Theorem resgrpplusfrn 18917

Description: The underlying set of a group operation which is a restriction of a structure. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resgrpplusfrn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
resgrpplusfrn.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
resgrpplusfrn.o	⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
resgrpplusfrn	⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = ran 𝐹)

Proof of Theorem resgrpplusfrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2		resgrpplusfrn.o	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐻)
3	1, 2	grpplusfo 18916	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻))
4	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻))
5		eqidd 2740	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐹 = 𝐹)
6		resgrpplusfrn.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
7		resgrpplusfrn.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8	6, 7	ressbas2 17199	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
9	8	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
10	9	sqxpeqd 5650	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑆 × 𝑆) = ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
11	5, 10, 9	foeq123d 6760	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto→𝑆 ↔ 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻)))
12	4, 11	mpbird 258	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto→𝑆)
13		forn 6742	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto→𝑆 → ran 𝐹 = 𝑆)
14	13	eqcomd 2745	. 2 ⊢ (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto→𝑆 → 𝑆 = ran 𝐹)
15	12, 14	syl 17	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = ran 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3883   × cxp 5616  ran crn 5619  –onto→wfo 6483  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  +_𝑓cplusf 18596  Grpcgrp 18900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-1cn 11087  ax-addcl 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-nn 12166  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-0g 17395  df-plusf 18598  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903

This theorem is referenced by: (None)