Theorem 2llnmat 40187

Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2llnmat.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2llnmat.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
2llnmat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnmat.n	⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2llnmat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2llnmat

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1208	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
2		hlatl 40023	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ AtLat)
4	1	hllatd 40027	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simpl2 1209	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ 𝑁)
6		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7		2llnmat.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (LLines‘𝐾)
8	6, 7	llnbase 40172	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑁 → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
9	5, 8	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
10		simpl3 1210	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ 𝑁)
11	6, 7	llnbase 40172	. . . . . 6 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑁 → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
12	10, 11	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
13		2llnmat.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
14	6, 13	latmcl 18495	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
15	4, 9, 12, 14	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
16		simprr 784	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )
17		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
18		2llnmat.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
19		2llnmat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
20	6, 17, 18, 19	atlex 39979	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))
21	3, 15, 16, 20	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))
22		simp1rl 1255	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
23		simp1l 1214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁))
24	17, 7	llncmp 40185	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
25	23, 24	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
26		simp1l1 1283	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
27	26	hllatd 40027	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
28		simp1l2 1284	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑁)
29	28, 8	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
30		simp1l3 1285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑁)
31	30, 11	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
32	6, 17, 13	latleeqm1 18522	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
33	27, 29, 31, 32	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
34	25, 33	bitr3d 284	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
35	34	necon3bid 3008	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋))
36	22, 35	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋)
37		simp3 1154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))
38	6, 17, 13	latmle1 18519	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
39	27, 29, 31, 38	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
40		hlpos 40029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
41	26, 40	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝐾 ∈ Poset)
42	6, 19	atbase 39952	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
43	42	3ad2ant2 1150	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
44	27, 29, 31, 14	syl3anc 1396	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
45		simp2 1153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
46	6, 17, 27, 43, 44, 29, 37, 39	lattrd 18501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)𝑋)
47		eqid 2769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
48	17, 47, 19, 7	atcvrlln2 40182	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝑁) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) → 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
49	26, 45, 28, 46, 48	syl31anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
50	6, 17, 47	cvrnbtwn4 39942	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋)))
51	41, 43, 29, 44, 49, 50	syl131anc 1408	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋)))
52	37, 39, 51	mpbi2and 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
53		neor 3056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋) ↔ (𝑝 ≠ (𝑋 ∧ 𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
54	52, 53	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑝 ≠ (𝑋 ∧ 𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
55	54	necon1d 2986	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋 → 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌)))
56	36, 55	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌))
57	56	3exp 1135	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) → 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌))))
58	57	reximdvai 3182	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌)))
59	21, 58	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌))
60		risset 3246	. 2 ⊢ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌))
61	59, 60	sylibr 237	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝑁 ∧ 𝑌 ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∃wrex 3095   class class class wbr 5113  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268  lecple 17316  Posetcpo 18362  meetcmee 18367  0.cp0 18476  Latclat 18486   ⋖ ccvr 39925  Atomscatm 39926  AtLatcal 39927  HLchlt 40013  LLinesclln 40154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18349  df-poset 18368  df-plt 18383  df-lub 18399  df-glb 18400  df-join 18401  df-meet 18402  df-p0 18478  df-lat 18487  df-clat 18554  df-oposet 39839  df-ol 39841  df-oml 39842  df-covers 39929  df-ats 39930  df-atl 39961  df-cvlat 39985  df-hlat 40014  df-llines 40161

This theorem is referenced by:  2at0mat0  40188  ps-2c  40191  2llnmeqat  40234  dalemcea  40323  dalem2  40324  dalem21  40357  dalem54  40389  cdlemc5  40858