 = 𝑆)
1413eqcomd 2741 . 2 (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto𝑆𝑆 = ran 𝐹)
1512, 14syl 17 1 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 = ran 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wss 3963   × cxp 5687  ran crn 5690  ontowfo 6561  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  s cress 17274  +𝑓cplusf 18663  Grpcgrp 18964
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-0g 17488  df-plusf 18665  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator