Theorem hl0lt1N 39414

Description: Lattice 0 is less than lattice 1 in a Hilbert lattice. (Contributed by NM, 4-Dec-2011.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
hl0lt1.s	⊢ < = (lt‘𝐾)
hl0lt1.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
hl0lt1.u	⊢ 1 = (1.‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hl0lt1N	⊢ (𝐾 ∈ HL → 0 < 1 )

Proof of Theorem hl0lt1N

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
2		hl0lt1.s	. . 3 ⊢ < = (lt‘𝐾)
3		hl0lt1.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		hl0lt1.u	. . 3 ⊢ 1 = (1.‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	hlhgt2 39413	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → ∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ))
6		hlpos 39389	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Poset)
7	6	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ Poset)
8		hlop 39385	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OP)
9	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝐾 ∈ OP)
10	1, 3	op0cl 39207	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 0 ∈ (Base‘𝐾))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 0 ∈ (Base‘𝐾))
12		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐾))
13	1, 4	op1cl 39208	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ OP → 1 ∈ (Base‘𝐾))
14	9, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → 1 ∈ (Base‘𝐾))
15	1, 2	plttr 18357	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Poset ∧ ( 0 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 1 ∈ (Base‘𝐾))) → (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
16	7, 11, 12, 14, 15	syl13anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐾)) → (( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
17	16	rexlimdva 3142	. 2 ⊢ (𝐾 ∈ HL → (∃𝑥 ∈ (Base‘𝐾)( 0 < 𝑥 ∧ 𝑥 < 1 ) → 0 < 1 ))
18	5, 17	mpd 15	1 ⊢ (𝐾 ∈ HL → 0 < 1 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∃wrex 3061   class class class wbr 5124  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  Posetcpo 18324  ltcplt 18325  0.cp0 18438  1.cp1 18439  OPcops 39195  HLchlt 39373

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-proset 18311  df-poset 18330  df-plt 18345  df-lub 18361  df-glb 18362  df-p0 18440  df-p1 18441  df-lat 18447  df-oposet 39199  df-ol 39201  df-oml 39202  df-atl 39321  df-cvlat 39345  df-hlat 39374

This theorem is referenced by: (None)