Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnmat 37580
Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmat.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2llnmat.z 0 = (0.β€˜πΎ)
2llnmat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2llnmat.n 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2llnmat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2llnmat
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 hlatl 37416 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
41hllatd 37420 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simpl2 1192 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
6 eqid 2736 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΎ) = (Baseβ€˜πΎ)
7 2llnmat.n . . . . . . 7 𝑁 = (LLinesβ€˜πΎ)
86, 7llnbase 37565 . . . . . 6 (𝑋 ∈ 𝑁 β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
95, 8syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
10 simpl3 1193 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
116, 7llnbase 37565 . . . . . 6 (π‘Œ ∈ 𝑁 β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
1210, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
13 2llnmat.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
146, 13latmcl 18203 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
154, 9, 12, 14syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
16 simprr 771 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )
17 eqid 2736 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
18 2llnmat.z . . . . 5 0 = (0.β€˜πΎ)
19 2llnmat.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
206, 17, 18, 19atlex 37372 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ))
213, 15, 16, 20syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ))
22 simp1rl 1238 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
23 simp1l 1197 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁))
2417, 7llncmp 37578 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
26 simp1l1 1266 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2726hllatd 37420 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
28 simp1l2 1267 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑁)
2928, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
30 simp1l3 1268 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑁)
3130, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ))
326, 17, 13latleeqm1 18230 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
3327, 29, 31, 32syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
3425, 33bitr3d 281 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
3534necon3bid 2986 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑋))
3622, 35mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑋)
37 simp3 1138 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ))
386, 17, 13latmle1 18227 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ π‘Œ ∈ (Baseβ€˜πΎ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋)
3927, 29, 31, 38syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋)
40 hlpos 37422 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
4126, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
426, 19atbase 37345 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
43423ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ))
4427, 29, 31, 14syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ))
45 simp2 1137 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
466, 17, 27, 43, 44, 29, 37, 39lattrd 18209 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)
47 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
4817, 47, 19, 7atcvrlln2 37575 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋) β†’ 𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
4926, 45, 28, 46, 48syl31anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
506, 17, 47cvrnbtwn4 37335 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜πΎ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ (Baseβ€˜πΎ)) ∧ 𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋)))
5141, 43, 29, 44, 49, 50syl131anc 1383 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋)))
5237, 39, 51mpbi2and 710 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
53 neor 3034 . . . . . . . 8 ((𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋) ↔ (𝑝 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
5452, 53sylib 217 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑝 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
5554necon1d 2963 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑋 β†’ 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
5636, 55mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ))
57563exp 1119 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ))))
5857reximdvai 3159 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
5921, 58mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ))
60 risset 3218 . 2 ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ))
6159, 60sylibr 233 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ π‘Œ ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5081  β€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16957  lecple 17014  Posetcpo 18070  meetcmee 18075  0.cp0 18186  Latclat 18194   β‹– ccvr 37318  Atomscatm 37319  AtLatcal 37320  HLchlt 37406  LLinesclln 37547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-proset 18058  df-poset 18076  df-plt 18093  df-lub 18109  df-glb 18110  df-join 18111  df-meet 18112  df-p0 18188  df-lat 18195  df-clat 18262  df-oposet 37232  df-ol 37234  df-oml 37235  df-covers 37322  df-ats 37323  df-atl 37354  df-cvlat 37378  df-hlat 37407  df-llines 37554
This theorem is referenced by:  2at0mat0  37581  ps-2c  37584  2llnmeqat  37627  dalemcea  37716  dalem2  37717  dalem21  37750  dalem54  37782  cdlemc5  38251
  Copyright terms: Public domain W3C validator