HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homcl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem homcl 31264
Description: Closure of the scalar product of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homcl ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹)
Proof of Theorem homcl
StepHypRef Expression
1 homval 31259 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐ต) = (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)))
2 ffvelcdm 7084 . . . . 5 ((๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹)
32anim2i 615 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹)) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹))
433impb 1113 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹))
5 hvmulcl 30531 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง (๐‘‡โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‹)
64, 5syl 17 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ (๐ด ยทโ„Ž (๐‘‡โ€˜๐ต)) โˆˆ โ„‹)
71, 6eqeltrd 2831 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐‘‡: โ„‹โŸถ โ„‹ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‹) โ†’ ((๐ด ยทop ๐‘‡)โ€˜๐ต) โˆˆ โ„‹)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1085   โˆˆ wcel 2104  โŸถwf 6540  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  โ„‚cc 11112   โ„‹chba 30437   ยทโ„Ž csm 30439   ยทop chot 30457
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-hilex 30517  ax-hfvmul 30523
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-map 8826  df-homul 31249
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator