Theorem hlhgt2 40592

Description: A Hilbert lattice has a height of at least 2. (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhgt4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlhgt4.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
hlhgt4.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
hlhgt4.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlhgt2	⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾

Allowed substitution hints:   < (𝑥)   1 (𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem hlhgt2

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhgt4.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		hlhgt4.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		hlhgt4.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		hlhgt4.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlhgt4 40591	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))
6		hlpos 40569	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
7	6	ad3antrrr 743	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8		hlop 40565	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	8	ad3antrrr 743	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
10	1, 3	op0cl 40387	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
11	9, 10	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
12		simpllr 788	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
13		simplr 781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
14	1, 2	plttr 18529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
15	7, 11, 12, 13, 14	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
16		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
17	1, 4	op1cl 40388	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
18	9, 17	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
19	1, 2	plttr 18529	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ) → 𝑥 < 1 ))
20	7, 13, 16, 18, 19	syl13anc 1399	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ) → 𝑥 < 1 ))
21	15, 20	anim12d 621	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )) → ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 )))
22	21	rexlimdva 3167	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )) → ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 )))
23	22	reximdva 3179	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 )))
24	23	rexlimdva 3167	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 )))
25	5, 24	mpd 16	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ∃wrex 3090   class class class wbr 5106  ‘cfv 6547  Basecbs 17402  Posetcpo 18496  ltcplt 18497  0.cp0 18610  1.cp1 18611  OPcops 40375  HLchlt 40553

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-proset 18483  df-poset 18502  df-plt 18517  df-lub 18533  df-glb 18534  df-p0 18612  df-p1 18613  df-lat 18621  df-oposet 40379  df-ol 40381  df-oml 40382  df-atl 40501  df-cvlat 40525  df-hlat 40554

This theorem is used by:  hl0lt1N  40593  hl2at  40608