Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2llnmat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2llnmat 35322
Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2llnmat.m = (meet‘𝐾)
2llnmat.z 0 = (0.‘𝐾)
2llnmat.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2llnmat.n 𝑁 = (LLines‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
2llnmat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2llnmat
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1235 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
2 hlatl 35158 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ AtLat)
41hllatd 35162 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simpl2 1237 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑋𝑁)
6 eqid 2817 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
7 2llnmat.n . . . . . . 7 𝑁 = (LLines‘𝐾)
86, 7llnbase 35307 . . . . . 6 (𝑋𝑁𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
95, 8syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
10 simpl3 1239 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑌𝑁)
116, 7llnbase 35307 . . . . . 6 (𝑌𝑁𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
1210, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
13 2llnmat.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
146, 13latmcl 17276 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
154, 9, 12, 14syl3anc 1483 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
16 simprr 780 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ≠ 0 )
17 eqid 2817 . . . . 5 (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
18 2llnmat.z . . . . 5 0 = (0.‘𝐾)
19 2llnmat.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
206, 17, 18, 19atlex 35114 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 ) → ∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
213, 15, 16, 20syl3anc 1483 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → ∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
22 simp1rl 1312 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋𝑌)
23 simp1l 1247 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁))
2417, 7llncmp 35320 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑋 = 𝑌))
2523, 24syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌𝑋 = 𝑌))
26 simp1l1 1358 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
2726hllatd 35162 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
28 simp1l2 1359 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋𝑁)
2928, 8syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑋 ∈ (Base‘𝐾))
30 simp1l3 1360 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑌𝑁)
3130, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑌 ∈ (Base‘𝐾))
326, 17, 13latleeqm1 17303 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
3327, 29, 31, 32syl3anc 1483 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
3425, 33bitr3d 272 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
3534necon3bid 3033 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋𝑌 ↔ (𝑋 𝑌) ≠ 𝑋))
3622, 35mpbid 223 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ≠ 𝑋)
37 simp3 1161 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌))
386, 17, 13latmle1 17300 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑌 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
3927, 29, 31, 38syl3anc 1483 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
40 hlpos 35164 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
4126, 40syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝐾 ∈ Poset)
426, 19atbase 35087 . . . . . . . . . . 11 (𝑝𝐴𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
43423ad2ant2 1157 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝 ∈ (Base‘𝐾))
4427, 29, 31, 14syl3anc 1483 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾))
45 simp2 1160 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝𝐴)
466, 17, 27, 43, 44, 29, 37, 39lattrd 17282 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)𝑋)
47 eqid 2817 . . . . . . . . . . . 12 ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
4817, 47, 19, 7atcvrlln2 35317 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑝𝐴𝑋𝑁) ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋) → 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
4926, 45, 28, 46, 48syl31anc 1485 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
506, 17, 47cvrnbtwn4 35077 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑋 𝑌) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 𝑌) ∨ (𝑋 𝑌) = 𝑋)))
5141, 43, 29, 44, 49, 50syl131anc 1495 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) ∧ (𝑋 𝑌)(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 𝑌) ∨ (𝑋 𝑌) = 𝑋)))
5237, 39, 51mpbi2and 694 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑝 = (𝑋 𝑌) ∨ (𝑋 𝑌) = 𝑋))
53 neor 3080 . . . . . . . 8 ((𝑝 = (𝑋 𝑌) ∨ (𝑋 𝑌) = 𝑋) ↔ (𝑝 ≠ (𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑌) = 𝑋))
5452, 53sylib 209 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → (𝑝 ≠ (𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑌) = 𝑋))
5554necon1d 3011 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → ((𝑋 𝑌) ≠ 𝑋𝑝 = (𝑋 𝑌)))
5636, 55mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝𝐴𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌)) → 𝑝 = (𝑋 𝑌))
57563exp 1141 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑝𝐴 → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) → 𝑝 = (𝑋 𝑌))))
5857reximdvai 3213 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (∃𝑝𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 𝑌) → ∃𝑝𝐴 𝑝 = (𝑋 𝑌)))
5921, 58mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → ∃𝑝𝐴 𝑝 = (𝑋 𝑌))
60 risset 3261 . 2 ((𝑋 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑝𝐴 𝑝 = (𝑋 𝑌))
6159, 60sylibr 225 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝑁𝑌𝑁) ∧ (𝑋𝑌 ∧ (𝑋 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  wo 865  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989  wrex 3108   class class class wbr 4855  cfv 6110  (class class class)co 6883  Basecbs 16087  lecple 16179  Posetcpo 17164  meetcmee 17169  0.cp0 17261  Latclat 17269  ccvr 35060  Atomscatm 35061  AtLatcal 35062  HLchlt 35148  LLinesclln 35289
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7188
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3an 1102  df-tru 1641  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-op 4388  df-uni 4642  df-iun 4725  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-id 5232  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-iota 6073  df-fun 6112  df-fn 6113  df-f 6114  df-f1 6115  df-fo 6116  df-f1o 6117  df-fv 6118  df-riota 6844  df-ov 6886  df-oprab 6887  df-proset 17152  df-poset 17170  df-plt 17182  df-lub 17198  df-glb 17199  df-join 17200  df-meet 17201  df-p0 17263  df-lat 17270  df-clat 17332  df-oposet 34974  df-ol 34976  df-oml 34977  df-covers 35064  df-ats 35065  df-atl 35096  df-cvlat 35120  df-hlat 35149  df-llines 35296
This theorem is referenced by:  2at0mat0  35323  ps-2c  35326  2llnmeqat  35369  dalemcea  35458  dalem2  35459  dalem21  35492  dalem54  35524  cdlemc5  35993
  Copyright terms: Public domain W3C validator