Theorem hl0lt1N 39357

Description: Lattice 0 is less than lattice 1 in a Hilbert lattice. (Contributed by NM, 4-Dec-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hl0lt1.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
hl0lt1.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
hl0lt1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hl0lt1N	⊢ (𝐾 ∈ HL → 0 < 1 )

Proof of Theorem hl0lt1N

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		hl0lt1.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		hl0lt1.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		hl0lt1.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlhgt2 39356	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ))
6		hlpos 39332	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Poset)
8		hlop 39328	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
10	1, 3	op0cl 39150	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
13	1, 4	op1cl 39151	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
14	9, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 ∈ (Base‘𝐾))
15	1, 2	plttr 18277	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
16	7, 11, 12, 14, 15	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
17	16	rexlimdva 3134	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
18	5, 17	mpd 15	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 0 < 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3053   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  Posetcpo 18244  ltcplt 18245  0.cp0 18358  1.cp1 18359  OPcops 39138  HLchlt 39316

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-proset 18231  df-poset 18250  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-p0 18360  df-p1 18361  df-lat 18367  df-oposet 39142  df-ol 39144  df-oml 39145  df-atl 39264  df-cvlat 39288  df-hlat 39317

This theorem is referenced by: (None)