Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hl0lt1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hl0lt1N 38773
Description: Lattice 0 is less than lattice 1 in a Hilbert lattice. (Contributed by NM, 4-Dec-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hl0lt1.s < = (lt‘𝐾)
hl0lt1.z 0 = (0.‘𝐾)
hl0lt1.u 1 = (1.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hl0lt1N (𝐾 ∈ HL → 0 < 1 )

Proof of Theorem hl0lt1N
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 hl0lt1.s . . 3 < = (lt‘𝐾)
3 hl0lt1.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
4 hl0lt1.u . . 3 1 = (1.‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlhgt2 38772 . 2 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)( 0 < 𝑥𝑥 < 1 ))
6 hlpos 38748 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
76adantr 480 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Poset)
8 hlop 38744 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
98adantr 480 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
101, 3op0cl 38566 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
119, 10syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
12 simpr 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
131, 4op1cl 38567 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
149, 13syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 ∈ (Base‘𝐾))
151, 2plttr 18304 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 < 𝑥𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
167, 11, 12, 14, 15syl13anc 1369 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (( 0 < 𝑥𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
1716rexlimdva 3149 . 2 (𝐾 ∈ HL → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)( 0 < 𝑥𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
185, 17mpd 15 1 (𝐾 ∈ HL → 0 < 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wcel 2098  wrex 3064   class class class wbr 5141  cfv 6536  Basecbs 17150  Posetcpo 18269  ltcplt 18270  0.cp0 18385  1.cp1 18386  OPcops 38554  HLchlt 38732
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-proset 18257  df-poset 18275  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18394  df-oposet 38558  df-ol 38560  df-oml 38561  df-atl 38680  df-cvlat 38704  df-hlat 38733
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator