Theorem resgrpplusfrn 18992

Description: The underlying set of a group operation which is a restriction of a structure. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resgrpplusfrn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
resgrpplusfrn.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
resgrpplusfrn.o	⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
resgrpplusfrn	⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = ran 𝐹)

Proof of Theorem resgrpplusfrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2		resgrpplusfrn.o	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐻)
3	1, 2	grpplusfo 18991	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻))
4	3	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻))
5		eqidd 2763	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐹 = 𝐹)
6		resgrpplusfrn.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
7		resgrpplusfrn.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8	6, 7	ressbas2 17274	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
9	8	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
10	9	sqxpeqd 5679	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑆 × 𝑆) = ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
11	5, 10, 9	foeq123d 6799	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto→𝑆 ↔ 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻)))
12	4, 11	mpbird 259	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto→𝑆)
13		forn 6781	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto→𝑆 → ran 𝐹 = 𝑆)
14	13	eqcomd 2768	. 2 ⊢ (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto→𝑆 → 𝑆 = ran 𝐹)
15	12, 14	syl 17	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = ran 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904   × cxp 5645  ran crn 5648  –onto→wfo 6519  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245   ↾_s cress 17266  +_𝑓cplusf 18671  Grpcgrp 18975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-1cn 11131  ax-addcl 11133

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-nn 12211  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-0g 17470  df-plusf 18673  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978

This theorem is referenced by: (None)