Theorem grpsubcl 19039

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3	1, 2	grpsubf 19038	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		fovcdm 7604	. 2 ⊢ (( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   × cxp 5682  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432  Basecbs 17248  Grpcgrp 18952  -_gcsg 18954

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-0g 17487  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957

This theorem is referenced by:  grpsubsub  19048  grpsubsub4  19052  grpnpncan  19054  grpnnncan2  19056  dfgrp3  19058  xpsgrpsub  19080  nsgconj  19178  nsgacs  19181  nsgid  19189  ghmnsgpreima  19260  ghmeqker  19262  ghmf1  19265  conjghm  19268  conjnmz  19271  conjnmzb  19272  sylow3lem2  19647  abladdsub4  19830  abladdsub  19831  ablsubaddsub  19833  ablpncan3  19835  ablsubsub4  19837  ablpnpcan  19838  ablnnncan  19841  ablnnncan1  19842  telgsumfzslem  20007  telgsumfzs  20008  telgsums  20012  isdomn4  20717  lmodvsubcl  20906  lvecvscan2  21115  rngqiprngimfolem  21301  rngqiprngimfo  21312  rngqiprngfulem3  21324  rngqiprngfulem4  21325  rngqiprngfulem5  21326  ipsubdir  21661  ipsubdi  21662  ip2subdi  21663  coe1subfv  22270  evl1subd  22347  dmatsubcl  22505  scmatsubcl  22524  mdetunilem9  22627  mdetuni0  22628  chmatcl  22835  chpmat1d  22843  chpdmatlem1  22845  chpscmat  22849  chpidmat  22854  chfacfisf  22861  cpmadugsumlemF  22883  cpmidgsum2  22886  tgpconncomp  24122  ghmcnp  24124  nrmmetd  24588  ngpds2  24620  ngpds3  24622  isngp4  24626  nmsub  24637  nm2dif  24639  nmtri2  24641  subgngp  24649  ngptgp  24650  nrgdsdi  24687  nrgdsdir  24688  nlmdsdi  24703  nlmdsdir  24704  nrginvrcnlem  24713  nmods  24766  tcphcphlem1  25270  tcphcph  25272  cphipval2  25276  4cphipval2  25277  cphipval  25278  ipcnlem2  25279  deg1sublt  26150  ply1divmo  26176  ply1divex  26177  r1pcl  26199  r1pid  26201  ply1remlem  26205  idomrootle  26213  ig1peu  26215  dchr2sum  27318  lgsqrlem2  27392  lgsqrlem3  27393  lgsqrlem4  27394  ttgcontlem1  28900  grpsubcld  33046  ogrpsublt  33099  archiabllem1a  33199  archiabllem2a  33202  archiabllem2c  33203  erler  33270  rlocf1  33278  fracerl  33309  ornglmulle  33336  orngrmulle  33337  evls1subd  33598  q1pvsca  33625  irngss  33738  2sqr3minply  33792  lclkrlem2m  41522  aks6d1c2lem4  42129  aks6d1c6lem2  42173  aks6d1c6lem3  42174  aks5lem2  42189  lidldomn1  48152  linply1  48315