Theorem hlatjcl 39743

Description: Closure of join operation. Frequently-used special case of latjcl 18374 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlatjcl.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcl.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcl	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem hlatjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39739	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		hlatjcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		hlatjcl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39665	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	2, 3	atbase 39665	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		hlatjcl.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcl 18374	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1161	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  joincjn 18246  Latclat 18366  Atomscatm 39639  HLchlt 39726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-lat 18367  df-ats 39643  df-atl 39674  df-cvlat 39698  df-hlat 39727

This theorem is referenced by:  atcvr0eq  39802  2atjm  39821  atbtwn  39822  3dim0  39833  3dimlem3a  39836  3dimlem3OLDN  39838  3dimlem4OLDN  39841  3dim3  39845  2dim  39846  ps-1  39853  hlatexch3N  39856  hlatexch4  39857  ps-2b  39858  3atlem1  39859  3atlem2  39860  llni2  39888  llnle  39894  2at0mat0  39901  2atm  39903  islpln5  39911  lplni2  39913  lplnnle2at  39917  2atnelpln  39920  islpln2a  39924  llncvrlpln2  39933  2atmat  39937  2llnjaN  39942  islvol5  39955  lvoli2  39957  lvolnle3at  39958  3atnelvolN  39962  islvol2aN  39968  4atlem0a  39969  4atlem3  39972  4atlem3a  39973  4atlem3b  39974  4atlem4a  39975  4atlem4b  39976  4atlem4c  39977  4atlem4d  39978  4atlem9  39979  4atlem10a  39980  4atlem10  39982  4atlem11a  39983  4atlem11b  39984  4atlem11  39985  4atlem12a  39986  4atlem12b  39987  4atlem12  39988  4at  39989  4at2  39990  lplncvrlvol2  39991  2lplnja  39995  dalempjqeb  40021  dalemsjteb  40022  dalemtjueb  40023  dalemply  40030  dalem1  40035  dalemcea  40036  dalem3  40040  dalem4  40041  dalem5  40043  dalem-cly  40047  dalem17  40056  dalem21  40070  dalem24  40073  dalem25  40074  dalem27  40075  dalem38  40086  dalem39  40087  dalem43  40091  dalem44  40092  dalem45  40093  dalem55  40103  dalem56  40104  dalem57  40105  2atm2atN  40161  2llnma1b  40162  2llnma3r  40164  llnmod2i2  40239  llnexchb2lem  40244  dalawlem1  40247  dalawlem2  40248  dalawlem3  40249  dalawlem4  40250  dalawlem5  40251  dalawlem6  40252  dalawlem7  40253  dalawlem8  40254  dalawlem9  40255  dalawlem11  40257  dalawlem12  40258  dalawlem15  40261  lhp2lt  40377  lhpexle2lem  40385  lhpexle3lem  40387  lhp2at0  40408  lhp2atnle  40409  lhpat3  40422  4atexlempsb  40436  4atexlemqtb  40437  4atexlemunv  40442  4atexlemtlw  40443  4atexlemc  40445  4atexlemnclw  40446  4atexlemcnd  40448  trlval3  40563  trlval4  40564  cdlemc4  40570  cdlemc5  40571  cdlemc6  40572  cdlemd2  40575  cdleme0e  40593  cdlemeulpq  40596  cdleme01N  40597  cdleme0ex1N  40599  cdleme3g  40610  cdleme3h  40611  cdleme3  40613  cdleme4  40614  cdleme4a  40615  cdleme5  40616  cdleme7aa  40618  cdleme7c  40621  cdleme7d  40622  cdleme7e  40623  cdleme7ga  40624  cdleme7  40625  cdleme9b  40628  cdleme9  40629  cdleme10  40630  cdleme11c  40637  cdleme13  40648  cdleme15b  40651  cdleme15d  40653  cdleme15  40654  cdleme16b  40655  cdleme16e  40658  cdleme16f  40659  cdleme17b  40663  cdleme22gb  40670  cdlemedb  40673  cdlemednpq  40675  cdleme20zN  40677  cdleme19a  40679  cdleme19c  40681  cdleme20aN  40685  cdleme20c  40687  cdleme20d  40688  cdleme20e  40689  cdleme20j  40694  cdleme20l  40698  cdleme21c  40703  cdleme21ct  40705  cdleme22aa  40715  cdleme22b  40717  cdleme22cN  40718  cdleme22d  40719  cdleme22e  40720  cdleme22eALTN  40721  cdleme22f  40722  cdleme22g  40724  cdleme23a  40725  cdleme23b  40726  cdleme23c  40727  cdleme28a  40746  cdleme35a  40824  cdleme35fnpq  40825  cdleme35b  40826  cdleme35c  40827  cdleme35d  40828  cdleme35e  40829  cdleme35f  40830  cdleme42a  40847  cdleme42c  40848  cdleme42h  40858  cdleme42i  40859  cdlemeg46frv  40901  cdlemeg46vrg  40903  cdlemeg46rgv  40904  cdlemeg46req  40905  cdlemf1  40937  cdlemf2  40938  cdlemg2fv2  40976  cdlemg2m  40980  cdlemg4  40993  cdlemg8b  41004  cdlemg10bALTN  41012  cdlemg10c  41015  cdlemg10  41017  cdlemg12e  41023  cdlemg12f  41024  cdlemg12g  41025  cdlemg12  41026  cdlemg13a  41027  cdlemg17a  41037  cdlemg17dALTN  41040  cdlemg17h  41044  cdlemg17  41053  cdlemg18b  41055  cdlemg19a  41059  cdlemg19  41060  cdlemg27a  41068  cdlemg27b  41072  cdlemg31a  41073  cdlemg31b  41074  cdlemg33b0  41077  cdlemg33a  41082  trlcoabs2N  41098  trlcolem  41102  cdlemg42  41105  cdlemg46  41111  cdlemh1  41191  cdlemk3  41209  cdlemk10  41219  cdlemk12  41226  cdlemkole  41229  cdlemk14  41230  cdlemk15  41231  cdlemk1u  41235  cdlemk5u  41237  cdlemk12u  41248  cdlemk37  41290  cdlemk39  41292  cdlemkid1  41298  cdlemk51  41329  cdlemk52  41330  dia2dimlem1  41440  dia2dimlem2  41441  dia2dimlem3  41442  dia2dimlem10  41449  dia2dimlem12  41451  cdlemm10N  41494  cdlemn2  41571  cdlemn10  41582  dib2dim  41619  dih2dimb  41620  dih2dimbALTN  41621  dihjatcclem1  41794  dihjatcclem2  41795  dihjatcclem4  41797  dvh4dimat  41814