Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrexchlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cvrexchlem 37928
Description: Lemma for cvrexch 37929. (cvexchlem 31352 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrexch.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrexch.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvrexch.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cvrexch.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrexchlem ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))

Proof of Theorem cvrexchlem
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 37871 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2 cvrexch.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 cvrexch.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
42, 3latmcl 18334 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
51, 4syl3an1 1164 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
6 eqid 2733 . . . . . . . 8 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
7 cvrexch.c . . . . . . . 8 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
82, 6, 7cvrlt 37778 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)
98ex 414 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ))
105, 9syld3an2 1412 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ))
11 eqid 2733 . . . . . . 7 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
12 eqid 2733 . . . . . . 7 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
132, 11, 6, 12hlrelat1 37909 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
145, 13syld3an2 1412 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
1510, 14syld 47 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
1615imp 408 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
17 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1817hllatd 37872 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
192, 12atbase 37797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
2019adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
21 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
22 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
232, 11, 3latlem12 18360 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)))
2418, 20, 21, 22, 23syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)))
2524biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)))
2625expcomd 418 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ))))
27 con3 153 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋))
2826, 27syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)))
2928com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)))
3029a1d 25 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋))))
3130imp4d 426 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋))
32 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
33 cvrexch.j . . . . . . . . . . 11 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
342, 11, 33, 7, 12cvr1 37919 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
3517, 21, 32, 34syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
3631, 35sylibd 238 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
3736imp 408 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝))
38 simpl1 1192 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3938hllatd 37872 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
40 simpl2 1193 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
41 simpl3 1194 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4239, 40, 41, 4syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
43 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
442, 33latjass 18377 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)))
4539, 40, 42, 43, 44syl13anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)))
462, 33, 3latabs1 18369 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)
471, 46syl3an1 1164 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)
4847adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)
4948oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ 𝑝))
5045, 49eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)) = (𝑋 ∨ 𝑝))
5150adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)) = (𝑋 ∨ 𝑝))
522, 11, 6, 33latnle 18367 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)))
5339, 42, 43, 52syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)))
542, 11, 3latmle2 18359 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
5539, 40, 41, 54syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
5655biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
572, 11, 33latjle12 18344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
5839, 42, 43, 41, 57syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
5956, 58bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
6053, 59anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
61 hlpos 37874 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
6238, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
632, 33latjcl 18333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡)
6439, 42, 43, 63syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡)
6542, 41, 643jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡))
662, 11, 6, 7cvrnbtwn2 37783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ))
6766biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ))
68673exp 1120 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ Poset β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ))))
6962, 65, 68sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
7069com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
7160, 70sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
7271com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
7372imp32 420 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ)
7473oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
7551, 74eqtr3d 2775 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
7619, 75sylanl2 680 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
7737, 76breqtrd 5132 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ))
7877expr 458 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
7978an32s 651 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
8079rexlimdva 3149 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
8116, 80mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ))
8281ex 414 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  lecple 17145  Posetcpo 18201  ltcplt 18202  joincjn 18205  meetcmee 18206  Latclat 18325   β‹– ccvr 37770  Atomscatm 37771  HLchlt 37858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-p0 18319  df-lat 18326  df-clat 18393  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-covers 37774  df-ats 37775  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859
This theorem is referenced by:  cvrexch  37929
  Copyright terms: Public domain W3C validator