MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  resgrpplusfrn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem resgrpplusfrn 18898
Description: The underlying set of a group operation which is a restriction of a structure. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
resgrpplusfrn.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
resgrpplusfrn.h 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
resgrpplusfrn.o 𝐹 = (+𝑓𝐻)
Assertion
Ref Expression
resgrpplusfrn ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 = ran 𝐹)

Proof of Theorem resgrpplusfrn
StepHypRef Expression
1 eqid 2727 . . . . 5 (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2 resgrpplusfrn.o . . . . 5 𝐹 = (+𝑓𝐻)
31, 2grpplusfo 18897 . . . 4 (𝐻 ∈ Grp → 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻))
43adantr 480 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻))
5 eqidd 2728 . . . 4 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝐹 = 𝐹)
6 resgrpplusfrn.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝐺s 𝑆)
7 resgrpplusfrn.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐺)
86, 7ressbas2 17209 . . . . . 6 (𝑆𝐵𝑆 = (Base‘𝐻))
98adantl 481 . . . . 5 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
109sqxpeqd 5704 . . . 4 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → (𝑆 × 𝑆) = ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
115, 10, 9foeq123d 6826 . . 3 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto𝑆𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻)))
124, 11mpbird 257 . 2 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto𝑆)
13 forn 6808 . . 3 (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto𝑆 → ran 𝐹 = 𝑆)
1413eqcomd 2733 . 2 (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto𝑆𝑆 = ran 𝐹)
1512, 14syl 17 1 ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆𝐵) → 𝑆 = ran 𝐹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1534  wcel 2099  wss 3944   × cxp 5670  ran crn 5673  ontowfo 6540  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  s cress 17200  +𝑓cplusf 18588  Grpcgrp 18881
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-1cn 11188  ax-addcl 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-nn 12235  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-0g 17414  df-plusf 18590  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-grp 18884
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator