MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gruen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gruen 10806
Description: A Grothendieck universe contains all subsets of itself that are equipotent to an element of the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
gruen ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ (𝐵𝑈𝐵𝐴)) → 𝐴𝑈)

Proof of Theorem gruen
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 8948 . . . . 5 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝐵1-1-onto𝐴)
2 f1ofo 6840 . . . . . . . . 9 (𝑦:𝐵1-1-onto𝐴𝑦:𝐵onto𝐴)
3 simp3l 1201 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈 ∧ (𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈)) → 𝑦:𝐵onto𝐴)
4 forn 6808 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦:𝐵onto𝐴 → ran 𝑦 = 𝐴)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈 ∧ (𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈)) → ran 𝑦 = 𝐴)
6 fof 6805 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦:𝐵onto𝐴𝑦:𝐵𝐴)
7 fss 6734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦:𝐵𝐴𝐴𝑈) → 𝑦:𝐵𝑈)
86, 7sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈) → 𝑦:𝐵𝑈)
9 grurn 10795 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈𝑦:𝐵𝑈) → ran 𝑦𝑈)
108, 9syl3an3 1165 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈 ∧ (𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈)) → ran 𝑦𝑈)
115, 10eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈 ∧ (𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈)) → 𝐴𝑈)
12113expia 1121 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → ((𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈) → 𝐴𝑈))
1312expd 416 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑦:𝐵onto𝐴 → (𝐴𝑈𝐴𝑈)))
142, 13syl5 34 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑦:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴𝑈𝐴𝑈)))
1514exlimdv 1936 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (∃𝑦 𝑦:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴𝑈𝐴𝑈)))
1615com3r 87 . . . . . 6 (𝐴𝑈 → ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (∃𝑦 𝑦:𝐵1-1-onto𝐴𝐴𝑈)))
1716expdimp 453 . . . . 5 ((𝐴𝑈𝑈 ∈ Univ) → (𝐵𝑈 → (∃𝑦 𝑦:𝐵1-1-onto𝐴𝐴𝑈)))
181, 17syl7bi 254 . . . 4 ((𝐴𝑈𝑈 ∈ Univ) → (𝐵𝑈 → (𝐵𝐴𝐴𝑈)))
1918impd 411 . . 3 ((𝐴𝑈𝑈 ∈ Univ) → ((𝐵𝑈𝐵𝐴) → 𝐴𝑈))
2019ancoms 459 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈) → ((𝐵𝑈𝐵𝐴) → 𝐴𝑈))
21203impia 1117 1 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ (𝐵𝑈𝐵𝐴)) → 𝐴𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wss 3948   class class class wbr 5148  ran crn 5677  wf 6539  ontowfo 6541  1-1-ontowf1o 6542  cen 8935  Univcgru 10784
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-tr 5266  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-map 8821  df-en 8939  df-gru 10785
This theorem is referenced by:  grudomon  10811  gruina  10812
  Copyright terms: Public domain W3C validator