Theorem hllat 37304

Description: A Hilbert lattice is a lattice. (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Assertion

Ref	Expression
hllat	⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)

Proof of Theorem hllat

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlatl 37301	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
2		atllat 37241	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ AtLat → 𝐾 ∈ Lat)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108  Latclat 18064  AtLatcal 37205  HLchlt 37291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-dm 5590  df-iota 6376  df-fv 6426  df-ov 7258  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292

This theorem is referenced by:  hllatd  37305  hlpos  37307  hlatjcl  37308  hlatjcom  37309  hlatjidm  37310  hlatjass  37311  hlatj32  37313  hlatj4  37315  hlatlej1  37316  atnlej1  37320  atnlej2  37321  hlateq  37340  hlrelat5N  37342  hlrelat2  37344  cvr2N  37352  cvrval5  37356  cvrexchlem  37360  cvrexch  37361  cvratlem  37362  cvrat  37363  cvrat2  37370  atcvrj2b  37373  atltcvr  37376  atlelt  37379  cvrat3  37383  cvrat4  37384  cvrat42  37385  2atjm  37386  3noncolr2  37390  3dimlem3OLDN  37403  3dimlem4OLDN  37406  1cvrat  37417  ps-1  37418  ps-2  37419  hlatexch3N  37421  3at  37431  llnneat  37455  lplni2  37478  2atnelpln  37485  lplnneat  37486  lplnnelln  37487  islpln2a  37489  2lplnmN  37500  2llnmj  37501  2llnm2N  37509  2llnm3N  37510  2llnm4  37511  2llnmeqat  37512  islvol5  37520  3atnelvolN  37527  lvolneatN  37529  lvolnelln  37530  lvolnelpln  37531  2lplnm2N  37562  2lplnmj  37563  pmap11  37703  isline3  37717  lncvrelatN  37722  2atm2atN  37726  2llnma1b  37727  2llnma3r  37729  paddasslem16  37776  paddass  37779  padd12N  37780  pmod2iN  37790  pmodN  37791  pmapjat1  37794  pmapjat2  37795  pmapjlln1  37796  hlmod1i  37797  atmod2i1  37802  atmod2i2  37803  atmod3i1  37805  atmod3i2  37806  atmod4i1  37807  atmod4i2  37808  llnexch2N  37811  polsubN  37848  paddunN  37868  pmapj2N  37870  pmapocjN  37871  psubclinN  37889  paddatclN  37890  linepsubclN  37892  lhpocnle  37957  lhpjat2  37962  lhpmcvr  37964  lhpm0atN  37970  lhpmatb  37972  trlval2  38104  trlcl  38105  trlle  38125  cdlemd1  38139  cdleme0cp  38155  cdleme0cq  38156  cdleme1b  38167  cdleme1  38168  cdleme2  38169  cdleme3b  38170  cdleme3c  38171  cdleme3e  38173  cdleme9b  38193  cdlemedb  38238  cdleme20zN  38242  cdleme19a  38244  cdlemf2  38503  tendoidcl  38710  dia1eldmN  38982  dialss  38987  dia1N  38994  diaglbN  38996  diaintclN  38999  docaclN  39065  doca2N  39067  djajN  39078  dibglbN  39107  dibintclN  39108  dihlsscpre  39175  dih2dimbALTN  39186  dih1  39227  dihglblem5apreN  39232  dihglblem5aN  39233  dihglblem2aN  39234  dihmeetcl  39286  dochvalr  39298  djhlj  39342