Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2lnat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2lnat 39257
Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2lnat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2lnat.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2lnat.z 0 = (0.β€˜πΎ)
2lnat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2lnat.n 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
2lnat.f 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2lnat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
Proof of Theorem 2lnat
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 hlatl 38832 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
41hllatd 38836 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp12 1202 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6 simp13 1203 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
7 2lnat.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 2lnat.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
97, 8latmcl 18431 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
104, 5, 6, 9syl3anc 1369 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
11 simp3r 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )
12 eqid 2728 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
13 2lnat.z . . . . 5 0 = (0.β€˜πΎ)
14 2lnat.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
157, 12, 13, 14atlex 38788 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ))
163, 10, 11, 15syl3anc 1369 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ))
17 simp13l 1286 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
18 simp11 1201 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡))
19 simp12l 1284 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁)
20 simp12r 1285 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)
21 2lnat.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
22 2lnat.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
237, 12, 21, 22lncmp 39256 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
2418, 19, 20, 23syl12anc 836 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
25 simp111 1300 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2625hllatd 38836 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
27 simp112 1301 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
28 simp113 1302 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
297, 12, 8latleeqm1 18458 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
3026, 27, 28, 29syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
3124, 30bitr3d 281 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
3231necon3bid 2982 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑋))
3317, 32mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑋)
34 simp3 1136 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ))
357, 12, 8latmle1 18455 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋)
3626, 27, 28, 35syl3anc 1369 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋)
37 hlpos 38838 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
3825, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
397, 14atbase 38761 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
40393ad2ant2 1132 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
4126, 27, 28, 9syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
42 simp2 1135 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
437, 12, 26, 40, 41, 27, 34, 36lattrd 18437 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)
44 eqid 2728 . . . . . . . . . . . 12 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
457, 12, 44, 14, 21, 22lncvrat 39255 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
4625, 27, 42, 19, 43, 45syl32anc 1376 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
477, 12, 44cvrnbtwn4 38751 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡) ∧ 𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋)))
4838, 40, 27, 41, 46, 47syl131anc 1381 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋)))
4934, 36, 48mpbi2and 711 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
50 neor 3031 . . . . . . . 8 ((𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋) ↔ (𝑝 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
5149, 50sylib 217 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑝 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
5251necon1d 2959 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑋 β†’ 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
5333, 52mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ))
54533exp 1117 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ))))
5554reximdvai 3162 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
5616, 55mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ))
57 risset 3227 . 2 ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ))
5856, 57sylibr 233 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2937  βˆƒwrex 3067   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179  lecple 17239  Posetcpo 18298  meetcmee 18303  0.cp0 18414  Latclat 18422   β‹– ccvr 38734  Atomscatm 38735  AtLatcal 38736  HLchlt 38822  Linesclines 38967  pmapcpmap 38970
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38648  df-ol 38650  df-oml 38651  df-covers 38738  df-ats 38739  df-atl 38770  df-cvlat 38794  df-hlat 38823  df-lines 38974  df-pmap 38977
This theorem is referenced by:  cdleme3h  39708  cdleme7ga  39721
  Copyright terms: Public domain W3C validator