Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2lnat Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem 2lnat 39158
Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
2lnat.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2lnat.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
2lnat.z 0 = (0.β€˜πΎ)
2lnat.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
2lnat.n 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
2lnat.f 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
2lnat (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
Proof of Theorem 2lnat
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 hlatl 38733 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
31, 2syl 17 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ 𝐾 ∈ AtLat)
41hllatd 38737 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simp12 1201 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6 simp13 1202 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
7 2lnat.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
8 2lnat.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
97, 8latmcl 18401 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
104, 5, 6, 9syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
11 simp3r 1199 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )
12 eqid 2724 . . . . 5 (leβ€˜πΎ) = (leβ€˜πΎ)
13 2lnat.z . . . . 5 0 = (0.β€˜πΎ)
14 2lnat.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
157, 12, 13, 14atlex 38689 . . . 4 ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ))
163, 10, 11, 15syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ))
17 simp13l 1285 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
18 simp11 1200 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡))
19 simp12l 1283 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁)
20 simp12r 1284 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)
21 2lnat.n . . . . . . . . . . 11 𝑁 = (Linesβ€˜πΎ)
22 2lnat.f . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (pmapβ€˜πΎ)
237, 12, 21, 22lncmp 39157 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
2418, 19, 20, 23syl12anc 834 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ 𝑋 = π‘Œ))
25 simp111 1299 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2625hllatd 38737 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
27 simp112 1300 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
28 simp113 1301 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
297, 12, 8latleeqm1 18428 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
3026, 27, 28, 29syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋(leβ€˜πΎ)π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
3124, 30bitr3d 281 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋 = π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
3231necon3bid 2977 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋 β‰  π‘Œ ↔ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑋))
3317, 32mpbid 231 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑋)
34 simp3 1135 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ))
357, 12, 8latmle1 18425 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋)
3626, 27, 28, 35syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋)
37 hlpos 38739 . . . . . . . . . . 11 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Poset)
3825, 37syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝐾 ∈ Poset)
397, 14atbase 38662 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
40393ad2ant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐡)
4126, 27, 28, 9syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
42 simp2 1134 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝 ∈ 𝐴)
437, 12, 26, 40, 41, 27, 34, 36lattrd 18407 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)
44 eqid 2724 . . . . . . . . . . . 12 ( β‹– β€˜πΎ) = ( β‹– β€˜πΎ)
457, 12, 44, 14, 21, 22lncvrat 39156 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)𝑋)) β†’ 𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
4625, 27, 42, 19, 43, 45syl32anc 1375 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋)
477, 12, 44cvrnbtwn4 38652 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡) ∧ 𝑝( β‹– β€˜πΎ)𝑋) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋)))
4838, 40, 27, 41, 46, 47syl131anc 1380 . . . . . . . . 9 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ ((𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ)(leβ€˜πΎ)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋)))
4934, 36, 48mpbi2and 709 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
50 neor 3026 . . . . . . . 8 ((𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋) ↔ (𝑝 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
5149, 50sylib 217 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ (𝑝 β‰  (𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = 𝑋))
5251necon1d 2954 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  𝑋 β†’ 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
5333, 52mpd 15 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ)) β†’ 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ))
54533exp 1116 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑝 ∈ 𝐴 β†’ (𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ))))
5554reximdvai 3157 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝(leβ€˜πΎ)(𝑋 ∧ π‘Œ) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ)))
5616, 55mpd 15 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ))
57 risset 3222 . 2 ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴 ↔ βˆƒπ‘ ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ π‘Œ))
5856, 57sylibr 233 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝑁 ∧ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 β‰  π‘Œ ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) β‰  0 )) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆƒwrex 3062   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17149  lecple 17209  Posetcpo 18268  meetcmee 18273  0.cp0 18384  Latclat 18392   β‹– ccvr 38635  Atomscatm 38636  AtLatcal 38637  HLchlt 38723  Linesclines 38868  pmapcpmap 38871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-proset 18256  df-poset 18274  df-plt 18291  df-lub 18307  df-glb 18308  df-join 18309  df-meet 18310  df-p0 18386  df-lat 18393  df-clat 18460  df-oposet 38549  df-ol 38551  df-oml 38552  df-covers 38639  df-ats 38640  df-atl 38671  df-cvlat 38695  df-hlat 38724  df-lines 38875  df-pmap 38878
This theorem is referenced by:  cdleme3h  39609  cdleme7ga  39622
  Copyright terms: Public domain W3C validator