Theorem grpsubcl 19060

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3	1, 2	grpsubf 19059	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		fovcdm 7620	. 2 ⊢ (( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   × cxp 5698  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  Grpcgrp 18973  -_gcsg 18975

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978

This theorem is referenced by:  grpsubsub  19069  grpsubsub4  19073  grpnpncan  19075  grpnnncan2  19077  dfgrp3  19079  xpsgrpsub  19101  nsgconj  19199  nsgacs  19202  nsgid  19210  ghmnsgpreima  19281  ghmeqker  19283  ghmf1  19286  conjghm  19289  conjnmz  19292  conjnmzb  19293  sylow3lem2  19670  abladdsub4  19853  abladdsub  19854  ablsubaddsub  19856  ablpncan3  19858  ablsubsub4  19860  ablpnpcan  19861  ablnnncan  19864  ablnnncan1  19865  telgsumfzslem  20030  telgsumfzs  20031  telgsums  20035  isdomn4  20738  lmodvsubcl  20927  lvecvscan2  21137  rngqiprngimfolem  21323  rngqiprngimfo  21334  rngqiprngfulem3  21346  rngqiprngfulem4  21347  rngqiprngfulem5  21348  ipsubdir  21683  ipsubdi  21684  ip2subdi  21685  coe1subfv  22290  evl1subd  22367  dmatsubcl  22525  scmatsubcl  22544  mdetunilem9  22647  mdetuni0  22648  chmatcl  22855  chpmat1d  22863  chpdmatlem1  22865  chpscmat  22869  chpidmat  22874  chfacfisf  22881  cpmadugsumlemF  22903  cpmidgsum2  22906  tgpconncomp  24142  ghmcnp  24144  nrmmetd  24608  ngpds2  24640  ngpds3  24642  isngp4  24646  nmsub  24657  nm2dif  24659  nmtri2  24661  subgngp  24669  ngptgp  24670  nrgdsdi  24707  nrgdsdir  24708  nlmdsdi  24723  nlmdsdir  24724  nrginvrcnlem  24733  nmods  24786  tcphcphlem1  25288  tcphcph  25290  cphipval2  25294  4cphipval2  25295  cphipval  25296  ipcnlem2  25297  deg1sublt  26169  ply1divmo  26195  ply1divex  26196  r1pcl  26218  r1pid  26220  ply1remlem  26224  idomrootle  26232  ig1peu  26234  dchr2sum  27335  lgsqrlem2  27409  lgsqrlem3  27410  lgsqrlem4  27411  ttgcontlem1  28917  grpsubcld  33026  ogrpsublt  33071  archiabllem1a  33171  archiabllem2a  33174  archiabllem2c  33175  erler  33237  rlocf1  33245  fracerl  33273  ornglmulle  33300  orngrmulle  33301  evls1subd  33562  q1pvsca  33589  irngss  33687  2sqr3minply  33738  lclkrlem2m  41476  aks6d1c2lem4  42084  aks6d1c6lem2  42128  aks6d1c6lem3  42129  aks5lem2  42144  lidldomn1  47954  linply1  48122