Theorem grpsubcl 19117

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3	1, 2	grpsubf 19116	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		fovcdm 7593	. 2 ⊢ (( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl3an1 1181	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   × cxp 5664  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  Grpcgrp 19031  -_gcsg 19033

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-sbg 19036

This theorem is used by:  grpsubsub  19126  grpsubsub4  19130  grpnpncan  19132  grpnnncan2  19134  dfgrp3  19136  xpsgrpsub  19158  nsgconj  19256  nsgacs  19259  nsgid  19267  ghmnsgpreima  19342  ghmeqker  19344  ghmf1  19347  conjghm  19350  conjnmz  19353  conjnmzb  19354  sylow3lem2  19729  abladdsub4  19912  abladdsub  19913  ablsubaddsub  19915  ablpncan3  19917  ablsubsub4  19919  ablpnpcan  19920  ablnnncan  19923  ablnnncan1  19924  telgsumfzslem  20089  telgsumfzs  20090  telgsums  20094  ogrpsublt  20243  isdomn4  20851  ornglmulle  21007  orngrmulle  21008  lmodvsubcl  21065  lvecvscan2  21273  rngqiprngimfolem  21467  rngqiprngimfo  21478  rngqiprngfulem3  21490  rngqiprngfulem4  21491  rngqiprngfulem5  21492  ipsubdir  21829  ipsubdi  21830  ip2subdi  21831  coe1subfv  22464  evl1subd  22539  dmatsubcl  22692  scmatsubcl  22711  mdetunilem9  22814  mdetuni0  22815  chmatcl  23022  chpmat1d  23030  chpdmatlem1  23032  chpscmat  23036  chpidmat  23041  chfacfisf  23048  cpmadugsumlemF  23070  cpmidgsum2  23073  tgpconncomp  24307  ghmcnp  24309  nrmmetd  24768  ngpds2  24800  ngpds3  24802  isngp4  24806  nmsub  24817  nm2dif  24819  nmtri2  24821  subgngp  24829  ngptgp  24830  nrgdsdi  24859  nrgdsdir  24860  nlmdsdi  24875  nlmdsdir  24876  nrginvrcnlem  24885  nmods  24938  tcphcphlem1  25431  tcphcph  25433  cphipval2  25437  4cphipval2  25438  cphipval  25439  ipcnlem2  25440  deg1sublt  26304  ply1divmo  26330  ply1divex  26331  r1pcl  26353  r1pid  26355  ply1remlem  26359  idomrootle  26367  ig1peu  26369  dchr2sum  27474  lgsqrlem2  27548  lgsqrlem3  27549  lgsqrlem4  27550  ttgcontlem1  29271  grpsubcld  33392  archiabllem1a  33542  archiabllem2a  33545  archiabllem2c  33546  erler  33616  rlocf1  33625  fracerl  33658  evls1subd  33893  q1pvsca  33925  irngss  34108  2sqr3minply  34201  lclkrlem2m  42334  aks6d1c2lem4  42935  aks6d1c6lem2  42979  aks6d1c6lem3  42980  aks5lem2  42995  lidldomn1  49037  idomcanl  49153  linply1  49214