Theorem grpsubcl 18954

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3	1, 2	grpsubf 18953	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		fovcdm 7530	. 2 ⊢ (( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl3an1 1164	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   × cxp 5623  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360  Basecbs 17140  Grpcgrp 18867  -_gcsg 18869

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-0g 17365  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872

This theorem is referenced by:  grpsubsub  18963  grpsubsub4  18967  grpnpncan  18969  grpnnncan2  18971  dfgrp3  18973  xpsgrpsub  18995  nsgconj  19092  nsgacs  19095  nsgid  19103  ghmnsgpreima  19174  ghmeqker  19176  ghmf1  19179  conjghm  19182  conjnmz  19185  conjnmzb  19186  sylow3lem2  19561  abladdsub4  19744  abladdsub  19745  ablsubaddsub  19747  ablpncan3  19749  ablsubsub4  19751  ablpnpcan  19752  ablnnncan  19755  ablnnncan1  19756  telgsumfzslem  19921  telgsumfzs  19922  telgsums  19926  ogrpsublt  20075  isdomn4  20653  ornglmulle  20804  orngrmulle  20805  lmodvsubcl  20862  lvecvscan2  21071  rngqiprngimfolem  21249  rngqiprngimfo  21260  rngqiprngfulem3  21272  rngqiprngfulem4  21273  rngqiprngfulem5  21274  ipsubdir  21601  ipsubdi  21602  ip2subdi  21603  coe1subfv  22212  evl1subd  22290  dmatsubcl  22446  scmatsubcl  22465  mdetunilem9  22568  mdetuni0  22569  chmatcl  22776  chpmat1d  22784  chpdmatlem1  22786  chpscmat  22790  chpidmat  22795  chfacfisf  22802  cpmadugsumlemF  22824  cpmidgsum2  22827  tgpconncomp  24061  ghmcnp  24063  nrmmetd  24522  ngpds2  24554  ngpds3  24556  isngp4  24560  nmsub  24571  nm2dif  24573  nmtri2  24575  subgngp  24583  ngptgp  24584  nrgdsdi  24613  nrgdsdir  24614  nlmdsdi  24629  nlmdsdir  24630  nrginvrcnlem  24639  nmods  24692  tcphcphlem1  25195  tcphcph  25197  cphipval2  25201  4cphipval2  25202  cphipval  25203  ipcnlem2  25204  deg1sublt  26075  ply1divmo  26101  ply1divex  26102  r1pcl  26124  r1pid  26126  ply1remlem  26130  idomrootle  26138  ig1peu  26140  dchr2sum  27244  lgsqrlem2  27318  lgsqrlem3  27319  lgsqrlem4  27320  ttgcontlem1  28940  grpsubcld  33104  archiabllem1a  33254  archiabllem2a  33257  archiabllem2c  33258  erler  33328  rlocf1  33336  fracerl  33369  evls1subd  33634  q1pvsca  33666  irngss  33825  2sqr3minply  33918  lclkrlem2m  41816  aks6d1c2lem4  42418  aks6d1c6lem2  42462  aks6d1c6lem3  42463  aks5lem2  42478  lidldomn1  48513  linply1  48675