Theorem 2lnat 39829

Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lnat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2lnat.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2lnat.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
2lnat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2lnat.n	⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
2lnat.f	⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2lnat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2lnat

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1204	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
2		hlatl 39405	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ AtLat)
4	1	hllatd 39409	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp12 1205	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp13 1206	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		2lnat.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		2lnat.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9	7, 8	latmcl 18346	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
11		simp3r 1203	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )
12		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13		2lnat.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
14		2lnat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15	7, 12, 13, 14	atlex 39361	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))
16	3, 10, 11, 15	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))
17		simp13l 1289	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
18		simp11 1204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
19		simp12l 1287	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁)
20		simp12r 1288	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁)
21		2lnat.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
22		2lnat.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
23	7, 12, 21, 22	lncmp 39828	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
24	18, 19, 20, 23	syl12anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
25		simp111 1303	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
26	25	hllatd 39409	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
27		simp112 1304	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
28		simp113 1305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
29	7, 12, 8	latleeqm1 18373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
30	26, 27, 28, 29	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
31	24, 30	bitr3d 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
32	31	necon3bid 2972	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋))
33	17, 32	mpbid 232	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋)
34		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))
35	7, 12, 8	latmle1 18370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
36	26, 27, 28, 35	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
37		hlpos 39411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
38	25, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝐾 ∈ Poset)
39	7, 14	atbase 39334	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
40	39	3ad2ant2 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
41	26, 27, 28, 9	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
42		simp2 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
43	7, 12, 26, 40, 41, 27, 34, 36	lattrd 18352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)𝑋)
44		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
45	7, 12, 44, 14, 21, 22	lncvrat 39827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
46	25, 27, 42, 19, 43, 45	syl32anc 1380	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
47	7, 12, 44	cvrnbtwn4 39324	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵) ∧ 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋)))
48	38, 40, 27, 41, 46, 47	syl131anc 1385	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋)))
49	34, 36, 48	mpbi2and 712	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
50		neor 3020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋) ↔ (𝑝 ≠ (𝑋 ∧ 𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
51	49, 50	sylib 218	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑝 ≠ (𝑋 ∧ 𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
52	51	necon1d 2950	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋 → 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌)))
53	33, 52	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌))
54	53	3exp 1119	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) → 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌))))
55	54	reximdvai 3143	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌)))
56	16, 55	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌))
57		risset 3207	. 2 ⊢ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌))
58	56, 57	sylibr 234	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∃wrex 3056   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  lecple 17168  Posetcpo 18213  meetcmee 18218  0.cp0 18327  Latclat 18337   ⋖ ccvr 39307  Atomscatm 39308  AtLatcal 39309  HLchlt 39395  Linesclines 39539  pmapcpmap 39542

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-id 5511  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-lat 18338  df-clat 18405  df-oposet 39221  df-ol 39223  df-oml 39224  df-covers 39311  df-ats 39312  df-atl 39343  df-cvlat 39367  df-hlat 39396  df-lines 39546  df-pmap 39549

This theorem is referenced by:  cdleme3h  40280  cdleme7ga  40293