Theorem hoidifhspdmvle 47546

Description: The dimensional volume of the difference of a half-open interval and a half-space is less than or equal to the dimensional volume of the whole half-open interval. Used in Lemma 115F of [Fremlin1] p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidifhspdmvle.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidifhspdmvle.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoidifhspdmvle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidifhspdmvle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoidifhspdmvle.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
hoidifhspdmvle.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (ℎ ∈ 𝑋 ↦ if(ℎ = 𝐾, if(𝑥 ≤ (𝑐‘ℎ), (𝑐‘ℎ), 𝑥), (𝑐‘ℎ)))))
hoidifhspdmvle.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoidifhspdmvle	⊢ (𝜑 → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)(𝐿‘𝑋)𝐵) ≤ (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐴,𝑐,ℎ,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝐷,𝑎,𝑏,𝑘   𝐾,𝑐,ℎ,𝑥   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑋,𝑐,ℎ   𝑌,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑌,𝑐,ℎ   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑐,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥, ℎ, 𝑐)   𝐷(𝑥, ℎ, 𝑐)   𝐾(𝑘, 𝑎, 𝑏)   𝐿(𝑥, ℎ, 𝑘, 𝑎, 𝑏, 𝑐)

Proof of Theorem hoidifhspdmvle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1947	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		hoidifhspdmvle.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3		hoidifhspdmvle.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (ℎ ∈ 𝑋 ↦ if(ℎ = 𝐾, if(𝑥 ≤ (𝑐‘ℎ), (𝑐‘ℎ), 𝑥), (𝑐‘ℎ)))))
4		hoidifhspdmvle.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
5		hoidifhspdmvle.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
6	3, 4, 2, 5	hoidifhspf 47544	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑌)‘𝐴):𝑋⟶ℝ)
7	6	ffvelcdmda 7073	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
8		hoidifhspdmvle.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
9	8	ffvelcdmda 7073	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
10		volicore 47507	. . . 4 ⊢ (((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
11	7, 9, 10	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
12	9	rexrd 11316	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*)
13		icombl 25832	. . . . 5 ⊢ (((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*) → ((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol)
14	7, 12, 13	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol)
15		volge0 46887	. . . 4 ⊢ (((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
16	14, 15	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
17	5	ffvelcdmda 7073	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
18		volicore 47507	. . . 4 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
19	17, 9, 18	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
20		icombl 25832	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*) → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol)
21	17, 12, 20	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol)
22	17	rexrd 11316	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ*)
23	4	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ ℝ)
24	23	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → 𝑌 ∈ ℝ)
25	17	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
26		max2 13272	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ) → (𝐴‘𝑘) ≤ if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌))
27	24, 25, 26	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴‘𝑘) ≤ if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌))
28	2	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
29	5	adantr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
30		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑘 ∈ 𝑋)
31	3, 23, 28, 29, 30	hoidifhspval3 47545	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)))
32	31	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)))
33		iftrue 4488	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)) = if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌))
34	33	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)) = if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌))
35	32, 34	eqtr2d 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌) = (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘))
36	27, 35	breqtrd 5131	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴‘𝑘) ≤ (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘))
37	17	leidd 11837	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐴‘𝑘))
38	37	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐴‘𝑘))
39	31	adantr 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐾) → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)))
40		iffalse 4491	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 = 𝐾 → if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)) = (𝐴‘𝑘))
41	40	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐾) → if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)) = (𝐴‘𝑘))
42	39, 41	eqtr2d 2796	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴‘𝑘) = (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘))
43	38, 42	breqtrd 5131	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴‘𝑘) ≤ (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘))
44	36, 43	pm2.61dan 825	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ≤ (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘))
45	9	leidd 11837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
46		icossico 13502	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴‘𝑘) ≤ (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘) ∧ (𝐵‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))) → ((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ⊆ ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))
47	22, 12, 44, 45, 46	syl22anc 852	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ⊆ ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))
48		volss 25801	. . . 4 ⊢ ((((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol ∧ ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol ∧ ((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ⊆ ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) → (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ≤ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
49	14, 21, 47, 48	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ≤ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
50	1, 2, 11, 16, 19, 49	fprodle 16116	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ≤ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
51		hoidifhspdmvle.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
52		hoidifhspdmvle.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
53	52	ne0d 4288	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
54	51, 2, 53, 6, 8	hoidmvn0val 47510	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
55	51, 2, 53, 5, 8	hoidmvn0val 47510	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
56	54, 55	breq12d 5116	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)(𝐿‘𝑋)𝐵) ≤ (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) ↔ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ≤ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
57	50, 56	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)(𝐿‘𝑋)𝐵) ≤ (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  ifcif 4482   class class class wbr 5103   ↦ cmpt 5186  dom cdm 5648  ⟶wf 6524  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409   ∈ cmpo 7411   ↑_m cmap 8826  Fincfn 8952  ℝcr 11156  0cc0 11157  ℝ^*cxr 11299   ≤ cle 11301  [,)cico 13433  ∏cprod 16025  volcvol 25731

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-inf2 9620  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234  ax-pre-sup 11235

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-se 5602  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-isom 6537  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7677  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-fi 9381  df-sup 9412  df-inf 9413  df-oi 9482  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-div 11929  df-nn 12291  df-2 12360  df-3 12361  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-q 13031  df-rp 13076  df-xneg 13196  df-xadd 13197  df-xmul 13198  df-ioo 13435  df-ico 13437  df-icc 13438  df-fz 13595  df-fzo 13743  df-fl 13886  df-seq 14099  df-exp 14159  df-hash 14428  df-cj 15219  df-re 15220  df-im 15221  df-sqrt 15355  df-abs 15356  df-clim 15608  df-rlim 15609  df-sum 15807  df-prod 16026  df-rest 17540  df-topgen 17561  df-psmet 21617  df-xmet 21618  df-met 21619  df-bl 21620  df-mopn 21621  df-top 23159  df-topon 23176  df-bases 23211  df-cmp 23652  df-ovol 25732  df-vol 25733

This theorem is used by:  hspmbllem2  47553