Theorem grpsubcl 18636

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3	1, 2	grpsubf 18635	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		fovrn 7433	. 2 ⊢ (( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl3an1 1161	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   × cxp 5586  ⟶wf 6426  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  Basecbs 16893  Grpcgrp 18558  -_gcsg 18560

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-id 5488  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-0g 17133  df-mgm 18307  df-sgrp 18356  df-mnd 18367  df-grp 18561  df-minusg 18562  df-sbg 18563

This theorem is referenced by:  grpsubsub  18645  grpsubsub4  18649  grpnpncan  18651  grpnnncan2  18653  dfgrp3  18655  nsgconj  18768  nsgacs  18771  nsgid  18779  ghmnsgpreima  18840  ghmeqker  18842  ghmf1  18844  conjghm  18846  conjnmz  18849  conjnmzb  18850  sylow3lem2  19214  abladdsub4  19396  abladdsub  19397  ablpncan3  19399  ablsubsub4  19401  ablpnpcan  19402  ablnnncan  19405  ablnnncan1  19406  telgsumfzslem  19570  telgsumfzs  19571  telgsums  19575  lmodvsubcl  20149  lvecvscan2  20355  ipsubdir  20828  ipsubdi  20829  ip2subdi  20830  coe1subfv  21418  evl1subd  21489  dmatsubcl  21628  scmatsubcl  21647  mdetunilem9  21750  mdetuni0  21751  chmatcl  21958  chpmat1d  21966  chpdmatlem1  21968  chpscmat  21972  chpidmat  21977  chfacfisf  21984  cpmadugsumlemF  22006  cpmidgsum2  22009  tgpconncomp  23245  ghmcnp  23247  nrmmetd  23711  ngpds2  23743  ngpds3  23745  isngp4  23749  nmsub  23760  nm2dif  23762  nmtri2  23764  subgngp  23772  ngptgp  23773  nrgdsdi  23810  nrgdsdir  23811  nlmdsdi  23826  nlmdsdir  23827  nrginvrcnlem  23836  nmods  23889  tcphcphlem1  24380  tcphcph  24382  cphipval2  24386  4cphipval2  24387  cphipval  24388  ipcnlem2  24389  deg1sublt  25256  ply1divmo  25281  ply1divex  25282  r1pcl  25303  r1pid  25305  ply1remlem  25308  ig1peu  25317  dchr2sum  26402  lgsqrlem2  26476  lgsqrlem3  26477  lgsqrlem4  26478  ttgcontlem1  27233  ogrpsublt  31326  archiabllem1a  31424  archiabllem2a  31427  archiabllem2c  31428  ornglmulle  31483  orngrmulle  31484  lclkrlem2m  39512  isdomn4  40152  idomrootle  41000  lidldomn1  45431  linply1  45686