Theorem grpsubcl 19236

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3	1, 2	grpsubf 19235	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		fovcdm 7592	. 2 ⊢ (( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   × cxp 5648  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393  Grpcgrp 19150  -_gcsg 19152

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-sbg 19155

This theorem is used by:  grpsubsub  19245  grpsubsub4  19249  grpnpncan  19251  grpnnncan2  19253  dfgrp3  19255  xpsgrpsub  19277  nsgconj  19375  nsgacs  19378  nsgid  19386  ghmnsgpreima  19461  ghmeqker  19463  ghmf1  19466  conjghm  19469  conjnmz  19472  conjnmzb  19473  sylow3lem2  19848  abladdsub4  20031  abladdsub  20032  ablsubaddsub  20034  ablpncan3  20036  ablsubsub4  20038  ablpnpcan  20039  ablnnncan  20042  ablnnncan1  20043  telgsumfzslem  20208  telgsumfzs  20209  telgsums  20213  ogrpsublt  20362  isdomn4  20973  ornglmulle  21130  orngrmulle  21131  lmodvsubcl  21188  lvecvscan2  21396  rngqiprngimfolem  21592  rngqiprngimfo  21603  rngqiprngfulem3  21615  rngqiprngfulem4  21616  rngqiprngfulem5  21617  ipsubdir  21954  ipsubdi  21955  ip2subdi  21956  coe1subfv  22591  evl1subd  22666  dmatsubcl  22819  scmatsubcl  22838  mdetunilem9  22941  mdetuni0  22942  chmatcl  23152  chpmat1d  23160  chpdmatlem1  23162  chpscmat  23166  chpidmat  23171  chfacfisf  23178  cpmadugsumlemF  23200  cpmidgsum2  23203  tgpconncomp  24438  ghmcnp  24440  nrmmetd  24899  ngpds2  24931  ngpds3  24933  isngp4  24937  nmsub  24948  nm2dif  24950  nmtri2  24952  subgngp  24960  ngptgp  24961  nrgdsdi  24990  nrgdsdir  24991  nlmdsdi  25006  nlmdsdir  25007  nrginvrcnlem  25016  nmods  25069  tcphcphlem1  25562  tcphcph  25564  cphipval2  25568  4cphipval2  25569  cphipval  25570  ipcnlem2  25571  deg1sublt  26434  ply1divmo  26460  ply1divex  26461  r1pcl  26483  r1pid  26485  ply1remlem  26489  idomrootle  26497  ig1peu  26499  dchr2sum  27606  lgsqrlem2  27680  lgsqrlem3  27681  lgsqrlem4  27682  ttgcontlem1  29468  grpsubcld  33649  archiabllem1a  33799  archiabllem2a  33802  archiabllem2c  33803  erler  33873  rlocf1  33882  fracerl  33915  evls1subd  34151  q1pvsca  34183  irngss  34366  2sqr3minply  34459  lclkrlem2m  42670  aks6d1c2lem4  43271  aks6d1c6lem2  43315  aks6d1c6lem3  43316  aks5lem2  43331  lidldomn1  49422  idomcanl  49538  linply1  49599