Theorem hoidifhspdmvle 46931

Description: The dimensional volume of the difference of a half-open interval and a half-space is less than or equal to the dimensional volume of the whole half-open interval. Used in Lemma 115F of [Fremlin1] p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidifhspdmvle.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidifhspdmvle.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoidifhspdmvle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidifhspdmvle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoidifhspdmvle.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
hoidifhspdmvle.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (ℎ ∈ 𝑋 ↦ if(ℎ = 𝐾, if(𝑥 ≤ (𝑐‘ℎ), (𝑐‘ℎ), 𝑥), (𝑐‘ℎ)))))
hoidifhspdmvle.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoidifhspdmvle	⊢ (𝜑 → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)(𝐿‘𝑋)𝐵) ≤ (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐴,𝑐,ℎ,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝐷,𝑎,𝑏,𝑘   𝐾,𝑐,ℎ,𝑥   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑋,𝑐,ℎ   𝑌,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑌,𝑐,ℎ   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑐,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,ℎ,𝑐)   𝐷(𝑥,ℎ,𝑐)   𝐾(𝑘,𝑎,𝑏)   𝐿(𝑥,ℎ,𝑘,𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem hoidifhspdmvle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1916	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		hoidifhspdmvle.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3		hoidifhspdmvle.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (ℎ ∈ 𝑋 ↦ if(ℎ = 𝐾, if(𝑥 ≤ (𝑐‘ℎ), (𝑐‘ℎ), 𝑥), (𝑐‘ℎ)))))
4		hoidifhspdmvle.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
5		hoidifhspdmvle.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
6	3, 4, 2, 5	hoidifhspf 46929	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑌)‘𝐴):𝑋⟶ℝ)
7	6	ffvelcdmda 7031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
8		hoidifhspdmvle.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
9	8	ffvelcdmda 7031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
10		volicore 46892	. . . 4 ⊢ (((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
11	7, 9, 10	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
12	9	rexrd 11186	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*)
13		icombl 25525	. . . . 5 ⊢ (((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*) → ((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol)
14	7, 12, 13	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol)
15		volge0 46272	. . . 4 ⊢ (((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
17	5	ffvelcdmda 7031	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
18		volicore 46892	. . . 4 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
19	17, 9, 18	syl2anc 585	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
20		icombl 25525	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*) → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol)
21	17, 12, 20	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol)
22	17	rexrd 11186	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ*)
23	4	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ ℝ)
24	23	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → 𝑌 ∈ ℝ)
25	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
26		max2 13106	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ) → (𝐴‘𝑘) ≤ if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌))
27	24, 25, 26	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴‘𝑘) ≤ if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌))
28	2	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
29	5	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
30		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑘 ∈ 𝑋)
31	3, 23, 28, 29, 30	hoidifhspval3 46930	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)))
32	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)))
33		iftrue 4486	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)) = if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌))
34	33	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)) = if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌))
35	32, 34	eqtr2d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌) = (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘))
36	27, 35	breqtrd 5125	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴‘𝑘) ≤ (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘))
37	17	leidd 11707	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐴‘𝑘))
38	37	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐴‘𝑘))
39	31	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐾) → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)))
40		iffalse 4489	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 = 𝐾 → if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)) = (𝐴‘𝑘))
41	40	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐾) → if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)) = (𝐴‘𝑘))
42	39, 41	eqtr2d 2773	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴‘𝑘) = (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘))
43	38, 42	breqtrd 5125	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴‘𝑘) ≤ (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘))
44	36, 43	pm2.61dan 813	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ≤ (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘))
45	9	leidd 11707	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
46		icossico 13336	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴‘𝑘) ≤ (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘) ∧ (𝐵‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))) → ((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ⊆ ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))
47	22, 12, 44, 45, 46	syl22anc 839	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ⊆ ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))
48		volss 25494	. . . 4 ⊢ ((((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol ∧ ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol ∧ ((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ⊆ ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) → (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ≤ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
49	14, 21, 47, 48	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ≤ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
50	1, 2, 11, 16, 19, 49	fprodle 15923	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ≤ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
51		hoidifhspdmvle.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
52		hoidifhspdmvle.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
53	52	ne0d 4295	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
54	51, 2, 53, 6, 8	hoidmvn0val 46895	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
55	51, 2, 53, 5, 8	hoidmvn0val 46895	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
56	54, 55	breq12d 5112	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)(𝐿‘𝑋)𝐵) ≤ (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) ↔ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ≤ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
57	50, 56	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)(𝐿‘𝑋)𝐵) ≤ (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  ifcif 4480   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  dom cdm 5625  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887  ℝcr 11029  0cc0 11030  ℝ^*cxr 11169   ≤ cle 11171  [,)cico 13267  ∏cprod 15830  volcvol 25424

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fi 9318  df-sup 9349  df-inf 9350  df-oi 9419  df-dju 9817  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-q 12866  df-rp 12910  df-xneg 13030  df-xadd 13031  df-xmul 13032  df-ioo 13269  df-ico 13271  df-icc 13272  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-fl 13716  df-seq 13929  df-exp 13989  df-hash 14258  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415  df-rlim 15416  df-sum 15614  df-prod 15831  df-rest 17346  df-topgen 17367  df-psmet 21305  df-xmet 21306  df-met 21307  df-bl 21308  df-mopn 21309  df-top 22842  df-topon 22859  df-bases 22894  df-cmp 23335  df-ovol 25425  df-vol 25426

This theorem is referenced by:  hspmbllem2  46938