Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrval3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrval3 37922
Description: Binary relation expressing π‘Œ covers 𝑋. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrval3.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrval3.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cvrval3.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvrval3.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
cvrval3.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrval3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐡,𝑝   𝐢,𝑝   𝐾,𝑝   ≀ ,𝑝   𝑋,𝑝   π‘Œ,𝑝
Allowed substitution hint:   ∨ (𝑝)

Proof of Theorem cvrval3
StepHypRef Expression
1 cvrval3.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 eqid 2733 . . . . . 6 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
3 cvrval3.c . . . . . 6 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
41, 2, 3cvrlt 37778 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)
5 cvrval3.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
6 cvrval3.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 cvrval3.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
81, 5, 2, 6, 3, 7hlrelat3 37921 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋(ltβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ))
94, 8syldan 592 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ))
10 simp3l 1202 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝))
11 simp1l1 1267 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
12 simp1l2 1268 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
13 simp2 1138 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
141, 5, 6, 3, 7cvr1 37919 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
1610, 15mpbird 257 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋)
1711hllatd 37872 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
181, 7atbase 37797 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
19183ad2ant2 1135 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
201, 6latjcl 18333 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ 𝐡)
2117, 12, 19, 20syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ 𝐡)
221, 2, 3cvrlt 37778 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ 𝐡) ∧ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑝))
2311, 12, 21, 10, 22syl31anc 1374 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑝))
24 simp3r 1203 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)
25 hlpos 37874 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
2611, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
27 simp1l3 1269 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
28 simp1r 1199 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
291, 5, 2, 3cvrnbtwn2 37783 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))
3026, 12, 27, 21, 28, 29syl131anc 1384 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ ((𝑋(ltβ€˜πΎ)(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))
3123, 24, 30mpbi2and 711 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)
3216, 31jca 513 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ)) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))
33323exp 1120 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ ((𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))))
3433reximdvai 3159 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≀ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
359, 34mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ π‘‹πΆπ‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ))
3635ex 414 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
37 simp3l 1202 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋)
38 simp11 1204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
39 simp12 1205 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
40 simp2 1138 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
4138, 39, 40, 14syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
4237, 41mpbid 231 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝))
43 simp3r 1203 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)
4442, 43breqtrd 5132 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ)
4544rexlimdv3a 3153 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ) β†’ π‘‹πΆπ‘Œ))
4636, 45impbid 211 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (π‘‹πΆπ‘Œ ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 (Β¬ 𝑝 ≀ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  Posetcpo 18201  ltcplt 18202  joincjn 18205  Latclat 18325   β‹– ccvr 37770  Atomscatm 37771  HLchlt 37858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859
This theorem is referenced by:  cvrval4N  37923  cvrval5  37924  islln3  38019  llnexatN  38030  islpln3  38042  lplnexatN  38072  islvol3  38085  isline4N  38286  lhpexnle  38515
  Copyright terms: Public domain W3C validator