Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval3 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvrval3 38272
Description: Binary relation expressing π‘Œ covers 𝑋. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrval3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrval3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvrval3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvrval3.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
cvrval3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrval3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐢,𝑝   𝐾,𝑝   ≀ ,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝
Allowed substitution hint:   ∨ (𝑝)
Proof of Theorem cvrval3
StepHypRef Expression
1 cvrval3.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2732 . . . . . 6 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
3 cvrval3.c . . . . . 6 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
41, 2, 3cvrlt 38128 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)
5 cvrval3.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 cvrval3.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 cvrval3.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
81, 5, 2, 6, 3, 7hlrelat3 38271 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ))
94, 8syldan 591 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ))
10 simp3l 1201 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝))
11 simp1l1 1266 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
12 simp1l2 1267 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
13 simp2 1137 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
141, 5, 6, 3, 7cvr1 38269 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
1610, 15mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋)
1711hllatd 38222 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
181, 7atbase 38147 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
19183ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
201, 6latjcl 18388 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ 𝐡)
2117, 12, 19, 20syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ 𝐡)
221, 2, 3cvrlt 38128 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ 𝐡) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑝))
2311, 12, 21, 10, 22syl31anc 1373 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑝))
24 simp3r 1202 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)
25 hlpos 38224 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
2611, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
27 simp1l3 1268 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
28 simp1r 1198 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
291, 5, 2, 3cvrnbtwn2 38133 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))
3026, 12, 27, 21, 28, 29syl131anc 1383 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))
3123, 24, 30mpbi2and 710 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)
3216, 31jca 512 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))
33323exp 1119 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))))
3433reximdvai 3165 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
359, 34mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))
3635ex 413 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
37 simp3l 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋)
38 simp11 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
39 simp12 1204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
40 simp2 1137 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
4138, 39, 40, 14syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
4237, 41mpbid 231 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝))
43 simp3r 1202 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)
4442, 43breqtrd 5173 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
4544rexlimdv3a 3159 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ))
4636, 45impbid 211 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  Posetcpo 18256  ltcplt 18257  joincjn 18260  Latclat 18380   β‹– ccvr 38120  Atomscatm 38121  HLchlt 38208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209
This theorem is referenced by:  cvrval4N  38273  cvrval5  38274  islln3  38369  llnexatN  38380  islpln3  38392  lplnexatN  38422  islvol3  38435  isline4N  38636  lhpexnle  38865
  Copyright terms: Public domain W3C validator