Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  assalactf1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem assalactf1o 33663
Description: In an associative algebra 𝐴, left-multiplication by a fixed element of the algebra is bijective. See also lactlmhm 33662. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
lactlmhm.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
lactlmhm.m · = (.r𝐴)
lactlmhm.f 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥))
lactlmhm.a (𝜑𝐴 ∈ AssAlg)
assalactf1o.1 𝐸 = (RLReg‘𝐴)
assalactf1o.k 𝐾 = (Scalar‘𝐴)
assalactf1o.2 (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
assalactf1o.3 (𝜑 → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)
assalactf1o.c (𝜑𝐶𝐸)
Assertion
Ref Expression
assalactf1o (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
Distinct variable groups:   𝑥, ·   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem assalactf1o
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lactlmhm.b . 2 𝐵 = (Base‘𝐴)
2 lactlmhm.a . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ AssAlg)
3 assalmod 21898 . . . 4 (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ LMod)
42, 3syl 17 . . 3 (𝜑𝐴 ∈ LMod)
5 assalactf1o.2 . . 3 (𝜑𝐾 ∈ DivRing)
6 assalactf1o.k . . . 4 𝐾 = (Scalar‘𝐴)
76islvec 21121 . . 3 (𝐴 ∈ LVec ↔ (𝐴 ∈ LMod ∧ 𝐾 ∈ DivRing))
84, 5, 7sylanbrc 583 . 2 (𝜑𝐴 ∈ LVec)
9 assalactf1o.3 . 2 (𝜑 → (dim‘𝐴) ∈ ℕ0)
10 lactlmhm.m . . 3 · = (.r𝐴)
11 lactlmhm.f . . 3 𝐹 = (𝑥𝐵 ↦ (𝐶 · 𝑥))
12 assalactf1o.1 . . . . 5 𝐸 = (RLReg‘𝐴)
1312, 1rrgss 20719 . . . 4 𝐸𝐵
14 assalactf1o.c . . . 4 (𝜑𝐶𝐸)
1513, 14sselid 3993 . . 3 (𝜑𝐶𝐵)
161, 10, 11, 2, 15lactlmhm 33662 . 2 (𝜑𝐹 ∈ (𝐴 LMHom 𝐴))
17 assaring 21899 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ Ring)
182, 17syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ Ring)
1918adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐴 ∈ Ring)
2015adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝐶𝐵)
21 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝐵) → 𝑥𝐵)
221, 10, 19, 20, 21ringcld 20277 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐵) → (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐵)
2322ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵 (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐵)
2418ringgrpd 20260 . . . . . . . 8 (𝜑𝐴 ∈ Grp)
2524ad3antrrr 730 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦)) → 𝐴 ∈ Grp)
2621ad2antrr 726 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦)) → 𝑥𝐵)
27 simplr 769 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦)) → 𝑦𝐵)
2814ad3antrrr 730 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦)) → 𝐶𝐸)
29 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (-g𝐴) = (-g𝐴)
301, 29, 25, 26, 27grpsubcld 33028 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦)) → (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵)
3118ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦)) → 𝐴 ∈ Ring)
3215ad3antrrr 730 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦)) → 𝐶𝐵)
331, 10, 29, 31, 32, 26, 27ringsubdi 20321 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦)) → (𝐶 · (𝑥(-g𝐴)𝑦)) = ((𝐶 · 𝑥)(-g𝐴)(𝐶 · 𝑦)))
3422ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦)) → (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐵)
351, 10, 31, 32, 27ringcld 20277 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦)) → (𝐶 · 𝑦) ∈ 𝐵)
36 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦)) → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦))
37 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝐴) = (0g𝐴)
381, 37, 29grpsubeq0 19057 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ Grp ∧ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝐶 · 𝑦) ∈ 𝐵) → (((𝐶 · 𝑥)(-g𝐴)(𝐶 · 𝑦)) = (0g𝐴) ↔ (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦)))
3938biimpar 477 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ∈ Grp ∧ (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ (𝐶 · 𝑦) ∈ 𝐵) ∧ (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦)) → ((𝐶 · 𝑥)(-g𝐴)(𝐶 · 𝑦)) = (0g𝐴))
4025, 34, 35, 36, 39syl31anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦)) → ((𝐶 · 𝑥)(-g𝐴)(𝐶 · 𝑦)) = (0g𝐴))
4133, 40eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦)) → (𝐶 · (𝑥(-g𝐴)𝑦)) = (0g𝐴))
4212, 1, 10, 37rrgeq0i 20716 . . . . . . . . 9 ((𝐶𝐸 ∧ (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵) → ((𝐶 · (𝑥(-g𝐴)𝑦)) = (0g𝐴) → (𝑥(-g𝐴)𝑦) = (0g𝐴)))
4342imp 406 . . . . . . . 8 (((𝐶𝐸 ∧ (𝑥(-g𝐴)𝑦) ∈ 𝐵) ∧ (𝐶 · (𝑥(-g𝐴)𝑦)) = (0g𝐴)) → (𝑥(-g𝐴)𝑦) = (0g𝐴))
4428, 30, 41, 43syl21anc 838 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦)) → (𝑥(-g𝐴)𝑦) = (0g𝐴))
451, 37, 29grpsubeq0 19057 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((𝑥(-g𝐴)𝑦) = (0g𝐴) ↔ 𝑥 = 𝑦))
4645biimpa 476 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ Grp ∧ 𝑥𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑥(-g𝐴)𝑦) = (0g𝐴)) → 𝑥 = 𝑦)
4725, 26, 27, 44, 46syl31anc 1372 . . . . . 6 ((((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) ∧ (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦)) → 𝑥 = 𝑦)
4847ex 412 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐵) ∧ 𝑦𝐵) → ((𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
4948anasss 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ((𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
5049ralrimivva 3200 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦) → 𝑥 = 𝑦))
51 oveq2 7439 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦))
5211, 51f1mpt 7281 . . 3 (𝐹:𝐵1-1𝐵 ↔ (∀𝑥𝐵 (𝐶 · 𝑥) ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ((𝐶 · 𝑥) = (𝐶 · 𝑦) → 𝑥 = 𝑦)))
5323, 50, 52sylanbrc 583 . 2 (𝜑𝐹:𝐵1-1𝐵)
541, 8, 9, 16, 53lvecendof1f1o 33661 1 (𝜑𝐹:𝐵1-1-onto𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  cmpt 5231  1-1wf1 6560  1-1-ontowf1o 6562  cfv 6563  (class class class)co 7431  0cn0 12524  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  -gcsg 18966  Ringcrg 20251  RLRegcrlreg 20708  DivRingcdr 20746  LModclmod 20875  LVecclvec 21119  AssAlgcasa 21888  dimcldim 33626
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-reg 9630  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-rpss 7742  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-r1 9802  df-rank 9803  df-dju 9939  df-card 9977  df-acn 9980  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-xnn0 12598  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-xadd 13153  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ocomp 17319  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-mri 17633  df-acs 17634  df-proset 18352  df-drs 18353  df-poset 18371  df-ipo 18586  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-lsm 19669  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-nzr 20530  df-subrg 20587  df-rlreg 20711  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lmhm 21039  df-lmim 21040  df-lbs 21092  df-lvec 21120  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-uvc 21821  df-lindf 21844  df-linds 21845  df-assa 21891  df-dim 33627
This theorem is referenced by:  assarrginv  33664
  Copyright terms: Public domain W3C validator