Theorem lmhmimasvsca 33219

Description: Value of the scalar product of the surjective image of a module. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmimasvsca.w	⊢ 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉)
lmhmimasvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
lmhmimasvsca.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
lmhmimasvsca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
lmhmimasvsca.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lmhmimasvsca.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)
lmhmimasvsca.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊))
lmhmimasvsca.2	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
lmhmimasvsca.3	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmhmimasvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
lmhmimasvsca	⊢ (𝜑 → (𝑋 × (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem lmhmimasvsca

Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmimasvsca.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
2		lmhmimasvsca.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		lmhmimasvsca.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉))
5		lmhmimasvsca.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑉))
7		lmhmimasvsca.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)
8		lmhmimasvsca.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊))
9		lmhmlmod1 21102	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊) → 𝑉 ∈ LMod)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ LMod)
11		eqid 2764	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
12		lmhmimasvsca.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑉))
13		lmhmimasvsca.2	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
14		lmhmimasvsca.3	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞))
16	15	oveq2d 7414	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝑝 × (𝐹‘𝑎)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑞)))
17	8	ad2antrr 736	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊))
18		simplr1 1230	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑝 ∈ 𝐾)
19		simplr2 1231	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
20	11, 12, 5, 13, 14	lmhmlin 21104	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊) ∧ 𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑎)))
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1392	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑎)))
22		simplr3 1232	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
23	11, 12, 5, 13, 14	lmhmlin 21104	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊) ∧ 𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑞)))
24	17, 18, 22, 23	syl3anc 1392	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑞)))
25	16, 21, 24	3eqtr4d 2809	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
26	25	ex 416	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
27	4, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 26	imasvscaval 17570	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 × (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
28	1, 2, 27	mpd3an23 1486	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1099   = wceq 1562   ∈ wcel 2144  –onto→wfo 6521  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398  Basecbs 17247  Scalarcsca 17291   ·_𝑠 cvsca 17292   “_s cimas 17536  LModclmod 20929   LMHom clmhm 21088

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-sup 9390  df-inf 9391  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12484  df-z 12571  df-dec 12691  df-uz 12842  df-fz 13515  df-struct 17185  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17248  df-plusg 17301  df-mulr 17302  df-sca 17304  df-vsca 17305  df-ip 17306  df-tset 17307  df-ple 17308  df-ds 17310  df-imas 17540  df-lmhm 21091

This theorem is referenced by:  algextdeglem8  34023