Theorem lmhmimasvsca 33123

Description: Value of the scalar product of the surjective image of a module. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmimasvsca.w	⊢ 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉)
lmhmimasvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
lmhmimasvsca.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
lmhmimasvsca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
lmhmimasvsca.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lmhmimasvsca.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)
lmhmimasvsca.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊))
lmhmimasvsca.2	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
lmhmimasvsca.3	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmhmimasvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
lmhmimasvsca	⊢ (𝜑 → (𝑋 × (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem lmhmimasvsca

Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmimasvsca.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
2		lmhmimasvsca.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		lmhmimasvsca.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉))
5		lmhmimasvsca.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑉))
7		lmhmimasvsca.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)
8		lmhmimasvsca.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊))
9		lmhmlmod1 20987	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊) → 𝑉 ∈ LMod)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ LMod)
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
12		lmhmimasvsca.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑉))
13		lmhmimasvsca.2	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
14		lmhmimasvsca.3	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞))
16	15	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝑝 × (𝐹‘𝑎)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑞)))
17	8	ad2antrr 726	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊))
18		simplr1 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑝 ∈ 𝐾)
19		simplr2 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
20	11, 12, 5, 13, 14	lmhmlin 20989	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊) ∧ 𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑎)))
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑎)))
22		simplr3 1218	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
23	11, 12, 5, 13, 14	lmhmlin 20989	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊) ∧ 𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑞)))
24	17, 18, 22, 23	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑞)))
25	16, 21, 24	3eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
26	25	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
27	4, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 26	imasvscaval 17461	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 × (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
28	1, 2, 27	mpd3an23 1465	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  –onto→wfo 6490  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183   “_s cimas 17427  LModclmod 20813   LMHom clmhm 20973

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-fin 8889  df-sup 9347  df-inf 9348  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-3 12211  df-4 12212  df-5 12213  df-6 12214  df-7 12215  df-8 12216  df-9 12217  df-n0 12404  df-z 12491  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13426  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-imas 17431  df-lmhm 20976

This theorem is referenced by:  algextdeglem8  33883