Theorem resgrpplusfrn 19077

Description: The underlying set of a group operation which is a restriction of a structure. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.) (Revised by AV, 30-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
resgrpplusfrn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
resgrpplusfrn.h	⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
resgrpplusfrn.o	⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐻)

Assertion

Ref	Expression
resgrpplusfrn	⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = ran 𝐹)

Proof of Theorem resgrpplusfrn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐻) = (Base‘𝐻)
2		resgrpplusfrn.o	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (+𝑓‘𝐻)
3	1, 2	grpplusfo 19076	. . . 4 ⊢ (𝐻 ∈ Grp → 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻))
4	3	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻))
5		eqidd 2761	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐹 = 𝐹)
6		resgrpplusfrn.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝐺 ↾s 𝑆)
7		resgrpplusfrn.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
8	6, 7	ressbas2 17333	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑆 = (Base‘𝐻))
9	8	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = (Base‘𝐻))
10	9	sqxpeqd 5687	. . . 4 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑆 × 𝑆) = ((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻)))
11	5, 10, 9	foeq123d 6811	. . 3 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto→𝑆 ↔ 𝐹:((Base‘𝐻) × (Base‘𝐻))–onto→(Base‘𝐻)))
12	4, 11	mpbird 260	. 2 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto→𝑆)
13		forn 6793	. . 3 ⊢ (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto→𝑆 → ran 𝐹 = 𝑆)
14	13	eqcomd 2766	. 2 ⊢ (𝐹:(𝑆 × 𝑆)–onto→𝑆 → 𝑆 = ran 𝐹)
15	12, 14	syl 18	1 ⊢ ((𝐻 ∈ Grp ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑆 = ran 𝐹)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   × cxp 5653  ran crn 5656  –onto→wfo 6531  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  Basecbs 17304   ↾_s cress 17325  +_𝑓cplusf 18730  Grpcgrp 19060

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-1cn 11185  ax-addcl 11187

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-nn 12261  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusf 18732  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-grp 19063

This theorem is used by: (None)