Theorem grpsubcl 19045

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3	1, 2	grpsubf 19044	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		fovcdm 7562	. 2 ⊢ (( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl3an1 1175	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1097   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   × cxp 5643  ⟶wf 6513  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  Grpcgrp 18958  -_gcsg 18960

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-id 5540  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963

This theorem is referenced by:  grpsubsub  19054  grpsubsub4  19058  grpnpncan  19060  grpnnncan2  19062  dfgrp3  19064  xpsgrpsub  19086  nsgconj  19183  nsgacs  19186  nsgid  19194  ghmnsgpreima  19264  ghmeqker  19266  ghmf1  19269  conjghm  19272  conjnmz  19275  conjnmzb  19276  sylow3lem2  19651  abladdsub4  19834  abladdsub  19835  ablsubaddsub  19837  ablpncan3  19839  ablsubsub4  19841  ablpnpcan  19842  ablnnncan  19845  ablnnncan1  19846  telgsumfzslem  20011  telgsumfzs  20012  telgsums  20016  ogrpsublt  20165  isdomn4  20745  ornglmulle  20896  orngrmulle  20897  lmodvsubcl  20954  lvecvscan2  21162  rngqiprngimfolem  21340  rngqiprngimfo  21351  rngqiprngfulem3  21363  rngqiprngfulem4  21364  rngqiprngfulem5  21365  ipsubdir  21674  ipsubdi  21675  ip2subdi  21676  coe1subfv  22309  evl1subd  22385  dmatsubcl  22538  scmatsubcl  22557  mdetunilem9  22660  mdetuni0  22661  chmatcl  22868  chpmat1d  22876  chpdmatlem1  22878  chpscmat  22882  chpidmat  22887  chfacfisf  22894  cpmadugsumlemF  22916  cpmidgsum2  22919  tgpconncomp  24153  ghmcnp  24155  nrmmetd  24614  ngpds2  24646  ngpds3  24648  isngp4  24652  nmsub  24663  nm2dif  24665  nmtri2  24667  subgngp  24675  ngptgp  24676  nrgdsdi  24705  nrgdsdir  24706  nlmdsdi  24721  nlmdsdir  24722  nrginvrcnlem  24731  nmods  24784  tcphcphlem1  25277  tcphcph  25279  cphipval2  25283  4cphipval2  25284  cphipval  25285  ipcnlem2  25286  deg1sublt  26150  ply1divmo  26176  ply1divex  26177  r1pcl  26199  r1pid  26201  ply1remlem  26205  idomrootle  26213  ig1peu  26215  dchr2sum  27314  lgsqrlem2  27388  lgsqrlem3  27389  lgsqrlem4  27390  ttgcontlem1  29031  grpsubcld  33181  archiabllem1a  33332  archiabllem2a  33335  archiabllem2c  33336  erler  33407  rlocf1  33416  fracerl  33454  evls1subd  33729  q1pvsca  33761  irngss  33945  2sqr3minply  34038  lclkrlem2m  42107  aks6d1c2lem4  42708  aks6d1c6lem2  42752  aks6d1c6lem3  42753  aks5lem2  42768  lidldomn1  48817  linply1  48979