MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gruen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gruen 10852
Description: A Grothendieck universe contains all subsets of itself that are equipotent to an element of the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
gruen ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ (𝐵𝑈𝐵𝐴)) → 𝐴𝑈)

Proof of Theorem gruen
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 8995 . . . . 5 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝐵1-1-onto𝐴)
2 f1ofo 6855 . . . . . . . . 9 (𝑦:𝐵1-1-onto𝐴𝑦:𝐵onto𝐴)
3 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈 ∧ (𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈)) → 𝑦:𝐵onto𝐴)
4 forn 6823 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦:𝐵onto𝐴 → ran 𝑦 = 𝐴)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈 ∧ (𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈)) → ran 𝑦 = 𝐴)
6 fof 6820 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦:𝐵onto𝐴𝑦:𝐵𝐴)
7 fss 6752 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦:𝐵𝐴𝐴𝑈) → 𝑦:𝐵𝑈)
86, 7sylan 580 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈) → 𝑦:𝐵𝑈)
9 grurn 10841 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈𝑦:𝐵𝑈) → ran 𝑦𝑈)
108, 9syl3an3 1166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈 ∧ (𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈)) → ran 𝑦𝑈)
115, 10eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈 ∧ (𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈)) → 𝐴𝑈)
12113expia 1122 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → ((𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈) → 𝐴𝑈))
1312expd 415 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑦:𝐵onto𝐴 → (𝐴𝑈𝐴𝑈)))
142, 13syl5 34 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑦:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴𝑈𝐴𝑈)))
1514exlimdv 1933 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (∃𝑦 𝑦:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴𝑈𝐴𝑈)))
1615com3r 87 . . . . . 6 (𝐴𝑈 → ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (∃𝑦 𝑦:𝐵1-1-onto𝐴𝐴𝑈)))
1716expdimp 452 . . . . 5 ((𝐴𝑈𝑈 ∈ Univ) → (𝐵𝑈 → (∃𝑦 𝑦:𝐵1-1-onto𝐴𝐴𝑈)))
181, 17syl7bi 255 . . . 4 ((𝐴𝑈𝑈 ∈ Univ) → (𝐵𝑈 → (𝐵𝐴𝐴𝑈)))
1918impd 410 . . 3 ((𝐴𝑈𝑈 ∈ Univ) → ((𝐵𝑈𝐵𝐴) → 𝐴𝑈))
2019ancoms 458 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈) → ((𝐵𝑈𝐵𝐴) → 𝐴𝑈))
21203impia 1118 1 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ (𝐵𝑈𝐵𝐴)) → 𝐴𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wex 1779  wcel 2108  wss 3951   class class class wbr 5143  ran crn 5686  wf 6557  ontowfo 6559  1-1-ontowf1o 6560  cen 8982  Univcgru 10830
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-en 8986  df-gru 10831
This theorem is referenced by:  grudomon  10857  gruina  10858
  Copyright terms: Public domain W3C validator