Theorem hl0lt1N 39766

Description: Lattice 0 is less than lattice 1 in a Hilbert lattice. (Contributed by NM, 4-Dec-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hl0lt1.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
hl0lt1.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
hl0lt1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hl0lt1N	⊢ (𝐾 ∈ HL → 0 < 1 )

Proof of Theorem hl0lt1N

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		hl0lt1.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		hl0lt1.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		hl0lt1.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlhgt2 39765	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ))
6		hlpos 39742	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Poset)
8		hlop 39738	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
10	1, 3	op0cl 39560	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
13	1, 4	op1cl 39561	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
14	9, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 ∈ (Base‘𝐾))
15	1, 2	plttr 18275	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
16	7, 11, 12, 14, 15	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
17	16	rexlimdva 3139	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
18	5, 17	mpd 15	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 0 < 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   class class class wbr 5100  ‘cfv 6500  Basecbs 17148  Posetcpo 18242  ltcplt 18243  0.cp0 18356  1.cp1 18357  OPcops 39548  HLchlt 39726

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-oposet 39552  df-ol 39554  df-oml 39555  df-atl 39674  df-cvlat 39698  df-hlat 39727

This theorem is referenced by: (None)