Theorem cvrexchlem 37882

Description: Lemma for cvrexch 37883. (cvexchlem 31310 analog.) (Contributed by NM, 18-Nov-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
cvrexch.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
cvrexch.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cvrexch.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cvrexch.c	⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
cvrexchlem	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))

Proof of Theorem cvrexchlem

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 37825	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		cvrexch.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		cvrexch.m	. . . . . . . 8 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
4	2, 3	latmcl 18329	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
5	1, 4	syl3an1 1163	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
6		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (lt‘𝐾) = (lt‘𝐾)
7		cvrexch.c	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐶 = ( ⋖ ‘𝐾)
8	2, 6, 7	cvrlt 37732	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌)
9	8	ex 413	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → (𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌))
10	5, 9	syld3an2 1411	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → (𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌))
11		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
12		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Atoms‘𝐾) = (Atoms‘𝐾)
13	2, 11, 6, 12	hlrelat1 37863	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌 → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
14	5, 13	syld3an2 1411	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)𝑌 → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
15	10, 14	syld 47	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
16	15	imp 407	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → ∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))
17		simpl1 1191	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ HL)
18	17	hllatd 37826	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Lat)
19	2, 12	atbase 37751	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾) → 𝑝 ∈ 𝐵)
20	19	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
21		simpl2 1192	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
22		simpl3 1193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
23	2, 11, 3	latlem12 18355	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
24	18, 20, 21, 22, 23	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
25	24	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑝(le‘𝐾)𝑋 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)))
26	25	expcomd 417	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → (𝑝(le‘𝐾)𝑋 → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))))
27		con3 153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑝(le‘𝐾)𝑋 → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))
28	26, 27	syl6 35	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
29	28	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)))
30	29	a1d 25	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))))
31	30	imp4d 425	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) → ¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋))
32		simpr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾))
33		cvrexch.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
34	2, 11, 33, 7, 12	cvr1 37873	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
35	17, 21, 32, 34	syl3anc 1371	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)𝑋 ↔ 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
36	31, 35	sylibd 238	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → (((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝)))
37	36	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑝))
38		simpl1 1191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ HL)
39	38	hllatd 37826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
40		simpl2 1192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
41		simpl3 1193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑌 ∈ 𝐵)
42	39, 40, 41, 4	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
43		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝑝 ∈ 𝐵)
44	2, 33	latjass 18372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)))
45	39, 40, 42, 43, 44	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)))
46	2, 33, 3	latabs1 18364	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)
47	1, 46	syl3an1 1163	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)
48	47	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) = 𝑋)
49	48	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∨ (𝑋 ∧ 𝑌)) ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ 𝑝))
50	45, 49	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)) = (𝑋 ∨ 𝑝))
51	50	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)) = (𝑋 ∨ 𝑝))
52	2, 11, 6, 33	latnle 18362	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)))
53	39, 42, 43, 52	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ↔ (𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)))
54	2, 11, 3	latmle2 18354	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
55	39, 40, 41, 54	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌)
56	55	biantrurd 533	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌)))
57	2, 11, 33	latjle12 18339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → (((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌))
58	39, 42, 43, 41, 57	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑌 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌))
59	56, 58	bitrd 278	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (𝑝(le‘𝐾)𝑌 ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌))
60	53, 59	anbi12d 631	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌)))
61		hlpos 37828	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
62	38, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
63	2, 33	latjcl 18328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∈ 𝐵)
64	39, 42, 43, 63	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∈ 𝐵)
65	42, 41, 64	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∈ 𝐵))
66	2, 11, 6, 7	cvrnbtwn2 37737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → (((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) ↔ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌))
67	66	biimpd 228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → (((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌))
68	67	3exp 1119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝐾 ∈ Poset → (((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → (((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌))))
69	62, 65, 68	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → (((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌)))
70	69	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → (((𝑋 ∧ 𝑌)(lt‘𝐾)((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌)))
71	60, 70	sylbid 239	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌)))
72	71	com23 86	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌)))
73	72	imp32 419	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝) = 𝑌)
74	73	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → (𝑋 ∨ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∨ 𝑝)) = (𝑋 ∨ 𝑌))
75	51, 74	eqtr3d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ 𝐵) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → (𝑋 ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ 𝑌))
76	19, 75	sylanl2 679	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → (𝑋 ∨ 𝑝) = (𝑋 ∨ 𝑌))
77	37, 76	breqtrd 5131	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 ∧ (¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌))) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌))
78	77	expr 457	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))
79	78	an32s 650	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) ∧ 𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)) → ((¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))
80	79	rexlimdva 3152	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → (∃𝑝 ∈ (Atoms‘𝐾)(¬ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑌) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))
81	16, 80	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌) → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌))
82	81	ex 413	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((𝑋 ∧ 𝑌)𝐶𝑌 → 𝑋𝐶(𝑋 ∨ 𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3073   class class class wbr 5105  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  lecple 17140  Posetcpo 18196  ltcplt 18197  joincjn 18200  meetcmee 18201  Latclat 18320   ⋖ ccvr 37724  Atomscatm 37725  HLchlt 37812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-id 5531  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-lat 18321  df-clat 18388  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813

This theorem is referenced by:  cvrexch  37883