Theorem hl0lt1N 39393

Description: Lattice 0 is less than lattice 1 in a Hilbert lattice. (Contributed by NM, 4-Dec-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hl0lt1.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
hl0lt1.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
hl0lt1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hl0lt1N	⊢ (𝐾 ∈ HL → 0 < 1 )

Proof of Theorem hl0lt1N

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		hl0lt1.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		hl0lt1.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		hl0lt1.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlhgt2 39392	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ))
6		hlpos 39368	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Poset)
8		hlop 39364	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
10	1, 3	op0cl 39186	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
13	1, 4	op1cl 39187	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
14	9, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 ∈ (Base‘𝐾))
15	1, 2	plttr 18388	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
16	7, 11, 12, 14, 15	syl13anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
17	16	rexlimdva 3154	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
18	5, 17	mpd 15	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 0 < 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3069   class class class wbr 5142  ‘cfv 6560  Basecbs 17248  Posetcpo 18354  ltcplt 18355  0.cp0 18469  1.cp1 18470  OPcops 39174  HLchlt 39352

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-riota 7389  df-ov 7435  df-proset 18341  df-poset 18360  df-plt 18376  df-lub 18392  df-glb 18393  df-p0 18471  df-p1 18472  df-lat 18478  df-oposet 39178  df-ol 39180  df-oml 39181  df-atl 39300  df-cvlat 39324  df-hlat 39353

This theorem is referenced by: (None)