Theorem hlatjcl 40564

Description: Closure of join operation. Frequently-used special case of latjcl 18625 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlatjcl.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcl.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcl	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem hlatjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 40560	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		hlatjcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		hlatjcl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 40486	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	2, 3	atbase 40486	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		hlatjcl.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcl 18625	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1178	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Basecbs 17399  joincjn 18497  Latclat 18617  Atomscatm 40460  HLchlt 40547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-lub 18530  df-glb 18531  df-join 18532  df-meet 18533  df-lat 18618  df-ats 40464  df-atl 40495  df-cvlat 40519  df-hlat 40548

This theorem is used by:  atcvr0eq  40623  2atjm  40642  atbtwn  40643  3dim0  40654  3dimlem3a  40657  3dimlem3OLDN  40659  3dimlem4OLDN  40662  3dim3  40666  2dim  40667  ps-1  40674  hlatexch3N  40677  hlatexch4  40678  ps-2b  40679  3atlem1  40680  3atlem2  40681  llni2  40709  llnle  40715  2at0mat0  40722  2atm  40724  islpln5  40732  lplni2  40734  lplnnle2at  40738  2atnelpln  40741  islpln2a  40745  llncvrlpln2  40754  2atmat  40758  2llnjaN  40763  islvol5  40776  lvoli2  40778  lvolnle3at  40779  3atnelvolN  40783  islvol2aN  40789  4atlem0a  40790  4atlem3  40793  4atlem3a  40794  4atlem3b  40795  4atlem4a  40796  4atlem4b  40797  4atlem4c  40798  4atlem4d  40799  4atlem9  40800  4atlem10a  40801  4atlem10  40803  4atlem11a  40804  4atlem11b  40805  4atlem11  40806  4atlem12a  40807  4atlem12b  40808  4atlem12  40809  4at  40810  4at2  40811  lplncvrlvol2  40812  2lplnja  40816  dalempjqeb  40842  dalemsjteb  40843  dalemtjueb  40844  dalemply  40851  dalem1  40856  dalemcea  40857  dalem3  40861  dalem4  40862  dalem5  40864  dalem-cly  40868  dalem17  40877  dalem21  40891  dalem24  40894  dalem25  40895  dalem27  40896  dalem38  40907  dalem39  40908  dalem43  40912  dalem44  40913  dalem45  40914  dalem55  40924  dalem56  40925  dalem57  40926  2atm2atN  40982  2llnma1b  40983  2llnma3r  40985  llnmod2i2  41060  llnexchb2lem  41065  dalawlem1  41068  dalawlem2  41069  dalawlem3  41070  dalawlem4  41071  dalawlem5  41072  dalawlem6  41073  dalawlem7  41074  dalawlem8  41075  dalawlem9  41076  dalawlem11  41078  dalawlem12  41079  dalawlem15  41082  lhp2lt  41198  lhpexle2lem  41206  lhpexle3lem  41208  lhp2at0  41229  lhp2atnle  41230  lhpat3  41243  4atexlempsb  41257  4atexlemqtb  41258  4atexlemunv  41263  4atexlemtlw  41264  4atexlemc  41266  4atexlemnclw  41267  4atexlemcnd  41269  trlval3  41384  trlval4  41385  cdlemc4  41391  cdlemc5  41392  cdlemc6  41393  cdlemd2  41396  cdleme0e  41414  cdlemeulpq  41417  cdleme01N  41418  cdleme0ex1N  41420  cdleme3g  41431  cdleme3h  41432  cdleme3  41434  cdleme4  41435  cdleme4a  41436  cdleme5  41437  cdleme7aa  41439  cdleme7c  41442  cdleme7d  41443  cdleme7e  41444  cdleme7ga  41445  cdleme7  41446  cdleme9b  41449  cdleme9  41450  cdleme10  41451  cdleme11c  41458  cdleme13  41469  cdleme15b  41472  cdleme15d  41474  cdleme15  41475  cdleme16b  41476  cdleme16e  41479  cdleme16f  41480  cdleme17b  41484  cdleme22gb  41491  cdlemedb  41494  cdlemednpq  41496  cdleme20zN  41498  cdleme19a  41500  cdleme19c  41502  cdleme20aN  41506  cdleme20c  41508  cdleme20d  41509  cdleme20e  41510  cdleme20j  41515  cdleme20l  41519  cdleme21c  41524  cdleme21ct  41526  cdleme22aa  41536  cdleme22b  41538  cdleme22cN  41539  cdleme22d  41540  cdleme22e  41541  cdleme22eALTN  41542  cdleme22f  41543  cdleme22g  41545  cdleme23a  41546  cdleme23b  41547  cdleme23c  41548  cdleme28a  41567  cdleme35a  41645  cdleme35fnpq  41646  cdleme35b  41647  cdleme35c  41648  cdleme35d  41649  cdleme35e  41650  cdleme35f  41651  cdleme42a  41668  cdleme42c  41669  cdleme42h  41679  cdleme42i  41680  cdlemeg46frv  41722  cdlemeg46vrg  41724  cdlemeg46rgv  41725  cdlemeg46req  41726  cdlemf1  41758  cdlemf2  41759  cdlemg2fv2  41797  cdlemg2m  41801  cdlemg4  41814  cdlemg8b  41825  cdlemg10bALTN  41833  cdlemg10c  41836  cdlemg10  41838  cdlemg12e  41844  cdlemg12f  41845  cdlemg12g  41846  cdlemg12  41847  cdlemg13a  41848  cdlemg17a  41858  cdlemg17dALTN  41861  cdlemg17h  41865  cdlemg17  41874  cdlemg18b  41876  cdlemg19a  41880  cdlemg19  41881  cdlemg27a  41889  cdlemg27b  41893  cdlemg31a  41894  cdlemg31b  41895  cdlemg33b0  41898  cdlemg33a  41903  trlcoabs2N  41919  trlcolem  41923  cdlemg42  41926  cdlemg46  41932  cdlemh1  42012  cdlemk3  42030  cdlemk10  42040  cdlemk12  42047  cdlemkole  42050  cdlemk14  42051  cdlemk15  42052  cdlemk1u  42056  cdlemk5u  42058  cdlemk12u  42069  cdlemk37  42111  cdlemk39  42113  cdlemkid1  42119  cdlemk51  42150  cdlemk52  42151  dia2dimlem1  42261  dia2dimlem2  42262  dia2dimlem3  42263  dia2dimlem10  42270  dia2dimlem12  42272  cdlemm10N  42315  cdlemn2  42392  cdlemn10  42403  dib2dim  42440  dih2dimb  42441  dih2dimbALTN  42442  dihjatcclem1  42615  dihjatcclem2  42616  dihjatcclem4  42618  dvh4dimat  42635