Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hl0lt1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hl0lt1N 38895
Description: Lattice 0 is less than lattice 1 in a Hilbert lattice. (Contributed by NM, 4-Dec-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hl0lt1.s < = (lt‘𝐾)
hl0lt1.z 0 = (0.‘𝐾)
hl0lt1.u 1 = (1.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hl0lt1N (𝐾 ∈ HL → 0 < 1 )

Proof of Theorem hl0lt1N
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 hl0lt1.s . . 3 < = (lt‘𝐾)
3 hl0lt1.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
4 hl0lt1.u . . 3 1 = (1.‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlhgt2 38894 . 2 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)( 0 < 𝑥𝑥 < 1 ))
6 hlpos 38870 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
76adantr 479 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Poset)
8 hlop 38866 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
98adantr 479 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
101, 3op0cl 38688 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
119, 10syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
12 simpr 483 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
131, 4op1cl 38689 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
149, 13syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 ∈ (Base‘𝐾))
151, 2plttr 18341 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 < 𝑥𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
167, 11, 12, 14, 15syl13anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (( 0 < 𝑥𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
1716rexlimdva 3152 . 2 (𝐾 ∈ HL → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)( 0 < 𝑥𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
185, 17mpd 15 1 (𝐾 ∈ HL → 0 < 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3067   class class class wbr 5152  cfv 6553  Basecbs 17187  Posetcpo 18306  ltcplt 18307  0.cp0 18422  1.cp1 18423  OPcops 38676  HLchlt 38854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator