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Theorem cvrval3 37876
Description: Binary relation expressing 𝑌 covers 𝑋. (Contributed by NM, 16-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrval3.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrval3.l = (le‘𝐾)
cvrval3.j = (join‘𝐾)
cvrval3.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
cvrval3.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrval3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑝   𝐵,𝑝   𝐶,𝑝   𝐾,𝑝   ,𝑝   𝑋,𝑝   𝑌,𝑝
Allowed substitution hint:   (𝑝)

Proof of Theorem cvrval3
StepHypRef Expression
1 cvrval3.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 eqid 2736 . . . . . 6 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
3 cvrval3.c . . . . . 6 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
41, 2, 3cvrlt 37732 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → 𝑋(lt‘𝐾)𝑌)
5 cvrval3.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
6 cvrval3.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
7 cvrval3.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
81, 5, 2, 6, 3, 7hlrelat3 37875 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋(lt‘𝐾)𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
94, 8syldan 591 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑝𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌))
10 simp3l 1201 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑝))
11 simp1l1 1266 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
12 simp1l2 1267 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝑋𝐵)
13 simp2 1137 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝑝𝐴)
141, 5, 6, 3, 7cvr1 37873 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐴) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
1511, 12, 13, 14syl3anc 1371 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
1610, 15mpbird 256 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → ¬ 𝑝 𝑋)
1711hllatd 37826 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
181, 7atbase 37751 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝐴𝑝𝐵)
19183ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝑝𝐵)
201, 6latjcl 18328 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑝𝐵) → (𝑋 𝑝) ∈ 𝐵)
2117, 12, 19, 20syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → (𝑋 𝑝) ∈ 𝐵)
221, 2, 3cvrlt 37732 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑝) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶(𝑋 𝑝)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑝))
2311, 12, 21, 10, 22syl31anc 1373 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑝))
24 simp3r 1202 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → (𝑋 𝑝) 𝑌)
25 hlpos 37828 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
2611, 25syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝐾 ∈ Poset)
27 simp1l3 1268 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝑌𝐵)
28 simp1r 1198 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → 𝑋𝐶𝑌)
291, 5, 2, 3cvrnbtwn2 37737 . . . . . . . . 9 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵 ∧ (𝑋 𝑝) ∈ 𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ((𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌) ↔ (𝑋 𝑝) = 𝑌))
3026, 12, 27, 21, 28, 29syl131anc 1383 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → ((𝑋(lt‘𝐾)(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌) ↔ (𝑋 𝑝) = 𝑌))
3123, 24, 30mpbi2and 710 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → (𝑋 𝑝) = 𝑌)
3216, 31jca 512 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌)) → (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌))
33323exp 1119 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (𝑝𝐴 → ((𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌) → (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌))))
3433reximdvai 3162 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → (∃𝑝𝐴 (𝑋𝐶(𝑋 𝑝) ∧ (𝑋 𝑝) 𝑌) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)))
359, 34mpd 15 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋𝐶𝑌) → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌))
3635ex 413 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 → ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)))
37 simp3l 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → ¬ 𝑝 𝑋)
38 simp11 1203 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
39 simp12 1204 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → 𝑋𝐵)
40 simp2 1137 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → 𝑝𝐴)
4138, 39, 40, 14syl3anc 1371 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → (¬ 𝑝 𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
4237, 41mpbid 231 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑝))
43 simp3r 1202 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → (𝑋 𝑝) = 𝑌)
4442, 43breqtrd 5131 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐴 ∧ (¬ 𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)) → 𝑋𝐶𝑌)
4544rexlimdv3a 3156 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (∃𝑝𝐴𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌) → 𝑋𝐶𝑌))
4636, 45impbid 211 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋𝐶𝑌 ↔ ∃𝑝𝐴𝑝 𝑋 ∧ (𝑋 𝑝) = 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3073   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  Posetcpo 18196  ltcplt 18197  joincjn 18200  Latclat 18320  ccvr 37724  Atomscatm 37725  HLchlt 37812
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813
This theorem is referenced by:  cvrval4N  37877  cvrval5  37878  islln3  37973  llnexatN  37984  islpln3  37996  lplnexatN  38026  islvol3  38039  isline4N  38240  lhpexnle  38469
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