Theorem hlhgt2 37925

Description: A Hilbert lattice has a height of at least 2. (Contributed by NM, 4-Dec-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlhgt4.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlhgt4.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
hlhgt4.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
hlhgt4.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlhgt2	⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐾

Allowed substitution hints:   < (𝑥)   1 (𝑥)   0 (𝑥)

Proof of Theorem hlhgt2

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hlhgt4.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		hlhgt4.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		hlhgt4.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		hlhgt4.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlhgt4 37924	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )))
6		hlpos 37901	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
7	6	ad3antrrr 728	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Poset)
8		hlop 37897	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	8	ad3antrrr 728	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ OP)
10	1, 3	op0cl 37719	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ 𝐵)
11	9, 10	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 0 ∈ 𝐵)
12		simpllr 774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑦 ∈ 𝐵)
13		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑥 ∈ 𝐵)
14	1, 2	plttr 18245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
15	7, 11, 12, 13, 14	syl13anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) → 0 < 𝑥))
16		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 𝑧 ∈ 𝐵)
17	1, 4	op1cl 37720	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ 𝐵)
18	9, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → 1 ∈ 𝐵)
19	1, 2	plttr 18245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 1 ∈ 𝐵)) → ((𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ) → 𝑥 < 1 ))
20	7, 13, 16, 18, 19	syl13anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 ) → 𝑥 < 1 ))
21	15, 20	anim12d 609	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )) → ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 )))
22	21	rexlimdva 3148	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐵) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )) → ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 )))
23	22	reximdva 3161	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 )))
24	23	rexlimdva 3148	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∃𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑧 ∈ 𝐵 (( 0 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑥) ∧ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 1 )) → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 )))
25	5, 24	mpd 15	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ 𝐵 ( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3069   class class class wbr 5110  ‘cfv 6501  Basecbs 17094  Posetcpo 18210  ltcplt 18211  0.cp0 18326  1.cp1 18327  OPcops 37707  HLchlt 37885

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3448  df-sbc 3743  df-csb 3859  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-proset 18198  df-poset 18216  df-plt 18233  df-lub 18249  df-glb 18250  df-p0 18328  df-p1 18329  df-lat 18335  df-oposet 37711  df-ol 37713  df-oml 37714  df-atl 37833  df-cvlat 37857  df-hlat 37886

This theorem is referenced by:  hl0lt1N  37926  hl2at  37941