Theorem hlhgt2 39853

Description: A Hilbert lattice has a height of at least 2. (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhgt4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlhgt4.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
hlhgt4.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
hlhgt4.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlhgt2	⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾

Allowed substitution hints:   < (𝑥)   1 (𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem hlhgt2

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhgt4.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		hlhgt4.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		hlhgt4.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		hlhgt4.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlhgt4 39852	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))
6		hlpos 39830	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
7	6	ad3antrrr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8		hlop 39826	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	8	ad3antrrr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
10	1, 3	op0cl 39648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
12		simpllr 776	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
13		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
14	1, 2	plttr 18301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
15	7, 11, 12, 13, 14	syl13anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
16		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
17	1, 4	op1cl 39649	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
18	9, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
19	1, 2	plttr 18301	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ) → 𝑥 < 1 ))
20	7, 13, 16, 18, 19	syl13anc 1375	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ) → 𝑥 < 1 ))
21	15, 20	anim12d 610	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )) → ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 )))
22	21	rexlimdva 3139	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )) → ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 )))
23	22	reximdva 3151	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 )))
24	23	rexlimdva 3139	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 )))
25	5, 24	mpd 15	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5086  ‘cfv 6494  Basecbs 17174  Posetcpo 18268  ltcplt 18269  0.cp0 18382  1.cp1 18383  OPcops 39636  HLchlt 39814

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-ov 7365  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18393  df-oposet 39640  df-ol 39642  df-oml 39643  df-atl 39762  df-cvlat 39786  df-hlat 39815

This theorem is referenced by:  hl0lt1N  39854  hl2at  39869