Theorem lmhmimasvsca 33027

Description: Value of the scalar product of the surjective image of a module. (Contributed by Thierry Arnoux, 2-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmimasvsca.w	⊢ 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉)
lmhmimasvsca.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
lmhmimasvsca.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑊)
lmhmimasvsca.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
lmhmimasvsca.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
lmhmimasvsca.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)
lmhmimasvsca.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊))
lmhmimasvsca.2	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
lmhmimasvsca.3	⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lmhmimasvsca.k	⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑉))

Assertion

Ref	Expression
lmhmimasvsca	⊢ (𝜑 → (𝑋 × (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Proof of Theorem lmhmimasvsca

Dummy variables 𝑎 𝑝 𝑞 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmhmimasvsca.x	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
2		lmhmimasvsca.y	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
3		lmhmimasvsca.w	. . . 4 ⊢ 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 = (𝐹 “s 𝑉))
5		lmhmimasvsca.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑉)
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑉))
7		lmhmimasvsca.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐵–onto→𝐶)
8		lmhmimasvsca.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊))
9		lmhmlmod1 21057	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊) → 𝑉 ∈ LMod)
10	8, 9	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 ∈ LMod)
11		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑉) = (Scalar‘𝑉)
12		lmhmimasvsca.k	. . 3 ⊢ 𝐾 = (Base‘(Scalar‘𝑉))
13		lmhmimasvsca.2	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑉)
14		lmhmimasvsca.3	. . 3 ⊢ × = ( ·𝑠 ‘𝑊)
15		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞))
16	15	oveq2d 7466	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝑝 × (𝐹‘𝑎)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑞)))
17	8	ad2antrr 725	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → 𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊))
18		simplr1 1215	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑝 ∈ 𝐾)
19		simplr2 1216	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
20	11, 12, 5, 13, 14	lmhmlin 21059	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊) ∧ 𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑎)))
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑎)))
22		simplr3 1217	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → 𝑞 ∈ 𝐵)
23	11, 12, 5, 13, 14	lmhmlin 21059	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝑉 LMHom 𝑊) ∧ 𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑞)))
24	17, 18, 22, 23	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)) = (𝑝 × (𝐹‘𝑞)))
25	16, 21, 24	3eqtr4d 2790	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) ∧ (𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞)) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞)))
26	25	ex 412	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑝 ∈ 𝐾 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → ((𝐹‘𝑎) = (𝐹‘𝑞) → (𝐹‘(𝑝 · 𝑎)) = (𝐹‘(𝑝 · 𝑞))))
27	4, 6, 7, 10, 11, 12, 13, 14, 26	imasvscaval 17600	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ 𝐾 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 × (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))
28	1, 2, 27	mpd3an23 1463	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × (𝐹‘𝑌)) = (𝐹‘(𝑋 · 𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  –onto→wfo 6573  ‘cfv 6575  (class class class)co 7450  Basecbs 17260  Scalarcsca 17316   ·_𝑠 cvsca 17317   “_s cimas 17566  LModclmod 20882   LMHom clmhm 21043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-er 8765  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-sup 9513  df-inf 9514  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-7 12363  df-8 12364  df-9 12365  df-n0 12556  df-z 12642  df-dec 12761  df-uz 12906  df-fz 13570  df-struct 17196  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-ip 17331  df-tset 17332  df-ple 17333  df-ds 17335  df-imas 17570  df-lmhm 21046

This theorem is referenced by:  algextdeglem8  33717