Theorem hlatjcl 39390

Description: Closure of join operation. Frequently-used special case of latjcl 18454 for atoms. (Contributed by NM, 15-Jun-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatjcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
hlatjcl.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatjcl.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatjcl	⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem hlatjcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hllat 39386	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
2		hlatjcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
3		hlatjcl.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
4	2, 3	atbase 39312	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ 𝐵)
5	2, 3	atbase 39312	. 2 ⊢ (𝑌 ∈ 𝐴 → 𝑌 ∈ 𝐵)
6		hlatjcl.j	. . 3 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7	2, 6	latjcl 18454	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)
8	1, 4, 5, 7	syl3an 1160	1 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐴) → (𝑋 ∨ 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  joincjn 18328  Latclat 18446  Atomscatm 39286  HLchlt 39373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-lub 18361  df-glb 18362  df-join 18363  df-meet 18364  df-lat 18447  df-ats 39290  df-atl 39321  df-cvlat 39345  df-hlat 39374

This theorem is referenced by:  atcvr0eq  39450  2atjm  39469  atbtwn  39470  3dim0  39481  3dimlem3a  39484  3dimlem3OLDN  39486  3dimlem4OLDN  39489  3dim3  39493  2dim  39494  ps-1  39501  hlatexch3N  39504  hlatexch4  39505  ps-2b  39506  3atlem1  39507  3atlem2  39508  llni2  39536  llnle  39542  2at0mat0  39549  2atm  39551  islpln5  39559  lplni2  39561  lplnnle2at  39565  2atnelpln  39568  islpln2a  39572  llncvrlpln2  39581  2atmat  39585  2llnjaN  39590  islvol5  39603  lvoli2  39605  lvolnle3at  39606  3atnelvolN  39610  islvol2aN  39616  4atlem0a  39617  4atlem3  39620  4atlem3a  39621  4atlem3b  39622  4atlem4a  39623  4atlem4b  39624  4atlem4c  39625  4atlem4d  39626  4atlem9  39627  4atlem10a  39628  4atlem10  39630  4atlem11a  39631  4atlem11b  39632  4atlem11  39633  4atlem12a  39634  4atlem12b  39635  4atlem12  39636  4at  39637  4at2  39638  lplncvrlvol2  39639  2lplnja  39643  dalempjqeb  39669  dalemsjteb  39670  dalemtjueb  39671  dalemply  39678  dalem1  39683  dalemcea  39684  dalem3  39688  dalem4  39689  dalem5  39691  dalem-cly  39695  dalem17  39704  dalem21  39718  dalem24  39721  dalem25  39722  dalem27  39723  dalem38  39734  dalem39  39735  dalem43  39739  dalem44  39740  dalem45  39741  dalem55  39751  dalem56  39752  dalem57  39753  2atm2atN  39809  2llnma1b  39810  2llnma3r  39812  llnmod2i2  39887  llnexchb2lem  39892  dalawlem1  39895  dalawlem2  39896  dalawlem3  39897  dalawlem4  39898  dalawlem5  39899  dalawlem6  39900  dalawlem7  39901  dalawlem8  39902  dalawlem9  39903  dalawlem11  39905  dalawlem12  39906  dalawlem15  39909  lhp2lt  40025  lhpexle2lem  40033  lhpexle3lem  40035  lhp2at0  40056  lhp2atnle  40057  lhpat3  40070  4atexlempsb  40084  4atexlemqtb  40085  4atexlemunv  40090  4atexlemtlw  40091  4atexlemc  40093  4atexlemnclw  40094  4atexlemcnd  40096  trlval3  40211  trlval4  40212  cdlemc4  40218  cdlemc5  40219  cdlemc6  40220  cdlemd2  40223  cdleme0e  40241  cdlemeulpq  40244  cdleme01N  40245  cdleme0ex1N  40247  cdleme3g  40258  cdleme3h  40259  cdleme3  40261  cdleme4  40262  cdleme4a  40263  cdleme5  40264  cdleme7aa  40266  cdleme7c  40269  cdleme7d  40270  cdleme7e  40271  cdleme7ga  40272  cdleme7  40273  cdleme9b  40276  cdleme9  40277  cdleme10  40278  cdleme11c  40285  cdleme13  40296  cdleme15b  40299  cdleme15d  40301  cdleme15  40302  cdleme16b  40303  cdleme16e  40306  cdleme16f  40307  cdleme17b  40311  cdleme22gb  40318  cdlemedb  40321  cdlemednpq  40323  cdleme20zN  40325  cdleme19a  40327  cdleme19c  40329  cdleme20aN  40333  cdleme20c  40335  cdleme20d  40336  cdleme20e  40337  cdleme20j  40342  cdleme20l  40346  cdleme21c  40351  cdleme21ct  40353  cdleme22aa  40363  cdleme22b  40365  cdleme22cN  40366  cdleme22d  40367  cdleme22e  40368  cdleme22eALTN  40369  cdleme22f  40370  cdleme22g  40372  cdleme23a  40373  cdleme23b  40374  cdleme23c  40375  cdleme28a  40394  cdleme35a  40472  cdleme35fnpq  40473  cdleme35b  40474  cdleme35c  40475  cdleme35d  40476  cdleme35e  40477  cdleme35f  40478  cdleme42a  40495  cdleme42c  40496  cdleme42h  40506  cdleme42i  40507  cdlemeg46frv  40549  cdlemeg46vrg  40551  cdlemeg46rgv  40552  cdlemeg46req  40553  cdlemf1  40585  cdlemf2  40586  cdlemg2fv2  40624  cdlemg2m  40628  cdlemg4  40641  cdlemg8b  40652  cdlemg10bALTN  40660  cdlemg10c  40663  cdlemg10  40665  cdlemg12e  40671  cdlemg12f  40672  cdlemg12g  40673  cdlemg12  40674  cdlemg13a  40675  cdlemg17a  40685  cdlemg17dALTN  40688  cdlemg17h  40692  cdlemg17  40701  cdlemg18b  40703  cdlemg19a  40707  cdlemg19  40708  cdlemg27a  40716  cdlemg27b  40720  cdlemg31a  40721  cdlemg31b  40722  cdlemg33b0  40725  cdlemg33a  40730  trlcoabs2N  40746  trlcolem  40750  cdlemg42  40753  cdlemg46  40759  cdlemh1  40839  cdlemk3  40857  cdlemk10  40867  cdlemk12  40874  cdlemkole  40877  cdlemk14  40878  cdlemk15  40879  cdlemk1u  40883  cdlemk5u  40885  cdlemk12u  40896  cdlemk37  40938  cdlemk39  40940  cdlemkid1  40946  cdlemk51  40977  cdlemk52  40978  dia2dimlem1  41088  dia2dimlem2  41089  dia2dimlem3  41090  dia2dimlem10  41097  dia2dimlem12  41099  cdlemm10N  41142  cdlemn2  41219  cdlemn10  41230  dib2dim  41267  dih2dimb  41268  dih2dimbALTN  41269  dihjatcclem1  41442  dihjatcclem2  41443  dihjatcclem4  41445  dvh4dimat  41462