Theorem hlhgt2 37403

Description: A Hilbert lattice has a height of at least 2. (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhgt4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlhgt4.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
hlhgt4.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
hlhgt4.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlhgt2	⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾

Allowed substitution hints:   < (𝑥)   1 (𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem hlhgt2

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhgt4.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		hlhgt4.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		hlhgt4.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		hlhgt4.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlhgt4 37402	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))
6		hlpos 37380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
7	6	ad3antrrr 727	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8		hlop 37376	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	8	ad3antrrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
10	1, 3	op0cl 37198	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
12		simpllr 773	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
13		simplr 766	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
14	1, 2	plttr 18060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
15	7, 11, 12, 13, 14	syl13anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
16		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
17	1, 4	op1cl 37199	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
18	9, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
19	1, 2	plttr 18060	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ) → 𝑥 < 1 ))
20	7, 13, 16, 18, 19	syl13anc 1371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ) → 𝑥 < 1 ))
21	15, 20	anim12d 609	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )) → ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 )))
22	21	rexlimdva 3213	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )) → ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 )))
23	22	reximdva 3203	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 )))
24	23	rexlimdva 3213	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 )))
25	5, 24	mpd 15	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3065   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  Posetcpo 18025  ltcplt 18026  0.cp0 18141  1.cp1 18142  OPcops 37186  HLchlt 37364

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-proset 18013  df-poset 18031  df-plt 18048  df-lub 18064  df-glb 18065  df-p0 18143  df-p1 18144  df-lat 18150  df-oposet 37190  df-ol 37192  df-oml 37193  df-atl 37312  df-cvlat 37336  df-hlat 37365

This theorem is referenced by:  hl0lt1N  37404  hl2at  37419