Theorem resgrpplusfrn 18593

Description: The underlying set of a group operation which is a restriction of a structure. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resgrpplusfrn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
resgrpplusfrn.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
resgrpplusfrn.o	⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
resgrpplusfrn	⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = ran 𝐹)

Proof of Theorem resgrpplusfrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2		resgrpplusfrn.o	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐻)
3	1, 2	grpplusfo 18592	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻))
4	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻))
5		eqidd 2739	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐹 = 𝐹)
6		resgrpplusfrn.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
7		resgrpplusfrn.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8	6, 7	ressbas2 16949	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
9	8	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
10	9	sqxpeqd 5621	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑆 × 𝑆) = ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
11	5, 10, 9	foeq123d 6709	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto→𝑆 ↔ 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻)))
12	4, 11	mpbird 256	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto→𝑆)
13		forn 6691	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto→𝑆 → ran 𝐹 = 𝑆)
14	13	eqcomd 2744	. 2 ⊢ (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto→𝑆 → 𝑆 = ran 𝐹)
15	12, 14	syl 17	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = ran 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   × cxp 5587  ran crn 5590  –onto→wfo 6431  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912   ↾_s cress 16941  +_𝑓cplusf 18323  Grpcgrp 18577

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-1cn 10929  ax-addcl 10931

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-nn 11974  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-0g 17152  df-plusf 18325  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580

This theorem is referenced by: (None)