Theorem homcl 30108

Description: Closure of the scalar product of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
homcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem homcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		homval 30103	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
2		ffvelrn 6959	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
3	2	anim2i 617	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ))
4	3	3impb 1114	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ))
5		hvmulcl 29375	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ ℋ)
6	4, 5	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ ℋ)
7	1, 6	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2106  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   ℋchba 29281   ·_ℎ csm 29283   ·_op chot 29301

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-hilex 29361  ax-hfvmul 29367

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-map 8617  df-homul 30093

This theorem is referenced by: (None)