Theorem hllat 39948

Description: A Hilbert lattice is a lattice. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hllat	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)

Proof of Theorem hllat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatl 39945	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2		atllat 39885	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Lat)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  Latclat 18454  AtLatcal 39849  HLchlt 39935

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-sb 2090  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-dm 5653  df-iota 6472  df-fv 6524  df-ov 7394  df-atl 39883  df-cvlat 39907  df-hlat 39936

This theorem is referenced by:  hllatd  39949  hlpos  39951  hlatjcl  39952  hlatjcom  39953  hlatjidm  39954  hlatjass  39955  hlatj32  39957  hlatj4  39959  hlatlej1  39960  atnlej1  39964  atnlej2  39965  hlateq  39984  hlrelat5N  39986  hlrelat2  39988  cvr2N  39996  cvrval5  40000  cvrexchlem  40004  cvrexch  40005  cvratlem  40006  cvrat  40007  cvrat2  40014  atcvrj2b  40017  atltcvr  40020  atlelt  40023  cvrat3  40027  cvrat4  40028  cvrat42  40029  2atjm  40030  3noncolr2  40034  3dimlem3OLDN  40047  3dimlem4OLDN  40050  1cvrat  40061  ps-1  40062  ps-2  40063  hlatexch3N  40065  3at  40075  llnneat  40099  lplni2  40122  2atnelpln  40129  lplnneat  40130  lplnnelln  40131  islpln2a  40133  2lplnmN  40144  2llnmj  40145  2llnm2N  40153  2llnm3N  40154  2llnm4  40155  2llnmeqat  40156  islvol5  40164  3atnelvolN  40171  lvolneatN  40173  lvolnelln  40174  lvolnelpln  40175  2lplnm2N  40206  2lplnmj  40207  pmap11  40347  isline3  40361  lncvrelatN  40366  2atm2atN  40370  2llnma1b  40371  2llnma3r  40373  paddasslem16  40420  paddass  40423  padd12N  40424  pmod2iN  40434  pmodN  40435  pmapjat1  40438  pmapjat2  40439  pmapjlln1  40440  hlmod1i  40441  atmod2i1  40446  atmod2i2  40447  atmod3i1  40449  atmod3i2  40450  atmod4i1  40451  atmod4i2  40452  llnexch2N  40455  polsubN  40492  paddunN  40512  pmapj2N  40514  pmapocjN  40515  psubclinN  40533  paddatclN  40534  linepsubclN  40536  lhpocnle  40601  lhpjat2  40606  lhpmcvr  40608  lhpm0atN  40614  lhpmatb  40616  trlval2  40748  trlcl  40749  trlle  40769  cdlemd1  40783  cdleme0cp  40799  cdleme0cq  40800  cdleme1b  40811  cdleme1  40812  cdleme2  40813  cdleme3b  40814  cdleme3c  40815  cdleme3e  40817  cdleme9b  40837  cdlemedb  40882  cdleme20zN  40886  cdleme19a  40888  cdlemf2  41147  tendoidcl  41354  dia1eldmN  41626  dialss  41631  dia1N  41638  diaglbN  41640  diaintclN  41643  docaclN  41709  doca2N  41711  djajN  41722  dibglbN  41751  dibintclN  41752  dihlsscpre  41819  dih2dimbALTN  41830  dih1  41871  dihglblem5apreN  41876  dihglblem5aN  41877  dihglblem2aN  41878  dihmeetcl  41930  dochvalr  41942  djhlj  41986