Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2lnat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2lnat 38643
Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2lnat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2lnat.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2lnat.z 0 = (0.β€˜πΎ)
2lnat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2lnat.n 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
2lnat.f 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2lnat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
Proof of Theorem 2lnat
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1203 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 hlatl 38218 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
41hllatd 38222 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp12 1204 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6 simp13 1205 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
7 2lnat.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 2lnat.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
97, 8latmcl 18389 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
104, 5, 6, 9syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
11 simp3r 1202 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )
12 eqid 2732 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
13 2lnat.z . . . . 5 0 = (0.β€˜πΎ)
14 2lnat.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
157, 12, 13, 14atlex 38174 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ))
163, 10, 11, 15syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ))
17 simp13l 1288 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
18 simp11 1203 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡))
19 simp12l 1286 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁)
20 simp12r 1287 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)
21 2lnat.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
22 2lnat.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
237, 12, 21, 22lncmp 38642 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
2418, 19, 20, 23syl12anc 835 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
25 simp111 1302 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2625hllatd 38222 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
27 simp112 1303 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
28 simp113 1304 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
297, 12, 8latleeqm1 18416 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
3026, 27, 28, 29syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
3124, 30bitr3d 280 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
3231necon3bid 2985 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑋))
3317, 32mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑋)
34 simp3 1138 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ))
357, 12, 8latmle1 18413 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋)
3626, 27, 28, 35syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋)
37 hlpos 38224 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
3825, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
397, 14atbase 38147 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
40393ad2ant2 1134 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
4126, 27, 28, 9syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
42 simp2 1137 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
437, 12, 26, 40, 41, 27, 34, 36lattrd 18395 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)
44 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
457, 12, 44, 14, 21, 22lncvrat 38641 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
4625, 27, 42, 19, 43, 45syl32anc 1378 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
477, 12, 44cvrnbtwn4 38137 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡) ∧ 𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋)))
4838, 40, 27, 41, 46, 47syl131anc 1383 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋)))
4934, 36, 48mpbi2and 710 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
50 neor 3034 . . . . . . . 8 ((𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋) ↔ (𝑝 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
5149, 50sylib 217 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑝 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
5251necon1d 2962 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑋 β†’ 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
5333, 52mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ))
54533exp 1119 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ))))
5554reximdvai 3165 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
5616, 55mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ))
57 risset 3230 . 2 ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ))
5856, 57sylibr 233 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  Posetcpo 18256  meetcmee 18261  0.cp0 18372  Latclat 18380   β‹– ccvr 38120  Atomscatm 38121  AtLatcal 38122  HLchlt 38208  Linesclines 38353  pmapcpmap 38356
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-lines 38360  df-pmap 38363
This theorem is referenced by:  cdleme3h  39094  cdleme7ga  39107
  Copyright terms: Public domain W3C validator