MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gruen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gruen 10835
Description: A Grothendieck universe contains all subsets of itself that are equipotent to an element of the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
gruen ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ (𝐵𝑈𝐵𝐴)) → 𝐴𝑈)

Proof of Theorem gruen
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 8973 . . . . 5 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝐵1-1-onto𝐴)
2 f1ofo 6846 . . . . . . . . 9 (𝑦:𝐵1-1-onto𝐴𝑦:𝐵onto𝐴)
3 simp3l 1199 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈 ∧ (𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈)) → 𝑦:𝐵onto𝐴)
4 forn 6814 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦:𝐵onto𝐴 → ran 𝑦 = 𝐴)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈 ∧ (𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈)) → ran 𝑦 = 𝐴)
6 fof 6811 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦:𝐵onto𝐴𝑦:𝐵𝐴)
7 fss 6739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦:𝐵𝐴𝐴𝑈) → 𝑦:𝐵𝑈)
86, 7sylan 579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈) → 𝑦:𝐵𝑈)
9 grurn 10824 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈𝑦:𝐵𝑈) → ran 𝑦𝑈)
108, 9syl3an3 1163 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈 ∧ (𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈)) → ran 𝑦𝑈)
115, 10eqeltrrd 2830 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈 ∧ (𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈)) → 𝐴𝑈)
12113expia 1119 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → ((𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈) → 𝐴𝑈))
1312expd 415 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑦:𝐵onto𝐴 → (𝐴𝑈𝐴𝑈)))
142, 13syl5 34 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑦:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴𝑈𝐴𝑈)))
1514exlimdv 1929 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (∃𝑦 𝑦:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴𝑈𝐴𝑈)))
1615com3r 87 . . . . . 6 (𝐴𝑈 → ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (∃𝑦 𝑦:𝐵1-1-onto𝐴𝐴𝑈)))
1716expdimp 452 . . . . 5 ((𝐴𝑈𝑈 ∈ Univ) → (𝐵𝑈 → (∃𝑦 𝑦:𝐵1-1-onto𝐴𝐴𝑈)))
181, 17syl7bi 255 . . . 4 ((𝐴𝑈𝑈 ∈ Univ) → (𝐵𝑈 → (𝐵𝐴𝐴𝑈)))
1918impd 410 . . 3 ((𝐴𝑈𝑈 ∈ Univ) → ((𝐵𝑈𝐵𝐴) → 𝐴𝑈))
2019ancoms 458 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈) → ((𝐵𝑈𝐵𝐴) → 𝐴𝑈))
21203impia 1115 1 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ (𝐵𝑈𝐵𝐴)) → 𝐴𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wex 1774  wcel 2099  wss 3947   class class class wbr 5148  ran crn 5679  wf 6544  ontowfo 6546  1-1-ontowf1o 6547  cen 8960  Univcgru 10813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-map 8846  df-en 8964  df-gru 10814
This theorem is referenced by:  grudomon  10840  gruina  10841
  Copyright terms: Public domain W3C validator