Theorem cvrexchlem 37127

Description: Lemma for cvrexch 37128. (cvexchlem 30421 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrexch.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrexch.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrexch.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cvrexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrexchlem	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem cvrexchlem

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 37071	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		cvrexch.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cvrexch.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	2, 3	latmcl 17918	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1165	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
6		eqid 2734	. . . . . . . 8 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
7		cvrexch.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
8	2, 6, 7	cvrlt 36978	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌)
9	8	ex 416	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → (𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌))
10	5, 9	syld3an2 1413	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → (𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌))
11		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12		eqid 2734	. . . . . . 7 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
13	2, 11, 6, 12	hlrelat1 37108	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌 → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
14	5, 13	syld3an2 1413	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌 → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
15	10, 14	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
16	15	imp 410	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))
17		simpl1 1193	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
18	17	hllatd 37072	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Lat)
19	2, 12	atbase 36997	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ 𝐵)
20	19	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
21		simpl2 1194	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22		simpl3 1195	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
23	2, 11, 3	latlem12 17944	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
24	18, 20, 21, 22, 23	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
25	24	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
26	25	expcomd 420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → (𝑝(le‘𝐾)𝑋 → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))))
27		con3 156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝(le‘𝐾)𝑋 → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))
28	26, 27	syl6 35	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
29	28	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
30	29	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))))
31	30	imp4d 428	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))
32		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
33		cvrexch.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
34	2, 11, 33, 7, 12	cvr1 37118	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
35	17, 21, 32, 34	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
36	31, 35	sylibd 242	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
37	36	imp 410	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝))
38		simpl1 1193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
39	38	hllatd 37072	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
40		simpl2 1194	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
41		simpl3 1195	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
42	39, 40, 41, 4	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
43		simpr 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
44	2, 33	latjass 17961	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)))
45	39, 40, 42, 43, 44	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)))
46	2, 33, 3	latabs1 17953	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)
47	1, 46	syl3an1 1165	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)
48	47	adantr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)
49	48	oveq1d 7217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ 𝑝))
50	45, 49	eqtr3d 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)) = (𝑋 ∨ 𝑝))
51	50	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)) = (𝑋 ∨ 𝑝))
52	2, 11, 6, 33	latnle 17951	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)))
53	39, 42, 43, 52	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)))
54	2, 11, 3	latmle2 17943	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
55	39, 40, 41, 54	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
56	55	biantrurd 536	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
57	2, 11, 33	latjle12 17928	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌))
58	39, 42, 43, 41, 57	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌))
59	56, 58	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌))
60	53, 59	anbi12d 634	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌)))
61		hlpos 37074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
62	38, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
63	2, 33	latjcl 17917	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∈ 𝐵)
64	39, 42, 43, 63	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∈ 𝐵)
65	42, 41, 64	3jca 1130	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∈ 𝐵))
66	2, 11, 6, 7	cvrnbtwn2 36983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → (((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌))
67	66	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → (((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌))
68	67	3exp 1121	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → (((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → (((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌))))
69	62, 65, 68	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → (((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌)))
70	69	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌)))
71	60, 70	sylbid 243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌)))
72	71	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌)))
73	72	imp32 422	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌)
74	73	oveq2d 7218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)) = (𝑋 ∨ 𝑌))
75	51, 74	eqtr3d 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → (𝑋 ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ 𝑌))
76	19, 75	sylanl2 681	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → (𝑋 ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ 𝑌))
77	37, 76	breqtrd 5069	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌))
78	77	expr 460	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))
79	78	an32s 652	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))
80	79	rexlimdva 3196	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → (∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))
81	16, 80	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌))
82	81	ex 416	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  ∃wrex 3055   class class class wbr 5043  ‘cfv 6369  (class class class)co 7202  Basecbs 16684  lecple 16774  Posetcpo 17786  ltcplt 17787  joincjn 17790  meetcmee 17791  Latclat 17909   ⋖ ccvr 36970  Atomscatm 36971  HLchlt 37058

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5168  ax-sep 5181  ax-nul 5188  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7512

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3403  df-sbc 3688  df-csb 3803  df-dif 3860  df-un 3862  df-in 3864  df-ss 3874  df-nul 4228  df-if 4430  df-pw 4505  df-sn 4532  df-pr 4534  df-op 4538  df-uni 4810  df-iun 4896  df-br 5044  df-opab 5106  df-mpt 5125  df-id 5444  df-xp 5546  df-rel 5547  df-cnv 5548  df-co 5549  df-dm 5550  df-rn 5551  df-res 5552  df-ima 5553  df-iota 6327  df-fun 6371  df-fn 6372  df-f 6373  df-f1 6374  df-fo 6375  df-f1o 6376  df-fv 6377  df-riota 7159  df-ov 7205  df-oprab 7206  df-proset 17774  df-poset 17792  df-plt 17808  df-lub 17824  df-glb 17825  df-join 17826  df-meet 17827  df-p0 17903  df-lat 17910  df-clat 17977  df-oposet 36884  df-ol 36886  df-oml 36887  df-covers 36974  df-ats 36975  df-atl 37006  df-cvlat 37030  df-hlat 37059

This theorem is referenced by:  cvrexch  37128