Theorem hoidifhspf 45632

Description: 𝐷 is a function that returns the representation of the left side of the difference of a half-open interval and a half-space. Used in Lemma 115F of [Fremlin1] p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidifhspf.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑘 = 𝐾, if(𝑥 ≤ (𝑎‘𝑘), (𝑎‘𝑘), 𝑥), (𝑎‘𝑘)))))
hoidifhspf.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
hoidifhspf.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hoidifhspf.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoidifhspf	⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑌)‘𝐴):𝑋⟶ℝ)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑘   𝐾,𝑎,𝑥   𝑋,𝑎,𝑘,𝑥   𝑌,𝑎,𝑘,𝑥   𝜑,𝑎,𝑘,𝑥

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐷(𝑥,𝑘,𝑎)   𝐾(𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘,𝑎)

Proof of Theorem hoidifhspf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hoidifhspf.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
2	1	ffvelcdmda 7085	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
3		hoidifhspf.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
4	3	adantr 479	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ ℝ)
5	2, 4	ifcld 4573	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌) ∈ ℝ)
6	5, 2	ifcld 4573	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)) ∈ ℝ)
7	6	fmpttd 7115	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘))):𝑋⟶ℝ)
8		hoidifhspf.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑘 = 𝐾, if(𝑥 ≤ (𝑎‘𝑘), (𝑎‘𝑘), 𝑥), (𝑎‘𝑘)))))
9		hoidifhspf.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10	8, 3, 9, 1	hoidifhspval2 45629	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑌)‘𝐴) = (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘))))
11	10	feq1d 6701	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴):𝑋⟶ℝ ↔ (𝑘 ∈ 𝑋 ↦ if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘))):𝑋⟶ℝ))
12	7, 11	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑌)‘𝐴):𝑋⟶ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8822  ℝcr 11111   ≤ cle 11253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824

This theorem is referenced by:  hoidifhspdmvle  45634  hspmbllem1  45640  hspmbllem2  45641