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Theorem cvrexchlem 39118
Description: Lemma for cvrexch 39119. (cvexchlem 32301 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrexch.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrexch.j = (join‘𝐾)
cvrexch.m = (meet‘𝐾)
cvrexch.c 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
cvrexchlem ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌𝑋𝐶(𝑋 𝑌)))

Proof of Theorem cvrexchlem
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 39061 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2 cvrexch.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
3 cvrexch.m . . . . . . . 8 = (meet‘𝐾)
42, 3latmcl 18465 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
51, 4syl3an1 1160 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
6 eqid 2726 . . . . . . . 8 (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
7 cvrexch.c . . . . . . . 8 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
82, 6, 7cvrlt 38968 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑋 𝑌)𝐶𝑌) → (𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌)
98ex 411 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 → (𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌))
105, 9syld3an2 1408 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 → (𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌))
11 eqid 2726 . . . . . . 7 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12 eqid 2726 . . . . . . 7 (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
132, 11, 6, 12hlrelat1 39099 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌 → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
145, 13syld3an2 1408 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌 → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
1510, 14syld 47 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
1615imp 405 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑋 𝑌)𝐶𝑌) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))
17 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
1817hllatd 39062 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Lat)
192, 12atbase 38987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝𝐵)
2019adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝𝐵)
21 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋𝐵)
22 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌𝐵)
232, 11, 3latlem12 18491 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
2418, 20, 21, 22, 23syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
2524biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)))
2625expcomd 415 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → (𝑝(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))))
27 con3 153 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝(le‘𝐾)𝑋𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))
2826, 27syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
2928com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
3029a1d 25 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))))
3130imp4d 423 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))
32 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
33 cvrexch.j . . . . . . . . . . 11 = (join‘𝐾)
342, 11, 33, 7, 12cvr1 39109 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
3517, 21, 32, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
3631, 35sylibd 238 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑝)))
3736imp 405 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑝))
38 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
3938hllatd 39062 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
40 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → 𝑋𝐵)
41 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → 𝑌𝐵)
4239, 40, 41, 4syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
43 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → 𝑝𝐵)
442, 33latjass 18508 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑝𝐵)) → ((𝑋 (𝑋 𝑌)) 𝑝) = (𝑋 ((𝑋 𝑌) 𝑝)))
4539, 40, 42, 43, 44syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → ((𝑋 (𝑋 𝑌)) 𝑝) = (𝑋 ((𝑋 𝑌) 𝑝)))
462, 33, 3latabs1 18500 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)
471, 46syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)
4847adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (𝑋 (𝑋 𝑌)) = 𝑋)
4948oveq1d 7439 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → ((𝑋 (𝑋 𝑌)) 𝑝) = (𝑋 𝑝))
5045, 49eqtr3d 2768 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (𝑋 ((𝑋 𝑌) 𝑝)) = (𝑋 𝑝))
5150adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) ∧ ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → (𝑋 ((𝑋 𝑌) 𝑝)) = (𝑋 𝑝))
522, 11, 6, 33latnle 18498 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑝𝐵) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ↔ (𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑝)))
5339, 42, 43, 52syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ↔ (𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑝)))
542, 11, 3latmle2 18490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
5539, 40, 41, 54syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
5655biantrurd 531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 ↔ ((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
572, 11, 33latjle12 18475 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑝𝐵𝑌𝐵)) → (((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑝)(le‘𝐾)𝑌))
5839, 42, 43, 41, 57syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (((𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑌𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑝)(le‘𝐾)𝑌))
5956, 58bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑝)(le‘𝐾)𝑌))
6053, 59anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑝) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝)(le‘𝐾)𝑌)))
61 hlpos 39064 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
6238, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
632, 33latjcl 18464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑝𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑝) ∈ 𝐵)
6439, 42, 43, 63syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑝) ∈ 𝐵)
6542, 41, 643jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵 ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) ∈ 𝐵))
662, 11, 6, 7cvrnbtwn2 38973 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵 ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 𝑌)𝐶𝑌) → (((𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑝) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑌))
6766biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵 ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 𝑌)𝐶𝑌) → (((𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑝) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑌))
68673exp 1116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ Poset → (((𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑌𝐵 ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝) ∈ 𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 → (((𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑝) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑌))))
6962, 65, 68sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 → (((𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑝) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑌)))
7069com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → (((𝑋 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 𝑌) 𝑝) ∧ ((𝑋 𝑌) 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 → ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑌)))
7160, 70sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 → ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑌)))
7271com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑌)))
7372imp32 417 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) ∧ ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → ((𝑋 𝑌) 𝑝) = 𝑌)
7473oveq2d 7440 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) ∧ ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → (𝑋 ((𝑋 𝑌) 𝑝)) = (𝑋 𝑌))
7551, 74eqtr3d 2768 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝𝐵) ∧ ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → (𝑋 𝑝) = (𝑋 𝑌))
7619, 75sylanl2 679 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → (𝑋 𝑝) = (𝑋 𝑌))
7737, 76breqtrd 5179 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑌))
7877expr 455 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (𝑋 𝑌)𝐶𝑌) → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑌)))
7978an32s 650 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑋 𝑌)𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑌)))
8079rexlimdva 3145 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑋 𝑌)𝐶𝑌) → (∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑌)))
8116, 80mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑋 𝑌)𝐶𝑌) → 𝑋𝐶(𝑋 𝑌))
8281ex 411 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → ((𝑋 𝑌)𝐶𝑌𝑋𝐶(𝑋 𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wrex 3060   class class class wbr 5153  cfv 6554  (class class class)co 7424  Basecbs 17213  lecple 17273  Posetcpo 18332  ltcplt 18333  joincjn 18336  meetcmee 18337  Latclat 18456  ccvr 38960  Atomscatm 38961  HLchlt 39048
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-proset 18320  df-poset 18338  df-plt 18355  df-lub 18371  df-glb 18372  df-join 18373  df-meet 18374  df-p0 18450  df-lat 18457  df-clat 18524  df-oposet 38874  df-ol 38876  df-oml 38877  df-covers 38964  df-ats 38965  df-atl 38996  df-cvlat 39020  df-hlat 39049
This theorem is referenced by:  cvrexch  39119
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