Theorem resgrpplusfrn 18832

Description: The underlying set of a group operation which is a restriction of a structure. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resgrpplusfrn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
resgrpplusfrn.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
resgrpplusfrn.o	⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
resgrpplusfrn	⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = ran 𝐹)

Proof of Theorem resgrpplusfrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2732	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2		resgrpplusfrn.o	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐻)
3	1, 2	grpplusfo 18831	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻))
4	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻))
5		eqidd 2733	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐹 = 𝐹)
6		resgrpplusfrn.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
7		resgrpplusfrn.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8	6, 7	ressbas2 17178	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
9	8	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
10	9	sqxpeqd 5707	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑆 × 𝑆) = ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
11	5, 10, 9	foeq123d 6823	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto→𝑆 ↔ 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻)))
12	4, 11	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto→𝑆)
13		forn 6805	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto→𝑆 → ran 𝐹 = 𝑆)
14	13	eqcomd 2738	. 2 ⊢ (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto→𝑆 → 𝑆 = ran 𝐹)
15	12, 14	syl 17	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = ran 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3947   × cxp 5673  ran crn 5676  –onto→wfo 6538  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  +_𝑓cplusf 18554  Grpcgrp 18815

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-1cn 11164  ax-addcl 11166

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-nn 12209  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-0g 17383  df-plusf 18556  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818

This theorem is referenced by: (None)