Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmhmimasvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmhmimasvsca 33017
Description: Value of the scalar product of the surjective image of a module. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmimasvsca.w 𝑊 = (𝐹s 𝑉)
lmhmimasvsca.b 𝐵 = (Base‘𝑉)
lmhmimasvsca.c 𝐶 = (Base‘𝑊)
lmhmimasvsca.x (𝜑𝑋𝐾)
lmhmimasvsca.y (𝜑𝑌𝐵)
lmhmimasvsca.1 (𝜑𝐹:𝐵onto𝐶)
lmhmimasvsca.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊))
lmhmimasvsca.2 · = ( ·𝑠𝑉)
lmhmimasvsca.3 × = ( ·𝑠𝑊)
lmhmimasvsca.k 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑉))
Assertion
Ref Expression
lmhmimasvsca (𝜑 → (𝑋 × (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem lmhmimasvsca
Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmhmimasvsca.x . 2 (𝜑𝑋𝐾)
2 lmhmimasvsca.y . 2 (𝜑𝑌𝐵)
3 lmhmimasvsca.w . . . 4 𝑊 = (𝐹s 𝑉)
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝑊 = (𝐹s 𝑉))
5 lmhmimasvsca.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑉)
65a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑉))
7 lmhmimasvsca.1 . . 3 (𝜑𝐹:𝐵onto𝐶)
8 lmhmimasvsca.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊))
9 lmhmlmod1 21050 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊) → 𝑉 ∈ LMod)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ LMod)
11 eqid 2734 . . 3 (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
12 lmhmimasvsca.k . . 3 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑉))
13 lmhmimasvsca.2 . . 3 · = ( ·𝑠𝑉)
14 lmhmimasvsca.3 . . 3 × = ( ·𝑠𝑊)
15 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝐵𝑞𝐵)) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞)) → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞))
1615oveq2d 7461 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝐵𝑞𝐵)) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞)) → (𝑝 × (𝐹𝑎)) = (𝑝 × (𝐹𝑞)))
178ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝐵𝑞𝐵)) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞)) → 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊))
18 simplr1 1215 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝐵𝑞𝐵)) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞)) → 𝑝𝐾)
19 simplr2 1216 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝐵𝑞𝐵)) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞)) → 𝑎𝐵)
2011, 12, 5, 13, 14lmhmlin 21052 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊) ∧ 𝑝𝐾𝑎𝐵) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝑝 × (𝐹𝑎)))
2117, 18, 19, 20syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝐵𝑞𝐵)) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝑝 × (𝐹𝑎)))
22 simplr3 1217 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝐵𝑞𝐵)) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞)) → 𝑞𝐵)
2311, 12, 5, 13, 14lmhmlin 21052 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊) ∧ 𝑝𝐾𝑞𝐵) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝑝 × (𝐹𝑞)))
2417, 18, 22, 23syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝐵𝑞𝐵)) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝑝 × (𝐹𝑞)))
2516, 21, 243eqtr4d 2784 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝐵𝑞𝐵)) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
2625ex 412 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝐵𝑞𝐵)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
274, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 26imasvscaval 17593 . 2 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋 × (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
281, 2, 27mpd3an23 1463 1 (𝜑 → (𝑋 × (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2103  ontowfo 6570  cfv 6572  (class class class)co 7445  Basecbs 17253  Scalarcsca 17309   ·𝑠 cvsca 17310  s cimas 17559  LModclmod 20875   LMHom clmhm 21036
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-sup 9507  df-inf 9508  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-7 12357  df-8 12358  df-9 12359  df-n0 12550  df-z 12636  df-dec 12755  df-uz 12900  df-fz 13564  df-struct 17189  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-imas 17563  df-lmhm 21039
This theorem is referenced by:  algextdeglem8  33707
  Copyright terms: Public domain W3C validator