Theorem cvrexchlem 40444

Description: Lemma for cvrexch 40445. (cvexchlem 32952 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrexch.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrexch.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrexch.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cvrexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrexchlem	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem cvrexchlem

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40388	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		cvrexch.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cvrexch.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	2, 3	latmcl 18594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1181	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
6		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
7		cvrexch.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
8	2, 6, 7	cvrlt 40295	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌)
9	8	ex 418	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → (𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌))
10	5, 9	syld3an2 1438	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → (𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌))
11		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12		eqid 2761	. . . . . . 7 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
13	2, 11, 6, 12	hlrelat1 40425	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌 → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
14	5, 13	syld3an2 1438	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌 → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
15	10, 14	syld 48	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
16	15	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))
17		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
18	17	hllatd 40389	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Lat)
19	2, 12	atbase 40314	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ 𝐵)
20	19	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
21		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
23	2, 11, 3	latlem12 18620	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
24	18, 20, 21, 22, 23	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
25	24	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
26	25	expcomd 422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → (𝑝(le‘𝐾)𝑋 → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))))
27		con3 154	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝(le‘𝐾)𝑋 → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))
28	26, 27	syl6 36	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
29	28	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
30	29	a1d 26	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))))
31	30	imp4d 430	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))
32		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
33		cvrexch.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
34	2, 11, 33, 7, 12	cvr1 40435	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
35	17, 21, 32, 34	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
36	31, 35	sylibd 242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
37	36	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝))
38		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
39	38	hllatd 40389	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
40		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
41		simpl3 1212	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
42	39, 40, 41, 4	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
43		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
44	2, 33	latjass 18637	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)))
45	39, 40, 42, 43, 44	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)))
46	2, 33, 3	latabs1 18629	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)
47	1, 46	syl3an1 1181	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)
48	47	adantr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)
49	48	oveq1d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ 𝑝))
50	45, 49	eqtr3d 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)) = (𝑋 ∨ 𝑝))
51	50	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)) = (𝑋 ∨ 𝑝))
52	2, 11, 6, 33	latnle 18627	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)))
53	39, 42, 43, 52	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)))
54	2, 11, 3	latmle2 18619	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
55	39, 40, 41, 54	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
56	55	biantrurd 542	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
57	2, 11, 33	latjle12 18604	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌))
58	39, 42, 43, 41, 57	syl13anc 1399	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌))
59	56, 58	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌))
60	53, 59	anbi12d 644	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌)))
61		hlpos 40391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
62	38, 61	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
63	2, 33	latjcl 18593	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∈ 𝐵)
64	39, 42, 43, 63	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∈ 𝐵)
65	42, 41, 64	3jca 1146	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∈ 𝐵))
66	2, 11, 6, 7	cvrnbtwn2 40300	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → (((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌))
67	66	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → (((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌))
68	67	3exp 1137	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → (((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → (((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌))))
69	62, 65, 68	sylc 66	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → (((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌)))
70	69	com23 87	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌)))
71	60, 70	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌)))
72	71	com23 87	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌)))
73	72	imp32 424	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌)
74	73	oveq2d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)) = (𝑋 ∨ 𝑌))
75	51, 74	eqtr3d 2798	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → (𝑋 ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ 𝑌))
76	19, 75	sylanl2 694	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → (𝑋 ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ 𝑌))
77	37, 76	breqtrd 5131	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌))
78	77	expr 462	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))
79	78	an32s 665	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))
80	79	rexlimdva 3164	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → (∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))
81	16, 80	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌))
82	81	ex 418	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3087   class class class wbr 5103  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  lecple 17415  Posetcpo 18461  ltcplt 18462  joincjn 18465  meetcmee 18466  Latclat 18585   ⋖ ccvr 40287  Atomscatm 40288  HLchlt 40375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18448  df-poset 18467  df-plt 18482  df-lub 18498  df-glb 18499  df-join 18500  df-meet 18501  df-p0 18577  df-lat 18586  df-clat 18653  df-oposet 40201  df-ol 40203  df-oml 40204  df-covers 40291  df-ats 40292  df-atl 40323  df-cvlat 40347  df-hlat 40376

This theorem is used by:  cvrexch  40445