Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvrval3 38918
Description: Binary relation expressing π‘Œ covers 𝑋. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrval3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrval3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvrval3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvrval3.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
cvrval3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrval3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐢,𝑝   𝐾,𝑝   ≀ ,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝
Allowed substitution hint:   ∨ (𝑝)
Proof of Theorem cvrval3
StepHypRef Expression
1 cvrval3.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2728 . . . . . 6 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
3 cvrval3.c . . . . . 6 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
41, 2, 3cvrlt 38774 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)
5 cvrval3.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 cvrval3.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 cvrval3.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
81, 5, 2, 6, 3, 7hlrelat3 38917 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ))
94, 8syldan 589 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ))
10 simp3l 1198 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝))
11 simp1l1 1263 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
12 simp1l2 1264 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
13 simp2 1134 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
141, 5, 6, 3, 7cvr1 38915 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
1610, 15mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋)
1711hllatd 38868 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
181, 7atbase 38793 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
19183ad2ant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
201, 6latjcl 18438 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ 𝐡)
2117, 12, 19, 20syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ 𝐡)
221, 2, 3cvrlt 38774 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ 𝐡) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑝))
2311, 12, 21, 10, 22syl31anc 1370 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑝))
24 simp3r 1199 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)
25 hlpos 38870 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
2611, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
27 simp1l3 1265 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
28 simp1r 1195 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
291, 5, 2, 3cvrnbtwn2 38779 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))
3026, 12, 27, 21, 28, 29syl131anc 1380 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))
3123, 24, 30mpbi2and 710 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)
3216, 31jca 510 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))
33323exp 1116 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))))
3433reximdvai 3162 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
359, 34mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))
3635ex 411 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
37 simp3l 1198 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋)
38 simp11 1200 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
39 simp12 1201 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
40 simp2 1134 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
4138, 39, 40, 14syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
4237, 41mpbid 231 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝))
43 simp3r 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)
4442, 43breqtrd 5178 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
4544rexlimdv3a 3156 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ))
4636, 45impbid 211 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  Posetcpo 18306  ltcplt 18307  joincjn 18310  Latclat 18430   β‹– ccvr 38766  Atomscatm 38767  HLchlt 38854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855
This theorem is referenced by:  cvrval4N  38919  cvrval5  38920  islln3  39015  llnexatN  39026  islpln3  39038  lplnexatN  39068  islvol3  39081  isline4N  39282  lhpexnle  39511
  Copyright terms: Public domain W3C validator