Theorem hlatjcl 39350

Description: Closure of join operation. Frequently-used special case of latjcl 18345 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlatjcl.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcl.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcl	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem hlatjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39346	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		hlatjcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		hlatjcl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39272	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	2, 3	atbase 39272	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		hlatjcl.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcl 18345	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1160	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  joincjn 18217  Latclat 18337  Atomscatm 39246  HLchlt 39333

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-lat 18338  df-ats 39250  df-atl 39281  df-cvlat 39305  df-hlat 39334

This theorem is referenced by:  atcvr0eq  39409  2atjm  39428  atbtwn  39429  3dim0  39440  3dimlem3a  39443  3dimlem3OLDN  39445  3dimlem4OLDN  39448  3dim3  39452  2dim  39453  ps-1  39460  hlatexch3N  39463  hlatexch4  39464  ps-2b  39465  3atlem1  39466  3atlem2  39467  llni2  39495  llnle  39501  2at0mat0  39508  2atm  39510  islpln5  39518  lplni2  39520  lplnnle2at  39524  2atnelpln  39527  islpln2a  39531  llncvrlpln2  39540  2atmat  39544  2llnjaN  39549  islvol5  39562  lvoli2  39564  lvolnle3at  39565  3atnelvolN  39569  islvol2aN  39575  4atlem0a  39576  4atlem3  39579  4atlem3a  39580  4atlem3b  39581  4atlem4a  39582  4atlem4b  39583  4atlem4c  39584  4atlem4d  39585  4atlem9  39586  4atlem10a  39587  4atlem10  39589  4atlem11a  39590  4atlem11b  39591  4atlem11  39592  4atlem12a  39593  4atlem12b  39594  4atlem12  39595  4at  39596  4at2  39597  lplncvrlvol2  39598  2lplnja  39602  dalempjqeb  39628  dalemsjteb  39629  dalemtjueb  39630  dalemply  39637  dalem1  39642  dalemcea  39643  dalem3  39647  dalem4  39648  dalem5  39650  dalem-cly  39654  dalem17  39663  dalem21  39677  dalem24  39680  dalem25  39681  dalem27  39682  dalem38  39693  dalem39  39694  dalem43  39698  dalem44  39699  dalem45  39700  dalem55  39710  dalem56  39711  dalem57  39712  2atm2atN  39768  2llnma1b  39769  2llnma3r  39771  llnmod2i2  39846  llnexchb2lem  39851  dalawlem1  39854  dalawlem2  39855  dalawlem3  39856  dalawlem4  39857  dalawlem5  39858  dalawlem6  39859  dalawlem7  39860  dalawlem8  39861  dalawlem9  39862  dalawlem11  39864  dalawlem12  39865  dalawlem15  39868  lhp2lt  39984  lhpexle2lem  39992  lhpexle3lem  39994  lhp2at0  40015  lhp2atnle  40016  lhpat3  40029  4atexlempsb  40043  4atexlemqtb  40044  4atexlemunv  40049  4atexlemtlw  40050  4atexlemc  40052  4atexlemnclw  40053  4atexlemcnd  40055  trlval3  40170  trlval4  40171  cdlemc4  40177  cdlemc5  40178  cdlemc6  40179  cdlemd2  40182  cdleme0e  40200  cdlemeulpq  40203  cdleme01N  40204  cdleme0ex1N  40206  cdleme3g  40217  cdleme3h  40218  cdleme3  40220  cdleme4  40221  cdleme4a  40222  cdleme5  40223  cdleme7aa  40225  cdleme7c  40228  cdleme7d  40229  cdleme7e  40230  cdleme7ga  40231  cdleme7  40232  cdleme9b  40235  cdleme9  40236  cdleme10  40237  cdleme11c  40244  cdleme13  40255  cdleme15b  40258  cdleme15d  40260  cdleme15  40261  cdleme16b  40262  cdleme16e  40265  cdleme16f  40266  cdleme17b  40270  cdleme22gb  40277  cdlemedb  40280  cdlemednpq  40282  cdleme20zN  40284  cdleme19a  40286  cdleme19c  40288  cdleme20aN  40292  cdleme20c  40294  cdleme20d  40295  cdleme20e  40296  cdleme20j  40301  cdleme20l  40305  cdleme21c  40310  cdleme21ct  40312  cdleme22aa  40322  cdleme22b  40324  cdleme22cN  40325  cdleme22d  40326  cdleme22e  40327  cdleme22eALTN  40328  cdleme22f  40329  cdleme22g  40331  cdleme23a  40332  cdleme23b  40333  cdleme23c  40334  cdleme28a  40353  cdleme35a  40431  cdleme35fnpq  40432  cdleme35b  40433  cdleme35c  40434  cdleme35d  40435  cdleme35e  40436  cdleme35f  40437  cdleme42a  40454  cdleme42c  40455  cdleme42h  40465  cdleme42i  40466  cdlemeg46frv  40508  cdlemeg46vrg  40510  cdlemeg46rgv  40511  cdlemeg46req  40512  cdlemf1  40544  cdlemf2  40545  cdlemg2fv2  40583  cdlemg2m  40587  cdlemg4  40600  cdlemg8b  40611  cdlemg10bALTN  40619  cdlemg10c  40622  cdlemg10  40624  cdlemg12e  40630  cdlemg12f  40631  cdlemg12g  40632  cdlemg12  40633  cdlemg13a  40634  cdlemg17a  40644  cdlemg17dALTN  40647  cdlemg17h  40651  cdlemg17  40660  cdlemg18b  40662  cdlemg19a  40666  cdlemg19  40667  cdlemg27a  40675  cdlemg27b  40679  cdlemg31a  40680  cdlemg31b  40681  cdlemg33b0  40684  cdlemg33a  40689  trlcoabs2N  40705  trlcolem  40709  cdlemg42  40712  cdlemg46  40718  cdlemh1  40798  cdlemk3  40816  cdlemk10  40826  cdlemk12  40833  cdlemkole  40836  cdlemk14  40837  cdlemk15  40838  cdlemk1u  40842  cdlemk5u  40844  cdlemk12u  40855  cdlemk37  40897  cdlemk39  40899  cdlemkid1  40905  cdlemk51  40936  cdlemk52  40937  dia2dimlem1  41047  dia2dimlem2  41048  dia2dimlem3  41049  dia2dimlem10  41056  dia2dimlem12  41058  cdlemm10N  41101  cdlemn2  41178  cdlemn10  41189  dib2dim  41226  dih2dimb  41227  dih2dimbALTN  41228  dihjatcclem1  41401  dihjatcclem2  41402  dihjatcclem4  41404  dvh4dimat  41421