Theorem grpsubcl 18950

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3	1, 2	grpsubf 18949	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		fovcdm 7528	. 2 ⊢ (( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   × cxp 5622  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  Grpcgrp 18863  -_gcsg 18865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868

This theorem is referenced by:  grpsubsub  18959  grpsubsub4  18963  grpnpncan  18965  grpnnncan2  18967  dfgrp3  18969  xpsgrpsub  18991  nsgconj  19088  nsgacs  19091  nsgid  19099  ghmnsgpreima  19170  ghmeqker  19172  ghmf1  19175  conjghm  19178  conjnmz  19181  conjnmzb  19182  sylow3lem2  19557  abladdsub4  19740  abladdsub  19741  ablsubaddsub  19743  ablpncan3  19745  ablsubsub4  19747  ablpnpcan  19748  ablnnncan  19751  ablnnncan1  19752  telgsumfzslem  19917  telgsumfzs  19918  telgsums  19922  ogrpsublt  20071  isdomn4  20649  ornglmulle  20800  orngrmulle  20801  lmodvsubcl  20858  lvecvscan2  21067  rngqiprngimfolem  21245  rngqiprngimfo  21256  rngqiprngfulem3  21268  rngqiprngfulem4  21269  rngqiprngfulem5  21270  ipsubdir  21597  ipsubdi  21598  ip2subdi  21599  coe1subfv  22208  evl1subd  22286  dmatsubcl  22442  scmatsubcl  22461  mdetunilem9  22564  mdetuni0  22565  chmatcl  22772  chpmat1d  22780  chpdmatlem1  22782  chpscmat  22786  chpidmat  22791  chfacfisf  22798  cpmadugsumlemF  22820  cpmidgsum2  22823  tgpconncomp  24057  ghmcnp  24059  nrmmetd  24518  ngpds2  24550  ngpds3  24552  isngp4  24556  nmsub  24567  nm2dif  24569  nmtri2  24571  subgngp  24579  ngptgp  24580  nrgdsdi  24609  nrgdsdir  24610  nlmdsdi  24625  nlmdsdir  24626  nrginvrcnlem  24635  nmods  24688  tcphcphlem1  25191  tcphcph  25193  cphipval2  25197  4cphipval2  25198  cphipval  25199  ipcnlem2  25200  deg1sublt  26071  ply1divmo  26097  ply1divex  26098  r1pcl  26120  r1pid  26122  ply1remlem  26126  idomrootle  26134  ig1peu  26136  dchr2sum  27240  lgsqrlem2  27314  lgsqrlem3  27315  lgsqrlem4  27316  ttgcontlem1  28957  grpsubcld  33123  archiabllem1a  33273  archiabllem2a  33276  archiabllem2c  33277  erler  33347  rlocf1  33355  fracerl  33388  evls1subd  33653  q1pvsca  33685  irngss  33844  2sqr3minply  33937  lclkrlem2m  41775  aks6d1c2lem4  42377  aks6d1c6lem2  42421  aks6d1c6lem3  42422  aks5lem2  42437  lidldomn1  48473  linply1  48635