Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lmhmimasvsca Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmhmimasvsca 33027
Description: Value of the scalar product of the surjective image of a module. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmimasvsca.w 𝑊 = (𝐹s 𝑉)
lmhmimasvsca.b 𝐵 = (Base‘𝑉)
lmhmimasvsca.c 𝐶 = (Base‘𝑊)
lmhmimasvsca.x (𝜑𝑋𝐾)
lmhmimasvsca.y (𝜑𝑌𝐵)
lmhmimasvsca.1 (𝜑𝐹:𝐵onto𝐶)
lmhmimasvsca.f (𝜑𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊))
lmhmimasvsca.2 · = ( ·𝑠𝑉)
lmhmimasvsca.3 × = ( ·𝑠𝑊)
lmhmimasvsca.k 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑉))
Assertion
Ref Expression
lmhmimasvsca (𝜑 → (𝑋 × (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem lmhmimasvsca
Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lmhmimasvsca.x . 2 (𝜑𝑋𝐾)
2 lmhmimasvsca.y . 2 (𝜑𝑌𝐵)
3 lmhmimasvsca.w . . . 4 𝑊 = (𝐹s 𝑉)
43a1i 11 . . 3 (𝜑𝑊 = (𝐹s 𝑉))
5 lmhmimasvsca.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑉)
65a1i 11 . . 3 (𝜑𝐵 = (Base‘𝑉))
7 lmhmimasvsca.1 . . 3 (𝜑𝐹:𝐵onto𝐶)
8 lmhmimasvsca.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊))
9 lmhmlmod1 21057 . . . 4 (𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊) → 𝑉 ∈ LMod)
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑𝑉 ∈ LMod)
11 eqid 2740 . . 3 (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
12 lmhmimasvsca.k . . 3 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑉))
13 lmhmimasvsca.2 . . 3 · = ( ·𝑠𝑉)
14 lmhmimasvsca.3 . . 3 × = ( ·𝑠𝑊)
15 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝐵𝑞𝐵)) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞)) → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞))
1615oveq2d 7466 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝐵𝑞𝐵)) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞)) → (𝑝 × (𝐹𝑎)) = (𝑝 × (𝐹𝑞)))
178ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝐵𝑞𝐵)) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞)) → 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊))
18 simplr1 1215 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝐵𝑞𝐵)) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞)) → 𝑝𝐾)
19 simplr2 1216 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝐵𝑞𝐵)) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞)) → 𝑎𝐵)
2011, 12, 5, 13, 14lmhmlin 21059 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊) ∧ 𝑝𝐾𝑎𝐵) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝑝 × (𝐹𝑎)))
2117, 18, 19, 20syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝐵𝑞𝐵)) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝑝 × (𝐹𝑎)))
22 simplr3 1217 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝐵𝑞𝐵)) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞)) → 𝑞𝐵)
2311, 12, 5, 13, 14lmhmlin 21059 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊) ∧ 𝑝𝐾𝑞𝐵) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝑝 × (𝐹𝑞)))
2417, 18, 22, 23syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝐵𝑞𝐵)) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝑝 × (𝐹𝑞)))
2516, 21, 243eqtr4d 2790 . . . 4 (((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝐵𝑞𝐵)) ∧ (𝐹𝑎) = (𝐹𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
2625ex 412 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑝𝐾𝑎𝐵𝑞𝐵)) → ((𝐹𝑎) = (𝐹𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
274, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 26imasvscaval 17600 . 2 ((𝜑𝑋𝐾𝑌𝐵) → (𝑋 × (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
281, 2, 27mpd3an23 1463 1 (𝜑 → (𝑋 × (𝐹𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1537  wcel 2108  ontowfo 6573  cfv 6575  (class class class)co 7450  Basecbs 17260  Scalarcsca 17316   ·𝑠 cvsca 17317  s cimas 17566  LModclmod 20882   LMHom clmhm 21043
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-sup 9513  df-inf 9514  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-fz 13570  df-struct 17196  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-imas 17570  df-lmhm 21046
This theorem is referenced by:  algextdeglem8  33717
  Copyright terms: Public domain W3C validator