Theorem grpsubcl 18935

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3	1, 2	grpsubf 18934	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		fovcdm 7522	. 2 ⊢ (( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   × cxp 5617  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  Grpcgrp 18848  -_gcsg 18850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853

This theorem is referenced by:  grpsubsub  18944  grpsubsub4  18948  grpnpncan  18950  grpnnncan2  18952  dfgrp3  18954  xpsgrpsub  18976  nsgconj  19073  nsgacs  19076  nsgid  19084  ghmnsgpreima  19155  ghmeqker  19157  ghmf1  19160  conjghm  19163  conjnmz  19166  conjnmzb  19167  sylow3lem2  19542  abladdsub4  19725  abladdsub  19726  ablsubaddsub  19728  ablpncan3  19730  ablsubsub4  19732  ablpnpcan  19733  ablnnncan  19736  ablnnncan1  19737  telgsumfzslem  19902  telgsumfzs  19903  telgsums  19907  ogrpsublt  20056  isdomn4  20633  ornglmulle  20784  orngrmulle  20785  lmodvsubcl  20842  lvecvscan2  21051  rngqiprngimfolem  21229  rngqiprngimfo  21240  rngqiprngfulem3  21252  rngqiprngfulem4  21253  rngqiprngfulem5  21254  ipsubdir  21581  ipsubdi  21582  ip2subdi  21583  coe1subfv  22181  evl1subd  22258  dmatsubcl  22414  scmatsubcl  22433  mdetunilem9  22536  mdetuni0  22537  chmatcl  22744  chpmat1d  22752  chpdmatlem1  22754  chpscmat  22758  chpidmat  22763  chfacfisf  22770  cpmadugsumlemF  22792  cpmidgsum2  22795  tgpconncomp  24029  ghmcnp  24031  nrmmetd  24490  ngpds2  24522  ngpds3  24524  isngp4  24528  nmsub  24539  nm2dif  24541  nmtri2  24543  subgngp  24551  ngptgp  24552  nrgdsdi  24581  nrgdsdir  24582  nlmdsdi  24597  nlmdsdir  24598  nrginvrcnlem  24607  nmods  24660  tcphcphlem1  25163  tcphcph  25165  cphipval2  25169  4cphipval2  25170  cphipval  25171  ipcnlem2  25172  deg1sublt  26043  ply1divmo  26069  ply1divex  26070  r1pcl  26092  r1pid  26094  ply1remlem  26098  idomrootle  26106  ig1peu  26108  dchr2sum  27212  lgsqrlem2  27286  lgsqrlem3  27287  lgsqrlem4  27288  ttgcontlem1  28864  grpsubcld  33028  archiabllem1a  33167  archiabllem2a  33170  archiabllem2c  33171  erler  33239  rlocf1  33247  fracerl  33279  evls1subd  33542  q1pvsca  33571  irngss  33721  2sqr3minply  33814  lclkrlem2m  41639  aks6d1c2lem4  42241  aks6d1c6lem2  42285  aks6d1c6lem3  42286  aks5lem2  42301  lidldomn1  48356  linply1  48519