Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hl0lt1N Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hl0lt1N 37899
Description: Lattice 0 is less than lattice 1 in a Hilbert lattice. (Contributed by NM, 4-Dec-2011.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hl0lt1.s < = (lt‘𝐾)
hl0lt1.z 0 = (0.‘𝐾)
hl0lt1.u 1 = (1.‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
hl0lt1N (𝐾 ∈ HL → 0 < 1 )

Proof of Theorem hl0lt1N
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2733 . . 3 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2 hl0lt1.s . . 3 < = (lt‘𝐾)
3 hl0lt1.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
4 hl0lt1.u . . 3 1 = (1.‘𝐾)
51, 2, 3, 4hlhgt2 37898 . 2 (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)( 0 < 𝑥𝑥 < 1 ))
6 hlpos 37874 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
76adantr 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Poset)
8 hlop 37870 . . . . . 6 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
98adantr 482 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
101, 3op0cl 37692 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
119, 10syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
12 simpr 486 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
131, 4op1cl 37693 . . . . 5 (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
149, 13syl 17 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 ∈ (Base‘𝐾))
151, 2plttr 18236 . . . 4 ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 < 𝑥𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
167, 11, 12, 14, 15syl13anc 1373 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (( 0 < 𝑥𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
1716rexlimdva 3149 . 2 (𝐾 ∈ HL → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)( 0 < 𝑥𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
185, 17mpd 15 1 (𝐾 ∈ HL → 0 < 1 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wrex 3070   class class class wbr 5106  cfv 6497  Basecbs 17088  Posetcpo 18201  ltcplt 18202  0.cp0 18317  1.cp1 18318  OPcops 37680  HLchlt 37858
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-proset 18189  df-poset 18207  df-plt 18224  df-lub 18240  df-glb 18241  df-p0 18319  df-p1 18320  df-lat 18326  df-oposet 37684  df-ol 37686  df-oml 37687  df-atl 37806  df-cvlat 37830  df-hlat 37859
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator