Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnmat 39236
Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmat.m = (meet‘𝐾)
2llnmat.z 0 = (0.‘𝐾)
2llnmat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnmat.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnmat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2llnmat
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1188 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
2 hlatl 39071 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ AtLat)
41hllatd 39075 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simpl2 1189 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑋𝑁)
6 eqid 2726 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 2llnmat.n . . . . . . 7 𝑁 = (LLines‘𝐾)
86, 7llnbase 39221 . . . . . 6 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
95, 8syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
10 simpl3 1190 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑌𝑁)
116, 7llnbase 39221 . . . . . 6 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
1210, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
13 2llnmat.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
146, 13latmcl 18460 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
154, 9, 12, 14syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
16 simprr 771 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )
17 eqid 2726 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
18 2llnmat.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
19 2llnmat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
206, 17, 18, 19atlex 39027 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) → ∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
213, 15, 16, 20syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → ∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
22 simp1rl 1235 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋𝑌)
23 simp1l 1194 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁))
2417, 7llncmp 39234 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑋 = 𝑌))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑋 = 𝑌))
26 simp1l1 1263 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
2726hllatd 39075 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
28 simp1l2 1264 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋𝑁)
2928, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
30 simp1l3 1265 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑌𝑁)
3130, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
326, 17, 13latleeqm1 18487 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
3327, 29, 31, 32syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
3425, 33bitr3d 280 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
3534necon3bid 2975 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) ≠ 𝑋))
3622, 35mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ≠ 𝑋)
37 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
386, 17, 13latmle1 18484 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
3927, 29, 31, 38syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
40 hlpos 39077 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
4126, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ Poset)
426, 19atbase 39000 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
43423ad2ant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
4427, 29, 31, 14syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
45 simp2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝𝐴)
466, 17, 27, 43, 44, 29, 37, 39lattrd 18466 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)𝑋)
47 eqid 2726 . . . . . . . . . . . 12 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
4817, 47, 19, 7atcvrlln2 39231 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) → 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
4926, 45, 28, 46, 48syl31anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
506, 17, 47cvrnbtwn4 38990 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 𝑌) ∨ (𝑋 𝑌) = 𝑋)))
5141, 43, 29, 44, 49, 50syl131anc 1380 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 𝑌) ∨ (𝑋 𝑌) = 𝑋)))
5237, 39, 51mpbi2and 710 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑝 = (𝑋 𝑌) ∨ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
53 neor 3024 . . . . . . . 8 ((𝑝 = (𝑋 𝑌) ∨ (𝑋 𝑌) = 𝑋) ↔ (𝑝 ≠ (𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑌) = 𝑋))
5452, 53sylib 217 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑝 ≠ (𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑌) = 𝑋))
5554necon1d 2952 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → ((𝑋 𝑌) ≠ 𝑋𝑝 = (𝑋 𝑌)))
5636, 55mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝 = (𝑋 𝑌))
57563exp 1116 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑝𝐴 → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) → 𝑝 = (𝑋 𝑌))))
5857reximdvai 3155 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) → ∃𝑝𝐴 𝑝 = (𝑋 𝑌)))
5921, 58mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → ∃𝑝𝐴 𝑝 = (𝑋 𝑌))
60 risset 3221 . 2 ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑝𝐴 𝑝 = (𝑋 𝑌))
6159, 60sylibr 233 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  wo 845  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099  wne 2930  wrex 3060   class class class wbr 5145  cfv 6546  (class class class)co 7416  Basecbs 17208  lecple 17268  Posetcpo 18327  meetcmee 18332  0.cp0 18443  Latclat 18451  ccvr 38973  Atomscatm 38974  AtLatcal 38975  HLchlt 39061  LLinesclln 39203
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5282  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-iun 4995  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-proset 18315  df-poset 18333  df-plt 18350  df-lub 18366  df-glb 18367  df-join 18368  df-meet 18369  df-p0 18445  df-lat 18452  df-clat 18519  df-oposet 38887  df-ol 38889  df-oml 38890  df-covers 38977  df-ats 38978  df-atl 39009  df-cvlat 39033  df-hlat 39062  df-llines 39210
This theorem is referenced by:  2at0mat0  39237  ps-2c  39240  2llnmeqat  39283  dalemcea  39372  dalem2  39373  dalem21  39406  dalem54  39438  cdlemc5  39907
  Copyright terms: Public domain W3C validator