Theorem homcl 32098

Description: Closure of the scalar product of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
homcl	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem homcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		homval 32093	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)))
2		ffvelcdm 7076	. . . . 5 ⊢ ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ)
3	2	anim2i 628	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ))
4	3	3impb 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ))
5		hvmulcl 31365	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ ℋ)
6	4, 5	syl 18	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ·ℎ (𝑇‘𝐵)) ∈ ℋ)
7	1, 6	eqeltrd 2863	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2143  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093   ℋchba 31271   ·_ℎ csm 31273   ·_op chot 31291

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-hilex 31351  ax-hfvmul 31357

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-map 8822  df-homul 32083

This theorem is referenced by: (None)