Theorem hl0lt1N 39384

Description: Lattice 0 is less than lattice 1 in a Hilbert lattice. (Contributed by NM, 4-Dec-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hl0lt1.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
hl0lt1.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
hl0lt1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hl0lt1N	⊢ (𝐾 ∈ HL → 0 < 1 )

Proof of Theorem hl0lt1N

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		hl0lt1.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		hl0lt1.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		hl0lt1.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlhgt2 39383	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ))
6		hlpos 39359	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Poset)
8		hlop 39355	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
10	1, 3	op0cl 39177	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
13	1, 4	op1cl 39178	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
14	9, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 ∈ (Base‘𝐾))
15	1, 2	plttr 18301	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
16	7, 11, 12, 14, 15	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
17	16	rexlimdva 3134	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
18	5, 17	mpd 15	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 0 < 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  Posetcpo 18268  ltcplt 18269  0.cp0 18382  1.cp1 18383  OPcops 39165  HLchlt 39343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-proset 18255  df-poset 18274  df-plt 18289  df-lub 18305  df-glb 18306  df-p0 18384  df-p1 18385  df-lat 18391  df-oposet 39169  df-ol 39171  df-oml 39172  df-atl 39291  df-cvlat 39315  df-hlat 39344

This theorem is referenced by: (None)