Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrexchlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrexchlem 37695
Description: Lemma for cvrexch 37696. (cvexchlem 31018 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrexch.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrexch.j = (join‘𝐾)
cvrexch.m = (meet‘𝐾)
cvrexch.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrexchlem ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌𝑋𝐶(𝑋 𝑌)))

Proof of Theorem cvrexchlem
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 37638 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2 cvrexch.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 cvrexch.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
42, 3latmcl 18255 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
51, 4syl3an1 1162 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
6 eqid 2736 . . . . . . . 8 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
7 cvrexch.c . . . . . . . 8 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
82, 6, 7cvrlt 37545 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑋 𝑌)𝐶𝑌) → (𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌)
98ex 413 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 → (𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌))
105, 9syld3an2 1410 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 → (𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌))
11 eqid 2736 . . . . . . 7 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12 eqid 2736 . . . . . . 7 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
132, 11, 6, 12hlrelat1 37676 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌 → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
145, 13syld3an2 1410 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌 → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
1510, 14syld 47 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
1615imp 407 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑋 𝑌)𝐶𝑌) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))
17 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
1817hllatd 37639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Lat)
192, 12atbase 37564 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝𝐵)
2019adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝𝐵)
21 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋𝐵)
22 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌𝐵)
232, 11, 3latlem12 18281 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
2418, 20, 21, 22, 23syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
2524biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
2625expcomd 417 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → (𝑝(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))))
27 con3 153 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))
2826, 27syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
2928com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
3029a1d 25 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))))
3130imp4d 425 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))
32 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
33 cvrexch.j . . . . . . . . . . 11 = (join‘𝐾)
342, 11, 33, 7, 12cvr1 37686 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
3517, 21, 32, 34syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
3631, 35sylibd 238 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
3736imp 407 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑝))
38 simpl1 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
3938hllatd 37639 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
40 simpl2 1191 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → 𝑋𝐵)
41 simpl3 1192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → 𝑌𝐵)
4239, 40, 41, 4syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
43 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → 𝑝𝐵)
442, 33latjass 18298 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑝𝐵)) → ((𝑋 (𝑋 𝑌)) 𝑝) = (𝑋 ((𝑋 𝑌) 𝑝)))
4539, 40, 42, 43, 44syl13anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → ((𝑋 (𝑋 𝑌)) 𝑝) = (𝑋 ((𝑋 𝑌) 𝑝)))
462, 33, 3latabs1 18290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)
471, 46syl3an1 1162 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)
4948oveq1d 7352 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → ((𝑋 (𝑋 𝑌)) 𝑝) = (𝑋 𝑝))
5045, 49eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (𝑋 ((𝑋 𝑌) 𝑝)) = (𝑋 𝑝))
5150adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) ∧ ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → (𝑋 ((𝑋 𝑌) 𝑝)) = (𝑋 𝑝))
522, 11, 6, 33latnle 18288 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑝𝐵) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ↔ (𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑝)))
5339, 42, 43, 52syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ↔ (𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑝)))
542, 11, 3latmle2 18280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
5539, 40, 41, 54syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
5655biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 ↔ ((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
572, 11, 33latjle12 18265 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑝𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑝)(le‘𝐾)𝑌))
5839, 42, 43, 41, 57syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑝)(le‘𝐾)𝑌))
5956, 58bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑝)(le‘𝐾)𝑌))
6053, 59anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑝) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝)(le‘𝐾)𝑌)))
61 hlpos 37641 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
6238, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
632, 33latjcl 18254 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑝𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑝) ∈ 𝐵)
6439, 42, 43, 63syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑝) ∈ 𝐵)
6542, 41, 643jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵 ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) ∈ 𝐵))
662, 11, 6, 7cvrnbtwn2 37550 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵 ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 𝑌)𝐶𝑌) → (((𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑝) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑌))
6766biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵 ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 𝑌)𝐶𝑌) → (((𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑝) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑌))
68673exp 1118 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ Poset → (((𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵 ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) ∈ 𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 → (((𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑝) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑌))))
6962, 65, 68sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 → (((𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑝) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑌)))
7069com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (((𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑝) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 → ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑌)))
7160, 70sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 → ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑌)))
7271com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑌)))
7372imp32 419 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) ∧ ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑌)
7473oveq2d 7353 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) ∧ ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → (𝑋 ((𝑋 𝑌) 𝑝)) = (𝑋 𝑌))
7551, 74eqtr3d 2778 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) ∧ ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → (𝑋 𝑝) = (𝑋 𝑌))
7619, 75sylanl2 678 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → (𝑋 𝑝) = (𝑋 𝑌))
7737, 76breqtrd 5118 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑌))
7877expr 457 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (𝑋 𝑌)𝐶𝑌) → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑌)))
7978an32s 649 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑋 𝑌)𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑌)))
8079rexlimdva 3148 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑋 𝑌)𝐶𝑌) → (∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑌)))
8116, 80mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑋 𝑌)𝐶𝑌) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑌))
8281ex 413 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌𝑋𝐶(𝑋 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wrex 3070   class class class wbr 5092  cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  lecple 17066  Posetcpo 18122  ltcplt 18123  joincjn 18126  meetcmee 18127  Latclat 18246  ccvr 37537  Atomscatm 37538  HLchlt 37625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-proset 18110  df-poset 18128  df-plt 18145  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p0 18240  df-lat 18247  df-clat 18314  df-oposet 37451  df-ol 37453  df-oml 37454  df-covers 37541  df-ats 37542  df-atl 37573  df-cvlat 37597  df-hlat 37626
This theorem is referenced by:  cvrexch  37696
  Copyright terms: Public domain W3C validator