Theorem hlhgt2 39671

Description: A Hilbert lattice has a height of at least 2. (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhgt4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlhgt4.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
hlhgt4.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
hlhgt4.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlhgt2	⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾

Allowed substitution hints:   < (𝑥)   1 (𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem hlhgt2

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhgt4.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		hlhgt4.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		hlhgt4.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		hlhgt4.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlhgt4 39670	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))
6		hlpos 39648	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
7	6	ad3antrrr 730	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8		hlop 39644	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	8	ad3antrrr 730	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
10	1, 3	op0cl 39466	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
12		simpllr 775	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
13		simplr 768	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
14	1, 2	plttr 18265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
15	7, 11, 12, 13, 14	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
16		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
17	1, 4	op1cl 39467	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
18	9, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
19	1, 2	plttr 18265	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ) → 𝑥 < 1 ))
20	7, 13, 16, 18, 19	syl13anc 1374	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ) → 𝑥 < 1 ))
21	15, 20	anim12d 609	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )) → ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 )))
22	21	rexlimdva 3137	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )) → ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 )))
23	22	reximdva 3149	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 )))
24	23	rexlimdva 3137	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 )))
25	5, 24	mpd 15	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∃wrex 3060   class class class wbr 5098  ‘cfv 6492  Basecbs 17138  Posetcpo 18232  ltcplt 18233  0.cp0 18346  1.cp1 18347  OPcops 39454  HLchlt 39632

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-proset 18219  df-poset 18238  df-plt 18253  df-lub 18269  df-glb 18270  df-p0 18348  df-p1 18349  df-lat 18357  df-oposet 39458  df-ol 39460  df-oml 39461  df-atl 39580  df-cvlat 39604  df-hlat 39633

This theorem is referenced by:  hl0lt1N  39672  hl2at  39687