Theorem cvrval3 36543

Description: Binary relation expressing 𝑌 covers 𝑋. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrval3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrval3.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cvrval3.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrval3.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrval3.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrval3	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐾,𝑝   ≤ ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝

Allowed substitution hint:   ∨ (𝑝)

Proof of Theorem cvrval3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cvrval3.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3		cvrval3.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
4	1, 2, 3	cvrlt 36400	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑌)
5		cvrval3.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
6		cvrval3.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7		cvrval3.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8	1, 5, 2, 6, 3, 7	hlrelat3 36542	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))
9	4, 8	syldan 593	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌))
10		simp3l 1197	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝))
11		simp1l1 1262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
12		simp1l2 1263	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
13		simp2 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
14	1, 5, 6, 3, 7	cvr1 36540	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
15	11, 12, 13, 14	syl3anc 1367	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
16	10, 15	mpbird 259	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑋)
17	11	hllatd 36494	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
18	1, 7	atbase 36419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
19	18	3ad2ant2 1130	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
20	1, 6	latjcl 17655	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ 𝐵)
21	17, 12, 19, 20	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)) → (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ 𝐵)
22	1, 2, 3	cvrlt 36400	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑝))
23	11, 12, 21, 10, 22	syl31anc 1369	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑝))
24		simp3r 1198	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)) → (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)
25		hlpos 36496	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
26	11, 25	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)) → 𝐾 ∈ Poset)
27		simp1l3 1264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
28		simp1r 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)) → 𝑋𝐶𝑌)
29	1, 5, 2, 3	cvrnbtwn2 36405	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))
30	26, 12, 27, 21, 28, 29	syl131anc 1379	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)) → ((𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌) ↔ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))
31	23, 24, 30	mpbi2and 710	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)) → (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
32	16, 31	jca 514	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌)) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))
33	32	3exp 1115	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑝 ∈ 𝐴 → ((𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))))
34	33	reximdvai 3272	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝) ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) ≤ 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
35	9, 34	mpd 15	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌))
36	35	ex 415	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 → ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))
37		simp3l 1197	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)) → ¬ 𝑝 ≤ 𝑋)
38		simp11 1199	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
39		simp12 1200	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
40		simp2 1133	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
41	38, 39, 40, 14	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)) → (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
42	37, 41	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝))
43		simp3r 1198	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)) → (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)
44	42, 43	breqtrd 5084	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)) → 𝑋𝐶𝑌)
45	44	rexlimdv3a 3286	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌) → 𝑋𝐶𝑌))
46	36, 45	impbid 214	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 (¬ 𝑝 ≤ 𝑋 ∧ (𝑋 ∨ 𝑝) = 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3139   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  Basecbs 16477  lecple 16566  Posetcpo 17544  ltcplt 17545  joincjn 17548  Latclat 17649   ⋖ ccvr 36392  Atomscatm 36393  HLchlt 36480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-proset 17532  df-poset 17550  df-plt 17562  df-lub 17578  df-glb 17579  df-join 17580  df-meet 17581  df-p0 17643  df-lat 17650  df-clat 17712  df-oposet 36306  df-ol 36308  df-oml 36309  df-covers 36396  df-ats 36397  df-atl 36428  df-cvlat 36452  df-hlat 36481

This theorem is referenced by:  cvrval4N  36544  cvrval5  36545  islln3  36640  llnexatN  36651  islpln3  36663  lplnexatN  36693  islvol3  36706  isline4N  36907  lhpexnle  37136