Theorem grpsubcl 19008

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3	1, 2	grpsubf 19007	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		fovcdm 7582	. 2 ⊢ (( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl3an1 1163	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   × cxp 5657  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  Grpcgrp 18921  -_gcsg 18923

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926

This theorem is referenced by:  grpsubsub  19017  grpsubsub4  19021  grpnpncan  19023  grpnnncan2  19025  dfgrp3  19027  xpsgrpsub  19049  nsgconj  19147  nsgacs  19150  nsgid  19158  ghmnsgpreima  19229  ghmeqker  19231  ghmf1  19234  conjghm  19237  conjnmz  19240  conjnmzb  19241  sylow3lem2  19614  abladdsub4  19797  abladdsub  19798  ablsubaddsub  19800  ablpncan3  19802  ablsubsub4  19804  ablpnpcan  19805  ablnnncan  19808  ablnnncan1  19809  telgsumfzslem  19974  telgsumfzs  19975  telgsums  19979  isdomn4  20681  lmodvsubcl  20869  lvecvscan2  21078  rngqiprngimfolem  21256  rngqiprngimfo  21267  rngqiprngfulem3  21279  rngqiprngfulem4  21280  rngqiprngfulem5  21281  ipsubdir  21607  ipsubdi  21608  ip2subdi  21609  coe1subfv  22208  evl1subd  22285  dmatsubcl  22441  scmatsubcl  22460  mdetunilem9  22563  mdetuni0  22564  chmatcl  22771  chpmat1d  22779  chpdmatlem1  22781  chpscmat  22785  chpidmat  22790  chfacfisf  22797  cpmadugsumlemF  22819  cpmidgsum2  22822  tgpconncomp  24056  ghmcnp  24058  nrmmetd  24518  ngpds2  24550  ngpds3  24552  isngp4  24556  nmsub  24567  nm2dif  24569  nmtri2  24571  subgngp  24579  ngptgp  24580  nrgdsdi  24609  nrgdsdir  24610  nlmdsdi  24625  nlmdsdir  24626  nrginvrcnlem  24635  nmods  24688  tcphcphlem1  25192  tcphcph  25194  cphipval2  25198  4cphipval2  25199  cphipval  25200  ipcnlem2  25201  deg1sublt  26072  ply1divmo  26098  ply1divex  26099  r1pcl  26121  r1pid  26123  ply1remlem  26127  idomrootle  26135  ig1peu  26137  dchr2sum  27241  lgsqrlem2  27315  lgsqrlem3  27316  lgsqrlem4  27317  ttgcontlem1  28869  grpsubcld  33040  ogrpsublt  33094  archiabllem1a  33194  archiabllem2a  33197  archiabllem2c  33198  erler  33265  rlocf1  33273  fracerl  33305  ornglmulle  33332  orngrmulle  33333  evls1subd  33590  q1pvsca  33618  irngss  33733  2sqr3minply  33819  lclkrlem2m  41543  aks6d1c2lem4  42145  aks6d1c6lem2  42189  aks6d1c6lem3  42190  aks5lem2  42205  lidldomn1  48186  linply1  48349