Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrexchlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvrexchlem 38803
Description: Lemma for cvrexch 38804. (cvexchlem 32130 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrexch.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrexch.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvrexch.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cvrexch.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrexchlem ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
Proof of Theorem cvrexchlem
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 38746 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2 cvrexch.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 cvrexch.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
42, 3latmcl 18405 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
51, 4syl3an1 1160 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
6 eqid 2726 . . . . . . . 8 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
7 cvrexch.c . . . . . . . 8 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
82, 6, 7cvrlt 38653 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)
98ex 412 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ))
105, 9syld3an2 1408 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ))
11 eqid 2726 . . . . . . 7 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
12 eqid 2726 . . . . . . 7 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
132, 11, 6, 12hlrelat1 38784 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
145, 13syld3an2 1408 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
1510, 14syld 47 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
1615imp 406 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
17 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1817hllatd 38747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
192, 12atbase 38672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
2019adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
21 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
22 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
232, 11, 3latlem12 18431 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)))
2418, 20, 21, 22, 23syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)))
2524biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)))
2625expcomd 416 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ))))
27 con3 153 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋))
2826, 27syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)))
2928com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)))
3029a1d 25 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋))))
3130imp4d 424 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋))
32 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
33 cvrexch.j . . . . . . . . . . 11 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
342, 11, 33, 7, 12cvr1 38794 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
3517, 21, 32, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
3631, 35sylibd 238 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
3736imp 406 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝))
38 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3938hllatd 38747 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
40 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
41 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4239, 40, 41, 4syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
43 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
442, 33latjass 18448 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)))
4539, 40, 42, 43, 44syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)))
462, 33, 3latabs1 18440 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)
471, 46syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)
4847adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)
4948oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ 𝑝))
5045, 49eqtr3d 2768 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)) = (𝑋 ∨ 𝑝))
5150adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)) = (𝑋 ∨ 𝑝))
522, 11, 6, 33latnle 18438 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)))
5339, 42, 43, 52syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)))
542, 11, 3latmle2 18430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
5539, 40, 41, 54syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
5655biantrurd 532 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
572, 11, 33latjle12 18415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
5839, 42, 43, 41, 57syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
5956, 58bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
6053, 59anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
61 hlpos 38749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
6238, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
632, 33latjcl 18404 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡)
6439, 42, 43, 63syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡)
6542, 41, 643jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡))
662, 11, 6, 7cvrnbtwn2 38658 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ))
6766biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ))
68673exp 1116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ Poset β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ))))
6962, 65, 68sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
7069com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
7160, 70sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
7271com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
7372imp32 418 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ)
7473oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
7551, 74eqtr3d 2768 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
7619, 75sylanl2 678 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
7737, 76breqtrd 5167 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ))
7877expr 456 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
7978an32s 649 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
8079rexlimdva 3149 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
8116, 80mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ))
8281ex 412 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3064   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  Posetcpo 18272  ltcplt 18273  joincjn 18276  meetcmee 18277  Latclat 18396   β‹– ccvr 38645  Atomscatm 38646  HLchlt 38733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734
This theorem is referenced by:  cvrexch  38804
  Copyright terms: Public domain W3C validator