Theorem grpsubcl 18841

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3	1, 2	grpsubf 18840	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		fovcdm 7529	. 2 ⊢ (( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   × cxp 5636  ⟶wf 6497  ‘cfv 6501  (class class class)co 7362  Basecbs 17094  Grpcgrp 18762  -_gcsg 18764

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-0g 17337  df-mgm 18511  df-sgrp 18560  df-mnd 18571  df-grp 18765  df-minusg 18766  df-sbg 18767

This theorem is referenced by:  grpsubsub  18850  grpsubsub4  18854  grpnpncan  18856  grpnnncan2  18858  dfgrp3  18860  nsgconj  18975  nsgacs  18978  nsgid  18986  ghmnsgpreima  19047  ghmeqker  19049  ghmf1  19051  conjghm  19053  conjnmz  19056  conjnmzb  19057  sylow3lem2  19424  abladdsub4  19606  abladdsub  19607  ablpncan3  19609  ablsubsub4  19611  ablpnpcan  19612  ablnnncan  19615  ablnnncan1  19616  telgsumfzslem  19779  telgsumfzs  19780  telgsums  19784  lmodvsubcl  20424  lvecvscan2  20632  ipsubdir  21083  ipsubdi  21084  ip2subdi  21085  coe1subfv  21674  evl1subd  21745  dmatsubcl  21884  scmatsubcl  21903  mdetunilem9  22006  mdetuni0  22007  chmatcl  22214  chpmat1d  22222  chpdmatlem1  22224  chpscmat  22228  chpidmat  22233  chfacfisf  22240  cpmadugsumlemF  22262  cpmidgsum2  22265  tgpconncomp  23501  ghmcnp  23503  nrmmetd  23967  ngpds2  23999  ngpds3  24001  isngp4  24005  nmsub  24016  nm2dif  24018  nmtri2  24020  subgngp  24028  ngptgp  24029  nrgdsdi  24066  nrgdsdir  24067  nlmdsdi  24082  nlmdsdir  24083  nrginvrcnlem  24092  nmods  24145  tcphcphlem1  24636  tcphcph  24638  cphipval2  24642  4cphipval2  24643  cphipval  24644  ipcnlem2  24645  deg1sublt  25512  ply1divmo  25537  ply1divex  25538  r1pcl  25559  r1pid  25561  ply1remlem  25564  ig1peu  25573  dchr2sum  26658  lgsqrlem2  26732  lgsqrlem3  26733  lgsqrlem4  26734  ttgcontlem1  27896  ogrpsublt  31999  archiabllem1a  32097  archiabllem2a  32100  archiabllem2c  32101  ornglmulle  32171  orngrmulle  32172  irngss  32448  lclkrlem2m  40055  isdomn4  40697  idomrootle  41580  lidldomn1  46339  linply1  46594