Theorem 2lnat 40539

Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lnat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2lnat.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2lnat.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
2lnat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2lnat.n	⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
2lnat.f	⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2lnat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2lnat

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1222	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
2		hlatl 40115	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ AtLat)
4	1	hllatd 40119	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp12 1223	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp13 1224	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		2lnat.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		2lnat.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9	7, 8	latmcl 18497	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
11		simp3r 1221	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )
12		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13		2lnat.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
14		2lnat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15	7, 12, 13, 14	atlex 40071	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))
16	3, 10, 11, 15	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))
17		simp13l 1307	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
18		simp11 1222	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
19		simp12l 1305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁)
20		simp12r 1306	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁)
21		2lnat.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
22		2lnat.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
23	7, 12, 21, 22	lncmp 40538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
24	18, 19, 20, 23	syl12anc 849	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
25		simp111 1321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
26	25	hllatd 40119	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
27		simp112 1322	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
28		simp113 1323	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
29	7, 12, 8	latleeqm1 18524	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
30	26, 27, 28, 29	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
31	24, 30	bitr3d 284	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
32	31	necon3bid 3002	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋))
33	17, 32	mpbid 235	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋)
34		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))
35	7, 12, 8	latmle1 18521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
36	26, 27, 28, 35	syl3anc 1398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
37		hlpos 40121	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
38	25, 37	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝐾 ∈ Poset)
39	7, 14	atbase 40044	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
40	39	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
41	26, 27, 28, 9	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
42		simp2 1155	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
43	7, 12, 26, 40, 41, 27, 34, 36	lattrd 18503	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)𝑋)
44		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
45	7, 12, 44, 14, 21, 22	lncvrat 40537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
46	25, 27, 42, 19, 43, 45	syl32anc 1405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
47	7, 12, 44	cvrnbtwn4 40034	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵) ∧ 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋)))
48	38, 40, 27, 41, 46, 47	syl131anc 1410	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋)))
49	34, 36, 48	mpbi2and 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
50		neor 3050	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋) ↔ (𝑝 ≠ (𝑋 ∧ 𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
51	49, 50	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑝 ≠ (𝑋 ∧ 𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
52	51	necon1d 2980	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋 → 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌)))
53	33, 52	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌))
54	53	3exp 1137	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) → 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌))))
55	54	reximdvai 3176	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌)))
56	16, 55	mpd 16	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌))
57		risset 3240	. 2 ⊢ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌))
58	56, 57	sylibr 237	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  lecple 17318  Posetcpo 18364  meetcmee 18369  0.cp0 18478  Latclat 18488   ⋖ ccvr 40017  Atomscatm 40018  AtLatcal 40019  HLchlt 40105  Linesclines 40249  pmapcpmap 40252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18385  df-lub 18401  df-glb 18402  df-join 18403  df-meet 18404  df-p0 18480  df-lat 18489  df-clat 18556  df-oposet 39931  df-ol 39933  df-oml 39934  df-covers 40021  df-ats 40022  df-atl 40053  df-cvlat 40077  df-hlat 40106  df-lines 40256  df-pmap 40259

This theorem is referenced by:  cdleme3h  40990  cdleme7ga  41003