MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  grpsubcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grpsubcl 18171
Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
grpsubcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m = (-g𝐺)
Assertion
Ref Expression
grpsubcl ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcl
StepHypRef Expression
1 grpsubcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 grpsubcl.m . . 3 = (-g𝐺)
31, 2grpsubf 18170 . 2 (𝐺 ∈ Grp → :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4 fovrn 7310 . 2 (( :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
53, 4syl3an1 1157 1 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107   × cxp 5546  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  Grpcgrp 18095  -gcsg 18097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100
This theorem is referenced by:  grpsubsub  18180  grpsubsub4  18184  grpnpncan  18186  grpnnncan2  18188  dfgrp3  18190  nsgconj  18303  nsgacs  18306  nsgid  18314  ghmnsgpreima  18375  ghmeqker  18377  ghmf1  18379  conjghm  18381  conjnmz  18384  conjnmzb  18385  sylow3lem2  18745  abladdsub4  18926  abladdsub  18927  ablpncan3  18929  ablsubsub4  18931  ablpnpcan  18932  ablnnncan  18935  ablnnncan1  18936  telgsumfzslem  19100  telgsumfzs  19101  telgsums  19105  lmodvsubcl  19671  lvecvscan2  19876  coe1subfv  20426  evl1subd  20497  ipsubdir  20778  ipsubdi  20779  ip2subdi  20780  dmatsubcl  21099  scmatsubcl  21118  mdetunilem9  21221  mdetuni0  21222  chmatcl  21428  chpmat1d  21436  chpdmatlem1  21438  chpscmat  21442  chpidmat  21447  chfacfisf  21454  cpmadugsumlemF  21476  cpmidgsum2  21479  tgpconncomp  22713  ghmcnp  22715  nrmmetd  23176  ngpds2  23207  ngpds3  23209  isngp4  23213  nmsub  23224  nm2dif  23226  nmtri2  23228  subgngp  23236  ngptgp  23237  nrgdsdi  23266  nrgdsdir  23267  nlmdsdi  23282  nlmdsdir  23283  nrginvrcnlem  23292  nmods  23345  tcphcphlem1  23830  tcphcph  23832  cphipval2  23836  4cphipval2  23837  cphipval  23838  ipcnlem2  23839  deg1sublt  24696  ply1divmo  24721  ply1divex  24722  r1pcl  24743  r1pid  24745  ply1remlem  24748  ig1peu  24757  dchr2sum  25841  lgsqrlem2  25915  lgsqrlem3  25916  lgsqrlem4  25917  ttgcontlem1  26663  ogrpsublt  30715  archiabllem1a  30813  archiabllem2a  30816  archiabllem2c  30817  ornglmulle  30871  orngrmulle  30872  lclkrlem2m  38642  idomrootle  39780  lidldomn1  44177  linply1  44432
  Copyright terms: Public domain W3C validator