Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cvrexchlem Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cvrexchlem 38947
Description: Lemma for cvrexch 38948. (cvexchlem 32220 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
cvrexch.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
cvrexch.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cvrexch.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cvrexch.c 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
cvrexchlem ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
Proof of Theorem cvrexchlem
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 hllat 38890 . . . . . . 7 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2 cvrexch.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
3 cvrexch.m . . . . . . . 8 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
42, 3latmcl 18429 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
51, 4syl3an1 1160 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
6 eqid 2725 . . . . . . . 8 (ltβ€˜πΎ) = (ltβ€˜πΎ)
7 cvrexch.c . . . . . . . 8 𝐢 = ( β‹– β€˜πΎ)
82, 6, 7cvrlt 38797 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ)
98ex 411 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ))
105, 9syld3an2 1408 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ))
11 eqid 2725 . . . . . . 7 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
12 eqid 2725 . . . . . . 7 (Atomsβ€˜πΎ) = (Atomsβ€˜πΎ)
132, 11, 6, 12hlrelat1 38928 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
145, 13syld3an2 1408 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
1510, 14syld 47 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
1615imp 405 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
17 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
1817hllatd 38891 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
192, 12atbase 38816 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
2019adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
21 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
22 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
232, 11, 3latlem12 18455 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)))
2418, 20, 21, 22, 23syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)))
2524biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)))
2625expcomd 415 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ))))
27 con3 153 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋))
2826, 27syl6 35 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)))
2928com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)))
3029a1d 25 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋))))
3130imp4d 423 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋))
32 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ))
33 cvrexch.j . . . . . . . . . . 11 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
342, 11, 33, 7, 12cvr1 38938 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
3517, 21, 32, 34syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋 ↔ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
3631, 35sylibd 238 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝)))
3736imp 405 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ 𝑝))
38 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3938hllatd 38891 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
40 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
41 simpl3 1190 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4239, 40, 41, 4syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
43 simpr 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
442, 33latjass 18472 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)))
4539, 40, 42, 43, 44syl13anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)))
462, 33, 3latabs1 18464 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)
471, 46syl3an1 1160 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)
4847adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = 𝑋)
4948oveq1d 7430 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ 𝑝))
5045, 49eqtr3d 2767 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)) = (𝑋 ∨ 𝑝))
5150adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)) = (𝑋 ∨ 𝑝))
522, 11, 6, 33latnle 18462 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)))
5339, 42, 43, 52syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)))
542, 11, 3latmle2 18454 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
5539, 40, 41, 54syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)
5655biantrurd 531 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
572, 11, 33latjle12 18439 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
5839, 42, 43, 41, 57syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)π‘Œ ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
5956, 58bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ))
6053, 59anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ)))
61 hlpos 38893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
6238, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
632, 33latjcl 18428 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡)
6439, 42, 43, 63syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡)
6542, 41, 643jca 1125 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡))
662, 11, 6, 7cvrnbtwn2 38802 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) ↔ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ))
6766biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ))
68673exp 1116 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ∈ Poset β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ))))
6962, 65, 68sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
7069com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ (((𝑋 ∧ π‘Œ)(ltβ€˜πΎ)((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
7160, 70sylbid 239 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
7271com23 86 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ)))
7372imp32 417 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝) = π‘Œ)
7473oveq2d 7431 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑝)) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
7551, 74eqtr3d 2767 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ 𝐡) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
7619, 75sylanl2 679 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ (𝑋 ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ π‘Œ))
7737, 76breqtrd 5169 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ ∧ (Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ))) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ))
7877expr 455 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
7978an32s 650 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) ∧ 𝑝 ∈ (Atomsβ€˜πΎ)) β†’ ((Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
8079rexlimdva 3145 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (Atomsβ€˜πΎ)(Β¬ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)π‘Œ) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
8116, 80mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ) β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ))
8281ex 411 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ)πΆπ‘Œ β†’ 𝑋𝐢(𝑋 ∨ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆƒwrex 3060   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  lecple 17237  Posetcpo 18296  ltcplt 18297  joincjn 18300  meetcmee 18301  Latclat 18420   β‹– ccvr 38789  Atomscatm 38790  HLchlt 38877
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-proset 18284  df-poset 18302  df-plt 18319  df-lub 18335  df-glb 18336  df-join 18337  df-meet 18338  df-p0 18414  df-lat 18421  df-clat 18488  df-oposet 38703  df-ol 38705  df-oml 38706  df-covers 38793  df-ats 38794  df-atl 38825  df-cvlat 38849  df-hlat 38878
This theorem is referenced by:  cvrexch  38948
  Copyright terms: Public domain W3C validator