MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resgrpplusfrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resgrpplusfrn 18765
Description: The underlying set of a group operation which is a restriction of a structure. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resgrpplusfrn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
resgrpplusfrn.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
resgrpplusfrn.o 𝐹 = (+𝑓𝐻)
Assertion
Ref Expression
resgrpplusfrn ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 = ran 𝐹)

Proof of Theorem resgrpplusfrn
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2 resgrpplusfrn.o . . . . 5 𝐹 = (+𝑓𝐻)
31, 2grpplusfo 18764 . . . 4 (𝐻 ∈ Grp → 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻))
43adantr 482 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻))
5 eqidd 2738 . . . 4 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝐹 = 𝐹)
6 resgrpplusfrn.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
7 resgrpplusfrn.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
86, 7ressbas2 17121 . . . . . 6 (𝑆𝐵𝑆 = (Base‘𝐻))
98adantl 483 . . . . 5 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
109sqxpeqd 5666 . . . 4 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → (𝑆 × 𝑆) = ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
115, 10, 9foeq123d 6778 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto𝑆𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻)))
124, 11mpbird 257 . 2 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto𝑆)
13 forn 6760 . . 3 (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto𝑆 → ran 𝐹 = 𝑆)
1413eqcomd 2743 . 2 (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto𝑆𝑆 = ran 𝐹)
1512, 14syl 17 1 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 = ran 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3911   × cxp 5632  ran crn 5635  ontowfo 6495  cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  s cress 17113  +𝑓cplusf 18495  Grpcgrp 18749
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-1cn 11110  ax-addcl 11112
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-nn 12155  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-0g 17324  df-plusf 18497  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-grp 18752
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator