Theorem lmhmimasvsca 33023

Description: Value of the scalar product of the surjective image of a module. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmimasvsca.w	⊢ 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉)
lmhmimasvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
lmhmimasvsca.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
lmhmimasvsca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
lmhmimasvsca.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lmhmimasvsca.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)
lmhmimasvsca.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊))
lmhmimasvsca.2	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
lmhmimasvsca.3	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmhmimasvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
lmhmimasvsca	⊢ (𝜑 → (𝑋 × (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem lmhmimasvsca

Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmimasvsca.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
2		lmhmimasvsca.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		lmhmimasvsca.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉))
5		lmhmimasvsca.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑉))
7		lmhmimasvsca.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)
8		lmhmimasvsca.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊))
9		lmhmlmod1 20972	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊) → 𝑉 ∈ LMod)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ LMod)
11		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
12		lmhmimasvsca.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑉))
13		lmhmimasvsca.2	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
14		lmhmimasvsca.3	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞))
16	15	oveq2d 7385	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝑝 × (𝐹‘𝑎)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑞)))
17	8	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊))
18		simplr1 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑝 ∈ 𝐾)
19		simplr2 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
20	11, 12, 5, 13, 14	lmhmlin 20974	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊) ∧ 𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑎)))
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑎)))
22		simplr3 1218	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
23	11, 12, 5, 13, 14	lmhmlin 20974	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊) ∧ 𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑞)))
24	17, 18, 22, 23	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑞)))
25	16, 21, 24	3eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
26	25	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
27	4, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 26	imasvscaval 17477	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 × (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
28	1, 2, 27	mpd3an23 1465	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  –onto→wfo 6497  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200   “_s cimas 17443  LModclmod 20798   LMHom clmhm 20958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-4 12227  df-5 12228  df-6 12229  df-7 12230  df-8 12231  df-9 12232  df-n0 12419  df-z 12506  df-dec 12626  df-uz 12770  df-fz 13445  df-struct 17093  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-imas 17447  df-lmhm 20961

This theorem is referenced by:  algextdeglem8  33707