HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  homcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem homcl 31766
Description: Closure of the scalar product of a Hilbert space operator. (Contributed by NM, 20-Feb-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
homcl ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ)

Proof of Theorem homcl
StepHypRef Expression
1 homval 31761 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) = (𝐴 · (𝑇𝐵)))
2 ffvelcdm 7100 . . . . 5 ((𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝑇𝐵) ∈ ℋ)
32anim2i 617 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ)) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ))
433impb 1114 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ))
5 hvmulcl 31033 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ (𝑇𝐵) ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝑇𝐵)) ∈ ℋ)
64, 5syl 17 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 · (𝑇𝐵)) ∈ ℋ)
71, 6eqeltrd 2840 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝑇: ℋ⟶ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → ((𝐴 ·op 𝑇)‘𝐵) ∈ ℋ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086  wcel 2107  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432  cc 11154  chba 30939   · csm 30941   ·op chot 30959
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-hilex 31019  ax-hfvmul 31025
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-id 5577  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-map 8869  df-homul 31751
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator