Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hoidifhspdmvle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hoidifhspdmvle 43684
Description: The dimensional volume of the difference of a half-open interval and a half-space is less than or equal to the dimensional volume of the whole half-open interval. Used in Lemma 115F of [Fremlin1] p. 31 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 24-Dec-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
hoidifhspdmvle.l 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
hoidifhspdmvle.x (𝜑𝑋 ∈ Fin)
hoidifhspdmvle.a (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
hoidifhspdmvle.b (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
hoidifhspdmvle.k (𝜑𝐾𝑋)
hoidifhspdmvle.d 𝐷 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑋 ↦ if( = 𝐾, if(𝑥 ≤ (𝑐), (𝑐), 𝑥), (𝑐)))))
hoidifhspdmvle.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
hoidifhspdmvle (𝜑 → (((𝐷𝑌)‘𝐴)(𝐿𝑋)𝐵) ≤ (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑎,𝑏,𝑘   𝐴,𝑐,,𝑘   𝐵,𝑎,𝑏,𝑘   𝐷,𝑎,𝑏,𝑘   𝐾,𝑐,,𝑥   𝑋,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑋,𝑐,   𝑌,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝑌,𝑐,   𝜑,𝑎,𝑏,𝑘,𝑥   𝜑,𝑐,
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥,,𝑐)   𝐷(𝑥,,𝑐)   𝐾(𝑘,𝑎,𝑏)   𝐿(𝑥,,𝑘,𝑎,𝑏,𝑐)

Proof of Theorem hoidifhspdmvle
StepHypRef Expression
1 nfv 1920 . . 3 𝑘𝜑
2 hoidifhspdmvle.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ Fin)
3 hoidifhspdmvle.d . . . . . 6 𝐷 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑐 ∈ (ℝ ↑m 𝑋) ↦ (𝑋 ↦ if( = 𝐾, if(𝑥 ≤ (𝑐), (𝑐), 𝑥), (𝑐)))))
4 hoidifhspdmvle.y . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
5 hoidifhspdmvle.a . . . . . 6 (𝜑𝐴:𝑋⟶ℝ)
63, 4, 2, 5hoidifhspf 43682 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷𝑌)‘𝐴):𝑋⟶ℝ)
76ffvelrnda 6855 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ)
8 hoidifhspdmvle.b . . . . 5 (𝜑𝐵:𝑋⟶ℝ)
98ffvelrnda 6855 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
10 volicore 43645 . . . 4 (((((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
117, 9, 10syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
129rexrd 10762 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ*)
13 icombl 24309 . . . . 5 (((((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ*) → ((((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom vol)
147, 12, 13syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → ((((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom vol)
15 volge0 43028 . . . 4 (((((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom vol → 0 ≤ (vol‘((((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
1614, 15syl 17 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → 0 ≤ (vol‘((((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
175ffvelrnda 6855 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
18 volicore 43645 . . . 4 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
1917, 9, 18syl2anc 587 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ∈ ℝ)
20 icombl 24309 . . . . 5 (((𝐴𝑘) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ*) → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom vol)
2117, 12, 20syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom vol)
2217rexrd 10762 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ*)
234adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑌 ∈ ℝ)
2423adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → 𝑌 ∈ ℝ)
2517adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴𝑘) ∈ ℝ)
26 max2 12656 . . . . . . . 8 ((𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝑘) ∈ ℝ) → (𝐴𝑘) ≤ if(𝑌 ≤ (𝐴𝑘), (𝐴𝑘), 𝑌))
2724, 25, 26syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴𝑘) ≤ if(𝑌 ≤ (𝐴𝑘), (𝐴𝑘), 𝑌))
282adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑋 ∈ Fin)
295adantr 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝐴:𝑋⟶ℝ)
30 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑘𝑋) → 𝑘𝑋)
313, 23, 28, 29, 30hoidifhspval3 43683 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑘𝑋) → (((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴𝑘), (𝐴𝑘), 𝑌), (𝐴𝑘)))
3231adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴𝑘), (𝐴𝑘), 𝑌), (𝐴𝑘)))
33 iftrue 4417 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝐾 → if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴𝑘), (𝐴𝑘), 𝑌), (𝐴𝑘)) = if(𝑌 ≤ (𝐴𝑘), (𝐴𝑘), 𝑌))
3433adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴𝑘), (𝐴𝑘), 𝑌), (𝐴𝑘)) = if(𝑌 ≤ (𝐴𝑘), (𝐴𝑘), 𝑌))
3532, 34eqtr2d 2774 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → if(𝑌 ≤ (𝐴𝑘), (𝐴𝑘), 𝑌) = (((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘))
3627, 35breqtrd 5053 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴𝑘) ≤ (((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘))
3717leidd 11277 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐴𝑘))
3837adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴𝑘) ≤ (𝐴𝑘))
3931adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐾) → (((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘) = if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴𝑘), (𝐴𝑘), 𝑌), (𝐴𝑘)))
40 iffalse 4420 . . . . . . . . 9 𝑘 = 𝐾 → if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴𝑘), (𝐴𝑘), 𝑌), (𝐴𝑘)) = (𝐴𝑘))
4140adantl 485 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐾) → if(𝑘 = 𝐾, if(𝑌 ≤ (𝐴𝑘), (𝐴𝑘), 𝑌), (𝐴𝑘)) = (𝐴𝑘))
4239, 41eqtr2d 2774 . . . . . . 7 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴𝑘) = (((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘))
4338, 42breqtrd 5053 . . . . . 6 (((𝜑𝑘𝑋) ∧ ¬ 𝑘 = 𝐾) → (𝐴𝑘) ≤ (((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘))
4436, 43pm2.61dan 813 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐴𝑘) ≤ (((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘))
459leidd 11277 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝑋) → (𝐵𝑘) ≤ (𝐵𝑘))
46 icossico 12884 . . . . 5 ((((𝐴𝑘) ∈ ℝ* ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ*) ∧ ((𝐴𝑘) ≤ (((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘) ∧ (𝐵𝑘) ≤ (𝐵𝑘))) → ((((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ⊆ ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
4722, 12, 44, 45, 46syl22anc 838 . . . 4 ((𝜑𝑘𝑋) → ((((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ⊆ ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))
48 volss 24278 . . . 4 ((((((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom vol ∧ ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ∈ dom vol ∧ ((((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘)) ⊆ ((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))) → (vol‘((((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ≤ (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
4914, 21, 47, 48syl3anc 1372 . . 3 ((𝜑𝑘𝑋) → (vol‘((((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ≤ (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
501, 2, 11, 16, 19, 49fprodle 15435 . 2 (𝜑 → ∏𝑘𝑋 (vol‘((((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ≤ ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
51 hoidifhspdmvle.l . . . 4 𝐿 = (𝑥 ∈ Fin ↦ (𝑎 ∈ (ℝ ↑m 𝑥), 𝑏 ∈ (ℝ ↑m 𝑥) ↦ if(𝑥 = ∅, 0, ∏𝑘𝑥 (vol‘((𝑎𝑘)[,)(𝑏𝑘))))))
52 hoidifhspdmvle.k . . . . 5 (𝜑𝐾𝑋)
5352ne0d 4222 . . . 4 (𝜑𝑋 ≠ ∅)
5451, 2, 53, 6, 8hoidmvn0val 43648 . . 3 (𝜑 → (((𝐷𝑌)‘𝐴)(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
5551, 2, 53, 5, 8hoidmvn0val 43648 . . 3 (𝜑 → (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) = ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘))))
5654, 55breq12d 5040 . 2 (𝜑 → ((((𝐷𝑌)‘𝐴)(𝐿𝑋)𝐵) ≤ (𝐴(𝐿𝑋)𝐵) ↔ ∏𝑘𝑋 (vol‘((((𝐷𝑌)‘𝐴)‘𝑘)[,)(𝐵𝑘))) ≤ ∏𝑘𝑋 (vol‘((𝐴𝑘)[,)(𝐵𝑘)))))
5750, 56mpbird 260 1 (𝜑 → (((𝐷𝑌)‘𝐴)(𝐿𝑋)𝐵) ≤ (𝐴(𝐿𝑋)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399   = wceq 1542  wcel 2113  wss 3841  c0 4209  ifcif 4411   class class class wbr 5027  cmpt 5107  dom cdm 5519  wf 6329  cfv 6333  (class class class)co 7164  cmpo 7166  m cmap 8430  Fincfn 8548  cr 10607  0cc0 10608  *cxr 10745  cle 10747  [,)cico 12816  cprod 15344  volcvol 24208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-inf2 9170  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685  ax-pre-sup 10686
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-2o 8125  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fi 8941  df-sup 8972  df-inf 8973  df-oi 9040  df-dju 9396  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-div 11369  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-n0 11970  df-z 12056  df-uz 12318  df-q 12424  df-rp 12466  df-xneg 12583  df-xadd 12584  df-xmul 12585  df-ioo 12818  df-ico 12820  df-icc 12821  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-fl 13246  df-seq 13454  df-exp 13515  df-hash 13776  df-cj 14541  df-re 14542  df-im 14543  df-sqrt 14677  df-abs 14678  df-clim 14928  df-rlim 14929  df-sum 15129  df-prod 15345  df-rest 16792  df-topgen 16813  df-psmet 20202  df-xmet 20203  df-met 20204  df-bl 20205  df-mopn 20206  df-top 21638  df-topon 21655  df-bases 21690  df-cmp 22131  df-ovol 24209  df-vol 24210
This theorem is referenced by:  hspmbllem2  43691
  Copyright terms: Public domain W3C validator