MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gruen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gruen 10753
Description: A Grothendieck universe contains all subsets of itself that are equipotent to an element of the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
gruen ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ (𝐵𝑈𝐵𝐴)) → 𝐴𝑈)

Proof of Theorem gruen
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 8896 . . . . 5 (𝐵𝐴 ↔ ∃𝑦 𝑦:𝐵1-1-onto𝐴)
2 f1ofo 6792 . . . . . . . . 9 (𝑦:𝐵1-1-onto𝐴𝑦:𝐵onto𝐴)
3 simp3l 1202 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈 ∧ (𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈)) → 𝑦:𝐵onto𝐴)
4 forn 6760 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦:𝐵onto𝐴 → ran 𝑦 = 𝐴)
53, 4syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈 ∧ (𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈)) → ran 𝑦 = 𝐴)
6 fof 6757 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦:𝐵onto𝐴𝑦:𝐵𝐴)
7 fss 6686 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑦:𝐵𝐴𝐴𝑈) → 𝑦:𝐵𝑈)
86, 7sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈) → 𝑦:𝐵𝑈)
9 grurn 10742 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈𝑦:𝐵𝑈) → ran 𝑦𝑈)
108, 9syl3an3 1166 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈 ∧ (𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈)) → ran 𝑦𝑈)
115, 10eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . . 11 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈 ∧ (𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈)) → 𝐴𝑈)
12113expia 1122 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → ((𝑦:𝐵onto𝐴𝐴𝑈) → 𝐴𝑈))
1312expd 417 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑦:𝐵onto𝐴 → (𝐴𝑈𝐴𝑈)))
142, 13syl5 34 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (𝑦:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴𝑈𝐴𝑈)))
1514exlimdv 1937 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (∃𝑦 𝑦:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝐴𝑈𝐴𝑈)))
1615com3r 87 . . . . . 6 (𝐴𝑈 → ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐵𝑈) → (∃𝑦 𝑦:𝐵1-1-onto𝐴𝐴𝑈)))
1716expdimp 454 . . . . 5 ((𝐴𝑈𝑈 ∈ Univ) → (𝐵𝑈 → (∃𝑦 𝑦:𝐵1-1-onto𝐴𝐴𝑈)))
181, 17syl7bi 255 . . . 4 ((𝐴𝑈𝑈 ∈ Univ) → (𝐵𝑈 → (𝐵𝐴𝐴𝑈)))
1918impd 412 . . 3 ((𝐴𝑈𝑈 ∈ Univ) → ((𝐵𝑈𝐵𝐴) → 𝐴𝑈))
2019ancoms 460 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈) → ((𝐵𝑈𝐵𝐴) → 𝐴𝑈))
21203impia 1118 1 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈 ∧ (𝐵𝑈𝐵𝐴)) → 𝐴𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  wss 3911   class class class wbr 5106  ran crn 5635  wf 6493  ontowfo 6495  1-1-ontowf1o 6496  cen 8883  Univcgru 10731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-tr 5224  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-map 8770  df-en 8887  df-gru 10732
This theorem is referenced by:  grudomon  10758  gruina  10759
  Copyright terms: Public domain W3C validator