Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrexchlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvrexchlem 38278
Description: Lemma for cvrexch 38279. (cvexchlem 31608 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrexch.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrexch.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvrexch.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cvrexch.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrexchlem ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
Proof of Theorem cvrexchlem
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 38221 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2 cvrexch.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 cvrexch.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
42, 3latmcl 18389 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
51, 4syl3an1 1163 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
6 eqid 2732 . . . . . . . 8 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
7 cvrexch.c . . . . . . . 8 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
82, 6, 7cvrlt 38128 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)
98ex 413 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ))
105, 9syld3an2 1411 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ))
11 eqid 2732 . . . . . . 7 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
12 eqid 2732 . . . . . . 7 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
132, 11, 6, 12hlrelat1 38259 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
145, 13syld3an2 1411 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
1510, 14syld 47 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
1615imp 407 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
17 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1817hllatd 38222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
192, 12atbase 38147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
2019adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
21 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
22 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
232, 11, 3latlem12 18415 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)))
2418, 20, 21, 22, 23syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)))
2524biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)))
2625expcomd 417 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ))))
27 con3 153 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋))
2826, 27syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)))
2928com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)))
3029a1d 25 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋))))
3130imp4d 425 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋))
32 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
33 cvrexch.j . . . . . . . . . . 11 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
342, 11, 33, 7, 12cvr1 38269 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
3517, 21, 32, 34syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
3631, 35sylibd 238 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
3736imp 407 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝))
38 simpl1 1191 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3938hllatd 38222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
40 simpl2 1192 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
41 simpl3 1193 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4239, 40, 41, 4syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
43 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
442, 33latjass 18432 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)))
4539, 40, 42, 43, 44syl13anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)))
462, 33, 3latabs1 18424 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)
471, 46syl3an1 1163 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)
4847adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)
4948oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ 𝑝))
5045, 49eqtr3d 2774 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)) = (𝑋 ∨ 𝑝))
5150adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)) = (𝑋 ∨ 𝑝))
522, 11, 6, 33latnle 18422 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)))
5339, 42, 43, 52syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)))
542, 11, 3latmle2 18414 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
5539, 40, 41, 54syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
5655biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
572, 11, 33latjle12 18399 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
5839, 42, 43, 41, 57syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
5956, 58bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
6053, 59anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
61 hlpos 38224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
6238, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
632, 33latjcl 18388 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡)
6439, 42, 43, 63syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡)
6542, 41, 643jca 1128 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡))
662, 11, 6, 7cvrnbtwn2 38133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ))
6766biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ))
68673exp 1119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ Poset β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ))))
6962, 65, 68sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
7069com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
7160, 70sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
7271com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
7372imp32 419 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ)
7473oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
7551, 74eqtr3d 2774 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
7619, 75sylanl2 679 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
7737, 76breqtrd 5173 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ))
7877expr 457 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
7978an32s 650 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
8079rexlimdva 3155 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
8116, 80mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ))
8281ex 413 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  Posetcpo 18256  ltcplt 18257  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380   β‹– ccvr 38120  Atomscatm 38121  HLchlt 38208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209
This theorem is referenced by:  cvrexch  38279
  Copyright terms: Public domain W3C validator