Theorem grpsubcl 18700

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3	1, 2	grpsubf 18699	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		fovcdm 7474	. 2 ⊢ (( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   × cxp 5598  ⟶wf 6454  ‘cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16957  Grpcgrp 18622  -_gcsg 18624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3285  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-1st 7863  df-2nd 7864  df-0g 17197  df-mgm 18371  df-sgrp 18420  df-mnd 18431  df-grp 18625  df-minusg 18626  df-sbg 18627

This theorem is referenced by:  grpsubsub  18709  grpsubsub4  18713  grpnpncan  18715  grpnnncan2  18717  dfgrp3  18719  nsgconj  18832  nsgacs  18835  nsgid  18843  ghmnsgpreima  18904  ghmeqker  18906  ghmf1  18908  conjghm  18910  conjnmz  18913  conjnmzb  18914  sylow3lem2  19278  abladdsub4  19460  abladdsub  19461  ablpncan3  19463  ablsubsub4  19465  ablpnpcan  19466  ablnnncan  19469  ablnnncan1  19470  telgsumfzslem  19634  telgsumfzs  19635  telgsums  19639  lmodvsubcl  20213  lvecvscan2  20419  ipsubdir  20892  ipsubdi  20893  ip2subdi  20894  coe1subfv  21482  evl1subd  21553  dmatsubcl  21692  scmatsubcl  21711  mdetunilem9  21814  mdetuni0  21815  chmatcl  22022  chpmat1d  22030  chpdmatlem1  22032  chpscmat  22036  chpidmat  22041  chfacfisf  22048  cpmadugsumlemF  22070  cpmidgsum2  22073  tgpconncomp  23309  ghmcnp  23311  nrmmetd  23775  ngpds2  23807  ngpds3  23809  isngp4  23813  nmsub  23824  nm2dif  23826  nmtri2  23828  subgngp  23836  ngptgp  23837  nrgdsdi  23874  nrgdsdir  23875  nlmdsdi  23890  nlmdsdir  23891  nrginvrcnlem  23900  nmods  23953  tcphcphlem1  24444  tcphcph  24446  cphipval2  24450  4cphipval2  24451  cphipval  24452  ipcnlem2  24453  deg1sublt  25320  ply1divmo  25345  ply1divex  25346  r1pcl  25367  r1pid  25369  ply1remlem  25372  ig1peu  25381  dchr2sum  26466  lgsqrlem2  26540  lgsqrlem3  26541  lgsqrlem4  26542  ttgcontlem1  27297  ogrpsublt  31392  archiabllem1a  31490  archiabllem2a  31493  archiabllem2c  31494  ornglmulle  31549  orngrmulle  31550  lclkrlem2m  39575  isdomn4  40214  idomrootle  41058  lidldomn1  45537  linply1  45792