Theorem 2lnat 36912

Description: Two intersecting lines intersect at an atom. (Contributed by NM, 30-Apr-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
2lnat.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2lnat.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
2lnat.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
2lnat.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
2lnat.n	⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
2lnat.f	⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
2lnat	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem 2lnat

Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ HL)
2		hlatl 36488	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ AtLat)
3	1, 2	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ AtLat)
4	1	hllatd 36492	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝐾 ∈ Lat)
5		simp12 1199	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		simp13 1200	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		2lnat.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
8		2lnat.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
9	7, 8	latmcl 17654	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
10	4, 5, 6, 9	syl3anc 1366	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
11		simp3r 1197	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )
12		eqid 2819	. . . . 5 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
13		2lnat.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
14		2lnat.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
15	7, 12, 13, 14	atlex 36444	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ AtLat ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 ) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))
16	3, 10, 11, 15	syl3anc 1366	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))
17		simp13l 1283	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
18		simp11 1198	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
19		simp12l 1281	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁)
20		simp12r 1282	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁)
21		2lnat.n	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑁 = (Lines‘𝐾)
22		2lnat.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (pmap‘𝐾)
23	7, 12, 21, 22	lncmp 36911	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
24	18, 19, 20, 23	syl12anc 834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ 𝑋 = 𝑌))
25		simp111 1297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝐾 ∈ HL)
26	25	hllatd 36492	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝐾 ∈ Lat)
27		simp112 1298	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
28		simp113 1299	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
29	7, 12, 8	latleeqm1 17681	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
30	26, 27, 28, 29	syl3anc 1366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋(le‘𝐾)𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
31	24, 30	bitr3d 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋 = 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
32	31	necon3bid 3058	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋 ≠ 𝑌 ↔ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋))
33	17, 32	mpbid 234	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋)
34		simp3 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌))
35	7, 12, 8	latmle1 17678	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
36	26, 27, 28, 35	syl3anc 1366	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋)
37		hlpos 36494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
38	25, 37	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝐾 ∈ Poset)
39	7, 14	atbase 36417	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑝 ∈ 𝐴 → 𝑝 ∈ 𝐵)
40	39	3ad2ant2 1129	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝐵)
41	26, 27, 28, 9	syl3anc 1366	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵)
42		simp2 1132	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝 ∈ 𝐴)
43	7, 12, 26, 40, 41, 27, 34, 36	lattrd 17660	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝(le‘𝐾)𝑋)
44		eqid 2819	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ( ⋖ ‘𝐾) = ( ⋖ ‘𝐾)
45	7, 12, 44, 14, 21, 22	lncvrat 36910	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑝 ∈ 𝐴) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ 𝑝(le‘𝐾)𝑋)) → 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
46	25, 27, 42, 19, 43, 45	syl32anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋)
47	7, 12, 44	cvrnbtwn4 36407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐵) ∧ 𝑝( ⋖ ‘𝐾)𝑋) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋)))
48	38, 40, 27, 41, 46, 47	syl131anc 1378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → ((𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) ∧ (𝑋 ∧ 𝑌)(le‘𝐾)𝑋) ↔ (𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋)))
49	34, 36, 48	mpbi2and 710	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
50		neor 3106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌) ∨ (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋) ↔ (𝑝 ≠ (𝑋 ∧ 𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
51	49, 50	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → (𝑝 ≠ (𝑋 ∧ 𝑌) → (𝑋 ∧ 𝑌) = 𝑋))
52	51	necon1d 3036	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → ((𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 𝑋 → 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌)))
53	33, 52	mpd 15	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) ∧ 𝑝 ∈ 𝐴 ∧ 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌)) → 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌))
54	53	3exp 1114	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑝 ∈ 𝐴 → (𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) → 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌))))
55	54	reximdvai 3270	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝(le‘𝐾)(𝑋 ∧ 𝑌) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌)))
56	16, 55	mpd 15	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌))
57		risset 3265	. 2 ⊢ ((𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴 ↔ ∃𝑝 ∈ 𝐴 𝑝 = (𝑋 ∧ 𝑌))
58	56, 57	sylibr 236	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑁 ∧ (𝐹‘𝑌) ∈ 𝑁) ∧ (𝑋 ≠ 𝑌 ∧ (𝑋 ∧ 𝑌) ≠ 0 )) → (𝑋 ∧ 𝑌) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∧ w3a 1082   = wceq 1531   ∈ wcel 2108   ≠ wne 3014  ∃wrex 3137   class class class wbr 5057  ‘cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  lecple 16564  Posetcpo 17542  meetcmee 17547  0.cp0 17639  Latclat 17647   ⋖ ccvr 36390  Atomscatm 36391  AtLatcal 36392  HLchlt 36478  Linesclines 36622  pmapcpmap 36625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36304  df-ol 36306  df-oml 36307  df-covers 36394  df-ats 36395  df-atl 36426  df-cvlat 36450  df-hlat 36479  df-lines 36629  df-pmap 36632

This theorem is referenced by:  cdleme3h  37363  cdleme7ga  37376