Theorem lmhmimasvsca 32467

Description: Value of the scalar product of the surjective image of a module. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmimasvsca.w	⊢ 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉)
lmhmimasvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
lmhmimasvsca.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
lmhmimasvsca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
lmhmimasvsca.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lmhmimasvsca.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)
lmhmimasvsca.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊))
lmhmimasvsca.2	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
lmhmimasvsca.3	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmhmimasvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
lmhmimasvsca	⊢ (𝜑 → (𝑋 × (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem lmhmimasvsca

Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmimasvsca.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
2		lmhmimasvsca.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		lmhmimasvsca.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉))
5		lmhmimasvsca.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑉))
7		lmhmimasvsca.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)
8		lmhmimasvsca.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊))
9		lmhmlmod1 20788	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊) → 𝑉 ∈ LMod)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ LMod)
11		eqid 2730	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
12		lmhmimasvsca.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑉))
13		lmhmimasvsca.2	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
14		lmhmimasvsca.3	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15		simpr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞))
16	15	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝑝 × (𝐹‘𝑎)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑞)))
17	8	ad2antrr 722	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊))
18		simplr1 1213	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑝 ∈ 𝐾)
19		simplr2 1214	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
20	11, 12, 5, 13, 14	lmhmlin 20790	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊) ∧ 𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑎)))
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑎)))
22		simplr3 1215	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
23	11, 12, 5, 13, 14	lmhmlin 20790	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊) ∧ 𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑞)))
24	17, 18, 22, 23	syl3anc 1369	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑞)))
25	16, 21, 24	3eqtr4d 2780	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
26	25	ex 411	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
27	4, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 26	imasvscaval 17488	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 × (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
28	1, 2, 27	mpd3an23 1461	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  –onto→wfo 6540  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148  Scalarcsca 17204   ·_𝑠 cvsca 17205   “_s cimas 17454  LModclmod 20614   LMHom clmhm 20774

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-imas 17458  df-lmhm 20777

This theorem is referenced by:  algextdeglem8  33069