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Theorem hoidifhspdmvle 45634
Description: The dimensional volume of the difference of a half-open interval and a half-space is less than or equal to the dimensional volume of the whole half-open interval. Used in Lemma 115F of [Fremlin1] p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidifhspdmvle.l 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
hoidifhspdmvle.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
hoidifhspdmvle.a (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
hoidifhspdmvle.b (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
hoidifhspdmvle.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑋)
hoidifhspdmvle.d 𝐷 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (β„Ž ∈ 𝑋 ↦ if(β„Ž = 𝐾, if(π‘₯ ≀ (π‘β€˜β„Ž), (π‘β€˜β„Ž), π‘₯), (π‘β€˜β„Ž)))))
hoidifhspdmvle.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
hoidifhspdmvle (πœ‘ β†’ (((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
Distinct variable groups:   𝐴,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐴,𝑐,β„Ž,π‘˜   𝐡,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐷,π‘Ž,𝑏,π‘˜   𝐾,𝑐,β„Ž,π‘₯   𝑋,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯   𝑋,𝑐,β„Ž   π‘Œ,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯   π‘Œ,𝑐,β„Ž   πœ‘,π‘Ž,𝑏,π‘˜,π‘₯   πœ‘,𝑐,β„Ž
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯)   𝐡(π‘₯,β„Ž,𝑐)   𝐷(π‘₯,β„Ž,𝑐)   𝐾(π‘˜,π‘Ž,𝑏)   𝐿(π‘₯,β„Ž,π‘˜,π‘Ž,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem hoidifhspdmvle
StepHypRef Expression
1 nfv 1915 . . 3 β„²π‘˜πœ‘
2 hoidifhspdmvle.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ Fin)
3 hoidifhspdmvle.d . . . . . 6 𝐷 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (β„Ž ∈ 𝑋 ↦ if(β„Ž = 𝐾, if(π‘₯ ≀ (π‘β€˜β„Ž), (π‘β€˜β„Ž), π‘₯), (π‘β€˜β„Ž)))))
4 hoidifhspdmvle.y . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
5 hoidifhspdmvle.a . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
63, 4, 2, 5hoidifhspf 45632 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄):π‘‹βŸΆβ„)
76ffvelcdmda 7085 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
8 hoidifhspdmvle.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡:π‘‹βŸΆβ„)
98ffvelcdmda 7085 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
10 volicore 45595 . . . 4 (((((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
117, 9, 10syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
129rexrd 11268 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
13 icombl 25313 . . . . 5 (((((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*) β†’ ((((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom vol)
147, 12, 13syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom vol)
15 volge0 44975 . . . 4 (((((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom vol β†’ 0 ≀ (volβ€˜((((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
1614, 15syl 17 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 0 ≀ (volβ€˜((((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
175ffvelcdmda 7085 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
18 volicore 45595 . . . 4 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
1917, 9, 18syl2anc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ∈ ℝ)
20 icombl 25313 . . . . 5 (((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom vol)
2117, 12, 20syl2anc 582 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom vol)
2217rexrd 11268 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ*)
234adantr 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
2423adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ = 𝐾) β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
2517adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ = 𝐾) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ)
26 max2 13170 . . . . . . . 8 ((π‘Œ ∈ ℝ ∧ (π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ≀ if(π‘Œ ≀ (π΄β€˜π‘˜), (π΄β€˜π‘˜), π‘Œ))
2724, 25, 26syl2anc 582 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ = 𝐾) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ≀ if(π‘Œ ≀ (π΄β€˜π‘˜), (π΄β€˜π‘˜), π‘Œ))
282adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ Fin)
295adantr 479 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴:π‘‹βŸΆβ„)
30 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ π‘˜ ∈ 𝑋)
313, 23, 28, 29, 30hoidifhspval3 45633 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜) = if(π‘˜ = 𝐾, if(π‘Œ ≀ (π΄β€˜π‘˜), (π΄β€˜π‘˜), π‘Œ), (π΄β€˜π‘˜)))
3231adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ = 𝐾) β†’ (((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜) = if(π‘˜ = 𝐾, if(π‘Œ ≀ (π΄β€˜π‘˜), (π΄β€˜π‘˜), π‘Œ), (π΄β€˜π‘˜)))
33 iftrue 4533 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = 𝐾 β†’ if(π‘˜ = 𝐾, if(π‘Œ ≀ (π΄β€˜π‘˜), (π΄β€˜π‘˜), π‘Œ), (π΄β€˜π‘˜)) = if(π‘Œ ≀ (π΄β€˜π‘˜), (π΄β€˜π‘˜), π‘Œ))
3433adantl 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ = 𝐾) β†’ if(π‘˜ = 𝐾, if(π‘Œ ≀ (π΄β€˜π‘˜), (π΄β€˜π‘˜), π‘Œ), (π΄β€˜π‘˜)) = if(π‘Œ ≀ (π΄β€˜π‘˜), (π΄β€˜π‘˜), π‘Œ))
3532, 34eqtr2d 2771 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ = 𝐾) β†’ if(π‘Œ ≀ (π΄β€˜π‘˜), (π΄β€˜π‘˜), π‘Œ) = (((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜))
3627, 35breqtrd 5173 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ π‘˜ = 𝐾) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ≀ (((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜))
3717leidd 11784 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜))
3837adantr 479 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ Β¬ π‘˜ = 𝐾) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ≀ (π΄β€˜π‘˜))
3931adantr 479 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ Β¬ π‘˜ = 𝐾) β†’ (((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜) = if(π‘˜ = 𝐾, if(π‘Œ ≀ (π΄β€˜π‘˜), (π΄β€˜π‘˜), π‘Œ), (π΄β€˜π‘˜)))
40 iffalse 4536 . . . . . . . . 9 (Β¬ π‘˜ = 𝐾 β†’ if(π‘˜ = 𝐾, if(π‘Œ ≀ (π΄β€˜π‘˜), (π΄β€˜π‘˜), π‘Œ), (π΄β€˜π‘˜)) = (π΄β€˜π‘˜))
4140adantl 480 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ Β¬ π‘˜ = 𝐾) β†’ if(π‘˜ = 𝐾, if(π‘Œ ≀ (π΄β€˜π‘˜), (π΄β€˜π‘˜), π‘Œ), (π΄β€˜π‘˜)) = (π΄β€˜π‘˜))
4239, 41eqtr2d 2771 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ Β¬ π‘˜ = 𝐾) β†’ (π΄β€˜π‘˜) = (((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜))
4338, 42breqtrd 5173 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) ∧ Β¬ π‘˜ = 𝐾) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ≀ (((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜))
4436, 43pm2.61dan 809 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΄β€˜π‘˜) ≀ (((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜))
459leidd 11784 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΅β€˜π‘˜))
46 icossico 13398 . . . . 5 ((((π΄β€˜π‘˜) ∈ ℝ* ∧ (π΅β€˜π‘˜) ∈ ℝ*) ∧ ((π΄β€˜π‘˜) ≀ (((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜) ∧ (π΅β€˜π‘˜) ≀ (π΅β€˜π‘˜))) β†’ ((((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
4722, 12, 44, 45, 46syl22anc 835 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ ((((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))
48 volss 25282 . . . 4 ((((((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom vol ∧ ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) ∈ dom vol ∧ ((((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)) βŠ† ((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) β†’ (volβ€˜((((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ≀ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
4914, 21, 47, 48syl3anc 1369 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ 𝑋) β†’ (volβ€˜((((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ≀ (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
501, 2, 11, 16, 19, 49fprodle 15944 . 2 (πœ‘ β†’ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ≀ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
51 hoidifhspdmvle.l . . . 4 𝐿 = (π‘₯ ∈ Fin ↦ (π‘Ž ∈ (ℝ ↑m π‘₯), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m π‘₯) ↦ if(π‘₯ = βˆ…, 0, βˆπ‘˜ ∈ π‘₯ (volβ€˜((π‘Žβ€˜π‘˜)[,)(π‘β€˜π‘˜))))))
52 hoidifhspdmvle.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑋)
5352ne0d 4334 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  βˆ…)
5451, 2, 53, 6, 8hoidmvn0val 45598 . . 3 (πœ‘ β†’ (((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
5551, 2, 53, 5, 8hoidmvn0val 45598 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) = βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))))
5654, 55breq12d 5160 . 2 (πœ‘ β†’ ((((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ↔ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜))) ≀ βˆπ‘˜ ∈ 𝑋 (volβ€˜((π΄β€˜π‘˜)[,)(π΅β€˜π‘˜)))))
5750, 56mpbird 256 1 (πœ‘ β†’ (((π·β€˜π‘Œ)β€˜π΄)(πΏβ€˜π‘‹)𝐡) ≀ (𝐴(πΏβ€˜π‘‹)𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∈ cmpo 7413   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941  β„cr 11111  0cc0 11112  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253  [,)cico 13330  βˆcprod 15853  volcvol 25212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-prod 15854  df-rest 17372  df-topgen 17393  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-top 22616  df-topon 22633  df-bases 22669  df-cmp 23111  df-ovol 25213  df-vol 25214
This theorem is referenced by:  hspmbllem2  45641
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