MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resgrpplusfrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resgrpplusfrn 17834
Description: The underlying set of a group operation which is a restriction of a structure. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resgrpplusfrn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
resgrpplusfrn.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
resgrpplusfrn.o 𝐹 = (+𝑓𝐻)
Assertion
Ref Expression
resgrpplusfrn ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 = ran 𝐹)

Proof of Theorem resgrpplusfrn
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2 resgrpplusfrn.o . . . . 5 𝐹 = (+𝑓𝐻)
31, 2grpplusfo 17833 . . . 4 (𝐻 ∈ Grp → 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻))
43adantr 474 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻))
5 eqidd 2779 . . . 4 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝐹 = 𝐹)
6 resgrpplusfrn.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
7 resgrpplusfrn.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
86, 7ressbas2 16338 . . . . . 6 (𝑆𝐵𝑆 = (Base‘𝐻))
98adantl 475 . . . . 5 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
109sqxpeqd 5389 . . . 4 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → (𝑆 × 𝑆) = ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
115, 10, 9foeq123d 6387 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto𝑆𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻)))
124, 11mpbird 249 . 2 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto𝑆)
13 forn 6371 . . 3 (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto𝑆 → ran 𝐹 = 𝑆)
1413eqcomd 2784 . 2 (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto𝑆𝑆 = ran 𝐹)
1512, 14syl 17 1 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 = ran 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  wss 3792   × cxp 5355  ran crn 5358  ontowfo 6135  cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16266  s cress 16267  +𝑓cplusf 17636  Grpcgrp 17820
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-1cn 10332  ax-addcl 10334
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-nn 11380  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-0g 16499  df-plusf 17638  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-grp 17823
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator