Theorem grpsubcl 18996

Description: Closure of group subtraction. (Contributed by NM, 31-Mar-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
grpsubcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
grpsubcl.m	⊢ − = (-g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grpsubcl	⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem grpsubcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grpsubcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		grpsubcl.m	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝐺)
3	1, 2	grpsubf 18995	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵)
4		fovcdm 7537	. 2 ⊢ (( − :(𝐵 × 𝐵)⟶𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)
5	3, 4	syl3an1 1164	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 − 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   × cxp 5629  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  Grpcgrp 18909  -_gcsg 18911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-sbg 18914

This theorem is referenced by:  grpsubsub  19005  grpsubsub4  19009  grpnpncan  19011  grpnnncan2  19013  dfgrp3  19015  xpsgrpsub  19037  nsgconj  19134  nsgacs  19137  nsgid  19145  ghmnsgpreima  19216  ghmeqker  19218  ghmf1  19221  conjghm  19224  conjnmz  19227  conjnmzb  19228  sylow3lem2  19603  abladdsub4  19786  abladdsub  19787  ablsubaddsub  19789  ablpncan3  19791  ablsubsub4  19793  ablpnpcan  19794  ablnnncan  19797  ablnnncan1  19798  telgsumfzslem  19963  telgsumfzs  19964  telgsums  19968  ogrpsublt  20117  isdomn4  20693  ornglmulle  20844  orngrmulle  20845  lmodvsubcl  20902  lvecvscan2  21110  rngqiprngimfolem  21288  rngqiprngimfo  21299  rngqiprngfulem3  21311  rngqiprngfulem4  21312  rngqiprngfulem5  21313  ipsubdir  21622  ipsubdi  21623  ip2subdi  21624  coe1subfv  22231  evl1subd  22307  dmatsubcl  22463  scmatsubcl  22482  mdetunilem9  22585  mdetuni0  22586  chmatcl  22793  chpmat1d  22801  chpdmatlem1  22803  chpscmat  22807  chpidmat  22812  chfacfisf  22819  cpmadugsumlemF  22841  cpmidgsum2  22844  tgpconncomp  24078  ghmcnp  24080  nrmmetd  24539  ngpds2  24571  ngpds3  24573  isngp4  24577  nmsub  24588  nm2dif  24590  nmtri2  24592  subgngp  24600  ngptgp  24601  nrgdsdi  24630  nrgdsdir  24631  nlmdsdi  24646  nlmdsdir  24647  nrginvrcnlem  24656  nmods  24709  tcphcphlem1  25202  tcphcph  25204  cphipval2  25208  4cphipval2  25209  cphipval  25210  ipcnlem2  25211  deg1sublt  26075  ply1divmo  26101  ply1divex  26102  r1pcl  26124  r1pid  26126  ply1remlem  26130  idomrootle  26138  ig1peu  26140  dchr2sum  27236  lgsqrlem2  27310  lgsqrlem3  27311  lgsqrlem4  27312  ttgcontlem1  28953  grpsubcld  33101  archiabllem1a  33252  archiabllem2a  33255  archiabllem2c  33256  erler  33326  rlocf1  33334  fracerl  33367  evls1subd  33632  q1pvsca  33664  irngss  33831  2sqr3minply  33924  lclkrlem2m  41965  aks6d1c2lem4  42566  aks6d1c6lem2  42610  aks6d1c6lem3  42611  aks5lem2  42626  lidldomn1  48707  linply1  48869