Theorem hoidifhspdmvle 47199

Description: The dimensional volume of the difference of a half-open interval and a half-space is less than or equal to the dimensional volume of the whole half-open interval. Used in Lemma 115F of [Fremlin1] p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
hoidifhspdmvle.l	⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
hoidifhspdmvle.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
hoidifhspdmvle.a	⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidifhspdmvle.b	⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoidifhspdmvle.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
hoidifhspdmvle.d	⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (ℎ ∈ 𝑋 ↦ if(ℎ = 𝐾, if(𝑥 ≤ (𝑐‘ℎ), (𝑐‘ℎ), 𝑥), (𝑐‘ℎ)))))
hoidifhspdmvle.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
hoidifhspdmvle	⊢ (𝜑 → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)(𝐿‘𝑋)𝐵) ≤ (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐴,𝑐,ℎ,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝐷,𝑎,𝑏,𝑘   𝐾,𝑐,ℎ,𝑥   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑋,𝑐,ℎ   𝑌,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑌,𝑐,ℎ   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑐,ℎ

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,ℎ,𝑐)   𝐷(𝑥,ℎ,𝑐)   𝐾(𝑘,𝑎,𝑏)   𝐿(𝑥,ℎ,𝑘,𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem hoidifhspdmvle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfv 1936	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑘𝜑
2		hoidifhspdmvle.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ Fin)
3		hoidifhspdmvle.d	. . . . . 6 ⊢ 𝐷 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (ℎ ∈ 𝑋 ↦ if(ℎ = 𝐾, if(𝑥 ≤ (𝑐‘ℎ), (𝑐‘ℎ), 𝑥), (𝑐‘ℎ)))))
4		hoidifhspdmvle.y	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
5		hoidifhspdmvle.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
6	3, 4, 2, 5	hoidifhspf 47197	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷‘𝑌)‘𝐴):𝑋⟶ℝ)
7	6	ffvelcdmda 7067	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
8		hoidifhspdmvle.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵:𝑋⟶ℝ)
9	8	ffvelcdmda 7067	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ)
10		volicore 47160	. . . 4 ⊢ (((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
11	7, 9, 10	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
12	9	rexrd 11234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*)
13		icombl 25628	. . . . 5 ⊢ (((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*) → ((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol)
14	7, 12, 13	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol)
15		volge0 46540	. . . 4 ⊢ (((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
16	14, 15	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 0 ≤ (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
17	5	ffvelcdmda 7067	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
18		volicore 47160	. . . 4 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
19	17, 9, 18	syl2anc 593	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ∈ ℝ)
20		icombl 25628	. . . . 5 ⊢ (((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*) → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol)
21	17, 12, 20	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol)
22	17	rexrd 11234	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ*)
23	4	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑌 ∈ ℝ)
24	23	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → 𝑌 ∈ ℝ)
25	17	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ)
26		max2 13192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐴‘𝑘) ∈ ℝ) → (𝐴‘𝑘) ≤ if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌))
27	24, 25, 26	syl2anc 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴‘𝑘) ≤ if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌))
28	2	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
29	5	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
30		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → 𝑘 ∈ 𝑋)
31	3, 23, 28, 29, 30	hoidifhspval3 47198	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)))
32	31	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)))
33		iftrue 4488	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑘 = 𝐾 → if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)) = if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌))
34	33	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)) = if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌))
35	32, 34	eqtr2d 2800	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌) = (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘))
36	27, 35	breqtrd 5128	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴‘𝑘) ≤ (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘))
37	17	leidd 11755	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐴‘𝑘))
38	37	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴‘𝑘) ≤ (𝐴‘𝑘))
39	31	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐾) → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)))
40		iffalse 4491	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑘 = 𝐾 → if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)) = (𝐴‘𝑘))
41	40	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐾) → if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴‘𝑘), (𝐴‘𝑘), 𝑌), (𝐴‘𝑘)) = (𝐴‘𝑘))
42	39, 41	eqtr2d 2800	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴‘𝑘) = (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘))
43	38, 42	breqtrd 5128	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴‘𝑘) ≤ (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘))
44	36, 43	pm2.61dan 822	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐴‘𝑘) ≤ (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘))
45	9	leidd 11755	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (𝐵‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))
46		icossico 13422	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴‘𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐵‘𝑘) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴‘𝑘) ≤ (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘) ∧ (𝐵‘𝑘) ≤ (𝐵‘𝑘))) → ((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ⊆ ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))
47	22, 12, 44, 45, 46	syl22anc 849	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → ((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ⊆ ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))
48		volss 25597	. . . 4 ⊢ ((((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol ∧ ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ∈ dom vol ∧ ((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)) ⊆ ((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) → (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ≤ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
49	14, 21, 47, 48	syl3anc 1392	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑋) → (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ≤ (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
50	1, 2, 11, 16, 19, 49	fprodle 16028	. 2 ⊢ (𝜑 → ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ≤ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
51		hoidifhspdmvle.l	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘 ∈ 𝑥 (vol‘((𝑎‘𝑘)[,)(𝑏‘𝑘))))))
52		hoidifhspdmvle.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑋)
53	52	ne0d 4296	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ ∅)
54	51, 2, 53, 6, 8	hoidmvn0val 47163	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
55	51, 2, 53, 5, 8	hoidmvn0val 47163	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) = ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))))
56	54, 55	breq12d 5115	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)(𝐿‘𝑋)𝐵) ≤ (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵) ↔ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((((𝐷‘𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘))) ≤ ∏𝑘 ∈ 𝑋 (vol‘((𝐴‘𝑘)[,)(𝐵‘𝑘)))))
57	50, 56	mpbird 259	1 ⊢ (𝜑 → (((𝐷‘𝑌)‘𝐴)(𝐿‘𝑋)𝐵) ≤ (𝐴(𝐿‘𝑋)𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  ifcif 4482   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5649  ⟶wf 6519  ‘cfv 6523  (class class class)co 7398   ∈ cmpo 7400   ↑_m cmap 8810  Fincfn 8929  ℝcr 11074  0cc0 11075  ℝ^*cxr 11217   ≤ cle 11219  [,)cico 13353  ∏cprod 15935  volcvol 25527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-inf2 9598  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-of 7662  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-2o 8440  df-er 8680  df-map 8812  df-pm 8813  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-dju 9861  df-card 9899  df-pnf 11220  df-mnf 11221  df-xr 11222  df-ltxr 11223  df-le 11224  df-sub 11418  df-neg 11419  df-div 11847  df-nn 12213  df-2 12282  df-3 12283  df-n0 12484  df-z 12571  df-uz 12842  df-q 12952  df-rp 12996  df-xneg 13116  df-xadd 13117  df-xmul 13118  df-ioo 13355  df-ico 13357  df-icc 13358  df-fz 13515  df-fzo 13662  df-fl 13804  df-seq 14017  df-exp 14077  df-hash 14346  df-cj 15128  df-re 15129  df-im 15130  df-sqrt 15264  df-abs 15265  df-clim 15517  df-rlim 15518  df-sum 15716  df-prod 15936  df-rest 17453  df-topgen 17474  df-psmet 21418  df-xmet 21419  df-met 21420  df-bl 21421  df-mopn 21422  df-top 22956  df-topon 22973  df-bases 23008  df-cmp 23449  df-ovol 25528  df-vol 25529

This theorem is referenced by:  hspmbllem2  47206