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Theorem cvrval3 36031
Description: Binary relation expressing 𝑌 covers 𝑋. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrval3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrval3.l = (le‘𝐾)
cvrval3.j = (join‘𝐾)
cvrval3.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrval3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrval3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hint:   (𝑝)

Proof of Theorem cvrval3
StepHypRef Expression
1 cvrval3.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2771 . . . . . 6 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3 cvrval3.c . . . . . 6 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
41, 2, 3cvrlt 35888 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑌)
5 cvrval3.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
6 cvrval3.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
7 cvrval3.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
81, 5, 2, 6, 3, 7hlrelat3 36030 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
94, 8syldan 583 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
10 simp3l 1182 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑝))
11 simp1l1 1247 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
12 simp1l2 1248 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝑋𝐵)
13 simp2 1118 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝑝𝐴)
141, 5, 6, 3, 7cvr1 36028 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐴) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1352 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
1610, 15mpbird 249 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → ¬ 𝑝 𝑋)
1711hllatd 35982 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
181, 7atbase 35907 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
19183ad2ant2 1115 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝑝𝐵)
201, 6latjcl 17531 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 𝑝) ∈ 𝐵)
2117, 12, 19, 20syl3anc 1352 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → (𝑋 𝑝) ∈ 𝐵)
221, 2, 3cvrlt 35888 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑝) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑝)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑝))
2311, 12, 21, 10, 22syl31anc 1354 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑝))
24 simp3r 1183 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → (𝑋 𝑝) 𝑌)
25 hlpos 35984 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
2611, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝐾 ∈ Poset)
27 simp1l3 1249 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝑌𝐵)
28 simp1r 1179 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝑋𝐶𝑌)
291, 5, 2, 3cvrnbtwn2 35893 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑝) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌) ↔ (𝑋 𝑝) = 𝑌))
3026, 12, 27, 21, 28, 29syl131anc 1364 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → ((𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌) ↔ (𝑋 𝑝) = 𝑌))
3123, 24, 30mpbi2and 700 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → (𝑋 𝑝) = 𝑌)
3216, 31jca 504 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌))
33323exp 1100 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑝𝐴 → ((𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌) → (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌))))
3433reximdvai 3210 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (∃𝑝𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)))
359, 34mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌))
3635ex 405 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)))
37 simp3l 1182 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → ¬ 𝑝 𝑋)
38 simp11 1184 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
39 simp12 1185 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → 𝑋𝐵)
40 simp2 1118 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → 𝑝𝐴)
4138, 39, 40, 14syl3anc 1352 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
4237, 41mpbid 224 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑝))
43 simp3r 1183 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → (𝑋 𝑝) = 𝑌)
4442, 43breqtrd 4951 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → 𝑋𝐶𝑌)
4544rexlimdv3a 3224 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∃𝑝𝐴𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌) → 𝑋𝐶𝑌))
4636, 45impbid 204 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1069   = wceq 1508  wcel 2051  wrex 3082   class class class wbr 4925  cfv 6185  (class class class)co 6974  Basecbs 16337  lecple 16426  Posetcpo 17420  ltcplt 17421  joincjn 17424  Latclat 17525  ccvr 35880  Atomscatm 35881  HLchlt 35968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-proset 17408  df-poset 17426  df-plt 17438  df-lub 17454  df-glb 17455  df-join 17456  df-meet 17457  df-p0 17519  df-lat 17526  df-clat 17588  df-oposet 35794  df-ol 35796  df-oml 35797  df-covers 35884  df-ats 35885  df-atl 35916  df-cvlat 35940  df-hlat 35969
This theorem is referenced by:  cvrval4N  36032  cvrval5  36033  islln3  36128  llnexatN  36139  islpln3  36151  lplnexatN  36181  islvol3  36194  isline4N  36395  lhpexnle  36624
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