Theorem grpsubcl 19077

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3	1, 2	grpsubf 19076	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		fovcdm 7570	. 2 ⊢ (( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl3an1 1179	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   × cxp 5650  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  Basecbs 17259  Grpcgrp 18990  -_gcsg 18992

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-sbg 18995

This theorem is referenced by:  grpsubsub  19086  grpsubsub4  19090  grpnpncan  19092  grpnnncan2  19094  dfgrp3  19096  xpsgrpsub  19118  nsgconj  19216  nsgacs  19219  nsgid  19227  ghmnsgpreima  19302  ghmeqker  19304  ghmf1  19307  conjghm  19310  conjnmz  19313  conjnmzb  19314  sylow3lem2  19689  abladdsub4  19872  abladdsub  19873  ablsubaddsub  19875  ablpncan3  19877  ablsubsub4  19879  ablpnpcan  19880  ablnnncan  19883  ablnnncan1  19884  telgsumfzslem  20049  telgsumfzs  20050  telgsums  20054  ogrpsublt  20203  isdomn4  20791  ornglmulle  20939  orngrmulle  20940  lmodvsubcl  20997  lvecvscan2  21205  rngqiprngimfolem  21392  rngqiprngimfo  21403  rngqiprngfulem3  21415  rngqiprngfulem4  21416  rngqiprngfulem5  21417  ipsubdir  21752  ipsubdi  21753  ip2subdi  21754  coe1subfv  22387  evl1subd  22463  dmatsubcl  22616  scmatsubcl  22635  mdetunilem9  22738  mdetuni0  22739  chmatcl  22946  chpmat1d  22954  chpdmatlem1  22956  chpscmat  22960  chpidmat  22965  chfacfisf  22972  cpmadugsumlemF  22994  cpmidgsum2  22997  tgpconncomp  24231  ghmcnp  24233  nrmmetd  24692  ngpds2  24724  ngpds3  24726  isngp4  24730  nmsub  24741  nm2dif  24743  nmtri2  24745  subgngp  24753  ngptgp  24754  nrgdsdi  24783  nrgdsdir  24784  nlmdsdi  24799  nlmdsdir  24800  nrginvrcnlem  24809  nmods  24862  tcphcphlem1  25355  tcphcph  25357  cphipval2  25361  4cphipval2  25362  cphipval  25363  ipcnlem2  25364  deg1sublt  26228  ply1divmo  26254  ply1divex  26255  r1pcl  26277  r1pid  26279  ply1remlem  26283  idomrootle  26291  ig1peu  26293  dchr2sum  27395  lgsqrlem2  27469  lgsqrlem3  27470  lgsqrlem4  27471  ttgcontlem1  29143  grpsubcld  33274  archiabllem1a  33424  archiabllem2a  33427  archiabllem2c  33428  erler  33498  rlocf1  33507  fracerl  33542  evls1subd  33779  q1pvsca  33811  irngss  33994  2sqr3minply  34087  lclkrlem2m  42155  aks6d1c2lem4  42756  aks6d1c6lem2  42800  aks6d1c6lem3  42801  aks5lem2  42816  lidldomn1  48851  linply1  49024